Solution of quadratic inequations and Newton Formula Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે $f(x) = x^2 + 4x + 1$.
વિકલ્પ $A$ માટે: વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 16 - 4 = 12 > 0$. તેથી $f(x)$ બધા $x$ માટે સમાન ચિહ્ન ધરાવતું નથી.
વિકલ્પ $B$ માટે: જો $x \ge 0$ હોય,તો $x^2 + 4x + 1 \ge 1$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $f(x) \ge 1 \implies x^2 + 4x \ge 0 \implies x(x + 4) \ge 0$. આ અસમતા $x \le -4$ અથવા $x \ge 0$ માટે સાચી છે. તેથી $x \le -4$ માટે $f(x) \ge 1$ સાચું છે.

(D) આપેલ અસમતા: $x^2 - 4x < 12$
બંને બાજુથી $12$ બાદ કરતા: $x^2 - 4x - 12 < 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(x - 6)(x + 2) < 0$
બે અવયવોનો ગુણાકાર ઋણ હોવા માટે,અવયવો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $-2$ અને $6$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,ઉકેલ $-2 < x < 6$ છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C > 0$ તમામ $x \in R$ માટે સાચી હોય,તો તેનો વિવેચક $D < 0$ અને $A > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A = 1$,જે $> 0$ છે.
વિવેચક $D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(1)(10 - 3a) < 0$.
$4a^2 - 40 + 12a < 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $a^2 + 3a - 10 < 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(a + 5)(a - 2) < 0$ મળે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $a$ એ $-5$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય,તેથી $-5 < a < 2$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત અસમતા $ax^2 - 2x + 4 > 0$ છે જ્યાં $a < 0$.
સૌ પ્રથમ,દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - 2x + 4 = 0$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવો.
અહીં,$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(a)(4)}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16a}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{a}$.
$a < 0$ હોવાથી,પરવલય $y = ax^2 - 2x + 4$ નીચેની તરફ ખુલે છે.
અસમતા $ax^2 - 2x + 4 > 0$ તેના બે બીજની વચ્ચે સાચી ઠરે છે.
ધારો કે $\alpha = \frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a}$ અને $\beta = \frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a}$.
$a < 0$ હોવાથી,$\frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a} < \frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a}$ થાય.
તેથી,ઉકેલ $\frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a} < x < \frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a}$ છે.

(B) અસમતા $3x^2 + 14x + 11 > 0$ ઉકેલવા માટે,આપણે પ્રથમ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 14x + 11 = 0$ ના બીજ શોધીએ.
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $3x^2 + 3x + 11x + 11 = 0$.
$3x(x + 1) + 11(x + 1) = 0$.
$(3x + 11)(x + 1) = 0$.
બીજ $x = -\frac{11}{3}$ અને $x = -1$ મળે છે.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક ધન $(3 > 0)$ હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
આથી,$3x^2 + 14x + 11$ ની કિંમત બીજની વચ્ચેના અંતરાલની બહાર ધન રહેશે.
તેથી,અસમતા $x < -\frac{11}{3}$ અથવા $x > -1$ માટે સાચી છે.

(B) ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \geq 0$.
અસમતા $t^2 + 2t - 15 \geq 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(t + 5)(t - 3) \geq 0$.
$t \geq 0$ હોવાથી,$t + 5$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,$t - 3 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $t \geq 3$.
$|x| \geq 3$ પાછું મૂકતા,આપણને $x \geq 3$ અથવા $x \leq -3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \geq 0$,તમામ $x > 0$ માટે.
$x > 0$ હોવાથી,$x$ વડે ગુણતા,$mx^2 - x + 1 \geq 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c \geq 0$ તમામ $x > 0$ માટે સાચું હોય તે માટેની શરતો તપાસતા:
જો $m \leq 0$ હોય,તો મોટા $x$ માટે $mx^2 - x + 1$ ઋણ થઈ જશે,તેથી $m > 0$ હોવું જોઈએ.
$mx^2 - x + 1 \geq 0$ તમામ $x > 0$ માટે સાચું રહે તે માટે વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-1)^2 - 4(m)(1) = 1 - 4m \leq 0$.
$1 \leq 4m \implies m \geq \frac{1}{4}$.
આમ,$m$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{4}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત અસમતા: $2x^2 + 3x - 9 \le 0$
પગલું $1$: દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડો.
$2x^2 + 6x - 3x - 9 \le 0$
$2x(x + 3) - 3(x + 3) \le 0$
$(2x - 3)(x + 3) \le 0$
પગલું $2$: અવયવોને શૂન્ય સાથે સરખાવીને નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો.
$2x - 3 = 0 \implies x = 3/2$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
પગલું $3$: તે અંતરાલ નક્કી કરો જ્યાં ગુણાકાર શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો હોય.
દ્વિઘાત અસમતા $(x - \alpha)(x - \beta) \le 0$ માટે,જ્યાં $\alpha < \beta$,ઉકેલ $\alpha \le x \le \beta$ થાય.
અહીં,$-3 \le x \le 3/2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{4x^2 + 1}{64x^2 - 96x \sin \alpha + 5} < \frac{1}{32}$.
છેદ $64x^2 - 96x \sin \alpha + 5 > 0$ ધારીને,ગુણાકાર કરતા:
$128x^2 + 32 < 64x^2 - 96x \sin \alpha + 5$
$64x^2 + 96x \sin \alpha + 27 < 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (96 \sin \alpha)^2 - 4(64)(27) > 0$
$9216 \sin^2 \alpha - 6912 > 0$
$\sin^2 \alpha > \frac{3}{4}$
$|\sin \alpha| > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આથી $\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\alpha \in (\pi/3, 2\pi/3)$.
$\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$\alpha \in (4\pi/3, 5\pi/3)$.

(B) અસમતા $2^{\log_{\sqrt{2}}(x - 1)} > x + 5$ આપેલ છે.
પ્રથમ,લઘુગણકીય વિધેયનો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લો: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
ગુણધર્મ $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_{\sqrt{2}}(x - 1) = \log_{2^{1/2}}(x - 1) = 2 \log_2(x - 1) = \log_2((x - 1)^2)$.
આને અસમતામાં મૂકતા: $2^{\log_2((x - 1)^2)} > x + 5$.
કારણ કે $2^{\log_2(y)} = y$,અસમતા $(x - 1)^2 > x + 5$ બને છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 > x + 5$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 3x - 4 > 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 4)(x + 1) > 0$.
બીજ $x = 4$ અને $x = -1$ છે.
અસમતા $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$ માટે સાચી છે.
પ્રદેશ $x > 1$ ને ધ્યાનમાં લેતા,$(x > 1)$ અને $(x < -1 \text{ અથવા } x > 4)$ નો છેદગણ $x > 4$ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(4, +\infty)$ છે.

(D) આપેલ અસમતા $kx^2 - 2x + k \geq 0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $k = 0$ હોય,તો અસમતા $-2x \geq 0$ બને છે,જેનો અર્થ છે $x \leq 0$. આ ઓછામાં ઓછા એક વાસ્તવિક $x$ માટે સાચું છે,તેથી $k = 0$ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: જો $k \neq 0$ હોય,તો અસમતા $k \geq \frac{2x}{x^2 + 1}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. $f(x)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
અસમતા $k \geq f(x)$ ઓછામાં ઓછા એક $x$ માટે સાચી રહે તે માટે,$k$ એ $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
આમ,$k \geq -1$.
તેથી,$k$ ની કિંમતોનો ગણ $k \in [-1, \infty)$ છે.

(B) ધારો કે $f(t) = t^2 + 5mt - 3m + 1$,જ્યાં $t = \{x\} \in [0, 1)$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે તમામ $t \in [0, 1)$ માટે $f(t) < 0$ થાય.
$f(t)$ એ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેનો અગ્ર સહગુણક ધન છે,તેથી પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
તમામ $t \in [0, 1)$ માટે $f(t) < 0$ થવા માટે,અંતિમ બિંદુઓ પરની કિંમતો $f(0) < 0$ અને $f(1) \leq 0$ હોવી જોઈએ.
$f(0) = -3m + 1 < 0 \implies 3m > 1 \implies m > \frac{1}{3}$.
$f(1) = 1 + 5m - 3m + 1 = 2m + 2 \leq 0 \implies 2m \leq -2 \implies m \leq -1$.
$m > \frac{1}{3}$ અને $m \leq -1$ ને જોડતા,આપણને કોઈ પણ $m$ મળતું નથી.
આમ,$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) $x^{2} \leq 4$ અસમતા ઉકેલવા માટે,આપણે તેને $x^{2} - 4 \leq 0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ વર્ગોનો તફાવત છે,જેનું અવયવીકરણ $(x - 2)(x + 2) \leq 0$ થાય છે.
સંબંધિત સમીકરણ $(x - 2)(x + 2) = 0$ ના બીજ $x = 2$ અને $x = -2$ છે.
આ બીજ સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે: $(-\infty, -2)$,$(-2, 2)$,અને $(2, \infty)$.
$(-2, 2)$ અંતરાલમાં એક કિંમત ચકાસતા,જેમ કે $x = 0$: $(0 - 2)(0 + 2) = -4$,જે $\leq 0$ છે.
અસમતામાં સમાનતાની નિશાનીનો સમાવેશ થતો હોવાથી,અંતિમ બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ સંવૃત અંતરાલ $[-2, 2]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $x^{2} \leq 9$ છે.
આને $x^{2} - 9 \leq 0$ તરીકે લખી શકાય.
અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 3)(x + 3) \leq 0$ મળે છે.
બે અવયવોનો ગુણાકાર શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો હોય તે માટે,$x$ ની કિંમતો સમીકરણ $(x - 3)(x + 3) = 0$ ના બીજની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
બીજ $x = 3$ અને $x = -3$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $x \in [-3, 3]$ માટે,પદાવલિ $(x - 3)(x + 3) \leq 0$ સાચી ઠરે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $[-3, 3]$ છે.

(A) દ્વિઘાત અસમતા $ax^{2}+bx+c > 0$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચી હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ અને $a > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 1 > 0$,તેથી આપણે ફક્ત $D < 0$ ની જરૂર છે.
$D = [-2(3k-1)]^{2} - 4(1)(8k^{2}-7) < 0$
$4(9k^{2}-6k+1) - 4(8k^{2}-7) < 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$9k^{2}-6k+1 - 8k^{2}+7 < 0$
$k^{2}-6k+8 < 0$
$(k-2)(k-4) < 0$
આનો અર્થ એ છે કે $k \in (2, 4)$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,અંતરાલ $(2, 4)$ માં એકમાત્ર પૂર્ણાંક કિંમત $k = 3$ છે.

(B) ધારો કે $S_n = a^n + b^n$. $a$ અને $b$ એ $x^2-7x-1=0$ ના બીજ હોવાથી,ન્યૂટનના સરવાળાના નિયમ મુજબ,$S_{n+2} - 7S_{n+1} - S_n = 0$,એટલે કે $S_{n+2} = 7S_{n+1} + S_n$.
આપણે $\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}}$ ની કિંમત શોધવી છે.
પુનરાવર્તિત સંબંધ મુજબ,$S_{21} = 7S_{20} + S_{19}$.
વળી,$S_{19} = 7S_{18} + S_{17}$,જેનો અર્થ છે કે $S_{17} = S_{19} - 7S_{18}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{S_{21} + S_{17}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + S_{19} + S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}} = \frac{7S_{20} + 2S_{19} - 7S_{18}}{S_{19}}$.
કારણ કે $S_{20} = 7S_{19} + S_{18}$,તેથી $S_{20} - S_{18} = 7S_{19}$.
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{7(S_{20} - S_{18}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{7(7S_{19}) + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{49S_{19} + 2S_{19}}{S_{19}} = \frac{51S_{19}}{S_{19}} = 51$.

(B) આપેલ અસમતા $\frac{ax^2+2(a+1)x+9a+4}{x^2-8x+32} < 0$ દરેક $x \in R$ માટે છે.
છેદ $x^2-8x+32 = (x-4)^2 + 16 > 0$ હોવાથી,અંશ $f(x) = ax^2+2(a+1)x+9a+4 < 0$ દરેક $x \in R$ માટે હોવો જોઈએ.
$f(x) < 0$ દરેક $x \in R$ માટે હોય તે માટે $a < 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જરૂરી છે.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં $a$ ના ધન પૂર્ણાંક મૂલ્યો માંગ્યા છે.
$a$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $a$ આ શરતનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,$S$ ખાલી ગણ છે અને તેમાં ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ન્યૂટનના સૂત્ર મુજબ,સમીકરણ $x^2 - (t^2 - 5t + 6)x + 1 = 0$ માટે:
$a_{n+2} - (t^2 - 5t + 6)a_{n+1} + a_n = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$a_{n+2} + a_n = (t^2 - 5t + 6)a_{n+1}$
$n = 2023$ લેતા:
$a_{2025} + a_{2023} = (t^2 - 5t + 6)a_{2024}$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{a_{2025} + a_{2023}}{a_{2024}} = t^2 - 5t + 6$
દ્વિઘાત પદાવલિ $f(t) = t^2 - 5t + 6$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે:
$f(t) = (t - 5/2)^2 - 1/4$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-1/4$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $4+11x-3x^2 > 0$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$3x^2 - 11x - 4 < 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 12x + x - 4 < 0$
$3x(x - 4) + 1(x - 4) < 0$
$(3x + 1)(x - 4) < 0$
જ્યાં ગુણાકાર ઋણ હોય તેવો અંતરાલ શોધવા માટે,શૂન્યો શોધીએ: $x = -\frac{1}{3}$ અને $x = 4$.
અંતરાલો તપાસતા:
$x < -\frac{1}{3}$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
$-\frac{1}{3} < x < 4$ માટે,પદાવલિ ઋણ છે.
$x > 4$ માટે,પદાવલિ ધન છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in \left(-\frac{1}{3}, 4\right)$ છે.

(C) વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x^2+6x+5 \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $(x+5)(x+1) \ge 0$,તેથી $x \in (-\infty, -5] \cup [-1, \infty)$.
અસમતા $\sqrt{x^2+6x+5} > (8-x)$ માટે,$8-x < 0$ અથવા ($8-x \ge 0$ અને $x^2+6x+5 > (8-x)^2$) હોવું જરૂરી છે.
કિસ્સો $1$: $8-x < 0 \implies x > 8$. કારણ કે $x > 8$ એ $x \in [-1, \infty)$ ને સંતોષે છે,આ એક માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $8-x \ge 0 \implies x \le 8$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+6x+5 > 64-16x+x^2$.
$22x > 59 \implies x > \frac{59}{22}$.
$x > \frac{59}{22}$ અને $x \le 8$ ને જોડતા,આપણને $x \in (\frac{59}{22}, 8]$ મળે છે.
કિસ્સો $1$ અને $2$ ને જોડતા: $x \in (\frac{59}{22}, 8] \cup (8, \infty) = (\frac{59}{22}, \infty)$.

(D) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^2 + bx + c$ દરેક $x \in R$ માટે ધન હોય તે માટે $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$a = 2k - 1$,$b = -2(3k - 2)$,અને $c = 4k$.
શરત $1$: $a > 0 \implies 2k - 1 > 0 \implies k > \frac{1}{2}$.
શરત $2$: $D < 0 \implies b^2 - 4ac < 0$.
$[-2(3k - 2)]^2 - 4(2k - 1)(4k) < 0$.
$4(9k^2 - 12k + 4) - 16k(2k - 1) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $(9k^2 - 12k + 4) - 4k(2k - 1) < 0$.
$9k^2 - 12k + 4 - 8k^2 + 4k < 0$.
$k^2 - 8k + 4 < 0$.
$k^2 - 8k + 4 = 0$ ના બીજ $k = 4 \pm 2\sqrt{3}$ છે.
$2\sqrt{3} \approx 3.46$ હોવાથી,બીજ $0.54$ અને $7.46$ છે.
તેથી,$0.54 < k < 7.46$.
$k > 0.5$ સાથે સરખાવતા,$0.54 < k < 7.46$ મળે.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે.
તેમનો સરવાળો $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ થાય.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2 - 4ax + (5+a)$ એ તમામ $x \in R$ માટે $0$ કરતા મોટી હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-4a)^2 - 4(1)(5+a) < 0$
$16a^2 - 20 - 4a < 0$
$4a^2 - a - 5 < 0$
અવયવ પાડતા: $(4a - 5)(a + 1) < 0$
આ અસમતા $a \in (-1, 5/4)$ માટે સાચી છે.
$a \in (\alpha, \beta)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -1$ અને $\beta = 5/4$ મળે.
તેથી,$4\beta + \alpha = 4(5/4) + (-1) = 5 - 1 = 4$.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચી હોય તે માટે,$a > 0$ અને વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$a = 1 > 0$,જે હંમેશા સાચું છે.
વિવેચક $D = \{-(3k + 1)\}^2 - 4(1)(4k^2 + 3k - 3) < 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(9k^2 + 6k + 1) - (16k^2 + 12k - 12) < 0$ મળે છે.
$-7k^2 - 6k + 13 < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે: $7k^2 + 6k - 13 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(7k + 13)(k - 1) > 0$.
બીજ $k = -\frac{13}{7}$ અને $k = 1$ છે.
પદાવલિ ધન હોય તે માટે,$k$ એ અંતરાલ $[-\frac{13}{7}, 1]$ ની બહાર હોવું જોઈએ.
આમ,ઉકેલ ગણ $k \in (-\infty, -\frac{13}{7}) \cup (1, \infty)$ છે.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટેની શરતો $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ છે.
અહીં,$a = 1$,જે $> 0$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$.
$D = [-2(4k - 1)]^2 - 4(1)(15k^2 - 2k - 7) < 0$.
$4(16k^2 - 8k + 1) - 4(15k^2 - 2k - 7) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $16k^2 - 8k + 1 - 15k^2 + 2k + 7 < 0$ મળે છે.
$k^2 - 6k + 8 < 0$.
$(k - 2)(k - 4) < 0$.
આ અસમતા $2 < k < 4$ માટે સાચી છે.
આ અંતરાલમાં $k$ ની એકમાત્ર પૂર્ણાંક કિંમત $k = 3$ છે.

(B) પ્રથમ અસમતા માટે: $x^2+5x+6 \geq 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) \geq 0$. આ $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$ માટે સાચું છે.
બીજી અસમતા માટે: $x^2+3x-4 < 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) < 0$. આ $x \in (-4, 1)$ માટે સાચું છે.
આ બંને શરતોનું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યોનો છેદગણ:
છેદગણ: $(-\infty, -3] \cup [-2, \infty) \cap (-4, 1) = (-4, -3] \cup [-2, 1)$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ એ $x^3+3x+2=0$ ના બીજ છે.
ન્યુટનના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,ધારો કે $S_n = \alpha_1^n + \alpha_2^n + \alpha_3^n$.
સમીકરણ $x^3 + 0x^2 + 3x + 2 = 0$ છે.
$n=1$ માટે: $S_1 + 0 = 0 \Rightarrow S_1 = 0$.
$n=2$ માટે: $S_2 + 0(S_1) + 3(2) = 0 \Rightarrow S_2 = -6$.
$n=3$ માટે: $S_3 + 0(S_2) + 3(S_1) + 2(3) = 0 \Rightarrow S_3 = -6$.
$n=4$ માટે: $S_4 + 0(S_3) + 3(S_2) + 2(S_1) = 0$ $\Rightarrow S_4 + 3(-6) + 2(0) = 0$ $\Rightarrow S_4 = 18$.
$n=5$ માટે: $S_5 + 0(S_4) + 3(S_3) + 2(S_2) = 0 \Rightarrow S_5 + 3(-6) + 2(-6) = 0$.
$S_5 - 18 - 12 = 0 \Rightarrow S_5 = 30$.

(A) ધારો કે $3^x = y$. કારણ કે $x \in R^{+}$,તેથી $y > 1$.
આપેલ અસમતા $y + \frac{3}{y} - 4 < 0$ છે.
$y$ વડે ગુણતા ($y > 0$ હોવાથી),આપણને $y^2 - 4y + 3 < 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(y - 1)(y - 3) < 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < y < 3$.
$y = 3^x$ પાછું મૂકતા,$1 < 3^x < 3$ મળે.
બધી બાજુ $\log_3$ લેતા,$\log_3(1) < x < \log_3(3)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $0 < x < 1$ થાય છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(0, 1)$ છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^3+x+1=0$ ના બીજો $\alpha, \beta, \gamma$ છે. ધારો કે $S_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$.
ન્યૂટનના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$x^3+p_1x^2+p_2x+p_3=0$ માટે,જ્યાં $p_1=0, p_2=1, p_3=1$:
$S_1 + p_1 = 0$ $\Rightarrow S_1 + 0 = 0$ $\Rightarrow S_1 = 0$.
$S_2 + p_1S_1 + 2p_2 = 0$ $\Rightarrow S_2 + 0(0) + 2(1) = 0$ $\Rightarrow S_2 = -2$.
$S_3 + p_1S_2 + p_2S_1 + 3p_3 = 0$ $\Rightarrow S_3 + 0(-2) + 1(0) + 3(1) = 0$ $\Rightarrow S_3 = -3$.
$S_4 + p_1S_3 + p_2S_2 + p_3S_1 = 0 \Rightarrow S_4 + 0(-3) + 1(-2) + 1(0) = 0$.
$S_4 - 2 = 0 \Rightarrow S_4 = 2$.

(C) આપેલ અસમતા: $x^2 - |x+2| + x > 0$
કિસ્સો $I$: જો $x+2 \geq 0$ (એટલે કે $x \geq -2$), તો $|x+2| = x+2$.
અસમતા બને છે:
$x^2 - (x+2) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 - 2 > 0$
$\Rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) > 0$
આનો ઉકેલ $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ છે.
શરત $x \geq -2$ ને ધ્યાનમાં લેતા, છેદગણ $x \in [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ મળે છે.
કિસ્સો $II$: જો $x+2 < 0$ (એટલે કે $x < -2$), તો $|x+2| = -(x+2)$.
અસમતા બને છે:
$x^2 - (-(x+2)) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 + 2x + 2 > 0$
$\Rightarrow (x+1)^2 + 1 > 0$
કારણ કે $(x+1)^2 + 1$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે, તેથી શરત $x < -2$ સંતોષાય છે.
કિસ્સો $I$ અને $II$ ને જોડતા:
$(-\infty, -2) \cup [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

(B) આપેલ અસમતા $[x]^2 - 7[x] + 12 \leq 0$ છે.
ધારો કે $y = [x]$. તો અસમતા $y^2 - 7y + 12 \leq 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(y - 4)(y - 3) \leq 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $3 \leq y \leq 4$.
કારણ કે $y = [x]$,તેથી $3 \leq [x] \leq 4$.
આનો અર્થ એ છે કે $[x]$ કાં તો $3$ હોઈ શકે અથવા $4$.
જો $[x] = 3$ હોય,તો $3 \leq x < 4$.
જો $[x] = 4$ હોય,તો $4 \leq x < 5$.
આ બંને અંતરાલોને જોડતા,આપણને $3 \leq x < 5$ મળે છે.

(C) પ્રથમ અસમતા માટે: $x^2-7x+10 \geq 0$
$(x-2)(x-5) \geq 0$
તેથી,$x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.
બીજી અસમતા માટે: $2x+3-x^2 > 0$
$x^2-2x-3 < 0$
$(x-3)(x+1) < 0$
તેથી,$x \in (-1, 3)$.
બંને અંતરાલોનો છેદ લેતા:
$(-\infty, 2] \cup [5, \infty) \cap (-1, 3) = (-1, 2]$.
તેથી,$x$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ $(-1, 2]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $3x^2 - 16x + 4 > -16$ છે.
આનું સાદું રૂપ $3x^2 - 16x + 20 > 0$ થાય છે.
ધારો કે $f(x) = 3x^2 - 16x + 20$. અહીં $a = 3, b = -16, c = 20$.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(3)(20) = 256 - 240 = 16 > 0$.
$3x^2 - 16x + 20 = 0$ ના બીજ $x = 2$ અને $x = \frac{10}{3}$ મળે છે.
$a > 0$ હોવાથી,$x \in (-\infty, 2) \cup (\frac{10}{3}, \infty)$ માટે $f(x) > 0$ થાય છે.
અંતરાલ $(0, \frac{10}{3})$ માં $x=1$ જેવી કિંમતો છે જ્યાં $f(1) = 7 > 0$ થાય છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે જ્યારે $D > 0$ હોય ત્યારે $ax^2 + bx + c$ અને $a$ સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. આ સાચું છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2+2px-2p+8 > 0$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે છે.
કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સત્ય હોય,તો તેની શરતો $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ છે.
અહીં,$a = 1 > 0$,જે સંતોષાય છે.
હવે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (2p)^2 - 4(1)(-2p+8) < 0$
$4p^2 + 8p - 32 < 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$p^2 + 2p - 8 < 0$
અવયવ પાડતા:
$(p+4)(p-2) < 0$
સાઇન સ્કીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $p = -4$ અને $p = 2$ ની વચ્ચે ઋણ છે.
તેથી,$p$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $p \in (-4, 2)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $x^2-5x-14 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(x+2)(x-7) > 0$
ગુણાકાર ધન હોવા માટે,$x$ એ નાના બીજ કરતા નાનો અથવા મોટા બીજ કરતા મોટો હોવો જોઈએ: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ એ $[\alpha, \beta]$ અંતરાલની બહાર છે.
સરખામણી કરતા,$\alpha = -2$ અને $\beta = 7$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{-2}{7}$.

(D) આપેલ અસમતાઓ $x^2-1 \leq 0$ અને $x^2-x-2 \geq 0$ છે.
$x^2-1 \leq 0$ માટે:
$(x-1)(x+1) \leq 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in [-1, 1]$.
$x^2-x-2 \geq 0$ માટે:
$(x-2)(x+1) \geq 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.
બંને ગણ $x \in [-1, 1]$ અને $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ નો છેદગણ માત્ર એક બિંદુ $\{-1\}$ છે.
આમ,$x$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ $\{-1\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$3^x$ વડે ગુણતા ($3^x > 0$ હોવાથી):
$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 < 0$
ધારો કે $y = 3^x$,તો $y^2 - 4y + 3 < 0$
અવયવ પાડતા: $(y-1)(y-3) < 0$
આથી $1 < y < 3$
$y = 3^x$ મૂકતા: $1 < 3^x < 3$
$3^0 < 3^x < 3^1$
આધાર $3 > 1$ હોવાથી,$0 < x < 1$
આમ,ઉકેલ ગણ $(0,1)$ છે.

(C) આપેલ અસમતા: $|x|^2-5|x|+4 < 0$
ધારો કે $|x| = y$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $y \ge 0$.
અસમતા $y^2-5y+4 < 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(y-4)(y-1) < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < y < 4$.
$y = |x|$ પાછું મૂકતા,આપણને $1 < |x| < 4$ મળે છે.
આ અસમતા $|x| > 1$ અને $|x| < 4$ ને સમાન છે.
$|x| > 1$ માટે,$x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
$|x| < 4$ માટે,$x \in (-4, 4)$.
આ બંને ગણનો છેદ લેતા,આપણને $x \in (-4, -1) \cup (1, 4)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{(x+2)(x+5)}{x+6}$.
$xy + 6y = x^2 + 7x + 10$
$x^2 + (7-y)x + (10-6y) = 0$
$x$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,વિવેચક $\Delta \geq 0$.
$(7-y)^2 - 4(10-6y) \geq 0$
$y^2 - 14y + 49 - 40 + 24y \geq 0$
$y^2 + 10y + 9 \geq 0$
$(y+1)(y+9) \geq 0$
આમ,$y \in (-\infty, -9] \cup [-1, \infty)$.
$y$ ની જે કિંમતો વિસ્તારમાં નથી તે $(-9, -1)$ અંતરાલમાં છે.

(C) આપેલ અસમતા $x^2 - 2x + 5 \leq 0$ છે.
આપણે પદાવલિને પૂર્ણવર્ગ બનાવીને ફરીથી લખી શકીએ:
$x^2 - 2x + 1 + 4 \leq 0$
$(x - 1)^2 + 4 \leq 0$
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $(x - 1)^2 \geq 0$ હોવાથી,$(x - 1)^2 + 4 \geq 4$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $(x - 1)^2 + 4$ હંમેશા ધન છે અને તે ક્યારેય $0$ કે તેથી નાની હોઈ શકે નહીં.
આમ,આપેલ અસમતાનું સમાધાન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.
તેથી,તમામ ઉકેલોનો ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) પ્રથમ અસમતા માટે: $x^2-4x \leq 12$
$x^2-4x-12 \leq 0$
$(x-6)(x+2) \leq 0$
તેથી,$x \in [-2, 6]$ ... $(i)$
બીજી અસમતા માટે: $x^2-2x \geq 15$
$x^2-2x-15 \geq 0$
$(x-5)(x+3) \geq 0$
તેથી,$x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા:
$[-2, 6] \cap ((-\infty, -3] \cup [5, \infty)) = [5, 6]$
તેથી,સામાન્ય ઉકેલ ગણ $[5, 6]$ છે.

(D) $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$\Rightarrow 3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
ધારો કે $3^x=t$,જ્યાં $t > 0$.
$\Rightarrow t+\frac{3}{t}-4 < 0$
$\Rightarrow t^2-4t+3 < 0$
$\Rightarrow (t-1)(t-3) < 0$
આ અસમતા $1 < t < 3$ માટે સાચી છે.
$t=3^x$ મૂકતા,આપણને $1 < 3^x < 3$ મળે છે.
$\Rightarrow 3^0 < 3^x < 3^1$
આધાર $3 > 1$ હોવાથી,અસમતાનું ચિહ્ન સમાન રહેશે:
$0 < x < 1$
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in (0,1)$ છે.

(B) $I \rightarrow |x|^2 - 4|x| + 3 < 0$
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $t^2 - 4t + 3 < 0$ બને છે.
$(t - 1)(t - 3) < 0$,જેનો અર્થ છે $1 < t < 3$.
કારણ કે $t = |x|$,તેથી $1 < |x| < 3$.
આનો અર્થ છે $x \in (-3, -1) \cup (1, 3)$.
આમ,વિધાન $I$ ખોટું છે.
$II \rightarrow x^2 - 8x + 15 > 0$
$(x - 3)(x - 5) > 0$.
બીજ $x = 3$ અને $x = 5$ છે. અસમતા $x < 3$ અથવા $x > 5$ માટે સાચી છે.
આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) આપેલ અસમતાઓ $x^2 < 4x + 77$ અને $x^2 > 4$ છે.
પ્રથમ,$x^2 - 4x < 77$ ઉકેલો.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા,$x^2 - 4x + 4 < 77 + 4$,જે $(x - 2)^2 < 81$ થાય છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$-9 < x - 2 < 9$,જે $-7 < x < 11$ આપે છે.
આગળ,$x^2 > 4$ ઉકેલો,જેનો અર્થ છે $x^2 - 4 > 0$,એટલે કે $(x - 2)(x + 2) > 0$.
આ શરત $x > 2$ અથવા $x < -2$ માટે સાચી છે.
બંને શરતોને જોડતા,આપણને $(-7 < x < 11)$ અને $(x > 2 \text{ અથવા } x < -2)$ મળે છે.
છેદગણ $(-7, -2) \cup (2, 11)$ છે.
આ ગણમાં રહેલા ઋણ પૂર્ણાંકો $\{-6, -5, -4, -3\}$ છે.
આ ગણમાં સૌથી નાનો ઋણ પૂર્ણાંક $-6$ છે.

(B) અમારી પાસે અસમતા છે: $9 x-2 < (x+2)^2 < 12 x-3$
આને બે ભાગમાં વહેંચી શકાય છે:
ભાગ $I$: $9 x-2 < (x+2)^2$
$9 x-2 < x^2+4 x+4$
$x^2-5 x+6 > 0$
$(x-3)(x-2) > 0$
તેથી,$x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ ... $(i)$
ભાગ $II$: $(x+2)^2 < 12 x-3$
$x^2+4 x+4 < 12 x-3$
$x^2-8 x+7 < 0$
$(x-7)(x-1) < 0$
તેથી,$x \in (1, 7)$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદ લેતા,આપણને મળે છે:
$x \in (1, 2) \cup (3, 7)$
આ અંતરાલમાં $x$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{4, 5, 6\}$ છે.
આમ,પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપેલ અસમતાઓ:
$1$) $x^2 - 3x - 10 < 0$
$(x - 5)(x + 2) < 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (-2, 5)$.
$2$) $10x - x^2 - 16 > 0$
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતાની નિશાની બદલાશે):
$x^2 - 10x + 16 < 0$
$(x - 2)(x - 8) < 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (2, 8)$.
બંને અસમતાઓ એકસાથે સંતોષાય તેવા $x$ ના મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે બંને ગણનો છેદગણ લેવો પડે:
$x \in (-2, 5) \cap (2, 8) = (2, 5)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.