ધારો કે $-\frac{\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{12}$. ધારો કે $\alpha_1$ અને $\beta_1$ એ સમીકરણ $x^2 - 2x \sec \theta + 1 = 0$ ના બીજ છે અને $\alpha_2$ અને $\beta_2$ એ સમીકરણ $x^2 + 2x \tan \theta - 1 = 0$ ના બીજ છે. જો $\alpha_1 > \beta_1$ અને $\alpha_2 > \beta_2$ હોય,તો $\alpha_1 + \beta_2$ ની કિંમત શોધો.

જો $\sin \alpha = p$ હોય,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધો જેના બીજ $\tan \frac{\alpha}{2}$ અને $\cot \frac{\alpha}{2}$ હોય.

જો સમીકરણ $x^2 + a^2 = 8x + 6a$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય,તો

$ax^2 + bx + 1 = 0$ સ્વરૂપના સમીકરણોની સંખ્યા શોધો જેના બીજ વાસ્તવિક હોય,જ્યાં $a, b \in \{1, 2, 3, 4\}$ છે.

ધારો કે $p(x) = x^2 + ax + b$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે,જ્યાં $a, b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તમામ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $g(x) = p(x^3)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો,નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I.$ $g$ ને બરાબર બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.
$II.$ $g$ ને બે કરતા વધારે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોઈ શકે છે.
$III.$ એવી એક વાસ્તવિક સંખ્યા $\alpha$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $g(x) \geq \alpha$ થાય.

સમીકરણ $a(x^2 + 1) - (a^2 + 1)x = 0$ ના બીજ શું છે?