Quadratic expressions and Position of roots Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $f(x) = 5 + 4x - 4x^2 = y$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $4x^2 - 4x + (y - 5) = 0$ મળે છે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ $(D \ge 0)$.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(4)(y - 5) \ge 0$.
$16 - 16(y - 5) \ge 0$.
$16$ વડે ભાગતા,આપણને $1 - (y - 5) \ge 0$ મળે છે.
$1 - y + 5 \ge 0$.
$6 - y \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $y \le 6$.
વૈકલ્પિક રીતે,$f(x) = 5 - (4x^2 - 4x) = 5 - (4x^2 - 4x + 1 - 1) = 5 - ((2x - 1)^2 - 1) = 6 - (2x - 1)^2$.
કારણ કે $(2x - 1)^2 \ge 0$,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે જ્યારે $2x - 1 = 0$,એટલે કે $x = 1/2$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^2 + x + a = 0$ ના બીજ $k = a$ કરતા વધારે હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $D = b^2 - 4ac \ge 0$
$2$. $f(k) > 0$
$3$. $-\frac{b}{2a} > k$
$k = a$ માટે આ શરતો લાગુ પાડતા:
$1$. $1^2 - 4(1)(a) \ge 0 \implies 1 - 4a \ge 0 \implies a \le \frac{1}{4}$
$2$. $f(a) = a^2 + a + a > 0 \implies a^2 + 2a > 0 \implies a(a + 2) > 0 \implies a < -2$ અથવા $a > 0$
$3$. $-\frac{1}{2(1)} > a \implies a < -\frac{1}{2}$
બધી શરતોનો છેદ લેતા:
$a \le \frac{1}{4}$,$(a < -2$ અથવા $a > 0)$,અને $a < -\frac{1}{2}$.
તેથી,$a < -2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2ax + a^2 + a - 3 = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 + a - 3) \ge 0$
$4a^2 - 4a^2 - 4a + 12 \ge 0$
$-4a + 12 \ge 0 \Rightarrow a \le 3$.
ધારો કે $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a - 3$. બીજ $3$ કરતા નાના હોવાથી,પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a) = a$ એ $3$ કરતા નાનું હોવું જોઈએ અને $f(3) > 0$:
$1$) $a < 3$
$2$) $f(3) = 3^2 - 2a(3) + a^2 + a - 3 > 0$
$a^2 - 5a + 6 > 0$
$(a - 2)(a - 3) > 0$
આથી $a < 2$ અથવા $a > 3$.
$a \le 3$,$a < 3$ અને ($a < 2$ અથવા $a > 3$) ને જોડતા,આપણને $a < 2$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2 - 6x + 10$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = (x^2 - 6x + 9) + 1$
$f(x) = (x - 3)^2 + 1$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $(x - 3)^2 \ge 0$ હોવાથી,$(x - 3)^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ થાય જ્યારે $x = 3$ હોય.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 1 = 1$ મળે.

(D) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$.
આપેલ છે કે $\alpha < k < \beta$,તેથી અવયવો $(k - \alpha)$ અને $(k - \beta)$ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે.
ચોક્કસ રીતે,$(k - \alpha) > 0$ અને $(k - \beta) < 0$,તેથી $(k - \alpha)(k - \beta) < 0$.
પદાવલિ $f(k) = a(k - \alpha)(k - \beta)$ ઋણ હોવા માટે,આપણે $a(k - \alpha)(k - \beta) < 0$ હોવું જરૂરી છે.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને $a^2(k - \alpha)(k - \beta) < 0$ મળે છે,જે $a(ak^2 + bk + c) < 0$ અથવા $a^2k^2 + abk + ac < 0$ ને સમાન છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 4x^2 - 20px + (25p^2 + 15p - 66) = 0$ .....$(i)$
$(i)$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય જો $D \ge 0$:
$D = (-20p)^2 - 4(4)(25p^2 + 15p - 66) = 16(66 - 15p) \ge 0$
$\Rightarrow p \le \frac{22}{5}$ .....$(ii)$
બંને બીજ $2$ કરતા નાના હોવા માટે:
$1)$ $D \ge 0 \Rightarrow p \le \frac{22}{5}$
$2)$ $f(2) > 0$ $\Rightarrow 25p^2 - 25p - 50 > 0$ $\Rightarrow p^2 - p - 2 > 0$
$(p - 2)(p + 1) > 0 \Rightarrow p < -1$ અથવા $p > 2$ .....$(iii)$
$3)$ શિરોબિંદુ $x_v < 2$ $\Rightarrow \frac{5p}{2} < 2$ $\Rightarrow p < \frac{4}{5}$ .....$(iv)$
$(ii), (iii),$ અને $(iv)$ નો છેદ લેતા:
$p < -1$.

(D) ધારો કે $f(x) = (x - a)(x - b) - 1 = 0$.
$f(a) = (a - a)(a - b) - 1 = -1 < 0$.
$f(b) = (b - a)(b - b) - 1 = -1 < 0$.
$f(x)$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય હોવાથી,અને $f(a) < 0$ તથા $f(b) < 0$ હોવાથી,પરવલયનું શિરોબિંદુ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
પરવલય ઉપરની તરફ ખુલતો હોવાથી અને $f(a) < 0$ તથા $f(b) < 0$ હોવાથી,આલેખ $x$-અક્ષને $a$ થી નાની કિંમત અને $b$ થી મોટી કિંમત પર છેદશે.
આમ,એક બીજ $(-\infty, a)$ માં અને બીજું બીજ $(b, +\infty)$ માં છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ છે.
બંને બીજ $5$ કરતા નાના હોવા માટેની શરતો:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$:
$D = 20 - 4k \ge 0 \Rightarrow k \le 5$.
$2$. $f(5) > 0$:
$f(5) = k^2 - 9k + 20 > 0 \Rightarrow k \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.
$3$. શિરોબિંદુનું સ્થાન: $-\frac{b}{2a} < 5$:
$k < 5$.
ત્રણેય શરતોનો છેદ લેતા,$k \in (-\infty, 4)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^2 - 2(2a + 1)x + a(a + 1)$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = 0$ ના બીજની વચ્ચે $a$ આવે તે માટેની શરત $f(a) < 0$ છે.
$f(x)$ માં $x = a$ મૂકતા:
$f(a) = 2(a)^2 - 2(2a + 1)(a) + a(a + 1) < 0$
$f(a) = 2a^2 - 4a^2 - 2a + a^2 + a < 0$
$-a^2 - a < 0$
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતાની નિશાની બદલાશે):
$a^2 + a > 0$
$a(a + 1) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $a > 0$ અથવા $a < -1$ હોય.

(A) $f(x) = \frac{1}{4x^2 + 2x + 1}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે છેદ $g(x) = 4x^2 + 2x + 1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધીશું.
$g(x)$ એ $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે જ્યાં $a = 4 > 0$ છે,તેથી તેની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(4)} = -\frac{1}{4}$ પર મળે છે.
છેદની ન્યૂનતમ કિંમત $g(-\frac{1}{4}) = 4(-\frac{1}{4})^2 + 2(-\frac{1}{4}) + 1 = 4(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1-2+4}{4} = \frac{3}{4}$ થાય છે.
$f(x) = \frac{1}{g(x)}$ હોવાથી,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત એ $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમતનો વ્યસ્ત છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે $f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$. $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2c^2 - b^2$ છે.
આપેલ છે કે $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે $g(x) = b^2 + c^2 - (x + c)^2$. $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $b^2 + c^2$ છે.
શરત $\min f(x) > \max g(x)$ મુજબ,આપણી પાસે $2c^2 - b^2 > b^2 + c^2$ છે.
અસમતાનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $c^2 > 2b^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|c| > |b|\sqrt{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^2 + bx + c$ છે,જ્યાં $a > 0$.
લઘુત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીએ:
$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
$f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
અહીં $a > 0$ હોવાથી,$a(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$ થાય.
તેથી,લઘુત્તમ મૂલ્ય $\frac{4ac - b^2}{4a}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^2 - (K + 1)x + (K^2 + K - 8)$.
એક બીજ $2$ કરતાં મોટું અને બીજું બીજ $2$ કરતાં નાનું હોવા માટે,$x = 2$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(2) < 0$.
સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા:
$f(2) = (2)^2 - (K + 1)(2) + (K^2 + K - 8) < 0$
$4 - 2K - 2 + K^2 + K - 8 < 0$
$K^2 - K - 6 < 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(K - 3)(K + 2) < 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $K$ એ $(K - 3)(K + 2) = 0$ ના બીજની વચ્ચે હોય.
આમ,$-2 < K < 3$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $(-2, 3)$ અંતરાલ સાથે બંધબેસતો નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 9$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^2 + bx + c$ ના બીજ $\alpha, \beta$ માટે $\alpha < k < \beta$ હોય,તો તેની શરત $f(k) < 0$ છે.
અહીં,$k = 6$,તેથી $f(6) < 0$ થવું જોઈએ.
$f(6) = (6)^2 + 2(a - 3)(6) + 9 < 0$
$36 + 12(a - 3) + 9 < 0$
$45 + 12a - 36 < 0$
$12a + 9 < 0$
$12a < -9$
$a < -9/12 = -3/4$.
આમ,વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટેની શરત છે,અને બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 4x^2 - 20Kx + (25K^2 + 15K - 66)$.
બંને બીજ $2$ થી નાના હોય તે માટે ત્રણ શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (-20K)^2 - 4(4)(25K^2 + 15K - 66) = -240K + 1056 \ge 0 \implies K \le 4.4$.
$2$. શિરોબિંદુ $x_v < 2$:
$x_v = 2.5K < 2 \implies K < 0.8$.
$3$. $f(2) > 0$:
$25K^2 - 25K - 50 > 0 \implies K^2 - K - 2 > 0 \implies K > 2$ અથવા $K < -1$.
બધી શરતોને જોડતા: $(K \le 4.4) \cap (K < 0.8) \cap (K > 2 \cup K < -1)$.
પરિણામ $K < -1$ મળે છે,એટલે કે $(-\infty, -1)$.

(D) ધારો કે $f(x) = (x - a)(x - b) - 1$.
$x = a$ અને $x = b$ માટે કિંમતો શોધતા:
$f(a) = (a - a)(a - b) - 1 = -1$
$f(b) = (b - a)(b - b) - 1 = -1$
અહીં $f(a) < 0$ અને $f(b) < 0$ છે અને પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી એક બીજ $a$ થી નાનું અને બીજું બીજ $b$ થી મોટું હશે.
આમ,એક બીજ $(-\infty, a)$ માં અને બીજું બીજ $(b, +\infty)$ માં આવેલું છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 9$. જો $6$ એ $f(x) = 0$ ના બીજની વચ્ચે હોય,તો શરત $f(6) < 0$ થાય.
$f(6) = 6^2 + 2(a - 3)(6) + 9 < 0$
$36 + 12(a - 3) + 9 < 0$
$36 + 12a - 36 + 9 < 0$
$12a + 9 < 0$
$12a < -9$
$a < -\frac{9}{12}$
$a < -\frac{3}{4}$
આમ,$a \in (-\infty, -3/4)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + a + 5 = 0$.
$A$. કાલ્પનિક બીજ માટે,વિવેચક $D < 0$:
$D = [2(a - 1)]^2 - 4(1)(a + 5) < 0$
$a^2 - 3a - 4 < 0 \implies a \in (-1, 4)$. તેથી,$A \to P$.
$B$. એક બીજ $3$ કરતાં ઓછું અને બીજું $3$ કરતાં વધારે:
આ માટે $f(3) < 0$:
$f(3) = 7a + 8 < 0 \implies a < -8/7$. તેથી,$B \to Q$.
$C$. એક બીજ $1$ કરતાં ઓછું અને બીજું $3$ કરતાં વધારે:
આ માટે $f(1) < 0$ અને $f(3) < 0$:
$f(1) = 3a + 4 < 0 \implies a < -4/3$.
$f(3) < 0 \implies a < -8/7$.
છેદગણ: $a < -4/3$. તેથી,$C \to R$.
સાચી જોડ: $A \to P, B \to Q, C \to R$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2 + 2bx + c$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$f(x) = (x + b)^2 + (c - b^2)$ મળે.
$f(x)$ હંમેશા ધન રહે તે માટે,પદાવલિનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = -b$ આગળ મળે છે,જે $f(-b) = c - b^2$ છે.
તેથી,$c - b^2 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $b^2 < c$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ ના બીજ $5$ કરતાં ઓછા હોવા માટે,ત્રણ શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 + k - 5) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 20 = 20 - 4k \ge 0 \implies k \le 5$.
$2$. શિરોબિંદુનું સ્થાન: શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-b/(2a) < 5$:
$-(-2k)/(2 \times 1) = k < 5$.
$3$. $x = 5$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય: $f(5) > 0$:
$f(5) = 5^2 - 2k(5) + k^2 + k - 5 = 25 - 10k + k^2 + k - 5 = k^2 - 9k + 20 > 0$.
$(k - 4)(k - 5) > 0 \implies k < 4$ અથવા $k > 5$.
બધી શરતોને જોડતા: $k \le 5$ અને $k < 5$ અને ($k < 4$ અથવા $k > 5$).
છેદગણ $k < 4$ મળે છે,જે $(-\infty, 4)$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ છે.
આને $(x - m)^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x - m = \pm 1$,એટલે કે $x = m + 1$ અથવા $x = m - 1$ મળે.
બીજ $-2$ અને $4$ ની વચ્ચે હોવા માટે,બંને બીજ $-2 < x < 4$ અસમતાનું પાલન કરવા જોઈએ.
$x = m + 1$ માટે: $-2 < m + 1 < 4 \implies -3 < m < 3$.
$x = m - 1$ માટે: $-2 < m - 1 < 4 \implies -1 < m < 5$.
બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરવા માટે,આપણે $(-3, 3)$ અને $(-1, 5)$ અંતરાલનો છેદગણ લેતા $(-1, 3)$ મળે છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^2 - 8kx + 16(k^2 - k + 1) = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$:
$D = (-8k)^2 - 4(1)(16(k^2 - k + 1)) > 0$
$64k^2 - 64(k^2 - k + 1) > 0$
$64k - 64 > 0 \implies k > 1$.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\alpha, \beta \ge 4$.
આનો અર્થ એ છે કે:
$1)$ પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a) = 4k \ge 4 \implies k \ge 1$.
$2)$ $f(4) \ge 0$:
$16 - 32k + 16k^2 - 16k + 16 \ge 0$
$16k^2 - 48k + 32 \ge 0$
$(k - 1)(k - 2) \ge 0$.
આ $k \le 1$ અથવા $k \ge 2$ માટે સાચું છે.
$k > 1$ અને $k \ge 2$ ને જોડતા,આપણને $k \ge 2$ મળે છે.
$k$ નું ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય $2$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
તેથી $y(x^2 - x + 1) = x^2 + x + 1$.
$yx^2 - yx + y = x^2 + x + 1$.
$x^2(y - 1) - x(y + 1) + (y - 1) = 0$.
અહીં $x \in \mathbb{R}$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ થાય.
$D = [-(y + 1)]^2 - 4(y - 1)(y - 1) \geq 0$.
$(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \geq 0$.
$(y + 1 - 2y + 2)(y + 1 + 2y - 2) \geq 0$.
$(3 - y)(3y - 1) \geq 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$(y - 3)(3y - 1) \leq 0$ મળે.
આથી $\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $3$ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{1}{3}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય એક દ્વિઘાત પદાવલી $f(x) = (1 + b^2)x^2 + 2bx + 1$ છે.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક $(1 + b^2) > 0$ હોવાથી,દરેક વાસ્તવિક $b$ માટે વિધેયનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલી $ax^2 + Bx + C$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-\frac{D}{4a}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = B^2 - 4aC$.
અહીં $a = (1 + b^2)$,$B = 2b$,અને $C = 1$ છે.
$D = (2b)^2 - 4(1 + b^2)(1) = 4b^2 - 4 - 4b^2 = -4$.
તેથી,$m(b) = -\frac{-4}{4(1 + b^2)} = \frac{4}{4(1 + b^2)} = \frac{1}{1 + b^2}$.
$b^2 \ge 0$ હોવાથી,$1 + b^2 \ge 1$ થાય.
તેથી,$0 < \frac{1}{1 + b^2} \le 1$.
આમ,$m(b)$ નો વિસ્તાર $(0, 1]$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^2 + 3x + k$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k > 0 \implies k < \frac{9}{8}$.
બીજ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવા માટે,પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{4}$ એ $[0, 1]$ માં હોવું જોઈએ.
કારણ કે $-\frac{3}{4}$ એ $[0, 1]$ માં નથી,તેથી બંને બીજ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવા અશક્ય છે.
આમ,આવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $k$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + k$. બીજ $\alpha$ અને $\beta$ અંતરાલ $(0, 1)$ માં હોય અને $\alpha \neq \beta$ હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $\Delta > 0$: $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k > 0 \implies k < \frac{9}{4}$.
$2$. $f(0) > 0$: $0^2 - 3(0) + k > 0 \implies k > 0$.
$3$. $f(1) > 0$: $1^2 - 3(1) + k > 0 \implies 1 - 3 + k > 0 \implies k > 2$.
$4$. પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a}$ એ $(0, 1)$ માં હોવું જોઈએ: $x = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.
અહીં શિરોબિંદુ $1.5$ એ અંતરાલ $(0, 1)$ માં નથી,તેથી બંને બીજ $(0, 1)$ માં હોવા અશક્ય છે.
આમ,$k$ નું આવું કોઈ મૂલ્ય અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + a$.
કારણ કે $\alpha < 1 < \beta$,તેથી $x = 1$ આગળ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x)$ ની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(1) < 0$.
$x = 1$ મૂકતા:
$f(1) = (1)^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવાથી,વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a > 0$
$9 > 4a \Rightarrow a < 9/4$.
$a < 2$ અને $a < 9/4$ ને જોડતા,આપણને $a < 2$ મળે છે.
આમ,$a \in (-\infty, 2)$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 + (a - 1)x + 2a$. અંતરાલ $(0, 3)$ માં બરાબર એક બીજ હોવા માટેની શરતો તપાસતા,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $(-\infty, 0] \cup (6, \infty)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 3ax^2 + 4bx + c$.
સમીકરણ $f(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવાથી,$f(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને છેદતો નથી.
આપેલ છે કે $c > 0$,તેથી $f(0) = c > 0$. $f(0) > 0$ હોવાથી અને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,જેનો અર્થ છે કે $3a > 0$,એટલે કે $a > 0$.
આમ,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) > 0$ થાય.
ખાસ કરીને,$f(-1) > 0$.
$x = -1$ ને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $f(-1) = 3a(-1)^2 + 4b(-1) + c = 3a - 4b + c$ મળે છે.
$f(-1) > 0$ હોવાથી,$3a - 4b + c > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $3a + c > 4b$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + a$.
કારણ કે $\alpha < 1 < \beta$,તેથી $x = 1$ આગળ દ્વિઘાત વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ કારણ કે પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે ($x^2$ નો સહગુણક $1 > 0$ છે).
તેથી,$f(1) < 0$.
$f(1) = (1)^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$
તેથી,$a \in (-\infty, 2)$.

(B) આપેલ છે $f(x) = ax^2 + 2bx + c$.
$f(x) = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોવાથી,વિવેચક $D = (2b)^2 - 4ac < 0$,જેનો અર્થ છે $4b^2 - 4ac < 0$,અથવા $b^2 < ac$.
જો $a > 0$ હોય,તો $ac > b^2 \geq 0$,તેથી $c > 0$. પરંતુ,$f(x)$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય હશે,અને $D < 0$ હોવાથી,$f(x)$ હંમેશા ધન રહેશે,જે $f(2) = 4a + 4b + c < 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,$a < 0$ હોવું જોઈએ.
$a < 0$ અને $D < 0$ હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે અને સંપૂર્ણપણે $x$-અક્ષની નીચે રહે છે.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) < 0$.
ખાસ કરીને,$x = 0$ પર,$f(0) = c$. આલેખ સંપૂર્ણપણે $x$-અક્ષની નીચે હોવાથી,$f(0) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $c < 0$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a$. બીજ $x = a$ અને $x = a + 3$ છે.
બંને બીજ $(0, 4)$ માં હોવા માટે,આપણે $0 < a < 4$ અને $0 < a + 3 < 4$ હોવું જોઈએ.
$0 < a < 4$ પરથી,$a \in (0, 4)$ મળે.
$0 < a + 3 < 4$ પરથી,$-3 < a < 1$ મળે.
આ બંને અંતરાલનો છેદ લેતા,$0 < a < 1$ મળે.
અંતરાલ $(0, 1)$ માં $a$ નું કોઈ પૂર્ણાંક મૂલ્ય નથી.
આમ,$a$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આલેખ પરથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી $a > 0$.
શિરોબિંદુ $y$-અક્ષની ડાબી બાજુએ હોવાથી,શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-\frac{b}{2a} < 0$ છે. $a > 0$ હોવાથી,$b > 0$ હોવું જોઈએ.
આલેખ $x$-અક્ષની નીચે $y$-અક્ષને છેદે છે,તેથી $c < 0$.
આલેખ $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી $D = b^2 - 4ac > 0$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A$: $abc = (+)(+)(-) = - < 0$. આ સાચું છે.
$B$: $ac^2bD = (+)(+)(+)(+) = + > 0$. તેથી,$ac^2bD < 0$ ખોટું છે.
$C$: $\frac{a^2c}{b^2D} = \frac{(+)(+)(-)}{(+)(+)} = - < 0$. આ સાચું છે.
$D$: $bD = (+)(+) = + > 0$. આ સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 6a$. બધા $x \in [1, 2]$ માટે $f(x) \leqslant 0$ હોવા માટે,$f(1) \leqslant 0$ અને $f(2) \leqslant 0$ હોવું જોઈએ.
પગલું $1$: $f(1) \leqslant 0$ ઉકેલો.
$f(1) = 1 - 2a + a^2 - 6a = a^2 - 8a + 1 \leqslant 0$.
$a^2 - 8a + 1 = 0$ ના બીજ $a = 4 \pm \sqrt{15}$ છે.
તેથી,$a \in [4 - \sqrt{15}, 4 + \sqrt{15}]$ $(i)$.
પગલું $2$: $f(2) \leqslant 0$ ઉકેલો.
$f(2) = 4 - 4a + a^2 - 6a = a^2 - 10a + 4 \leqslant 0$.
$a^2 - 10a + 4 = 0$ ના બીજ $a = 5 \pm \sqrt{21}$ છે.
તેથી,$a \in [5 - \sqrt{21}, 5 + \sqrt{21}]$ $(ii)$.
પગલું $3$: $(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ મેળવો.
$a \in [4 - \sqrt{15}, 4 + \sqrt{15}] \cap [5 - \sqrt{21}, 5 + \sqrt{21}] = [5 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{15}]$.

(A) ધારો કે $f(x) = (p - 5)x^2 - 2px + (p - 4)$.
શરતો મુજબ,જો $p > 5$ હોય,તો $f(0) > 0$,$f(2) < 0$,અને $f(3) > 0$ થવું જોઈએ.
$f(0) = p - 4 > 0 \implies p > 4$.
$f(2) = p - 24 < 0 \implies p < 24$.
$f(3) = 4p - 49 > 0 \implies p > \frac{49}{4}$.
આમ,$p \in \left( \frac{49}{4}, 24 \right)$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2ax + (a^2 - 4) = 0$ છે.
આને અવયવ પાડતા $(x - (a - 2))(x - (a + 2)) = 0$ મળે.
તેથી,બીજ $x_1 = a - 2$ અને $x_2 = a + 2$ છે.
અહીં $a - 2 < a + 2$ હોવાથી,નાનું બીજ $a - 2$ અને મોટું બીજ $a + 2$ છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$1$) $a - 2 < 1 \implies a < 3$
$2$) $a + 2 > 6 \implies a > 4$
આ બંને શરતો એકસાથે સંતોષાય તેવું કોઈ $a$ નું મૂલ્ય શક્ય નથી.
તેથી,$a$ ના કોઈ પૂર્ણાંક મૂલ્યો શક્ય નથી.

(A) $f(x) = x^2 + 2px + 2q^2$ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $x = -p$ આગળ મળે છે,જે $f(-p) = (-p)^2 + 2p(-p) + 2q^2 = p^2 - 2p^2 + 2q^2 = 2q^2 - p^2$ છે.
$g(x) = -x^2 - 2qx + p^2$ માટે,મહત્તમ કિંમત $x = -q$ આગળ મળે છે,જે $g(-q) = -(-q)^2 - 2q(-q) + p^2 = -q^2 + 2q^2 + p^2 = q^2 + p^2$ છે.
શરત $\min f(x) > \max g(x)$ નો અર્થ છે કે $2q^2 - p^2 > q^2 + p^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $q^2 > 2p^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{q^2}{p^2} > 2$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{p^2}{q^2} < \frac{1}{2}$,તેથી $|\frac{p}{q}| < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $|\frac{2p}{q}| < \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ મળે છે.
$p, q$ શૂન્યેતર હોવાથી,$|\frac{2p}{q}| > 0$.
આમ,કિંમતોનો ગણ $[0, \sqrt{2})$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = ax^2 + 2bx + c$. આપેલ છે કે $f(x) = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી વિવેચક $D = (2b)^2 - 4ac < 0$,જેનો અર્થ છે કે $4b^2 - 4ac < 0$,અથવા $b^2 < ac$.
કારણ કે $f(x)$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,પરવલય $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને છેદતું નથી. તેથી,$f(x)$ કાં તો હંમેશા ધન $(a > 0)$ અથવા હંમેશા ઋણ $(a < 0)$ છે.
આપણને $4a + 4b + c < 0$ આપેલ છે. નોંધો કે $f(2) = a(2)^2 + 2b(2) + c = 4a + 4b + c$.
કારણ કે $f(2) < 0$,વિધેય $f(x)$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હંમેશા ઋણ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $a < 0$.
કારણ કે $f(x) < 0$ તમામ $x$ માટે,તેથી $f(0) < 0$ હોવું જોઈએ.
$f(0) = a(0)^2 + 2b(0) + c = c$.
તેથી,$c < 0$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 + kx - 4$. પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે. નાના બીજને $(-1, 2)$ માં રહેવા માટે,અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય $f(-1) > 0$ અને $f(2) < 0$ હોવું જોઈએ.
$f(-1) = (-1)^2 + k(-1) - 4 = 1 - k - 4 = -k - 3$. $f(-1) > 0$ હોવાથી,$-k - 3 > 0$,જેનો અર્થ છે $k < -3$.
$f(2) = (2)^2 + k(2) - 4 = 4 + 2k - 4 = 2k$. $f(2) < 0$ હોવાથી,$2k < 0$,જેનો અર્થ છે $k < 0$.
$k < -3$ અને $k < 0$ ને જોડતા,આપણને $k \in (-\infty, -3)$ મળે છે.

(C) $x^2 - 2x - a^2 + 1 = 0$ ના બીજ $(x-1)^2 - a^2 = 0$ પરથી $x = 1 \pm a$ મળે છે.
ધારો કે $f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a(a-1)$.
શરત મુજબ $f(1+a) < 0$ અને $f(1-a) < 0$ હોવું જોઈએ.
$f(1+a) = -3a - 1 < 0 \Rightarrow a > -\frac{1}{3}$.
$f(1-a) = (a-1)(4a+1) < 0 \Rightarrow a \in \left( -\frac{1}{4}, 1 \right)$.
બંને શરતોનું છેદગણ લેતા,$a \in \left( -\frac{1}{4}, 1 \right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 - (a + 2)x - (a + 3)$.
$f(x) < 0$ માટે ઓછામાં ઓછો એક ધન ઉકેલ $x$ મળે તે માટે નીચેના કિસ્સાઓ વિચારીએ:
કિસ્સો-$I$: $f(0) < 0$
$-(a + 3) < 0 \Rightarrow a + 3 > 0 \Rightarrow a > -3$.
કિસ્સો-$II$: $f(0) \geq 0$ અને શિરોબિંદુ $x > 0$ પર હોય અને $D > 0$ હોય.
$1$) $D = (a + 2)^2 + 4(a + 3) = a^2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2 > 0$, જે $a \neq -4$ માટે સત્ય છે.
$2$) $f(0) = -(a + 3) \geq 0 \Rightarrow a \leq -3$.
$3$) શિરોબિંદુ $x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{a + 2}{2} > 0 \Rightarrow a > -2$.
$a \leq -3$ અને $a > -2$ નો છેદગણ ખાલી ગણ $(\phi)$ છે.
કિસ્સો-$I$ અને કિસ્સો-$II$ ને જોડતા, આપણને $a > -3$ મળે છે.
આમ, કિંમતોનો ગણ $(-3, \infty)$ છે.

(B) ધારો કે $A$ ના યામ $(-k, 0)$ અને $C$ ના યામ $(k, 0)$ છે. $AC = 4\sqrt{2}$ હોવાથી,$2k = 4\sqrt{2}$,તેથી $k = 2\sqrt{2}$.
આમ,$A = (-2\sqrt{2}, 0)$ અને $C = (2\sqrt{2}, 0)$.
$\Delta ABC$ એ $B$ પાસે કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$B$ એ $y$-અક્ષ પર $(0, -h)$ બિંદુએ હશે,જ્યાં $h > 0$.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,મધ્યગા $OB$ ની લંબાઈ $= \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$.
$B$ એ $x$-અક્ષની નીચે હોવાથી,તેના યામ $(0, -2\sqrt{2})$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ ની ન્યૂનતમ કિંમત તેના શિરોબિંદુ $B$ નો $y$-યામ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-2\sqrt{2}$ છે.

(D) આપણી પાસે $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ અને $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ છે,જ્યાં $x \in R$.
$f(x)$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $f_{\min} = 2c^2 - b^2$ છે.
$g(x)$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$g(x) = -(x^2 + 2cx) + b^2 = -(x + c)^2 + c^2 + b^2$.
તેથી,$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $g_{\max} = c^2 + b^2$ છે.
આપેલ શરત $\min f(x) > \max g(x)$ મુજબ:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$.
બંને બાજુથી $c^2$ બાદ કરતા અને $b^2$ ઉમેરતા:
$c^2 > 2b^2$.
$b$ અને $c$ શૂન્યતર હોવાથી,$b^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{c^2}{b^2} > 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\left| \frac{c}{b} \right| > \sqrt{2}$.
તેથી,$\left| \frac{c}{b} \right| \in (\sqrt{2}, \infty)$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - (a + 1)x + a^2 + a - 8$.
એક બીજ $2$ થી નાનું અને બીજું $2$ થી મોટું હોવાથી,$x = 2$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(2) < 0$.
$f(2) = (2)^2 - (a + 1)(2) + a^2 + a - 8 < 0$
$4 - 2a - 2 + a^2 + a - 8 < 0$
$a^2 - a - 6 < 0$
$(a - 3)(a + 2) < 0$
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $-2 < a < 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - mx + 4$. બીજ $\alpha, \beta$ વાસ્તવિક,ભિન્ન અને $[1, 5]$ માં આવેલા હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$(1)$ વિવેચક $D > 0$:
$D = (-m)^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16 > 0$
$m^2 > 16 \Rightarrow m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$(2)$ $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 - m + 4 = 5 - m > 0 \Rightarrow m < 5$
$(3)$ $f(5) > 0$:
$f(5) = 25 - 5m + 4 = 29 - 5m > 0 \Rightarrow m < \frac{29}{5} = 5.8$
$(4)$ શિરોબિંદુનું સ્થાન $1 < \frac{-b}{2a} < 5$:
$1 < \frac{m}{2} < 5 \Rightarrow 2 < m < 10$
બધી શરતોનો છેદ લેતા:
$m \in (4, \infty) \cap (-\infty, 5) \cap (-\infty, 5.8) \cap (2, 10) = (4, 5)$
આમ,$m \in (4, 5)$. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $f(x) = (c - 5)x^2 - 2cx + (c - 4)$.
એક બીજ $(0, 2)$ માં અને બીજું $(2, 3)$ માં હોય તે માટે,$x=2$ આગળ $f(x)$ નું ચિહ્ન બદલાવવું જોઈએ.
કિસ્સો $I$: જો $c - 5 > 0$ (એટલે કે $c > 5$),તો $f(2) < 0$.
$f(2) = (c - 5)(2)^2 - 2c(2) + (c - 4) = 4c - 20 - 4c + c - 4 = c - 24$.
તેથી,$c - 24 < 0 \Rightarrow c < 24$.
વળી,$f(0) > 0$ $\Rightarrow c - 4 > 0$ $\Rightarrow c > 4$.
અને $f(3) > 0$ $\Rightarrow (c - 5)(9) - 2c(3) + (c - 4) > 0$ $\Rightarrow 9c - 45 - 6c + c - 4 > 0$ $\Rightarrow 4c - 49 > 0$ $\Rightarrow c > 12.25$.
આ બધાને જોડતા,$12.25 < c < 24$. પૂર્ણાંકો ${13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$ છે,જે કુલ $11$ મૂલ્યો છે.
કિસ્સો $II$: જો $c - 5 < 0$ (એટલે કે $c < 5$),તો $f(2) > 0$.
$c - 24 > 0 \Rightarrow c > 24$,જે $c < 5$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
આમ,આવા $11$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^2 + bx + c$ હંમેશા ધન રહે તે માટે $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવું જોઈએ.
પગલું $1$: $a > 0$ ની શરત
$1 + 2m > 0 \Rightarrow m > -\frac{1}{2}$.
પગલું $2$: $D < 0$ ની શરત
$D = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + 2m)(4(1 + m)) < 0$
$m^2 - 6m - 3 < 0$.
પગલું $3$: અસમતા $m^2 - 6m - 3 < 0$ ઉકેલતા
$m$ ના બીજ $3 \pm 2\sqrt{3}$ મળે છે.
આથી,$3 - 2\sqrt{3} < m < 3 + 2\sqrt{3}$ એટલે કે $-0.464 < m < 6.464$.
પગલું $4$: $m > -0.5$ સાથે છેદગણ લેતા
$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ મળે છે.
કુલ $7$ મૂલ્યો શક્ય છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (\lambda^{2}+1)x^{2}-4\lambda x+2$.
અંતરાલ $(0,1)$ માં બરાબર એક બીજ હોવા માટે,આપણે $f(0) \cdot f(1) < 0$ શરત ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$f(0) = 2$
$f(1) = \lambda^{2}+1-4\lambda+2 = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$
તેથી,$f(0) \cdot f(1) = 2(\lambda-1)(\lambda-3) < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < \lambda < 3$.
હવે,આપણે અંતિમ બિંદુઓ તપાસીએ:
કિસ્સો $1$: જો $\lambda = 1$,તો સમીકરણ $2x^{2}-4x+2 = 0$ બને છે,જે $2(x-1)^{2} = 0$ છે. બીજ $x=1, 1$ છે. કોઈ પણ બીજ $(0,1)$ માં નથી. તેથી $\lambda \neq 1$.
કિસ્સો $2$: જો $\lambda = 3$,તો સમીકરણ $10x^{2}-12x+2 = 0$ બને છે,જે $2(5x^{2}-6x+1) = 0$ અથવા $2(5x-1)(x-1) = 0$ છે. બીજ $x = 1/5$ અને $x = 1$ છે. કારણ કે $1/5 \in (0,1)$,તેથી $\lambda = 3$ એ સાચો ઉકેલ છે.
આ બંનેને જોડતા,મૂલ્યોનો ગણ $\lambda \in (1,3]$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 2x^2 - 8x + k$.
એક બીજ $(1,2)$ માં અને બીજું $(2,3)$ માં હોય તે માટે,$x=2$ આગળ દ્વિઘાતનું મૂલ્ય ઋણ હોવું જોઈએ અને $x=1$ તથા $x=3$ આગળ મૂલ્ય ધન હોવું જોઈએ.
$f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(3) = 2(3)^2 - 8(3) + k = 18 - 24 + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + k = 8 - 16 + k = k - 8 < 0 \implies k < 8$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $6 < k < 8$ મળે છે.
આ અંતરાલમાં $k$ નું એકમાત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્ય $k = 7$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-8kx+16(k^2-k+1)=0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$:
$D = (-8k)^2 - 4(1)(16(k^2-k+1)) > 0$
$64k - 64 > 0 \Rightarrow k > 1 \cdots (1)$
બંને બીજ ઓછામાં ઓછા $4$ હોવા માટે,શિરોબિંદુ $-\frac{b}{2a} \geq 4$:
$4k \geq 4 \Rightarrow k \geq 1 \cdots (2)$
વધુમાં,$f(4) \geq 0$:
$16k^2 - 48k + 32 \geq 0$
$k^2 - 3k + 2 \geq 0 \Rightarrow k \leq 1 \text{ અથવા } k \geq 2 \cdots (3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ ને જોડતા:
$k \geq 2$ મળે છે.
તેથી,$k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.