Tangent and normal to a circle Questions in Gujarati

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$ છે. કેન્દ્ર $(2,3)$ અને ત્રિજ્યા $5$ છે.
બિંદુ $(5,7)$ આગળ ત્રિજ્યાનો ઢાળ $m_r = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-7 = -\frac{3}{4}(x-5) \implies 3x+4y-43=0$ છે.
સ્પર્શકનો $x-$અંતઃખંડ $y=0$ લેતા $x = \frac{43}{3}$ મળે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \frac{4}{3}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-7 = \frac{4}{3}(x-5) \implies 4x-3y+1=0$ છે.
અભિલંબનો $x-$અંતઃખંડ $y=0$ લેતા $x = -\frac{1}{4}$ મળે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(-\frac{1}{4}, 0)$,$(\frac{43}{3}, 0)$ અને $(5, 7)$ છે.
પાયો $b = \frac{43}{3} - (-\frac{1}{4}) = \frac{175}{12}$ અને વેધ $h = 7$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \frac{175}{12} \times 7 = \frac{1225}{24}$ છે.
તેથી,$24A = 1225$.

(A) પરવલય $y^{2}=4x$ પરના સ્પર્શબિંદુને $A(t^{2}, 2t)$ ધારો.
પરવલયના બિંદુ $A(t^{2}, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + t^{2}$ છે,જેને $x - ty + t^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^{2} + y^{2} = 9$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=3$ છે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
$\left| \frac{3 - t(0) + t^{2}}{\sqrt{1^{2} + (-t)^{2}}} \right| = 3$
$\left| 3 + t^{2} \right| = 3\sqrt{1 + t^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 + t^{2})^{2} = 9(1 + t^{2})$
$9 + t^{4} + 6t^{2} = 9 + 9t^{2}$
$t^{4} - 3t^{2} = 0$
$t^{2}(t^{2} - 3) = 0$
બિંદુઓ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t^{2} = 3$,જે $t = \sqrt{3}$ આપે છે.
આમ,પરવલય પરનું સ્પર્શબિંદુ $A(t^{2}, 2t) = (3, 2\sqrt{3})$ છે. તેથી,$a=3$ અને $b=2\sqrt{3}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ છે.
વર્તુળ પરનું સ્પર્શબિંદુ $B(c, d)$ એ કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી સ્પર્શક $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ પરના લંબપાદ છે.
લંબપાદ $(c, d)$ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{c-3}{1} = \frac{d-0}{-\sqrt{3}} = -\frac{1(3) - \sqrt{3}(0) + 3}{1^{2} + (-\sqrt{3})^{2}} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
$c - 3 = -\frac{3}{2} \Rightarrow c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
$d = -\sqrt{3} \times (-\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
આપણે $2(a+c) = 2(3 + \frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{2}) = 9$ શોધવાનું છે.

(D) પરવલય $y^{2} = 4Ax$ માટે બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2A(x + x_{1})$ છે.
અહીં,$4A = 8$,તેથી $A = 2$.
બિંદુ $(2, -4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y(-4) = 4(x + 2)$ છે.
$-4y = 4x + 8 \Rightarrow x + y + 2 = 0$.
આ રેખા $x + y + 2 = 0$ એ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = a$ નો પણ સ્પર્શક છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $\sqrt{a}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તેથી $d = \sqrt{a}$ હોવાથી,$\sqrt{a} = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_{1}: 4x + 3y + 2 = 0$ અને $L_{2}: 3x - 4y - 11 = 0$ છે. આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $Q$ એ સ્પર્શબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$4x + 3y = -2$ ($4$ વડે ગુણતા): $16x + 12y = -8$
$3x - 4y = 11$ ($3$ વડે ગુણતા): $9x - 12y = 33$
બંનેનો સરવાળો કરતા $25x = 25$ મળે,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ ને $4(1) + 3y = -2$ માં મૂકતા,$3y = -6$ મળે,તેથી $y = -2$. આમ,$Q = (1, -2)$.
રેખા $L_{1}$ એ $Q$ આગળ વર્તુળનો અભિલંબ છે કારણ કે તે કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થાય છે. $L_{2}$ નો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે. અભિલંબ $L_{1}$ નો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ છે.
કેન્દ્ર $P$ એ $L_{1}$ પર $Q$ થી $5$ એકમ અંતરે આવેલું છે. અભિલંબ $L_{1}$ (દિશા $(3, -4)$) ની એકમ સદિશ $(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષની નીચે હોવાથી,કેન્દ્ર $P = Q + 5(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}) = (1 + 3, -2 - 4) = (4, -6)$.
હવે,$P(4, -6)$ થી રેખા $5x - 12y + 51 = 0$ નું અંતર શોધો:
અંતર $= \left| \frac{5(4) - 12(-6) + 51}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{20 + 72 + 51}{13} \right| = \frac{143}{13} = 11$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x-4y=0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{5}$ છે.
$O(0,0)$ આગળનો સ્પર્શક $x+2y=0$ છે.
$P(1+\sqrt{5}, 2)$ આગળનો સ્પર્શક $x=1+\sqrt{5}$ છે.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(1+\sqrt{5}, -\frac{1+\sqrt{5}}{2})$ મળે છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = OQ = \frac{5+\sqrt{5}}{2}$ છે.
ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{RL^{3}}{R^{2}+L^{2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(B) વર્તુળના અભિલંબના સમીકરણો:
$y+2x=\sqrt{11}+7\sqrt{7}$ $(i)$
$2y+x=2\sqrt{11}+6\sqrt{7}$ $(ii)$
કેન્દ્ર $(h, k)$ મેળવવા માટે આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$h = \frac{8\sqrt{7}}{3}$ અને $k = \sqrt{11}+\frac{5\sqrt{7}}{3}$.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબ અંતર છે:
$r = 4\sqrt{\frac{7}{5}} \implies r^{2} = \frac{112}{5}$.
$(5h-8k)^{2}+5r^{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$5h-8k = -8\sqrt{11} \implies (5h-8k)^{2} = 704$.
$5r^{2} = 112$.
કુલ સરવાળો $704 + 112 = 816$ થાય છે.

(A) વર્તુળ $C_{1}$ નું કેન્દ્ર $(2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $2$ છે. તેનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = 4$ છે,જે $x^2 + y^2 - 4x = 0$ થાય છે.
રેખા $y = 2x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + (2x)^2 - 4x = 0$,તેથી $5x^2 - 4x = 0$. આમ,$x = 0$ ($O$ પાસે) અથવા $x = 4/5$ ($A$ પાસે).
$x = 4/5$ માટે,$y = 2(4/5) = 8/5$. તેથી,$A = (4/5, 8/5)$.
$OA$ નો ઢાળ $m = 2$ છે. ધારો કે $\theta$ એ $OA$ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = 2$.
$C_{2}$ ના બિંદુ $A$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OA$ ને લંબ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $-1/2$ થશે.
બિંદુ $A(4/5, 8/5)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 8/5 = -1/2(x - 4/5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 4$ થાય છે.
$x$-અંતઃખંડ $P$ માટે $y=0$ લેતા,$x=4$,તેથી $P = (4, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ $Q$ માટે $x=0$ લેતા,$2y=4$,તેથી $y=2$,$Q = (0, 2)$.
અંતર $AP = \sqrt{(4 - 4/5)^2 + (0 - 8/5)^2} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$.
અંતર $QA = \sqrt{(0 - 4/5)^2 + (2 - 8/5)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
ગુણોત્તર $QA : AP = \frac{2\sqrt{5}}{5} : \frac{8\sqrt{5}}{5} = 2 : 8 = 1 : 4$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$ છે.
ધારો કે $C$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $AB = 12$ હોવાથી,$AM = 6$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AMC$ માં,$AC = \frac{13}{2}$ અને $AM = 6$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 6^2} = \sqrt{\frac{169}{4} - 36} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
ધારો કે $\angle ACM = \theta$. તો $\sin \theta = \frac{AM}{AC} = \frac{12}{13}$ અને $\cos \theta = \frac{CM}{AC} = \frac{5}{13}$.
$\triangle PAC$ માં,$\angle PAC = 90^\circ$ કારણ કે $PA$ સ્પર્શક છે.
$\triangle PAC$ માં,$AM$ એ કર્ણ $PC$ પરનો વેધ છે. તેથી,$AM^2 = PM \cdot MC$.
$6^2 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies 36 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies PM = \frac{72}{5}$.
બિંદુ $P$ નું જીવા $AB$ થી અંતર $PM$ છે.
તેથી,$5(PM) = 5 \cdot \frac{72}{5} = 72$.

(C) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $OR$ એ $\angle PRQ$ નો દ્વિભાજક છે. ધારો કે $M$ એ $PQ$ અને $OR$ નું છેદબિંદુ છે. $RP=RQ$ હોવાથી,$\triangle RPQ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,અને $RM \perp PQ$ તથા $PM = MQ = \frac{1}{2} PQ = 3$ થાય.
કાટકોણ $\triangle RPM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$RM^2 = PR^2 - PM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow RM = 4$.
ધારો કે $\angle PRM = \theta$. તો $\tan \theta = \frac{PM}{RM} = \frac{3}{4}$.
કાટકોણ $\triangle OPR$ માં (જ્યાં $\angle OPR = 90^\circ$ કારણ કે $PR$ સ્પર્શક છે),$\angle ORP = \theta$ છે. તેથી,$\tan \theta = \frac{OP}{PR} = \frac{r}{5}$.
$\tan \theta$ માટેની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$\frac{r}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow r = \frac{15}{4}$.

(A) $PR$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle PQR = 90^\circ$ થાય. તેથી,$PQ$ અને $QR$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
$m_{QR} = \frac{4-10}{\alpha-9} = \frac{-6}{\alpha-9}$.
$m_{PQ} \cdot m_{QR} = -1$ હોવાથી,$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{-6}{\alpha-9}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{-4}{\alpha-9} = -1$ $\Rightarrow \alpha-9 = 4$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
તેથી,$R = (13, 4)$. વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે,$O = \left(\frac{-3+13}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (5, 3)$.
$Q(9, 10)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OQ$ ને લંબ છે. $m_{OQ} = \frac{10-3}{9-5} = \frac{7}{4}$.
સ્પર્શક $QS$ નો ઢાળ $= -\frac{4}{7}$.
$QS$ નું સમીકરણ: $y-10 = -\frac{4}{7}(x-9)$ $\Rightarrow 7y - 70 = -4x + 36$ $\Rightarrow 4x + 7y = 106 \quad (1)$.
$R(13, 4)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OR$ ને લંબ છે. $m_{OR} = \frac{4-3}{13-5} = \frac{1}{8}$.
સ્પર્શક $RS$ નો ઢાળ $= -8$.
$RS$ નું સમીકરણ: $y-4 = -8(x-13)$ $\Rightarrow y-4 = -8x + 104$ $\Rightarrow 8x + y = 108 \quad (2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $(2)$ પરથી,$y = 108 - 8x$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$4x + 7(108 - 8x) = 106$ $\Rightarrow 4x + 756 - 56x = 106$ $\Rightarrow 52x = 650$ $\Rightarrow x = \frac{650}{52} = 12.5 = \frac{25}{2}$.
$y = 108 - 8(\frac{25}{2}) = 108 - 100 = 8$.
$S = (12.5, 8)$. $S$ એ $2x - ky = 1$ પર હોવાથી:
$2(12.5) - k(8) = 1$ $\Rightarrow 25 - 8k = 1$ $\Rightarrow 8k = 24$ $\Rightarrow k = 3$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x + 10y - 15 = 0$ છે.
બિંદુ $A(4, -11)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x - 12y - 152 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $B(8, -5)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x = 8$ મળે છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $C = (8, -\frac{28}{3})$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $3x - 2y - 34 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C$ થી રેખા $AB$ નું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $r$ છે:
$r = \frac{|3(8) - 2(-\frac{28}{3}) - 34|}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{3}$.

(A) વક્રો $S_1: y^2=2x$ અને $S_2: x^2+y^2=4x$ છે.
બિંદુ $P(2,2)$ બંને વક્રો પર છે.
$S_1$ ને $P(2,2)$ આગળ સ્પર્શક $T_1: y(2) = x+2$ એટલે કે $x-2y+2=0$ છે.
$S_2$ ને $P(2,2)$ આગળ સ્પર્શક $T_2: x(2)+y(2) = 2(x+2)$ એટલે કે $y=2$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y+2=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$T_1$ અને $T_2$ નું છેદબિંદુ: $P(2,2)$.
$T_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $Q(-2,0)$.
$T_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $R(-4,2)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{20}$,$QR = \sqrt{8}$,$RP = 6$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = 6$.
પરિવૃતની ત્રિજ્યા $r = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{8} \cdot 6}{24} = \sqrt{10}$.
તેથી,$r^2 = 10$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (1, -\frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{5}{2}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{S_1} = \frac{5}{4}$ છે.
કેન્દ્ર $C$ થી બિંદુ $R$ નું અંતર $d = \frac{5\sqrt{5}}{4}$ છે.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{r L^3}{r^2 + L^2} = \frac{(\frac{5}{2}) \cdot (\frac{5}{4})^3}{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{4})^2} = \frac{5}{8}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y+8=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3, -2)$ છે.
$OP$ અને $OQ$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો હોવાથી,$\angle OPO = 90^\circ$ અને $\angle OQO = 90^\circ$ થાય.
આમ,$OP$ અને $OQ$ ઉગમબિંદુ $O$ અને કેન્દ્ર $C(3, -2)$ આગળ કાટખૂણો બનાવે છે.
$OC$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ એ $\triangle OPQ$ નું પરિવર્તુળ છે.
$O(0, 0)$ અને $C(3, -2)$ ને જોડતા વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-0)(x-3) + (y-0)(y+2) = 0$
$x^2 - 3x + y^2 + 2y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0$
આ વર્તુળ $(\alpha, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\alpha^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3\alpha + 2(\frac{1}{2}) = 0$
$\alpha^2 + \frac{1}{4} - 3\alpha + 1 = 0$
$\alpha^2 - 3\alpha + \frac{5}{4} = 0$
$4\alpha^2 - 12\alpha + 5 = 0$
$(2\alpha - 1)(2\alpha - 5) = 0$
તેથી,$\alpha = \frac{1}{2}$ અથવા $\alpha = \frac{5}{2}$ મળે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{19} + \frac{y^2}{15} = 1$ છે.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{19m^2 + 15}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,0)$ થી તેનું લંબ અંતર $4$ છે.
$\left| \frac{\pm \sqrt{19m^2 + 15}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$19m^2 + 15 = 16m^2 + 16$,એટલે કે $3m^2 = 1$,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ $y$-અક્ષ છે,તેથી સ્પર્શક ગૌણ અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

(A) કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ એ અભિલંબ રેખા $4x + 3y = 1$ પર આવેલું છે,તેથી $4\alpha + 3\beta = 1$,જે આપે છે $\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ થી બે સ્પર્શકો $3x + 4y - 24 = 0$ અને $3x - 4y - 32 = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$r = \left| \frac{3\alpha + 4\beta - 24}{5} \right| = \left| \frac{3\alpha - 4\beta - 32}{5} \right|$.
$\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$ મૂકતા:
$r = \left| \frac{3\alpha + 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 24}{5} \right| = \left| \frac{-7\alpha - 68}{15} \right|$.
$r = \left| \frac{3\alpha - 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 32}{5} \right| = \left| \frac{25\alpha - 100}{15} \right| = \left| \frac{5(\alpha - 4)}{3} \right|$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$|-7\alpha - 68| = |25\alpha - 100|$.
કિસ્સો $1$: $-7\alpha - 68 = 25\alpha - 100$ $\Rightarrow 32 = 32\alpha$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
ત્યારે $\beta = -1$. ત્રિજ્યા $r = 5$. $r < 8$ હોવાથી,આ માન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $-7\alpha - 68 = -(25\alpha - 100) \Rightarrow \alpha = \frac{28}{3}$.
ત્યારે $r = \frac{80}{9} \approx 8.88$. $r > 8$ હોવાથી,આ અસ્વીકાર્ય છે.
આમ,$\alpha = 1, \beta = -1, r = 5$.
$\alpha - \beta + r = 1 - (-1) + 5 = 7$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=50$ છે,તેથી કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળ રેખા $x+y=0$ ને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ થી રેખા $x+y=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}}$.
$d = r$ લેતા,આપણને $\frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$ મળે છે.
$|\alpha+\beta| = 5 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 10$.
$\alpha, \beta > 0$ હોવાથી,$\alpha+\beta = 10$ મળે.
તેથી,$(\alpha+\beta)^2 = 10^2 = 100$.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે વ્યાસ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $8x - 12y = 20$ અને $9x - 12y = 21$ મળે છે.
બીજામાંથી પ્રથમ બાદ કરતા $x = 1$ મળે છે. $x = 1$ ને $2(1) - 3y = 5$ માં મૂકતા,$-3y = 3$,તેથી $y = -1$ મળે છે. આમ,કેન્દ્ર $C$ એ $(1, -1)$ છે.
રેખા $AB$ એ $A\left(-\frac{22}{7}, -4\right)$ અને $B\left(-\frac{1}{7}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય છે. $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - (-4)}{-1/7 - (-22/7)} = \frac{7}{21/7} = \frac{7}{3}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - 3 = \frac{7}{3}(x + \frac{1}{7})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3y - 9 = 7x + 1$ અથવા $7x - 3y + 10 = 0$ થાય છે.
રેખા વર્તુળને માત્ર એક બિંદુ $P$ પર છેદે છે,તેથી તે $P$ આગળ સ્પર્શક છે. આમ,$CP$ એ $AB$ ને લંબ છે.
$CP$ નો ઢાળ $-\frac{1}{7/3} = -\frac{3}{7}$ છે. $C(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $CP$ નું સમીકરણ $y + 1 = -\frac{3}{7}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $7y + 7 = -3x + 3$ અથવા $3x + 7y + 4 = 0$ થાય છે.
$7x - 3y = -10$ અને $3x + 7y = -4$ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $7$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા: $49x - 21y = -70$ અને $9x + 21y = -12$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $58x = -82$,તેથી $x = \alpha = -\frac{41}{29}$ મળે છે.
$x = -\frac{41}{29}$ ને $3x + 7y = -4$ માં મૂકતા: $3(-\frac{41}{29}) + 7y = -4 \implies -\frac{123}{29} + 7y = -4 \implies 7y = -4 + \frac{123}{29} = \frac{7}{29} \implies y = \beta = \frac{1}{29}$.
અંતે,$17\beta - \alpha = 17(\frac{1}{29}) - (-\frac{41}{29}) = \frac{17 + 41}{29} = \frac{58}{29} = 2$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ છે. સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C(3, 2)$ મળે છે.
$PA$ અને $PB$ એ બિંદુ $P(1,8)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો હોવાથી,ત્રિજ્યાઓ $CA$ અને $CB$ અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શકોને લંબ છે. તેથી,$\angle PAC = 90^\circ$ અને $\angle PBC = 90^\circ$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $PC$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે. ત્રિકોણ $PAB$ આ વર્તુળમાં અંતર્ગત છે,તેથી $\triangle PAB$ નું પરિવર્તુળ એ $PC$ વ્યાસ ધરાવતું વર્તુળ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$P(1,8)$ અને $C(3,2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x-1)(x-3) + (y-8)(y-2) = 0$
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 10y + 16 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 19 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(at^2, 2at)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. અહીં $a = 1$ હોવાથી,અભિલંબ $y = -tx + 2t + t^3$ થશે.
$(1, 2)$ બિંદુએ $t = 1$,તેથી અભિલંબ $y = -x + 2 + 1$ એટલે કે $x + y = 3$ મળે.
$(1, -2)$ બિંદુએ $t = -1$,તેથી અભિલંબ $y = -(-1)x + 2(-1) + (-1)^3$ એટલે કે $x - y = 3$ મળે.
અભિલંબ $x + y - 3 = 0$ અને $x - y - 3 = 0$ છે. આ રેખાઓ વર્તુળ $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, -2)$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી રેખા $x + y - 3 = 0$ નું લંબઅંતર $r = \frac{|3 + (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$r^2 = 2$.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $P(0, \alpha)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. રેખા $2x - y = 0$ એ $A_1$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
કેન્દ્ર $(0, \alpha)$ થી રેખા $2x - y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય છે:
$\frac{|2(0) - \alpha|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = r \implies \frac{|-\alpha|}{\sqrt{5}} = r \implies \alpha = r\sqrt{5}$.
આપેલ છે કે $\alpha + r = 5 + \sqrt{5}$,તેથી $\alpha = r\sqrt{5}$ મૂકતા:
$r\sqrt{5} + r = 5 + \sqrt{5} \implies r(\sqrt{5} + 1) = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1) \implies r = \sqrt{5}$.
તેથી $\alpha = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$. આમ,કેન્દ્ર $P(0, 5)$ છે.
બિંદુ $A_1$ એ $P(0, 5)$ થી રેખા $2x - y = 0$ પરના લંબનો લંબપાદ છે:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 5}{-1} = -\frac{2(0) - 5}{2^2 + (-1)^2} = \frac{5}{5} = 1$.
$x = 2(1) = 2$ અને $y - 5 = -1 \implies y = 4$. તેથી,$A_1 = (2, 4)$.
$A_1 B_1$ એ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $P(0, 5)$ એ $A_1 B_1$ નું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે $B_1 = (x_1, y_1)$:
$\frac{x_1 + 2}{2} = 0 \implies x_1 = -2$.
$\frac{y_1 + 4}{2} = 5 \implies y_1 + 4 = 10 \implies y_1 = 6$.
તેથી,$B_1 = (-2, 6)$.
પરિણામોને જોડતા:
$(P) \alpha = 5 \rightarrow (4)$
$(Q) r = \sqrt{5} \rightarrow (2)$
$(R) A_1 = (2, 4) \rightarrow (5)$
$(S) B_1 = (-2, 6) \rightarrow (3)$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(P) \rightarrow (4), (Q) \rightarrow (2), (R) \rightarrow (5), (S) \rightarrow (3)$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x^2 = y - 6$ છે,જેને $y = x^2 + 6$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dy}{dx} = 2x$.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ,ઢાળ $m = 2(1) = 2$ થાય.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 7 = 2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 5 = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x + 12y + C = 0$ ને સ્પર્શે છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-8, -6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 - C} = \sqrt{64 + 36 - C} = \sqrt{100 - C}$ છે.
કેન્દ્ર $(-8, -6)$ થી રેખા $2x - y + 5 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$r = \frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-16 + 6 + 5|}{\sqrt{5}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $r^2 = 5$ મળે,તેથી $100 - C = 5$,જેનો અર્થ છે કે $C = 95$.

(D) આપેલ વક્ર $xy = 100$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
બિંદુ $(5, 20)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{20}{5} = -4$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 20 = -4(x - 5) \implies y - 20 = -4x + 20 \implies 4x + y - 40 = 0$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{4}$ થાય.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 20 = \frac{1}{4}(x - 5) \implies 4y - 80 = x - 5 \implies x - 4y + 75 = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(4x + y - 40)(x - 4y + 75) = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2 - 16xy + 300x + xy - 4y^2 + 75y - 40x + 160y - 3000 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા: $4x^2 - 15xy - 4y^2 + 260x + 235y - 3000 = 0$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ સાચો નથી.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $ax^2 = 2y^2 - b$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2ax = 4y \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2ax}{4y} = \frac{ax}{2y}$.
$(1, -1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m = \frac{a(1)}{2(-1)} = -\frac{a}{2}$.
આપેલ રેખા $x + y = 0$ છે,જેને $y = -x$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે.
રેખા વક્રને $(1, -1)$ બિંદુએ સ્પર્શતી હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2$.
હવે,$a = 2$ અને બિંદુ $(1, -1)$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1)^2 = 2(-1)^2 - b$
$2 = 2 - b \implies b = 0$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x=3 \cos \theta$ અને $y=3 \sin \theta$ છે.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $x^2+y^2 = 9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 9$ મળે છે,જે $r=3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ આગળ સ્પર્શબિંદુ $x_1 = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ અને $y_1 = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x(\frac{3}{\sqrt{2}}) + y(\frac{3}{\sqrt{2}}) = 9$ મળે છે.
બંને બાજુ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ વડે ગુણતા,આપણને $x+y = 3\sqrt{2}$ મળે છે.

(C) વર્તુળના અભિલંબ તેના કેન્દ્રમાં છેદે છે. આપેલ $(x - 1)(y - 2) = 0$ પરથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
રેખા $3x + 4y = 6$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી રેખા $3x + 4y - 6 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 1$.
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે. બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ વર્તુળ પર છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ છે,જે $\sqrt{3}x+y=4$ મળે છે.
સ્પર્શક માટે,$y=0$ લેતા $X$-અંતઃખંડ $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે. તેથી બિંદુ $A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0, 0)$ અને $(\sqrt{3}, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અથવા $x - \sqrt{3}y = 0$ છે.
અભિલંબનો $X$-અંતઃખંડ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ અને $P(\sqrt{3}, 1)$ છે.
$X$-અક્ષ પરનો પાયો $OA = \frac{4}{\sqrt{3}}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=36$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=6$ છે.
આપેલ રેખા $5x+y=2$ છે,જેને $y=-5x+2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1=-5$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times (-5) = -1$ શરતનું પાલન કરે છે,જે $m = \frac{1}{5}$ આપે છે.
$m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ અથવા $mx - y + c = 0$ છે. અહીં,$\frac{1}{5}x - y + c = 0$,જે $x - 5y + 5c = 0$ માં પરિણમે છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી સ્પર્શક રેખા $x - 5y + 5c = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=6$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 = \frac{|0 - 0 + 5c|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$.
$6 = \frac{|5c|}{\sqrt{26}} \implies |5c| = 6\sqrt{26} \implies 5c = \pm 6\sqrt{26}$.
$5c$ ની કિંમત $x - 5y + 5c = 0$ માં મૂકતા,આપણને $x - 5y \pm 6\sqrt{26} = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=36$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=6$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
રેખા $5x+y-2=0$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $x-5y+k=0$ થશે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી સ્પર્શક $x-5y+k=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=6$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 = \frac{|1(0)-5(0)+k|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$.
$6 = \frac{|k|}{\sqrt{26}}$,જેનો અર્થ છે કે $|k| = 6\sqrt{26}$.
આમ,$k = \pm 6\sqrt{26}$.
તેથી સ્પર્શકોના સમીકરણો $x-5y \pm 6\sqrt{26}=0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $C(-3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
બિંદુ $P(-4, -5)$ થી કેન્દ્ર $C$ નું અંતર $d = \sqrt{1^2 + 7^2} = 5\sqrt{2}$ છે.
સ્પર્શક અને કેન્દ્રને જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $25$ છે અને બે વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{25\pi}{4}$ છે.
માગેલ ક્ષેત્રફળ $25 - \frac{25\pi}{4} = 25\left(\frac{4-\pi}{4}\right)$ ચોરસ એકમ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=2$ અને કેન્દ્ર $O=(0,0)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $(-4,0)$ છે. અંતર $OP = 4$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં (જ્યાં $\angle OAP = 90^\circ$ કારણ કે $PA$ સ્પર્શક છે),
$OA = r = 2$ અને $OP = 4$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AP = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
$\triangle OAP$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.
ચતુષ્કોણ $PAOB$ એ બે એકરૂપ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ અને $\triangle OBP$ થી બનેલો હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-7)^2+(y+1)^2=25$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(7, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી કેન્દ્ર $C(7, -1)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sin(\alpha) = \frac{r}{d}$ છે.
આમ,$\sin(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{50}}$.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{50}}\right)$ છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $a = 1$. તેથી,$y = mx + \frac{1}{m}$.
આને $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^2 + y^2 = 9$ નો પણ સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(3) - 0 + \frac{1}{m}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$
$|3m + \frac{1}{m}| = 3\sqrt{m^2 + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m + \frac{1}{m})^2 = 9(m^2 + 1)$
$9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2} = 9m^2 + 9$
$\frac{1}{m^2} = 3 \implies m^2 = \frac{1}{3} \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,આપણે ધન ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ લઈશું.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$,એટલે કે $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=5$ ના બિંદુ $(1, -2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = r^2$ મુજબ $x(1) + y(-2) = 5$ એટલે કે $x - 2y = 5$ થાય.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ માટે સ્પર્શબિંદુ આ રેખા પર હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(3, -1)$ માટે: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$. આ બિંદુ સ્પર્શકની રેખા પર છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(3, -1)$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે બિંદુ $P(\theta)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \sin \theta = a$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $a = 5$ અને ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = 5$
$x \left( \frac{1}{2} \right) + y \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 5$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x + \sqrt{3} y = 10$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-5y-1=0$ છે. તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3$ અને $f=-2.5$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2.5)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(x_2, y_2)$ છે. કેન્દ્ર $(3, 2.5)$ એ $(-1, 3)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{-1+x_2}{2} = 3 \Rightarrow x_2 = 7$
$\frac{3+y_2}{2} = 2.5 \Rightarrow y_2 = 2$
તેથી,બીજું અંત્યબિંદુ $(7, 2)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
$(x_1, y_1) = (7, 2)$,$g=-3$,$f=-2.5$,અને $c=-1$ મૂકતા:
$7x + 2y - 3(x+7) - 2.5(y+2) - 1 = 0$
$7x + 2y - 3x - 21 - 2.5y - 5 - 1 = 0$
$4x - 0.5y - 27 = 0$
$2$ વડે ગુણતા,$8x - y - 54 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
આપેલી રેખા $x+2y+3=0$ છે,જેને $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકો આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમનો ઢાળ પણ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા $x^2+y^2=r^2$ વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}$ છે.
$m = -\frac{1}{2}$ અને $r = 2$ મૂકતા:
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + (-\frac{1}{2})^2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{\frac{5}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{5}$
$2$ વડે ગુણતા:
$2y = -x \pm 2\sqrt{5}$
$x+2y = \pm 2\sqrt{5}$

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=(8)^2$ ની ત્રિજ્યા $r=8$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
બિંદુ $P$ ના યામ $\theta = \frac{2\pi}{3}$ માટે:
$P \equiv (8 \cos \frac{2\pi}{3}, 8 \sin \frac{2\pi}{3}) = (-4, 4\sqrt{3})$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-4x + 4\sqrt{3}y = 64$.
$-4$ વડે ભાગતા: $x - \sqrt{3}y + 16 = 0$ મળે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x-4y+9=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-3, f=-2, c=9$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-2)^{2}-9} = \sqrt{9+4-9} = \sqrt{4} = 2$ છે.
રેખા $4x+3y-8=0$ સ્પર્શક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d$ શોધીએ:
$d = \left|\frac{4(3)+3(2)-8}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\right| = \left|\frac{12+6-8}{\sqrt{16+9}}\right| = \left|\frac{10}{5}\right| = 2$.
અહીં લંબ અંતર $d$ એ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું $(d=r=2)$ હોવાથી,આ રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
રેખા $4x+3y+5=0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $4x+3y+k=0$ છે.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે:
$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = 5$
$|6+k| = 25$
$k = 19$ અથવા $k = -31$.
તેથી,સ્પર્શકોના સમીકરણો $4x+3y+19=0$ અને $4x+3y-31=0$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ છે.
વર્તુળ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{t} = -\cot \theta$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ થશે.
અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - r \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - r \cos \theta)$.
$y \cos \theta - r \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - r \sin \theta \cos \theta$.
$x \sin \theta - y \cos \theta = 0$.

(B) બિંદુ $(3,2)$ માંથી વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ પરના સ્પર્શકોનું સમીકરણ $y-2 = m(x-3)$ છે,એટલે કે $mx-y+(2-3m)=0$.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(0,0)$ થી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા $r=2$ જેટલું હોય.
તેથી,$\frac{|2-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2-3m)^{2} = 4(m^{2}+1)$.
$4-12m+9m^{2} = 4m^{2}+4$.
$5m^{2}-12m = 0$.
$m(5m-12) = 0$.
આમ,ઢાળ $m_{1} = 0$ અને $m_{2} = \frac{12}{5}$ મળે છે.
તેથી,$|m_{1}-m_{2}| = \frac{12}{5}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=13$ છે.
બિંદુનો યામ $x=2$ હોવાથી,વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2^{2}+y^{2}=13$
$4+y^{2}=13$
$y^{2}=9$
$y=\pm 3$.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(2, -3)$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે: $2x+3y=13$.
બિંદુ $(2, -3)$ માટે: $2x-3y=13$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x+3y=13$ અને $2x-3y=13$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$P(1, 7)$ માંથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{1^2 + 7^2 - 25} = \sqrt{1 + 49 - 25} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ચતુષ્કોણ $PQOR$ માં,$PQ$ અને $PR$ સ્પર્શકો છે,તેથી $PQ = PR = 5$.
વળી,$OQ = OR = 5$ (વર્તુળની ત્રિજ્યા).
સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $PQOR$ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQO$ અને $\triangle PRO$ નો બનેલો છે.
$\triangle PQO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ચતુષ્કોણ $PQOR$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 12.5 = 25 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=2^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PBO$ માં,સ્પર્શકની લંબાઈ $PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle PBO$ અને $\triangle PAO$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle PBO \cong \triangle PAO$ હોવાથી,$PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle PBO)$ થાય.
$\triangle PBO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times PB \times OB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$ છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=25$ છે,તેથી કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(1,7)$ છે. અંતર $OP = \sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ધારો કે $T$ એ સ્પર્શબિંદુ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPT$ માં,$\sin(\angle OPT) = \frac{OT}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\angle OPT = 45^{\circ}$.
બંને સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \times \angle OPT = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) પરવલય $y^{2}=4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $a=1$. તેથી,$y=mx+\frac{1}{m}$.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^{2}+y^{2}=9$ ને પણ સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(3,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=3$ છે.
કેન્દ્ર $(3,0)$ થી રેખા $mx-y+\frac{1}{m}=0$ નું લંબ અંતર $3$ હોવું જોઈએ:
$\frac{|m(3)-0+\frac{1}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=3$
$|3m+\frac{1}{m}|=3\sqrt{m^{2}+1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3m+\frac{1}{m})^{2}=9(m^{2}+1)$
$9m^{2}+6+\frac{1}{m^{2}}=9m^{2}+9$
$\frac{1}{m^{2}}=3$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષની ઉપર હોવાથી,આપણે $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ લઈશું.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા $\sqrt{3}y=x+3$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $2x^{2} + 2y^{2} - 3x + 4y = 0$ છે. $2$ વડે ભાગતા,આપણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $x^{2} + y^{2} - \frac{3}{2}x + 2y = 0$.
અહીં,$AB$ એ બિંદુ $B(2, 1)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ દર્શાવે છે.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ થી વર્તુળ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2gx_{1} + 2fy_{1} + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B(2, 1)$ ના યામ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(2)^{2} + (1)^{2} - \frac{3}{2}(2) + 2(1)}$
$AB = \sqrt{4 + 1 - 3 + 2}$
$AB = \sqrt{4} = 2 \text{ એકમ}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2 + y^2 = 16x$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 16x + y^2 = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x - 8)^2 + y^2 = 64$
આમ,કેન્દ્ર $(8, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 8$ છે.
રેખા $3x + 4y - k = 0$ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(8, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 8$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$8 = \frac{|3(8) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$8 = \frac{|24 - k|}{5}$
$|24 - k| = 40$
કિસ્સો $1$: $24 - k = 40 \Rightarrow k = -16$
કિસ્સો $2$: $24 - k = -40 \Rightarrow k = 64$
તેથી,$k$ ની કિંમતો $-16$ અને $64$ છે.

(A) $(-5, -4)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y+4 = m(x+5)$ છે,જે $mx - y + (5m - 4) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^{2} + (-3)^{2} - 8} = \sqrt{5}$ છે.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(-2, -3)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|m(-2) - (-3) + (5m - 4)|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \sqrt{5}$
$|3m - 1| = \sqrt{5} \sqrt{m^{2} + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m - 1)^{2} = 5(m^{2} + 1)$
$9m^{2} - 6m + 1 = 5m^{2} + 5$
$4m^{2} - 6m - 4 = 0$
$(2m + 1)(m - 2) = 0$
તેથી,$m = 2$ અથવા $m = -\frac{1}{2}$.
$m = 2$ માટે: $2x - y + 6 = 0$.
$m = -\frac{1}{2}$ માટે: $x + 2y + 13 = 0$.