Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણો:
$xy = \frac{1}{9}$
$x(y + 1) = \frac{7}{9}$
$y(x + 1) = \frac{5}{18}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$xy + x = \frac{7}{9} \implies \frac{1}{9} + x = \frac{7}{9} \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$xy + y = \frac{5}{18} \implies \frac{1}{9} + y = \frac{5}{18} \implies y = \frac{5}{18} - \frac{2}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$
હવે,$(x + 1)(y + 1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$(x + 1)(y + 1) = (\frac{2}{3} + 1)(\frac{1}{6} + 1)$
$= (\frac{5}{3})(\frac{7}{6})$
$= \frac{35}{18}$

(C) $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ નો આલેખ રેખા $x = k$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોવા માટે,ત્રિઘાત પદનો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a = 0$.
તેથી સમીકરણ $y = bx^2 + cx + d$ બને છે,જે એક પરવલય છે.
પરવલય $y = bx^2 + cx + d$ તેની સંમિતિની ધરી $x = -\frac{c}{2b}$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોય છે.
આપેલ છે કે આલેખ $x = k$ ની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી $k = -\frac{c}{2b}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $k + \frac{c}{2b} = 0$.
અહીં $a = 0$ હોવાથી,$a + \frac{c}{2b} + k = 0 + \frac{c}{2b} - \frac{c}{2b} = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $u = x - 1$. તેથી $x = u + 1$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\sqrt{u + 1 + 3 - 4\sqrt{u}} + \sqrt{u + 1 + 8 - 6\sqrt{u}} = 1$
$\sqrt{u + 4 - 4\sqrt{u}} + \sqrt{u + 9 - 6\sqrt{u}} = 1$
$\sqrt{(\sqrt{u} - 2)^2} + \sqrt{(\sqrt{u} - 3)^2} = 1$
$|\sqrt{u} - 2| + |\sqrt{u} - 3| = 1$
ધારો કે $y = \sqrt{u}$. $u \geq 0$ હોવાથી,$y \geq 0$. સમીકરણ $|y - 2| + |y - 3| = 1$ છે.
આ $|y - a| + |y - b| = |a - b|$ સ્વરૂપનું છે,જે $y$ ની કિંમત $a$ અને $b$ ની વચ્ચે હોય ત્યારે સાચું પડે છે.
અહીં $a = 2$ અને $b = 3$ છે,તેથી $2 \leq y \leq 3$.
$y = \sqrt{u}$ મૂકતા,આપણને $2 \leq \sqrt{u} \leq 3$ મળે છે.
વર્ગ કરતા $4 \leq u \leq 9$ મળે.
$u = x - 1$ હોવાથી,$4 \leq x - 1 \leq 9$,જેનો અર્થ છે કે $5 \leq x \leq 10$.
આમ,$x \in [5, 10]$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ છે.
બીજ પૂર્ણાંક હોવા માટે,વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ,ધારો કે $\beta^2$,જ્યાં $\beta \ge 0$.
$D = (-\alpha)^2 - 4(1)(\alpha + 1) = \alpha^2 - 4\alpha - 4 = \beta^2$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(\alpha - 2)^2 - 8 = \beta^2$.
પુનઃગોઠવણી કરતા: $(\alpha - 2)^2 - \beta^2 = 8$,જેનું અવયવીકરણ $(\alpha - 2 - \beta)(\alpha - 2 + \beta) = 8$ થાય છે.
$\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે $8$ ના એવા અવયવો શોધીએ જેનો ગુણાકાર $8$ થાય.
કિસ્સો $1$: $(\alpha - 2 - \beta) = 2$ અને $(\alpha - 2 + \beta) = 4$. સરવાળો કરતા $2(\alpha - 2) = 6 \Rightarrow \alpha = 5$.
કિસ્સો $2$: $(\alpha - 2 - \beta) = -4$ અને $(\alpha - 2 + \beta) = -2$. સરવાળો કરતા $2(\alpha - 2) = -6 \Rightarrow \alpha = -1$.
$\alpha$ ના ભિન્ન પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-1$ અને $5$ છે.
તેમનો સરવાળો $-1 + 5 = 4$ થાય છે.

(C) આલેખ પરથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી $a > 0$.
$y$-અંતઃખંડ $x$-અક્ષની ઉપર છે,તેથી $c > 0$.
શિરોબિંદુનો $x$-યામ ધન છે,$-b/(2a) > 0$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $-b > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $b < 0$.
હવે,વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A) ab^2c^3 = (+)(+)(+) = (+) > 0$ (સાચું છે)
$B) ab^3c^2 = (+)(-)(+) = (-) < 0$ (સાચું છે)
$C) ab^3c^5 = (+)(-)(+) = (-) < 0$. આમ,$ab^3c^5 > 0$ એ સાચું નથી.
$D) \text{કારણ કે આલેખ }x-\text{અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે}, \text{વિવેચક }D = b^2 - 4ac > 0, \text{તેથી }b^2 > 4ac$ (સાચું છે).

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - a)(x - 10) + 1 = 0$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,$x^{2} - (10 + a)x + 10a + 1 = 0$ મળે.
બીજ પૂર્ણાંક હોવા માટે,વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = (10 + a)^{2} - 4(10a + 1) = a^{2} - 20a + 96 = (a - 10)^{2} - 4$.
ધારો કે $D = k^{2}$,તો $(a - 10)^{2} - k^{2} = 4$,એટલે કે $(a - 10 - k)(a - 10 + k) = 4$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $a - 10 = 2$ અથવા $a - 10 = -2$ મળે.
તેથી,$a = 12$ અથવા $a = 8$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે $a > 0, b < 0, c < 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = -\frac{b}{a}$. અહીં $b < 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,$-\frac{b}{a} > 0$. તેથી,$\alpha + \beta > 0$.
બીજનો ગુણાકાર $(\alpha \beta) = \frac{c}{a}$. અહીં $c < 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,$\frac{c}{a} < 0$. તેથી,$\alpha \beta < 0$.
બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવાથી,એક બીજ ધન અને બીજું બીજ ઋણ હશે.
ધારો કે $\alpha < 0$ અને $\beta > 0$. $\alpha + \beta > 0$ હોવાથી,ધન બીજનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ઋણ બીજ કરતાં મોટું હશે.
તેથી,$|\beta| > |\alpha|$,જેનો અર્થ છે કે $0 < |\alpha| < \beta$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -\sqrt{13}$,અને $c = 1$ છે.
$D = (-\sqrt{13})^2 - 4(1)(1) = 13 - 4 = 9$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+x-n=0$ છે.
બીજ પૂર્ણાંક હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2-4ac = 1^2 - 4(1)(-n) = 1+4n$ એ એકી પૂર્ણાંકનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $1+4n = (2k+1)^2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
$1+4n = 4k^2 + 4k + 1
$ $\Rightarrow 4n = 4k(k+1)
$ $\Rightarrow n = k(k+1)$.
આપેલ છે કે $n \in [5, 100]$,તેથી $5 \le k(k+1) \le 100$.
$k=2$ માટે,$n=6$.
$k=3$ માટે,$n=12$.
$k=4$ માટે,$n=20$.
$k=5$ માટે,$n=30$.
$k=6$ માટે,$n=42$.
$k=7$ માટે,$n=56$.
$k=8$ માટે,$n=72$.
$k=9$ માટે,$n=90$.
$k=10$ માટે,$n=110 > 100$.
આમ,$n$ ના શક્ય મૂલ્યો $6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90$ છે.
કુલ સંખ્યા $8$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ અને $g(x) = (\frac{3}{2})^x$.
દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-10) = 25 - 40 = -15$.
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{-D}{4a} = \frac{-(-15)}{4(-1)} = -\frac{15}{4} = -3.75$ છે.
$g(x) = (\frac{3}{2})^x$ એ ઘાતાંકીય વિધેય હોવાથી,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $g(x) > 0$ થાય.
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $-3.75$ (જે ઋણ છે) અને $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હંમેશા ધન હોવાથી,કોઈ પણ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) = g(x)$ શક્ય નથી.
તેથી,સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત પદાવલી $f(x) = k(x - r_1)(x - r_2)$ છે.
આપેલ છે કે $-1$ એક બીજ છે,ધારો કે $r_1 = -1$. ધારો કે બીજું બીજ $a$ છે.
તેથી,$f(x) = k(x + 1)(x - a) = k(x^2 + (1 - a)x - a)$.
આપણને આપેલ છે કે $f(1) + f(2) = 0$.
$f(1) = k(1 + 1)(1 - a) = 2k(1 - a) = 2k - 2ka$.
$f(2) = k(2 + 1)(2 - a) = 3k(2 - a) = 6k - 3ka$.
સરવાળો કરતા: $f(1) + f(2) = (2k - 2ka) + (6k - 3ka) = 8k - 5ka$.
સરવાળાને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $8k - 5ka = 0$.
કારણ કે $f(x)$ દ્વિઘાત પદાવલી છે,$k \neq 0$,તેથી આપણે $k$ વડે ભાગી શકીએ છીએ.
$8 - 5a = 0 \Rightarrow 5a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{5}$.
આમ,બીજું બીજ $\frac{8}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{x + q + x + p}{(x + p)(x + q)} = \frac{1}{r}$
ગુણાકાર કરતા: $r(2x + p + q) = x^2 + (p + q)x + pq$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2 + (p + q - 2r)x + (pq - pr - qr) = 0$
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. બીજ માન માં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોવાથી,$\alpha = -\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય. તેથી,$-(p + q - 2r) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $p + q = 2r$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ છે.
$\alpha + \beta = 0$ હોવાથી,આ $\alpha^2 + \beta^2 = -2\alpha\beta$ માં પરિણમે છે.
બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha\beta = pq - pr - qr$.
$\alpha\beta$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.
$2r = p + q$ હોવાથી,$2pr + 2qr = 2r(p + q) = (p + q)(p + q) = p^2 + 2pq + q^2$ મૂકતા.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p^2 + 2pq + q^2) = p^2 + q^2$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે.
આપેલ છે કે $p(0) = 1$,તેથી $c = 1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(1) = 4$ અને $p(-1) = 6$.
આ કિંમતો $p(x) = ax^2 + bx + 1$ માં મૂકતા:
$p(1) = a(1)^2 + b(1) + 1 = 4 \Rightarrow a + b = 3$.
$p(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 6 \Rightarrow a - b = 5$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2a = 8 \Rightarrow a = 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2b = -2 \Rightarrow b = -1$.
આમ,$p(x) = 4x^2 - x + 1$.
હવે,$p(-2)$ ની કિંમત શોધતા:
$p(-2) = 4(-2)^2 - (-2) + 1 = 4(4) + 2 + 1 = 16 + 3 = 19$.
તેથી,$p(-2) = 19$ એ સાચું વિધાન છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2^{(x - 1)(x^2 + 5x - 50)} = 1$ છે.
$2^0 = 1$ હોવાથી,ઘાતાંકને $0$ સાથે સરખાવતા:
$(x - 1)(x^2 + 5x - 50) = 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 + 5x - 50$ ના અવયવ પાડતા:
$(x^2 + 10x - 5x - 50) = x(x + 10) - 5(x + 10) = (x - 5)(x + 10)$.
તેથી,સમીકરણ $(x - 1)(x - 5)(x + 10) = 0$ બને છે.
$x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યો $x = 1, 5, -10$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + 5 + (-10) = 6 - 10 = -4$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1})^2 = 1^2$
$(2x + 1) + (2x - 1) - 2\sqrt{(2x + 1)(2x - 1)} = 1$
$4x - 2\sqrt{4x^2 - 1} = 1$
$4x - 1 = 2\sqrt{4x^2 - 1}$
ફરીથી વર્ગ કરતા: $(4x - 1)^2 = 4(4x^2 - 1)$
$16x^2 - 8x + 1 = 16x^2 - 4$
$-8x = -5 \implies x = \frac{5}{8}$
હવે,$x = \frac{5}{8}$ ને $\sqrt{4x^2 - 1}$ માં મૂકતા:
$\sqrt{4(\frac{5}{8})^2 - 1} = \sqrt{4(\frac{25}{64}) - 1} = \sqrt{\frac{25}{16} - 1} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a-1)(x^4+x^2+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
આ કિંમત મૂકતા: $(a-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)^2 = 0$
$(x^2+x+1)$ સામાન્ય લેતા: $(x^2+x+1)[(a-1)(x^2-x+1) + (a+1)(x^2+x+1)] = 0$
કૌંસનું સાદું રૂપ આપતા: $(x^2+x+1)(2ax^2+2x+2a) = 0$
$2(x^2+x+1)(ax^2+x+a) = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+x+1$ નો વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ છે,તેથી તેના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
સમીકરણને વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ હોવા માટે,$ax^2+x+a = 0$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા જોઈએ.
આ માટે $a \neq 0$ અને વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = 1^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2 > 0$
$4a^2 < 1$ $\Rightarrow a^2 < 1/4$ $\Rightarrow |a| < 1/2$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $a \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + |2x - 3| - 4 = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $x \ge \frac{3}{2}$ હોય,તો $|2x - 3| = 2x - 3$.
$x^2 + 2x - 3 - 4 = 0 \implies x^2 + 2x - 7 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
$x \ge \frac{3}{2}$ હોવાથી,$x_1 = 2\sqrt{2} - 1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < \frac{3}{2}$ હોય,તો $|2x - 3| = -2x + 3$.
$x^2 - 2x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
$x < \frac{3}{2}$ હોવાથી,$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો: $x_1 + x_2 = (2\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3x^2 + x + 5} = x - 3$ છે.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$x - 3 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3x^2 + x + 5 = (x - 3)^2$
$3x^2 + x + 5 = x^2 - 6x + 9$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 7x - 4 = 0$ ને ઉકેલતા:
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -4$.
શરત $x \geq 3$ સાથે તપાસતા:
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$\frac{1}{2} < 3$ (અમાન્ય).
$x = -4$ માટે,$-4 < 3$ (અમાન્ય).
આમ,સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $(k-2)x^2 + 8x + k+4 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ:
$D = 8^2 - 4(k-2)(k+4) > 0$
$64 - 4(k^2 + 2k - 8) > 0$
$16 - (k^2 + 2k - 8) > 0$
$-k^2 - 2k + 24 > 0 \Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$
$(k+6)(k-4) < 0 \Rightarrow -6 < k < 4$
બીજ ઋણ હોવા માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{8}{k-2} < 0$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{k+4}{k-2} > 0$ હોવો જોઈએ.
$\alpha + \beta < 0$ પરથી: $\frac{8}{k-2} > 0 \Rightarrow k > 2$.
$\alpha \beta > 0$ પરથી: $\frac{k+4}{k-2} > 0 \Rightarrow k < -4$ અથવા $k > 2$.
બધી શરતોને જોડતા: $(-6 < k < 4)$ અને $(k > 2)$ અને $(k < -4 \text{ અથવા } k > 2)$.
છેદગણ $2 < k < 4$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $k = 3$ એ $2 < k < 4$ નું પાલન કરે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ છે,જ્યાં $p, q, r \in \mathbb{R}$ અને $r > p > 0.$
સંકર બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોવાથી,વિવેચક $D = q^2 - 4pr < 0.$
આથી $q^2 < 4pr.$
વાસ્તવિક સહગુણકો હોવાથી,સંકર બીજ એકબીજાના અનુબદ્ધ હોય,એટલે કે $\beta = \bar{\alpha}.$
તેથી,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\alpha \bar{\alpha}} = \sqrt{\alpha \beta}.$
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{r}{p}.$
તેથી,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\frac{r}{p}}.$
$r > p > 0$ આપેલ હોવાથી,$\frac{r}{p} > 1,$ જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1.$
આમ,$|\alpha| + |\beta| = 2|\alpha| = 2\sqrt{\frac{r}{p}}.$
કારણ કે $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1,$ તેથી $2\sqrt{\frac{r}{p}} > 2.$
આમ,$|\alpha| + |\beta| > 2.$

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સંમેય હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 6$,$b = -11$,અને $c = \alpha$.
$D = (-11)^2 - 4(6)(\alpha) = 121 - 24\alpha$.
$\alpha$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$121 - 24\alpha \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $24\alpha \le 121$,તેથી $\alpha \le 5.04$. આમ,$\alpha \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
દરેક કિંમત તપાસતા:
જો $\alpha = 1$,$D = 97$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
જો $\alpha = 2$,$D = 73$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
જો $\alpha = 3$,$D = 49 = 7^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
જો $\alpha = 4$,$D = 25 = 5^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
જો $\alpha = 5$,$D = 1 = 1^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
$\alpha$ માટે શક્ય કિંમતો $3, 4, 5$ છે. તેથી,આવી $3$ કિંમતો મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (3 - \lambda)x + (2 - \lambda) = 0$ છે.
ધારો કે બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha + \beta = - (3 - \lambda) = \lambda - 3$ અને $\alpha \beta = 2 - \lambda$.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ છે.
કિંમતો મુકતા,$S = (\lambda - 3)^2 - 2(2 - \lambda)$ મળે.
$S = \lambda^2 - 6 \lambda + 9 - 4 + 2 \lambda$.
$S = \lambda^2 - 4 \lambda + 5$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $S = (\lambda - 2)^2 + 1$.
$S$ ની કિંમત ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $\lambda - 2 = 0$,એટલે કે $\lambda = 2$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 \sin \theta - x(\sin \theta \cos \theta + 1) + \cos \theta = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm \sqrt{(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta}}{2 \sin \theta}$.
વિવેચકનું સાદું રૂપ આપતા: $(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta = (\sin \theta \cos \theta - 1)^2$.
તેથી,$x = \frac{\sin \theta \cos \theta + 1 \pm (\sin \theta \cos \theta - 1)}{2 \sin \theta}$.
આથી $x_1 = \cos \theta$ અને $x_2 = \csc \theta$ મળે.
$0 < \theta < 45^\circ$ હોવાથી,$\alpha = \cos \theta$ અને $\beta = \csc \theta$ મળે.
સરવાળો $S = \sum_{n=0}^\infty \alpha^n + \sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{\beta})^n = \frac{1}{1 - \cos \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}$ થાય.

(C) ધારો કે $t = \sqrt{x}$,જ્યાં $t > 0$.
સમીકરણ $|t - 2| + t(t - 4) + 2 = 0$ બને છે.
$|t - 2| + t^2 - 4t + 2 = 0$.
આપણે $t^2 - 4t + 2$ ને $(t^2 - 4t + 4) - 2 = (t - 2)^2 - 2$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$|t - 2| + (t - 2)^2 - 2 = 0$.
ધારો કે $u = |t - 2|$,તો $u^2 + u - 2 = 0$.
$(u + 2)(u - 1) = 0$.
કારણ કે $u = |t - 2| \ge 0$,તેથી $u = 1$ મળે.
$|t - 2| = 1 \implies t - 2 = 1$ અથવા $t - 2 = -1$.
$t = 3$ અથવા $t = 1$.
$t = \sqrt{x}$ હોવાથી,$\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ અને $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.
ઉકેલોનો સરવાળો $9 + 1 = 10$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (1 + m^2)$,$b = -2(1 + 3m)$,અને $c = (1 + 8m)$.
$D = b^2 - 4ac = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + m^2)(1 + 8m) < 0$.
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m) - 4(1 + 8m + m^2 + 8m^3) < 0$.
$D = 4(-8m^3 + 8m^2 - 2m) < 0$.
$D = -8m(2m - 1)^2 < 0$.
કારણ કે $(2m - 1)^2 \ge 0$,તેથી $D < 0$ માટે $-8m < 0$ અને $2m - 1 \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $m > 0$ અને $m \neq \frac{1}{2}$.
આમ,$m > 0$ માટે અનંત પૂર્ણાંક કિંમતો મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $p, q \in \mathbb{Q}$ અને $2 - \sqrt{3}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ નું એક બીજ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,અસંમેય બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
તેથી,બીજું બીજ $2 + \sqrt{3}$ થશે.
બીજનો સરવાળો $= (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $= -p$.
તેથી,$-p = 4 \implies p = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
સમીકરણ પરથી,બીજનો ગુણાકાર $= q$.
તેથી,$q = 1$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$p^2 - 4q - 12 = (-4)^2 - 4(1) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $2^x = t$. $2^x > 0$ હોવાથી,$t > 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $5 + |t - 1| = t(t - 2) = t^2 - 2t$ બને છે.
ગોઠવતા,$|t - 1| = t^2 - 2t - 5$ મળે.
ધારો કે $g(t) = |t - 1|$ અને $f(t) = t^2 - 2t - 5$.
આપણે $t > 0$ માટે ઉકેલો શોધીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $t \ge 1$.
$t - 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$ $\Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0$.
$t \ge 1$ હોવાથી,$t = 4$ મળે. તેથી $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.
કિસ્સો $2$: $0 < t < 1$.
$-(t - 1) = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow -t + 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - t - 6 = 0$ $\Rightarrow (t - 3)(t + 2) = 0$.
$t = 3$ કે $t = -2$ પૈકી કોઈ પણ $0 < t < 1$ નું પાલન કરતા નથી.
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(D) ધારો કે $3^{x} = t$,જ્યાં $t > 0$.
સમીકરણ $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ બને છે.
$t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$.
કિસ્સો-$I$: $0 < t < 1$.
$t^{2} - t + 2 = (1 - t) + (2 - t) = 3 - 2t$.
$t^{2} + t - 1 = 0$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$,જે $0 < t < 1$ નું પાલન કરે છે.
કિસ્સો-$II$: $1 \leq t < 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (2 - t) = 1$.
$t^{2} - t + 1 = 0$.
વિવેચક $D = (-1)^{2} - 4(1)(1) = -3 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો-$III$: $t \geq 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (t - 2) = 2t - 3$.
$t^{2} - 3t + 5 = 0$.
વિવેચક $D = (-3)^{2} - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$t$ ની માત્ર એક જ માન્ય કિંમત $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ છે.
$3^{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ હોવાથી,$x$ ની માત્ર એક જ વાસ્તવિક કિંમત મળે,જે $x = \log_{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ છે.
તેથી,$S$ એ એક ઘટક ધરાવતો ગણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} + (a-10)x + (\frac{33}{2} - 2a) = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (a-10)^{2} - 4(2)(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
$D = a^{2} - 4a - 32 \geq 0$.
$(a-8)(a+4) \geq 0$.
આ અસમતા $a \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$ માટે સાચી છે.
આપણે $a$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધવાની હોવાથી,આપણે $[8, \infty)$ અંતરાલ ધ્યાનમાં લઈશું.
તેથી,ન્યૂનતમ ધન કિંમત $8$ છે.

(B) સમીકરણ $a x^{2}-2 b x+5=0$ માટે,બીજ $\alpha, \alpha$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $2\alpha = \frac{2b}{a} \Rightarrow \alpha = \frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha^{2} = \frac{5}{a}$ થાય.
આના પરથી,$b = a\alpha$ અને $a = \frac{5}{\alpha^{2}}$ મળે. $a$ ની કિંમત મૂકતા,$b = \frac{5}{\alpha}$ મળે.
કારણ કે $\alpha$ એ $x^{2}-2 b x-10=0$ નું પણ બીજ છે,તેથી $\alpha^{2}-2 b \alpha-10=0$ થાય.
$b = \frac{5}{\alpha}$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha^{2}-2(\frac{5}{\alpha})\alpha-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}-10-10=0$ $\Rightarrow \alpha^{2}=20$.
હવે,સમીકરણ $x^{2}-2 b x-10=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -10$ થાય.
$\alpha^{2} = 20$ હોવાથી,$\alpha = \pm \sqrt{20}$ મળે.
તેથી $\beta = \frac{-10}{\alpha}$ થાય.
આમ,$\beta^{2} = \frac{100}{\alpha^{2}} = \frac{100}{20} = 5$.
તેથી,$\alpha^{2}+\beta^{2} = 20 + 5 = 25$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$.
આખા સમીકરણને $e^{2x}$ વડે ભાગતા:
$e^{2x} + e^x - 4 + \frac{1}{e^x} + \frac{1}{e^{2x}} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$(e^{2x} + \frac{1}{e^{2x}}) + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$.
$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(e^x + \frac{1}{e^x})^2 - 2 + (e^x + \frac{1}{e^x}) - 4 = 0$.
ધારો કે $t = e^x + \frac{1}{e^x}$. $e^x > 0$ હોવાથી,$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ $t = e^x + \frac{1}{e^x} \geq 2$.
સમીકરણ $t^2 + t - 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t + 3)(t - 2) = 0$.
તેથી $t = -3$ અથવા $t = 2$.
$t \geq 2$ હોવાથી,$t = 2$ લેતા.
$e^x + \frac{1}{e^x} = 2$ $\Rightarrow e^{2x} - 2e^x + 1 = 0$ $\Rightarrow (e^x - 1)^2 = 0$.
$e^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 9x^{2} + 12x + 2$ છે.
આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને તેને ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = (3x)^{2} + 2(3x)(2) + 2^{2} - 2^{2} + 2$
$f(x) = (3x + 2)^{2} - 4 + 2$
$f(x) = (3x + 2)^{2} - 2$.
દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $(3x + 2)^{2} \geq 0$ હોવાથી,$(3x + 2)^{2}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0 - 2 = -2$ છે,જે $3x + 2 = 0$ એટલે કે $x = -\frac{2}{3}$ પર મળે છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$,તેથી વિધેયને કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ છે.
તેને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=1, c=1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = 1^{2}-4(1)(1) = 1-4 = -3$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{5} x^{2} + x + \sqrt{5} = 0$ છે.
તેને $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \sqrt{5}$,$b = 1$,અને $c = \sqrt{5}$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$D = (1)^{2} - 4(\sqrt{5})(\sqrt{5}) = 1 - 4(5) = 1 - 20 = -19$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-19}}{2\sqrt{5}}$ મળે છે.
$\sqrt{-1} = i$ હોવાથી,ઉકેલ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{19} i}{2\sqrt{5}}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}+x+1=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, b=1, c=1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = 1^{2}-4(2)(1) = 1-8 = -7$.
ઉકેલ માટેનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{4}$ (કારણ કે $\sqrt{-1} = i$).

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+3x+9=0$ છે.
આપેલ સમીકરણને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=3,$ અને $c=9$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ દ્વારા મળે છે.
$D = 3^{2}-4(1)(9) = 9-36 = -27$.
ઉકેલ દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{27}i}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $-x^{2}+x-2=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=-1, b=1, c=-2$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(-1)(-2) = 1-8 = -7$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(-1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{-2}$ મળે છે.
જેને $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$ તરીકે પણ લખી શકાય.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+3x+5=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=3, c=5$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = 3^{2}-4(1)(5) = 9-20 = -11$.
ઉકેલ માટેનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{-11}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{11}i}{2}$ (કારણ કે $\sqrt{-1} = i$).

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x+2=0$ છે.
આપેલ સમીકરણને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1,$ અને $c=2$ મળે છે.
વિવેચક $D$ એ $D = b^{2}-4ac$ દ્વારા મળે છે.
$D = (-1)^{2}-4(1)(2) = 1-8 = -7$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-7}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2} + x + \sqrt{2} = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણને $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{2}$,$b = 1$,અને $c = \sqrt{2}$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$D = (1)^{2} - 4(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 1 - 8 = -7$.
ઉકેલ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2(\sqrt{2})} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{3} x^{2}-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}=0$ છે.
તેને $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=\sqrt{3}, b=-\sqrt{2}, c=3 \sqrt{3}$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (-\sqrt{2})^{2} - 4(\sqrt{3})(3 \sqrt{3}) = 2 - 36 = -34$.
ઉકેલ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{-34}}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{34} i}{2 \sqrt{3}}$ (કારણ કે $\sqrt{-1} = i$).

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ છે.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{2}x+1=0$ મળે છે.
$ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=\sqrt{2}$,$b=\sqrt{2}$,અને $c=1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (\sqrt{2})^{2}-4(\sqrt{2})(1) = 2-4\sqrt{2}$.
$D < 0$ હોવાથી,ઉકેલ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2-4\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$ થશે.
$x = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2(2\sqrt{2}-1)}}{2\sqrt{2}}$.
$x = \frac{-\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm i\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1=0$ છે.
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે તેને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{2}x^{2}+x+\sqrt{2}=0$.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=\sqrt{2}$,$b=1$,અને $c=\sqrt{2}$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 1-8 = -7$.
ઉકેલ માટેનું સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}i}{2\sqrt{2}}$ (કારણ કે $\sqrt{-1}=i$).

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} - 4x + \frac{20}{3} = 0$ છે.
આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $9x^{2} - 12x + 20 = 0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 9$,$b = -12$,અને $c = 20$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = (-12)^{2} - 4(9)(20) = 144 - 720 = -576$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{-576}}{2(9)} = \frac{12 \pm \sqrt{576}i}{18} = \frac{12 \pm 24i}{18}$.
આમ,$x = \frac{12}{18} \pm \frac{24}{18}i = \frac{2}{3} \pm \frac{4}{3}i$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x+\frac{3}{2}=0$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x^{2}-4x+3=0$ મળે છે.
આને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, b=-4, c=3$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4(2)(3) = 16-24 = -8$.
ઉકેલ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-8}}{2(2)}$ દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}i}{4} = \frac{4}{4} \pm \frac{2\sqrt{2}i}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $27 x^{2}-10 x+1=0$ છે.
આ સમીકરણને $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=27, b=-10$ અને $c=1$ મળે છે.
તેથી,વિવેચક $D = b^{2}-4 a c = (-10)^{2}-4(27)(1) = 100-108 = -8$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{-8}}{2(27)} = \frac{10 \pm 2 \sqrt{2} i}{54}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{5 \pm \sqrt{2} i}{27}$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $21x^{2} - 28x + 10 = 0$ છે.
તેને $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 21$,$b = -28$ અને $c = 10$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ છે.
$D = (-28)^{2} - 4(21)(10) = 784 - 840 = -56$.
ઉકેલ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{-(-28) \pm \sqrt{-56}}{2(21)} = \frac{28 \pm \sqrt{56}i}{42}$.
$\sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ હોવાથી,
$x = \frac{28 \pm 2\sqrt{14}i}{42} = \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{14}}{21}i$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = a(x - 3)(x - \alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ બીજું બીજ છે.
આપેલ છે કે $f(2) = a(2 - 3)(2 - \alpha) = a(-1)(2 - \alpha) = a(\alpha - 2)$.
આપેલ છે કે $f(-1) = a(-1 - 3)(-1 - \alpha) = a(-4)(-1 - \alpha) = 4a(1 + \alpha)$.
$f(-1) + f(2) = 0$ હોવાથી,$4a(1 + \alpha) + a(\alpha - 2) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા: $4 + 4\alpha + \alpha - 2 = 0$.
$5\alpha + 2 = 0$ $\Rightarrow 5\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{2}{5} = -0.4$.
આમ,બીજું બીજ $\alpha = -0.4$ એ $(-1, 0)$ અંતરાલમાં આવેલું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x^{2}-18|x|+5=0$
$x^{2} = |x|^{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $9|x|^{2}-18|x|+5=0$ બને છે.
ધારો કે $t = |x|$,તો $9t^{2}-18t+5=0$.
અવયવ પાડતા: $9t^{2}-15t-3t+5=0$.
$3t(3t-5)-1(3t-5)=0$.
$(3t-1)(3t-5)=0$.
તેથી,$|x| = \frac{1}{3}$ અથવા $|x| = \frac{5}{3}$.
બીજ $x = \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $(\frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3}) \times (\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3}) = \frac{25}{81}$ થાય.

(B) $1$. આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. આ સૂચવે છે કે $x^2$ નો સહગુણક ઋણ છે,તેથી $a < 0$.
$2$. આલેખ $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે. આ સૂચવે છે કે દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે,જેનો અર્થ છે કે વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$.
$3$. આ બંને અવલોકનોને જોડતા,આપણને $a < 0$ અને $D > 0$ મળે છે.