Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ અને $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.
નોંધો કે $xy = 1$,તેથી $y = \frac{1}{x}$.
પ્રથમ,$x + y$ ની ગણતરી કરો:
$x + y = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{(5 + 2 + 2\sqrt{10}) + (5 + 2 - 2\sqrt{10})}{5 - 2} = \frac{14}{3}$.
આગળ,$x - y$ ની ગણતરી કરો:
$x - y = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{(7 + 2\sqrt{10}) - (7 - 2\sqrt{10})}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$.
હવે,$3x^2 - 3y^2 + 4xy = 3(x^2 - y^2) + 4(1) = 3(x - y)(x + y) + 4$ ની કિંમત શોધો.
કિંમતો મૂકતા:
$3 \times \left(\frac{4\sqrt{10}}{3}\right) \times \left(\frac{14}{3}\right) + 4 = \frac{56\sqrt{10}}{3} + 4 = \frac{56\sqrt{10} + 12}{3} = \frac{1}{3}[56\sqrt{10} + 12]$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ છે.
આથી $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$ ......$(i)$
ધારો કે $H_1, H_2, \dots, H_m$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $m$ હાર્મોનિક મધ્યકો છે.
પ્રથમ હાર્મોનિક મધ્યક $H_1 = \frac{(m + 1)ab}{a + mb}$ અને છેલ્લો હાર્મોનિક મધ્યક $H_m = \frac{(m + 1)ab}{b + ma}$ છે.
તફાવત $H_m - H_1 = (m + 1)ab \left[ \frac{1}{b + ma} - \frac{1}{a + mb} \right]$.
$H_m - H_1 = (m + 1)ab \left[ \frac{a + mb - b - ma}{(b + ma)(a + mb)} \right] = (m + 1)ab \frac{(m - 1)(b - a)}{(b + ma)(a + mb)}$.
$H_m - H_1 = \frac{(m^2 - 1)ab(b - a)}{m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab}$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $m^2 - 1$ થાય છે.
આમ,$H_m - H_1 = \frac{(m^2 - 1)ab(b - a)}{m^2 - 1} = ab(b - a)$.

(A) ધારો કે $r$ એ $G.P.$ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે. તેથી $\beta = \alpha r, \gamma = \alpha r^2, \delta = \alpha r^3$.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકાર પરથી:
$\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \alpha(1 + r) = 1$ $(i)$
$\alpha \beta = p \Rightarrow \alpha^2 r = p$ $(ii)$
$\gamma + \delta = 4 \Rightarrow \alpha r^2(1 + r) = 4$ $(iii)$
$\gamma \delta = q \Rightarrow \alpha^2 r^5 = q$ $(iv)$
$(iii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $r^2 = 4$ મળે છે,તેથી $r = \pm 2$.
જો $r = 2$ હોય,તો $\alpha(1+2) = 1 \Rightarrow \alpha = 1/3$ (જે પૂર્ણાંક નથી).
જો $r = -2$ હોય,તો $\alpha(1-2) = 1 \Rightarrow \alpha = -1$.
$r = -2$ અને $\alpha = -1$ ને $(ii)$ અને $(iv)$ માં મૂકતા:
$p = (-1)^2(-2) = -2$
$q = (-1)^2(-2)^5 = -32$
આમ,$(p, q) = (-2, -32)$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$.
$(y - 1)x^2 + (2y - 14)x + (3y - 9) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (2y - 14)^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \ge 0$.
$4(y - 7)^2 - 12(y - 1)(y - 3) \ge 0$.
$(y^2 - 14y + 49) - 3(y^2 - 4y + 3) \ge 0$.
$-2y^2 - 2y + 40 \ge 0$.
$y^2 + y - 20 \le 0$.
$(y + 5)(y - 4) \le 0$.
આમ,$-5 \le y \le 4$.
મહત્તમ કિંમત $4$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$.
તેથી $y(2x^2 + 3x + 6) = x + 2$,જેનું સાદું રૂપ $2yx^2 + (3y - 1)x + (6y - 2) = 0$ થાય છે.
જો $y = 0$ હોય,તો $x = -2$,જે વાસ્તવિક કિંમત છે.
જો $y \neq 0$ હોય,તો $x$ વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (3y - 1)^2 - 4(2y)(6y - 2) \ge 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \ge 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \le 0$.
અવયવ પાડતા: $(13y + 1)(3y - 1) \le 0$.
આ અસમતા $y \in \left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ માટે સાચી છે.
$y = 0$ આ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,વિસ્તાર $\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ છે.

(A) આપેલ છે $u = x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 6yz - 3zx - 2xy$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$u = \frac{1}{2}(2x^2 + 8y^2 + 18z^2 - 12yz - 6zx - 4xy)$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$u = \frac{1}{2}[(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 6zx + 9z^2) + (4y^2 - 12yz + 9z^2)]$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$u = \frac{1}{2}[(x - 2y)^2 + (x - 3z)^2 + (2y - 3z)^2]$
$x, y, z$ વાસ્તવિક હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે. તેથી,$u \geq 0$.

(D) ધારો કે $y = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$.
તેથી $y(x - c) = x^2 - (a + b)x + ab$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - (a + b + y)x + (ab + cy) = 0$ થાય છે.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (a + b + y)^2 - 4(ab + cy) \ge 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 + 2y(a + b - 2c) + (a - b)^2 \ge 0$ મળે છે.
વિધેય તમામ વાસ્તવિક કિંમતો $y$ ધારણ કરે તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y$ માટે અઋણ હોવું જોઈએ. જોકે,$y^2$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો લેશે જો તેનો વિવેચક $D_y < 0$ હોય.
$D_y = [2(a + b - 2c)]^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$4(a + b - 2c)^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$(a + b - 2c)^2 - (a - b)^2 < 0$.
$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a + b - 2c - a + b)(a + b - 2c + a - b) < 0$.
$(2b - 2c)(2a - 2c) < 0$.
$4(b - c)(a - c) < 0$.
$(c - b)(c - a) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જો $c$ એ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે હોય,એટલે કે $a < c < b$ અથવા $b < c < a$.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 + 3x + 4}$.
બંને બાજુ $(x^2 + 3x + 4)$ વડે ગુણતા,આપણને $y(x^2 + 3x + 4) = x^2 - 3x + 4$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$(y - 1)x^2 + 3(y + 1)x + 4(y - 1) = 0$ મળે છે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [3(y + 1)]^2 - 4(y - 1)(4(y - 1)) \ge 0$.
$9(y + 1)^2 - 16(y - 1)^2 \ge 0$.
$(3(y + 1))^2 - (4(y - 1))^2 \ge 0$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(3y + 3 - 4y + 4)(3y + 3 + 4y - 4) \ge 0$.
$(-y + 7)(7y - 1) \ge 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$(y - 7)(7y - 1) \le 0$.
આ અસમતા $\frac{1}{7} \le y \le 7$ માટે સાચી છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $7$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{7}$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2 + 34x - 71}{x^2 + 2x - 7}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2(y - 1) + 2x(y - 17) + (71 - 7y) = 0$ મળે છે.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [2(y - 17)]^2 - 4(y - 1)(71 - 7y) \ge 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$(y - 17)^2 - (y - 1)(71 - 7y) \ge 0$.
$(y^2 - 34y + 289) - (-7y^2 + 78y - 71) \ge 0$.
$8y^2 - 112y + 360 \ge 0$.
$8$ વડે ભાગતા,$y^2 - 14y + 45 \ge 0$.
અવયવ પાડતા,$(y - 5)(y - 9) \ge 0$.
આ અસમતા $y \le 5$ અથવા $y \ge 9$ માટે સાચી છે.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $5$ અને $9$ ની વચ્ચે આવતી નથી.

(C) આલેખ પરથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,જેનો અર્થ છે કે ${x^2}$ નો સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ. તેથી,$a < 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $y = a{x^2} + bx + c$ ના બીજ ${x_1}$ અને ${x_2}$ છે,જ્યાં ${x_1} > 0$ અને ${x_2} > 0$ બંને છે.
બીજનો સરવાળો ${x_1} + {x_2} = -\frac{b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બીજ ધન હોવાથી,તેમનો સરવાળો ધન છે,તેથી $-\frac{b}{a} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે.
પરવલય $X$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે,તેથી વિવેચક $D = {b^2} - 4ac > 0$,એટલે કે ${b^2} > 4ac$.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3 - 3b^2x + 2c^3$. $f(x)$ એ $x - a$ અને $x - b$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$f(a) = 0$ અને $f(b) = 0$ થાય.
$f(b) = b^3 - 3b^2(b) + 2c^3 = b^3 - 3b^3 + 2c^3 = -2b^3 + 2c^3 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $b^3 = c^3$,તેથી $b = c$ (કારણ કે $b, c$ વાસ્તવિક છે).
હવે,$f(a) = a^3 - 3b^2a + 2c^3 = 0$. $c = b$ મૂકતા,આપણને $a^3 - 3ab^2 + 2b^3 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $(a - b)(a^2 + ab - 2b^2) = 0$.
$(a - b)(a - b)(a + 2b) = 0$.
આથી $a = b$ અથવા $a = -2b$ મળે.
$b = c$ હોવાથી,ઉકેલ $a = b = c$ અથવા $a = -2b = -2c$ છે.

(A) આપેલ છે $k = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $k(x^2 + x + 1) = x^2 - x + 1$.
$kx^2 + kx + k = x^2 - x + 1$.
$(k - 1)x^2 + (k + 1)x + (k - 1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (k + 1)^2 - 4(k - 1)(k - 1) \ge 0$.
$(k + 1)^2 - 4(k - 1)^2 \ge 0$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $((k + 1) - 2(k - 1))((k + 1) + 2(k - 1)) \ge 0$.
$(-k + 3)(3k - 1) \ge 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $(k - 3)(3k - 1) \le 0$.
બીજ $k = \frac{1}{3}$ અને $k = 3$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} \le k \le 3$.

(D) આપેલ છે કે $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$\tan \alpha + \tan \beta = -p$ અને $\tan \alpha \tan \beta = q$.
$\tan(\alpha + \beta)$ માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-p}{1 - q} = \frac{p}{q - 1}$.
આથી વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
હવે,$(a)$ માં આપેલ પદાવલિ ધ્યાનમાં લો:
$E = \sin^2(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha + \beta) + q\cos^2(\alpha + \beta)$.
$\cos^2(\alpha + \beta)$ વડે ભાગતા અને ગુણતા:
$E = \cos^2(\alpha + \beta) [\tan^2(\alpha + \beta) + p\tan(\alpha + \beta) + q]$.
$\cos^2(\alpha + \beta) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)}$ હોવાથી,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{p}{q - 1}$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{1 + (\frac{p}{q - 1})^2} [(\frac{p}{q - 1})^2 + p(\frac{p}{q - 1}) + q] = q$.
આમ,$(a)$ પણ સાચું છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) અસમતા $4x^2 - 16x + 15 < 0$ આપેલ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $(2x - 3)(2x - 5) < 0$,જે $\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$ આપે છે.
આ અંતરાલમાં એકમાત્ર પૂર્ણાંક ઉકેલ $x = 2$ છે. તેથી,$\tan \alpha = 2$.
પ્રથમ ચરણનો દ્વિભાજક એ $y = x$ રેખા છે,જેનો ઢાળ $1$ છે. તેથી,$\cos \beta = 1$.
$\cos \beta = 1$ હોવાથી,$\beta = 0$ મળે,તેથી $\sin \beta = 0$.
નિત્યસમ $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha - 0 = \sin^2 \alpha$.
$\tan \alpha = 2$ હોવાથી,$\sin^2 \alpha = \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2^2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}$.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$
$x^2(y - 1) + 2x(y - 7) + (3y - 9) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$:
$D = [2(y - 7)]^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \geq 0$
$4(y^2 - 14y + 49) - 4(3y^2 - 12y + 9) \geq 0$
$y^2 - 14y + 49 - 3y^2 + 12y - 9 \geq 0$
$-2y^2 - 2y + 40 \geq 0$
$y^2 + y - 20 \leq 0$
$(y + 5)(y - 4) \leq 0$.
આમ,$y$ એ $-5$ અને $4$ ની વચ્ચે છે.

(A) અસમતા $27pqr \geq (p + q + r)^3$ આપેલ છે,જેને આપણે $\sqrt[3]{pqr} \geq \frac{p + q + r}{3}$ તરીકે લખી શકીએ.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{p + q + r}{3} \geq \sqrt[3]{pqr}$.
આ બંને અસમતાઓ એકસાથે સાચી ઠરવા માટે,$p = q = r$ હોવું જરૂરી છે.
સમીકરણ $3p + 4q + 5r = 12$ માં $p = q = r = x$ મૂકતા:
$3x + 4x + 5x = 12$ $\Rightarrow 12x = 12$ $\Rightarrow x = 1$.
આમ,$p = 1, q = 1, r = 1$.
હવે,$p^3 + q^4 + r^5 = 1^3 + 1^4 + 1^5 = 1 + 1 + 1 = 3$.

(B) સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ,ધન સંખ્યાઓ $a, b, c/2, c/2$ માટે:
$\frac{a + b + c/2 + c/2}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot b \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c}{2}}$
$\frac{a + b + c}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{abc^2}{4}}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$\frac{(a + b + c)^4}{256} \geq \frac{abc^2}{4}$
$abc^2 \leq \frac{(a + b + c)^4}{64}$
$abc^2$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1/64$ આપેલ છે,તેથી $\frac{(a + b + c)^4}{64} = \frac{1}{64}$,જેનો અર્થ છે કે $a + b + c = 1$.
સમાનતા ત્યારે મળે જ્યારે $a = b = c/2$ હોય.
$a + b + c = 1$ માં $a = b = c/2$ મૂકતા:
$c/2 + c/2 + c = 1 \implies 2c = 1 \implies c = 1/2$.
તેથી $a = b = 1/4$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 + 3x + 4}$.
બંને બાજુ $(x^2 + 3x + 4)$ વડે ગુણતા,$y(x^2 + 3x + 4) = x^2 - 3x + 4$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$(y - 1)x^2 + (3y + 3)x + (4y - 4) = 0$ મળે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ થાય.
$D = (3y + 3)^2 - 4(y - 1)(4y - 4) \geq 0$.
$9(y + 1)^2 - 16(y - 1)^2 \geq 0$.
$(3(y + 1) - 4(y - 1))(3(y + 1) + 4(y - 1)) \geq 0$.
$(3y + 3 - 4y + 4)(3y + 3 + 4y - 4) \geq 0$.
$(-y + 7)(7y - 1) \geq 0$.
$(y - 7)(7y - 1) \leq 0$.
આમ,$\frac{1}{7} \leq y \leq 7$.
મહત્તમ મૂલ્ય $7$ અને ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય $\frac{1}{7}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,અને $\alpha^3 + \beta^3$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ત્રણ પદો $x, y, z$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય તો $y^2 = xz$ થાય.
તેથી,$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = (\alpha + \beta)(\alpha^3 + \beta^3)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $\alpha^4 + \beta^4 + 2\alpha^2\beta^2 = \alpha^4 + \alpha\beta^3 + \beta\alpha^3 + \beta^4$.
સાદુરૂપ આપતા: $2\alpha^2\beta^2 = \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2)$.
ગોઠવતા: $\alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta) = 0$.
આથી $\alpha\beta(\alpha - \beta)^2 = 0$ મળે.
અહીં $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ અને $(\alpha - \beta)^2 = \frac{\Delta}{a^2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{c}{a} \times \frac{\Delta}{a^2} = 0$.
આમ,$c\Delta = 0$.

(D) $1$. આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે સૂચવે છે કે $x^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $a < 0$.
$2$. આલેખ $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ $(x_1, 0)$ અને $(x_2, 0)$ પર છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે. તેથી,વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$.
$3$. આલેખ $y$-અક્ષને ઉગમબિંદુની નીચે છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે $y$-અંતઃખંડ $c$ ઋણ છે,તેથી $c < 0$.
$4$. આ તારણોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$a > 0$,$b^2 - 4ac < 0$,અથવા $c > 0$ માંથી એકપણ શરત સંતોષાતી નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = a^2x^2 + bx + 1$.
બધા $x \in R$ માટે $f(x) > 0$ હોવા માટે,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલ્લો હોવો જોઈએ અને $x$-અક્ષની સંપૂર્ણપણે ઉપર હોવો જોઈએ.
આ માટે $x^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $a^2 > 0$ ($a \neq 0$ માટે સાચું છે),અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4(a^2)(1) = b^2 - 4a^2$.
$D < 0$ લેતા,આપણને $b^2 - 4a^2 < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 < 4a^2$.

(D) આપેલ સમીકરણોને આ રીતે લખી શકાય:
$x^2 + 2bx + b^2 = 1 \implies (x + b)^2 = 1 \implies x = -b \pm 1$
$x^2 + 2ax + a^2 = 1 \implies (x + a)^2 = 1 \implies x = -a \pm 1$
દરેક સમીકરણ એક જ બીજ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે બીજ સમાન છે.
$a \neq b$ હોવાથી,બીજ $\{-b+1, -b-1\}$ અને $\{-a+1, -a-1\}$ છે.
સમાન બીજ માટે:
$-b + 1 = -a - 1 \implies a - b = -2$
અથવા
$-b - 1 = -a + 1 \implies a - b = 2$
આ બંને કિસ્સાઓ $|a - b| = 2$ દ્વારા આવરી લેવામાં આવે છે.
તેથી,તમામ વિકલ્પો $A, B,$ અને $C$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2}$.
આપણે તેને $y = \frac{(1 + x + x^2) - 2x}{1 + x + x^2} = 1 - \frac{2x}{1 + x + x^2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$x = 0$ માટે,$y = 1$ મળે છે.
$x \neq 0$ માટે,$y = 1 - \frac{2}{\frac{1}{x} + 1 + x}$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$x > 0$ માટે,$\frac{1}{x} + x \geq 2$,તેથી $\frac{1}{x} + 1 + x \geq 3$ થાય.
આમ,$\frac{2}{\frac{1}{x} + 1 + x} \leq \frac{2}{3}$ થાય.
તેથી,$y = 1 - \frac{2}{\frac{1}{x} + 1 + x} \geq 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$x < 0$ માટે,ધારો કે $x = -t$ જ્યાં $t > 0$. તો $y = \frac{1 + t + t^2}{1 - t + t^2} = \frac{1}{\frac{1 - t + t^2}{1 + t + t^2}}$.
આ પદાવલિનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1/3$ હોવાથી,મહત્તમ મૂલ્ય $3$ થાય છે. આમ,તમામ $x$ માટે $y \geq 1/3$ થાય છે.
તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1/3$ છે.

(D) આપેલ છે કે $p^2 + q^2 = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p + q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq = 1 + 2pq$.
સમાંતર મધ્યક-સમગુણોત્તર મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{p^2 + q^2}{2} \geq \sqrt{p^2 q^2} = pq$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2} \geq pq$.
તેથી,$(p + q)^2 = 1 + 2pq \leq 1 + 2(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$p + q \leq \sqrt{2}$.
આમ,$(p + q)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,$y(3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 17$ મળે.
$3x^2(y - 1) + 9x(y - 1) + 7y - 17 = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ થાય.
$D = [9(y - 1)]^2 - 4(3(y - 1))(7y - 17) \geq 0$.
$81(y - 1)^2 - 12(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$3(y - 1)$ વડે ભાગતા,$27(y - 1) - 4(7y - 17) \geq 0$.
$27y - 27 - 28y + 68 \geq 0$.
$-y + 41 \geq 0 \Rightarrow y \leq 41$.
આમ,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $41$ છે.

(A) ધારો કે $t = x - [x] = \{x\}$. $0 \leq \{x\} < 1$ હોવાથી,$0 \leq t < 1$ મળે.
સમીકરણ $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ બને છે,એટલે કે $3t^2 - 2t - a^2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$.
$t \geq 0$ હોવાથી,ધન ચિહ્ન લેતા: $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$.
પૂર્ણાંક ઉકેલ ન મળે તે માટે $t \neq 0$ હોવું જોઈએ. વળી,$t < 1$ હોવું જરૂરી છે:
$\frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3} < 1$ $\Rightarrow \sqrt{1 + 3a^2} < 2$ $\Rightarrow 1 + 3a^2 < 4$ $\Rightarrow a^2 < 1$.
આથી $-1 < a < 1$. $a=0$ માટે $t=0$ મળે છે જે પૂર્ણાંક ઉકેલ આપે છે,તેથી $a \neq 0$.
આમ,$a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

(D) આપેલ છે કે $p^{2} + q^{2} = 1$ જ્યાં $p, q > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(p+q)^{2} = p^{2} + q^{2} + 2pq$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq$.
$AM \geq GM$ અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $p^{2}$ અને $q^{2}$ માટે,$\frac{p^{2} + q^{2}}{2} \geq \sqrt{p^{2}q^{2}} = pq$ થાય.
કારણ કે $p^{2} + q^{2} = 1$,તેથી $\frac{1}{2} \geq pq$,જેનો અર્થ છે કે $2pq \leq 1$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq \leq 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $p+q \leq \sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,$(p+q)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.

(A) આપેલ છે $x = {(\sqrt{2} + 1)^{1/3}} - {(\sqrt{2} - 1)^{1/3}}$.
નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
${x^3} = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) - 3{(\sqrt{2} + 1)^{1/3}} \cdot {(\sqrt{2} - 1)^{1/3}} \cdot x$.
કારણ કે ${(\sqrt{2} + 1)^{1/3}} \cdot {(\sqrt{2} - 1)^{1/3}} = {((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1))^{1/3}} = {(2 - 1)^{1/3}} = 1^{1/3} = 1$,
તેથી ${x^3} = 2 - 3(1)x$.
આમ,${x^3} + 3x = 2$.

(A) ધારો કે $f(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}$.
વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અ-ઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $x - 1 \ge 0$,એટલે કે $x \ge 1$.
આ પદને $\sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + 1 + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + 1 - 2\sqrt{x-1}}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}$ મળે.
જે $|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1|$ બરાબર છે.
$x \ge 1$ માટે $\sqrt{x-1} + 1$ હંમેશા ધન છે,તેથી $(\sqrt{x-1} + 1) + |\sqrt{x-1} - 1|$.
કિસ્સો $1$: જો $1 \le x \le 2$,તો $0 \le \sqrt{x-1} \le 1$,તેથી $|\sqrt{x-1} - 1| = 1 - \sqrt{x-1}$.
આમ,$f(x) = \sqrt{x-1} + 1 + 1 - \sqrt{x-1} = 2$.
કિસ્સો $2$: જો $x > 2$,તો $\sqrt{x-1} > 1$,તેથી $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.
આમ,$f(x) = \sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1 = 2\sqrt{x-1}$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = p$ અને $\alpha\beta = q$.
ધારો કે જરૂરી સમીકરણના બીજ $A$ અને $B$ છે.
$A = (\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3) = (\alpha - \beta)^2(\alpha + \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)$.
$(\alpha - \beta)^2 = p^2 - 4q$ અને $\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = p^2 - q$ હોવાથી,$A = (p^2 - 4q)p(p^2 - q) = p(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$.
$B = \alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3 = \alpha^2\beta^2(\alpha + \beta) = q^2p$.
બીજનો સરવાળો $S = A + B = p(p^4 - 5p^2q + 5q^2)$.
બીજનો ગુણાકાર $P = A \times B = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$.
માટે,જરૂરી સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 6x - 2 = 0$ છે. $\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2 + 6\alpha - 2 = 0$ થાય,એટલે કે $\alpha^2 = 2 - 6\alpha$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\alpha^2 + 5\alpha - 8 = (2 - 6\alpha) + 5\alpha - 8 = -\alpha - 6$. $\alpha + \beta = -6$ હોવાથી,$\beta = -6 - \alpha$ થાય. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\frac{2\alpha^2 + 12\alpha - 6}{\alpha} = \frac{2(\alpha^2 + 6\alpha) - 6}{\alpha} = \frac{2(2) - 6}{\alpha} = \frac{-2}{\alpha}$. $\alpha\beta = -2$ હોવાથી,$\beta = \frac{-2}{\alpha}$ થાય. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\alpha\beta = -2$ અને $\alpha + \beta = -6$ પરથી,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-6}{-2} = 3$ મળે,તેથી $\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha} = 3$. આના પરથી $\frac{1}{\beta} = 3 - \frac{1}{\alpha} = \frac{3\alpha - 1}{\alpha}$ મળે,તેથી $\beta = \frac{\alpha}{3\alpha - 1}$ થાય. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
બધા વિકલ્પો $\beta$ ને સમાન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) $1$. પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,તેથી $x^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $a < 0$.
$2$. વક્ર $y$-અક્ષને $(0, c)$ બિંદુએ છેદે છે. આકૃતિ પરથી,છેદબિંદુ $x$-અક્ષની ઉપર છે,તેથી $c > 0$.
$3$. પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a)$ પર છે. આકૃતિ પરથી,શિરોબિંદુ $y$-અક્ષની ડાબી બાજુએ છે,તેથી $-b/(2a) < 0$. $a < 0$ હોવાથી,$-b/(2a) < 0 \Rightarrow b/a > 0$ મળે. $a < 0$ હોવાથી,$b < 0$ સાબિત થાય છે.
$4$. વક્ર $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$.
આમ,વિકલ્પોમાંથી $c > 0$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $y = x - 1$. તેથી $x = y + 1$. $x \ge 1$ હોવાથી,$y \ge 0$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt{y + 1 + 2\sqrt{y}} + \sqrt{y + 1 - 2\sqrt{y}}$.
આનું સાદું રૂપ $\sqrt{(\sqrt{y} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{y} - 1)^2}$ થાય છે.
$= |\sqrt{y} + 1| + |\sqrt{y} - 1|$.
$\sqrt{y} + 1$ હંમેશા ધન હોવાથી,આ $\sqrt{y} + 1 + |\sqrt{y} - 1|$ થશે.
કિસ્સો $1$: જો $0 \le y \le 1$ (એટલે કે $1 \le x \le 2$),તો $|\sqrt{y} - 1| = 1 - \sqrt{y}$.
પદાવલિ $= \sqrt{y} + 1 + 1 - \sqrt{y} = 2$.
કિસ્સો $2$: જો $y > 1$ (એટલે કે $x > 2$),તો $|\sqrt{y} - 1| = \sqrt{y} - 1$.
પદાવલિ $= \sqrt{y} + 1 + \sqrt{y} - 1 = 2\sqrt{y} = 2\sqrt{x - 1}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $\sin \theta + \cos \theta = 1 - a$ .....$(1)$
બીજનો ગુણાકાર $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1 - 2a}{4}$ .....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ નો વર્ગ કરતા,$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = (1 - a)^2$.
$(2)$ ની કિંમત મૂકતા,$1 + 2(\frac{1 - 2a}{4}) = (1 - a)^2 \Rightarrow 2a^2 - 2a - 1 = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે $\sin \theta + \cos \theta > 0$ હોવાથી,$a = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.
હવે,$\sin \theta \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$,તેથી $\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આથી $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$.
$a + \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ ધન અને ભિન્ન હોવા માટે:
$1$. વિવેચક $D > 0$
$2$. બીજનો સરવાળો $-b > 0$
$3$. બીજનો ગુણાકાર $c > 0$
અહીં,બીજનો ગુણાકાર $\frac{3}{8} > 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $-(\sin \theta + \cos \theta) > 0 \implies \sin \theta + \cos \theta < 0$.
વિવેચક $D = (\sin \theta + \cos \theta)^2 - 4(\frac{3}{8}) > 0
\implies 1 + \sin 2\theta > \frac{3}{2}
\implies \sin 2\theta > \frac{1}{2}$.
$2\theta$ માટે ઉકેલતા,$\frac{\pi}{6} < 2\theta < \frac{5\pi}{6}$ અથવા $\frac{13\pi}{6} < 2\theta < \frac{17\pi}{6}$.
તેથી,$\frac{\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{12}$ અથવા $\frac{13\pi}{12} < \theta < \frac{17\pi}{12}$.
શરત $\sin \theta + \cos \theta < 0$ ચકાસતા,$\theta \in (\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12})$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(D) $x^2 - (a - 1)x + 3 = 0$ ના બંને બીજ ધન હોવા માટે:
$1$. વિવેચક $D_1 \ge 0$ $\Rightarrow (a - 1)^2 - 12 \ge 0$ $\Rightarrow a \ge 1 + 2\sqrt{3} \approx 4.46$ અથવા $a \le 1 - 2\sqrt{3} \approx -2.46$.
$2$. બીજનો સરવાળો $> 0$ $\Rightarrow a - 1 > 0$ $\Rightarrow a > 1$.
આથી $a \ge 5$ (પૂર્ણાંક કિંમતો માટે).
$x^2 + 3x + 6 - a = 0$ ના બંને બીજ ઋણ હોવા માટે:
$1$. વિવેચક $D_2 \ge 0$ $\Rightarrow 9 - 4(6 - a) \ge 0$ $\Rightarrow 4a \ge 15$ $\Rightarrow a \ge 3.75$.
$2$. બીજનો ગુણાકાર $> 0$ $\Rightarrow 6 - a > 0$ $\Rightarrow a < 6$.
આથી $3.75 \le a < 6$.
બંને શરતોનું છેદગણ: $a \in [5, 6)$,તેથી $a = 5$.
આમ,$a$ ની માત્ર $1$ પૂર્ણાંક કિંમત મળે છે.

(B) આપેલ અસમતા $256abcd \geq (a+b+c+d)^4$ ને $(abcd)^{\frac{1}{4}} \geq \frac{a+b+c+d}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા છે,જે ફક્ત ત્યારે જ સમાનતા ધરાવે છે જ્યારે $a = b = c = d$ હોય.
આપેલ છે કે $3a + b + 2c + 5d = 11$,અને $a = b = c = d = k$ મૂકતા,આપણને $3k + k + 2k + 5k = 11$ મળે છે.
$11k = 11 \Rightarrow k = 1$.
આમ,$a = b = c = d = 1$.
હવે $a^3 + b + c^2 + 5d$ માં આ કિંમતો મૂકતા,$1^3 + 1 + 1^2 + 5(1) = 1 + 1 + 1 + 5 = 8$ મળે છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $(a + b)x^2 + 2bx + 1 = 0$ માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2b)^2 - 4(a + b) > 0$
$4b^2 - 4a - 4b > 0$
$b^2 - b > a$
ધારો કે $f(x, y) = y - (x^2 - x)$. બિંદુ $(b, a)$ માટે,$f(b, a) = a - (b^2 - b) = a - b^2 + b$.
કારણ કે $b^2 - b > a$,તેથી $a - b^2 + b < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $(b, a)$ એ પરવલય $y = x^2 - x$ ની અંદર આવેલું છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^8 - kx^2 + 3 = 0$ ને $k = \frac{x^8 + 3}{x^2} = x^6 + \frac{3}{x^2}$ તરીકે લખી શકાય.
$k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $A.M. \geq G.M.$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે $x^6 + \frac{3}{x^2}$ ને $x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
આ ચાર પદો માટે $A.M. \geq G.M.$ લાગુ પાડતા:
$\frac{x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{4} \geq \sqrt[4]{x^6 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2}} = \sqrt[4]{1} = 1$.
આમ,$x^6 + \frac{3}{x^2} \geq 4$.
તેથી,$k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + (2 - \tan \theta)x - (1 + \tan \theta) = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
$\alpha + \beta = \tan \theta - 2$ $(1)$
$\alpha \beta = -\tan \theta - 1$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$\alpha + \beta + \alpha \beta = -3$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -2$
$\alpha, \beta$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -2$ માટે શક્ય જોડીઓ $(1, -2), (-2, 1), (-1, 2), (2, -1)$ છે.
કિસ્સો $1$: $\tan \theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
$\theta$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 4\pi$ છે.
તેથી,$k = 4$.

(A) $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + \alpha x + \beta = 0$ ના બીજ હોવાથી,વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta = -\alpha \implies \beta = -2\alpha$ .......$(1)$
$\alpha \beta = \beta$ .......$(2)$
$(2)$ પરથી,$\beta(\alpha - 1) = 0$. $\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\beta$ શૂન્ય ન હોઈ શકે. તેથી,$\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$\beta = -2$ મળે છે.
હવે,અસમતા $||y - (-2)| - 1| < 1$ છે,જે $||y + 2| - 1| < 1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-1 < |y + 2| - 1 < 1$,તેથી $0 < |y + 2| < 2$.
આથી $-2 < y + 2 < 2$ અને $y + 2 \neq 0$,એટલે કે $-4 < y < 0$ અને $y \neq -2$.
આમ,$y \in (-4, -2) \cup (-2, 0)$.
$y$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-3$ અને $-1$ છે,જે બરાબર બે મૂલ્યો છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે પદાવલિ $f(x, y) = \frac{x^2y^2 - 2x^2y + 2x^2 + 2xy - 2x + 1}{x^2y + x}$ છે.
અંશને $(xy + 1)^2 - 2x(xy + 1) + 2x^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$f(x, y) = \frac{(xy + 1)^2 - 2x(xy + 1) + 2x^2}{x(xy + 1)}$.
દરેક પદને $x(xy + 1)$ વડે ભાગતા,$f(x, y) = \frac{xy + 1}{x} - 2 + \frac{2x}{xy + 1}$ મળે.
ધારો કે $u = \frac{xy + 1}{x}$. $x, y > 0$ હોવાથી,$u = y + \frac{1}{x} > 0$.
તેથી $f(x, y) = u + \frac{2}{u} - 2$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ,$u + \frac{2}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{2}{u}} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $\lambda = 2\sqrt{2} - 2$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$\lambda \approx 2(1.414) - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.
આમ,$0 < \lambda < 1$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \in (0, 1)$.

(D) આપણે સમીકરણ $|x - 2| + |x - 1| = x - 3$ ઉકેલવાની જરૂર છે.
કિસ્સો $1$: $x < 1$.
આ અંતરાલમાં,$|x - 2| = -x + 2$ અને $|x - 1| = -x + 1$.
સમીકરણ $(-x + 2) + (-x + 1) = x - 3$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $-2x + 3 = x - 3$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $3x = 6$ મળે છે,તેથી $x = 2$.
જોકે,$x = 2$ એ $x < 1$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $1 \le x < 2$.
આ અંતરાલમાં,$|x - 2| = -x + 2$ અને $|x - 1| = x - 1$.
સમીકરણ $(-x + 2) + (x - 1) = x - 3$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $1 = x - 3$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.
જોકે,$x = 4$ એ $1 \le x < 2$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: $x \ge 2$.
આ અંતરાલમાં,$|x - 2| = x - 2$ અને $|x - 1| = x - 1$.
સમીકરણ $(x - 2) + (x - 1) = x - 3$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - 3 = x - 3$ થાય છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 0$ મળે છે.
જોકે,$x = 0$ એ $x \ge 2$ અંતરાલમાં નથી,તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કોઈપણ કિસ્સામાં ઉકેલ મળતો ન હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) પ્રથમ સમીકરણ $x^2 + 2bx + b = 0$ ના બીજ $x_1 = \cos^4 \theta + \alpha$ અને $x_2 = \sin^4 \theta + \alpha$ છે. બીજનો તફાવત $|x_1 - x_2| = \sqrt{4b^2 - 4b}$ છે.
બીજા સમીકરણ $x^2 + 4x + 2 = 0$ ના બીજ $y_1 = \cos^2 \theta + \beta$ અને $y_2 = \sin^2 \theta + \beta$ છે. બીજનો તફાવત $|y_1 - y_2| = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8}$ છે.
અહીં $|x_1 - x_2| = |\cos^4 \theta - \sin^4 \theta| = |\cos^2 \theta - \sin^2 \theta|$ અને $|y_1 - y_2| = |\cos^2 \theta - \sin^2 \theta|$.
તેથી,$\sqrt{4b^2 - 4b} = \sqrt{8}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4b^2 - 4b = 8$,એટલે કે $b^2 - b - 2 = 0$.
આમ,$(b - 2)(b + 1) = 0$,તેથી $b = 2$ અથવા $b = -1$.

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 10x - 25 = 0$ ના બીજ $\tan A$ અને $\tan B$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\tan A + \tan B = \frac{10}{3}$ અને $\tan A \tan B = -\frac{25}{3}$.
સૂત્ર $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (A + B) = \frac{10/3}{1 - (-25/3)} = \frac{10/3}{28/3} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$.
ધારો કે $S = 3 \sin^2 (A + B) - 10 \sin (A + B) \cos (A + B) - 25 \cos^2 (A + B)$.
આખા પદને $\cos^2 (A + B)$ વડે ભાગતા:
$S = \cos^2 (A + B) [3 \tan^2 (A + B) - 10 \tan (A + B) - 25]$.
અહીં $\tan (A + B) = 5/14$ એ સમીકરણ $3x^2 - 10x - 25 = 0$ નું બીજ હોવાથી,કૌંસમાં રહેલી કિંમત $0$ થશે.
તેથી,$S = 0$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^2 + 27x + 20 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 - 4 \times 9 \times 20}}{18} = \frac{-27 \pm 3}{18}$.
તેથી,બીજ $x_1 = -\frac{4}{3}$ અને $x_2 = -\frac{5}{3}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $5 \cos A + 3 = 0$,તેથી $\cos A = -\frac{3}{5}$.
તેથી $\sec A = \frac{1}{\cos A} = -\frac{5}{3}$.
ખૂણો $A$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\tan A = -\sqrt{\sec^2 A - 1} = -\frac{4}{3}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\sec A$ અને $\tan A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $1$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a + b + c = 0$ અથવા $c = -a - b$.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા:
$4ax^2 + 3bx + 2c = 0$.
$c = -a - b$ મૂકતા:
$4ax^2 + 3bx - 2a - 2b = 0$.
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $a=1, b=-2, c=1$ લઈએ,તો $y = 4x^2 - 6x + 2 = 2(2x-1)(x-1)$,જે $x$-અક્ષને બે બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,વક્ર $x$-અક્ષને બરાબર બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(m^2 + 1)x^2 - 3x + (m^2 + 1)^2 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{3}{m^2 + 1}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{(m^2 + 1)^2}{m^2 + 1} = m^2 + 1$.
બીજનો સરવાળો મહત્તમ હોવા માટે,છેદ $(m^2 + 1)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$m^2 + 1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે (જ્યારે $m = 0$ હોય).
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{3}{1} = 3$ અને $\alpha \beta = 0^2 + 1 = 1$.
બીજના ઘનનો તફાવત $|\alpha^3 - \beta^3| = |(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2)|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 3^2 - 4(1) = 9 - 4 = 5$,તેથી $|\alpha - \beta| = \sqrt{5}$.
વળી,$\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta = 3^2 - 1 = 8$.
તેથી,$|\alpha^3 - \beta^3| = \sqrt{5} \times 8 = 8\sqrt{5}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\sin \theta$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -2 \sin \theta$ થાય.
આપણે પદાવલિ $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\alpha^{-12} + \beta^{-12} = \frac{\beta^{12} + \alpha^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}} (\alpha - \beta)^{24}} = \frac{(\alpha \beta)^{12}}{(\alpha - \beta)^{24}}$.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$,તેથી $(\alpha - \beta)^{24} = ((\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta)^{12}$.
આમ,$E = \left[ \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} \right]^{12}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{(-\sin \theta)^2 - 4(-2 \sin \theta)} \right]^{12} = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{\sin^2 \theta + 8 \sin \theta} \right]^{12}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\sin \theta \neq 0$,તેથી $E = \left[ \frac{-2}{\sin \theta + 8} \right]^{12} = \frac{2^{12}}{(\sin \theta + 8)^{12}}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^{2}+px+2=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha+\beta = -p$ અને $\alpha\beta = 2$.
$2x^{2}+2qx+1=0$ ના બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-p}{2} = -q \Rightarrow p = 2q$.
આપણે $E = \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right)\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$E = \frac{(\alpha^{2}-1)(\beta^{2}-1)(\alpha\beta+1)^{2}}{(\alpha\beta)^{2}}$.
$\alpha^{2} = -p\alpha-2$ અને $\beta^{2} = -p\beta-2$ હોવાથી,$\alpha^{2}-1 = -p\alpha-3$ અને $\beta^{2}-1 = -p\beta-3$.
$E = \frac{(-p\alpha-3)(-p\beta-3)(2+1)^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}(p^{2}\alpha\beta + 3p(\alpha+\beta) + 9)$.
$\alpha\beta=2$ અને $\alpha+\beta=-p$ મૂકતા:
$E = \frac{9}{4}(2p^{2} - 3p^{2} + 9) = \frac{9}{4}(9-p^{2})$.