Tangent and normal to a circle Questions in Gujarati

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = 5$ છે.
રેખા $3x - 4y - \lambda = 0$ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
$\frac{|3(2) - 4(4) - \lambda|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5$.
$\frac{|-10 - \lambda|}{5} = 5$.
$|-10 - \lambda| = 25$.
તેથી,$-10 - \lambda = 25$ અથવા $-10 - \lambda = -25$.
આમ,$\lambda = -35$ અથવા $\lambda = 15$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + b^2 = 0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $(g, f) = (a, b)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{a^2 + b^2 - b^2} = \sqrt{a^2} = |a|$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય,તો કેન્દ્ર $(a, b)$ થી ઉગમબિંદુનું અંતર $\sqrt{2} \times r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$(0, 0)$ થી $(a, b)$ નું અંતર $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2} \times |a|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2 + b^2 = 2a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $b^2 = a^2$ અથવા $a^2 = b^2$ થાય છે.

(A) કોઈપણ રેખા વર્તુળનો અભિલંબ ત્યારે જ હોય જો તે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ એ અભિલંબ હોવાથી,બિંદુ $(-g, -f)$ રેખાના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = -g$ અને $y = -f$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$l(-g) + m(-f) + n = 0$
$-lg - mf + n = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$lg + mf - n = 0$.

(B) આપેલ સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x - 4y - 9 = 0$ અને $6x - 12y + 7 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $6x - 12y - 27 = 0$.
સ્પર્શકો સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ $d$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 6, B = -12, C_1 = -27, C_2 = 7$.
$d = \frac{|-27 - 7|}{\sqrt{6^2 + (-12)^2}} = \frac{|-34|}{\sqrt{36 + 144}} = \frac{34}{\sqrt{180}} = \frac{34}{6\sqrt{5}} = \frac{17}{3\sqrt{5}}$.
ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસ કરતા અડધી હોય છે: $r = \frac{d}{2} = \frac{17}{2 \times 3\sqrt{5}} = \frac{17}{6\sqrt{5}}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ છે.
$y = mx + c$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = mx + k$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $mx - y + k = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|m(0) - (0) + k|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = a$ છે.
આથી $\frac{|k|}{\sqrt{m^2 + 1}} = a$,જે $|k| = a\sqrt{1 + m^2}$ આપે છે.
તેથી,$k = \pm a\sqrt{1 + m^2}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ છે.
રેખા $x = 7$ સાથેના સ્પર્શબિંદુને શોધવા માટે,વર્તુળના સમીકરણમાં $x = 7$ મૂકતા:
${(7)^2} + {y^2} - 4(7) - 6y - 12 = 0$
$49 + {y^2} - 28 - 6y - 12 = 0$
${y^2} - 6y + 9 = 0$
આ પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે:
${(y - 3)^2} = 0$
$y = 3$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(7, 3)$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = b^2$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm b\sqrt{1 + m^2}$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $y = mx - b\sqrt{1 + m^2}$ હોવાથી,તે પ્રથમ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
આ રેખા બીજા વર્તુળ $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ નો સ્પર્શક બને તે માટે,કેન્દ્ર $(a, 0)$ થી રેખા $mx - y - b\sqrt{1 + m^2} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $b$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|ma - 0 - b\sqrt{1 + m^2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = b$.
$a > 2b$ હોવાથી,$ma > b\sqrt{1 + m^2}$ મળે,તેથી $ma - b\sqrt{1 + m^2} = b\sqrt{m^2 + 1}$.
$ma = 2b\sqrt{1 + m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$m^2 a^2 = 4b^2(1 + m^2) = 4b^2 + 4b^2 m^2$.
$m^2(a^2 - 4b^2) = 4b^2$.
$m^2 = \frac{4b^2}{a^2 - 4b^2}$.
$m$ ની ધન કિંમત માટે,$m = \frac{2b}{\sqrt{a^2 - 4b^2}}$.

(B) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે.
આ બિંદુ રેખા $x + 2y + 12 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$x_1 + 2y_1 = -12$ $(i)$.
રેખા $x + 2y + 12 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
ત્રિજ્યા $OP$ એ સ્પર્શકને લંબ છે,તેથી $OP$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{m_2} = 2$ થાય.
$OP$ નો ઢાળ $\frac{y_1 - 1}{x_1 + 1}$ પણ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{y_1 - 1}{x_1 + 1} = 2$ $\Rightarrow y_1 - 1 = 2x_1 + 2$ $\Rightarrow 2x_1 - y_1 = -3$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$y_1 = 2x_1 + 3$.
તેને $(i)$ માં મૂકતા: $x_1 + 2(2x_1 + 3) = -12$ $\Rightarrow x_1 + 4x_1 + 6 = -12$ $\Rightarrow 5x_1 = -18$ $\Rightarrow x_1 = -\frac{18}{5}$.
તેથી $y_1 = 2(-\frac{18}{5}) + 3 = -\frac{36}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{21}{5}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $\left( -\frac{18}{5}, -\frac{21}{5} \right)$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = a^2$ છે.
બિંદુ $(h, h)$ મૂકતા,આપણને $hx + hy = a^2$ મળે છે,જેને $hx + hy - a^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણ $Ax + By + C = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\frac{A}{B}$ થાય.
તેથી,ઢાળ $m = -\frac{h}{h} = -1$ (જ્યાં $h \neq 0$).

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $2(x^2 + y^2) = 5$ છે,જેને $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 + y^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ એ કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળને સ્પર્શે છે જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
તેથી,$\frac{|4(0) + 3(0) + \lambda|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.
$\frac{|\lambda|}{5} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.
$|\lambda| = 5 \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{10}}{2}$.
આમ,$\lambda = \pm \frac{5\sqrt{10}}{2}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x + 4y + 3 = 0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 1$ અને $f = 2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, -2)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આમ,અભિલંબ $(-1, -2)$ અને $(-2, -3)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{-3 - (-2)}{-2 - (-1)} = \frac{-3 + 2}{-2 + 1} = \frac{-1}{-1} = 1$.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $1$ છે.

(B) આપેલ રેખા $y = mx + c$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $-1/m$ થશે.
ધારો કે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m}x + k$ છે,જેને $x + my - mk = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ માટે સ્પર્શકની શરત મુજબ,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોય.
તેથી,$\frac{|-mk|}{\sqrt{1^2 + m^2}} = a$.
$|mk| = a\sqrt{1 + m^2}$,તેથી $mk = \pm a\sqrt{1 + m^2}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + my = \pm a\sqrt{1 + m^2}$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (a, b)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $O = (0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $OC$ નો ઢાળ $m_{radius} = \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$ છે.
ઉગમબિંદુ આગળનો સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુ $(0, 0)$ આગળ ત્રિજ્યા $OC$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{tangent}$ એ ત્રિજ્યાના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{a}{b}$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{a}{b}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 0 = -\frac{a}{b}(x - 0)$
$y = -\frac{a}{b}x$
$by = -ax$
$ax + by = 0$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 6 = 0$ છે,જ્યાં $g = 1$,$f = -3$,અને $c = -6$ છે.
બિંદુ $(4, 5)$ હોવાથી,$x_1 = 4$ અને $y_1 = 5$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $= \sqrt{4^2 + 5^2 + 2(4) - 6(5) - 6}$
$= \sqrt{16 + 25 + 8 - 30 - 6}$
$= \sqrt{49 - 36}$
$= \sqrt{13}$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
$x + 2y + 3 = 0$ ને સમાંતર કોઈપણ રેખાને $x + 2y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક હોય તે માટે,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 2$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$(x_1, y_1)$ થી $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{|1(0) + 2(0) + \lambda|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = 2$
$\frac{|\lambda|}{\sqrt{5}} = 2$
$|\lambda| = 2\sqrt{5}$
$\lambda = \pm 2\sqrt{5}$
$\lambda$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x + 2y \pm 2\sqrt{5} = 0$ મળે છે,એટલે કે $x + 2y = \pm 2\sqrt{5}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 - 2x - 5y + 3 = 0$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - x - \frac{5}{2}y + \frac{3}{2} = 0$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - \frac{1}{2}(x + x_1) - \frac{5}{4}(y + y_1) + \frac{3}{2} = 0$ છે.
$(1, 1)$ મૂકતા,$x + y - \frac{1}{2}(x + 1) - \frac{5}{4}(y + 1) + \frac{3}{2} = 0$ મળે.
$4$ વડે ગુણતા,$4x + 4y - 2x - 2 - 5y - 5 + 6 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2x - y - 1 = 0$ થાય છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 2$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$ છે.
$2y - 2 = -x + 1$,તેથી $x + 2y = 3$ મળે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(3, -4)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0$ છે.
ધારો કે $L$ એ સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
$L^2 = x_1^2 + y_1^2 - 4x_1 - 6y_1 + 3$
$x_1 = 3$ અને $y_1 = -4$ મૂકતા:
$L^2 = (3)^2 + (-4)^2 - 4(3) - 6(-4) + 3$
$L^2 = 9 + 16 - 12 + 24 + 3$
$L^2 = 40$.
આમ,સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $40$ છે.

(C) કોઈ રેખા વર્તુળને સ્પર્શે તે માટે,વર્તુળના કેન્દ્રથી રેખા પરના લંબનું અંતર એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ પરના લંબનું અંતર:
$d = \frac{|(0)\cos \alpha + (0)\sin \alpha - p|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}}$
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ હોવાથી:
$d = \frac{|-p|}{\sqrt{1}} = |p|$
અંતરને ત્રિજ્યા સાથે સરખાવતા $(d = a)$:
$|p| = a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
${p^2} = {a^2}$

(B) રેખાનું સમીકરણ $3x - 2y = k$ છે,જેને $y = \frac{3}{2}x - \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{3}{2}$ અને $c = -\frac{k}{2}$ મળે.
વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 4{r^2}$ ની ત્રિજ્યા $a = 2r$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = a^2$ ને સ્પર્શક હોય જો $c^2 = a^2(1 + m^2)$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,$\left(-\frac{k}{2}\right)^2 = (2r)^2 \left(1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right)$.
$\frac{k^2}{4} = 4{r^2} \left(1 + \frac{9}{4}\right)$.
$\frac{k^2}{4} = 4{r^2} \left(\frac{13}{4}\right)$.
$\frac{k^2}{4} = 13{r^2}$.
તેથી,${k^2} = 52{r^2}$.

(C) વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 25$ પરના બિંદુ $P(3, 4)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ મુજબ $3x + 4y = 25$ થાય છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા $3x = 25$,તેથી $x = \frac{25}{3}$. આમ,બિંદુ $A$ એ $(\frac{25}{3}, 0)$ છે.
$x = 0$ લેતા $4y = 25$,તેથી $y = \frac{25}{4}$. આમ,બિંદુ $B$ એ $(0, \frac{25}{4})$ છે.
સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\Delta OAB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં પાયો $OA = \frac{25}{3}$ અને વેધ $OB = \frac{25}{4}$ છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times \frac{25}{4} = \frac{625}{24}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16$ છે,જે $x^2 + y^2 = a^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 4$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોય જો $c^2 = a^2(1 + m^2)$ થાય.
અહીં,$m = 2$ અને $a = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$c^2 = 4^2(1 + 2^2) = 16(1 + 4) = 16(5) = 80$ મળે.
તેથી,$c = \pm \sqrt{80} = \pm 4\sqrt{5}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી $4\sqrt{5}$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $5x^2 + 5y^2 = 1$ છે,જેને $x^2 + y^2 = \frac{1}{5}$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $x^2 + y^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,$r^2 = \frac{1}{5}$,તેથી $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
રેખા $3x + 4y = 1$ ને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $3x + 4y + k = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી સ્પર્શક રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય છે.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
$\frac{|k|}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow |k| = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
આમ,$k = \pm \sqrt{5}$.
તેથી સ્પર્શકોના સમીકરણો $3x + 4y = \pm \sqrt{5}$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તે માટે,ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ હોવો જોઈએ.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા $x = 0$ મળે છે.
વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ માં $x = 0$ મૂકતા,$y^2 = 1$ મળે છે,તેથી $y = \pm 1$.
આમ,બે બિંદુઓ $(0, 1)$ અને $(0, -1)$ છે જ્યાં સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે,અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16 = 4^2$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
$3x - 4y + 7 = 0$ ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x - 4y + k = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(1, -3)$ થી સ્પર્શક $3x - 4y + k = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 4$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = r$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|3(1) - 4(-3) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 4$ મળે.
$\frac{|15 + k|}{5} = 4$.
$|15 + k| = 20$.
તેથી,$15 + k = 20$ અથવા $15 + k = -20$.
આમ,$k = 5$ અથવા $k = -35$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
જો રેખા $Ax + By + C = 0$ વર્તુળને સ્પર્શતી હોય,તો વર્તુળના કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $r = \frac{|3(1) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$.
$r = \frac{|3 + 8 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$.
આમ,$r$ ની કિંમત $2$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ ${x^2 - 3xy - 3x + 9y = 0}$ છે,જેને ${x(x - 3y) - 3(x - 3y) = 0}$ એટલે કે ${(x - 3)(x - 3y) = 0}$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,અભિલંબ ${x = 3}$ અને ${x = 3y}$ છે.
આ રેખાઓનું છેદબિંદુ માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર આપે છે,જે ${(3, 1)}$ છે.
આપેલ વર્તુળ ${x^2 + y^2 - 6x + 6y + 17 = 0}$ છે,જેને ${(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 1}$ તરીકે લખી શકાય.
તેનું કેન્દ્ર ${C_1 = (3, -3)}$ અને ત્રિજ્યા ${r_1 = 1}$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર ${C_2 = (3, 1)}$ અને ત્રિજ્યા ${r_2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ${C_1C_2 = \sqrt{(3 - 3)^2 + (1 - (-3))^2} = 4}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,${C_1C_2 = r_1 + r_2}$.
${4 = 1 + r_2 \implies r_2 = 3}$.
વર્તુળનું સમીકરણ ${(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 3^2}$ છે.
${x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 9}$.
${x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0}$.

(C) પરવલય $y = x^2 + 6$ ના બિંદુ $(1, 7)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{1}{2}(y + 7) = x(1) + 6$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$y + 7 = 2x + 12$,એટલે કે $y = 2x + 5$ $(i)$ મળે છે.
આ સ્પર્શક વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ $(ii)$ ને સ્પર્શે છે.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (2x + 5)^2 + 16x + 12(2x + 5) + c = 0$
$5x^2 + 60x + (85 + c) = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી,વિવેચક શૂન્ય થાય:
$D = (60)^2 - 4(5)(85 + c) = 0 \implies c = 95$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^2 + 60x + 180 = 0$ એટલે કે $x^2 + 12x + 36 = 0$ બને છે.
$(x + 6)^2 = 0 \implies x = -6$.
$x = -6$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y = 2(-6) + 5 = -7$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(-6, -7)$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ ${y^2} = 2(x - 3)$ છે .....$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ થાય.
આપેલ રેખા $y - 2x + 1 = 0$ છે,જેને $y = 2x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $2$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-y = 2 \implies y = -2$.
સમીકરણ $(i)$ માં $y = -2$ મૂકતા:
$(-2)^2 = 2(x - 3)$
$4 = 2(x - 3)$
$2 = x - 3$
$x = 5$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(5, -2)$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $x^2 = 3 - 2y$ છે ...$(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = -2 \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = -x$
વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -x$ છે.
આપેલ રેખા $x + y = 2$ છે,જેને $y = -x + 2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે.
રેખા વક્રને સ્પર્શતી હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$-x = -1$
$x = 1$
$x = 1$ ને વક્રના સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(1)^2 = 3 - 2y$
$1 = 3 - 2y$
$2y = 2$
$y = 1$
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(1, 1)$ છે.

(C) આપેલ વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + 2px + y^2 - 2qy + q^2 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો લંબ હોય તેની શરત $g^2 + f^2 = 2c$ છે.
અહીં $2g = 2p \Rightarrow g = p$,$2f = -2q \Rightarrow f = -q$ અને $c = q^2$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $p^2 + (-q)^2 = 2(q^2)$ $\Rightarrow p^2 + q^2 = 2q^2$ $\Rightarrow p^2 = q^2$ $\Rightarrow p^2 - q^2 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 8 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2 + 0^2 - (-8)} = \sqrt{9} = 3$ છે.
રેખા $3x + 4y - m = 0$ વર્તુળને સ્પર્શે છે જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
$\frac{|3(1) + 4(0) - m|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3$.
$|3 - m| = 15$.
$3 - m = 15$ અથવા $3 - m = -15$.
$m = -12$ અથવા $m = 18$.

(A) ધારો કે વર્તૂળ $S = x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, 1)$ માટે,$S_1 = 0^2 + 1^2 - 2(0) + 4(1) = 5$.
સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 - (x + x_1) + 2(y + y_1) = 0$ છે.
$(0, 1)$ કિંમત મૂકતા,$T = x(0) + y(1) - (x + 0) + 2(y + 1) = -x + 3y + 2$.
સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
$5(x^2 + y^2 - 2x + 4y) = (-x + 3y + 2)^2$.
$5x^2 + 5y^2 - 10x + 20y = x^2 + 9y^2 + 4 - 6xy - 4x + 12y$.
$4x^2 - 4y^2 + 6xy - 6x + 8y - 4 = 0$.
આ પદાવલિના અવયવ પાડતા,$(2x - y + 1)(x + 2y - 2) = 0$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x - y + 1 = 0$ અને $x + 2y - 2 = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નો સ્પર્શક ત્યારે જ બને જો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા પરના લંબનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $lx + my + n = 0$ પરના લંબનું અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|l(0) + m(0) + n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = \frac{|n|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$
$d = r$ લેતા:
$\frac{|n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = r$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{n^2}{l^2 + m^2} = r^2$
તેથી,$n^2 = r^2(l^2 + m^2)$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 3)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2 + 3^2 - 9} = \sqrt{1 + 9 - 9} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $1$ હોવાથી,વર્તુળ $y$-અક્ષ (રેખા $x = 0$) ને $(0, 3)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.

(C) વર્તૂળ $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$ છે. કેન્દ્ર $C(7, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી કેન્દ્ર $C(7, -1)$ સુધીનું અંતર $d$ છે.
$d = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\sin(\theta / 2) = \frac{r}{d} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta / 2 = 45^\circ = \pi / 4$.
માટે,$\theta = 2 \times (\pi / 4) = \pi / 2$.

(C) રેખા $y = x + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ને બે સંપાતબિંદુઓમાં છેદે તો તે વર્તુળનો સ્પર્શક બને.
રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = r^2(1 + m^2)$ છે.
અહીં,$m = 1$ અને $r^2 = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$c^2 = 1(1 + 1^2) = 2$ મળે.
તેથી,$c = \pm \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $C$ એ વર્તૂળનું કેન્દ્ર છે અને $T_1$ એ સ્પર્શબિંદુ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PT_1C$ માં,$P$ આગળનો ખૂણો $\frac{\theta}{2}$ છે.
તેથી,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{PT_1}{CT_1}$.
અહીં,$PT_1$ એ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી વર્તૂળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ છે,જે $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ છે.
$CT_1$ એ ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
તેથી,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{g^2 + f^2 - c}}$.

(A) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 22x - 4y + 25 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(11, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{11^2 + 2^2 - 25} = 10$ છે.
$5x + 12y + 8 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $12x - 5y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(11, 2)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 10$ જેટલું થાય.
$\frac{|12(11) - 5(2) + k|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = 10$
$\frac{|122 + k|}{13} = 10$
$|122 + k| = 130$
$k = 8$ અથવા $k = -252$
તેથી,સ્પર્શકોના સમીકરણ $12x - 5y + 8 = 0$ અને $12x - 5y - 252 = 0$ એટલે કે $12x - 5y = 252$ મળે.

(A) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{h}{k}$ થાય.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પરના બિંદુ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ આગળનો સ્પર્શક $x \cos \theta + y \sin \theta = a$ છે.
વર્તુળ $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 1$ માટે,જો આપણે $X = x - 3$ અને $Y = y - 3$ લઈએ,તો સમીકરણ $X^2 + Y^2 = 1^2$ બને છે.
તેથી,તેનો સ્પર્શક $X \cos \theta + Y \sin \theta = 1$ થાય,જે કિંમત મૂકતા $(x - 3) \cos \theta + (y - 3) \sin \theta = 1$ મળે છે.
આમ,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી વર્તૂળ $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ પર દોરેલા સ્પર્શકો $PT$ અને $PQ$ છે અને $\angle TPQ = \theta$ છે.
જો વર્તૂળનું કેન્દ્ર $O$ હોય,તો $\angle TPO = \angle QPO = \theta/2$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OTP$ માં:
$\tan(\theta/2) = \frac{OT}{PT} = \frac{a}{\sqrt{S_1}}$,જ્યાં $S_1 = \alpha^{2} + \beta^{2} - a^{2}$.
તેથી,$\theta/2 = \tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{S_1}}\right)$.
આમ,$\theta = 2\tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{S_1}}\right)$.

(C) ધારો કે $P = (x_1, y_1)$. $P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$xx_1 + yy_1 + 3(x + x_1) + 3(y + y_1) - 2 = 0$
$x(x_1 + 3) + y(y_1 + 3) + 3x_1 + 3y_1 - 2 = 0 \dots (i)$
$Q$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ છે. $Q$ એ સ્પર્શક અને રેખા $5x - 2y + 6 = 0$ નું છેદબિંદુ હોવાથી,રેખાના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$5(0) - 2y + 6 = 0 \implies 2y = 6 \implies y = 3$. તેથી,$Q = (0, 3)$.
$Q$ એ સ્પર્શક $(i)$ પર હોવાથી,$(0, 3)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$0(x_1 + 3) + 3(y_1 + 3) + 3x_1 + 3y_1 - 2 = 0$
$3y_1 + 9 + 3x_1 + 3y_1 - 2 = 0 \implies 3x_1 + 6y_1 + 7 = 0$.
$PQ^2 = (x_1 - 0)^2 + (y_1 - 3)^2 = x_1^2 + y_1^2 - 6y_1 + 9$.
$P(x_1, y_1)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$x_1^2 + y_1^2 = 2 - 6x_1 - 6y_1$.
આ કિંમત $PQ^2$ માં મૂકતા:
$PQ^2 = (2 - 6x_1 - 6y_1) - 6y_1 + 9 = 11 - 6x_1 - 12y_1 = 11 - 2(3x_1 + 6y_1)$.
$3x_1 + 6y_1 = -7$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ^2 = 11 - 2(-7) = 11 + 14 = 25$.
તેથી,$PQ = 5$.

(B) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 5x + 2y - 48 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (2.5, -1)$ મળે છે.
વર્તૂળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા વર્તૂળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$(5, 6)$ અને $(2.5, -1)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{6 - (-1)}{5 - 2.5} = \frac{7}{2.5} = \frac{14}{5}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 6 = \frac{14}{5}(x - 5)$ છે.
$5(y - 6) = 14(x - 5)$
$5y - 30 = 14x - 70$
$14x - 5y - 40 = 0$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ છે. કેન્દ્ર $A(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$B(1, 7)$ આગળનો સ્પર્શક $y = 7$ છે.
$D(4, -2)$ આગળનો સ્પર્શક $3x - 4y = 20$ છે.
આ બંને સ્પર્શકોને ઉકેલતા $C(16, 7)$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB \times BC$ થાય.
$AB = 5$ અને $BC = \sqrt{(16-1)^2 + (7-7)^2} = 15$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $= 5 \times 15 = 75$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ રેખા $12x - 5y + 9 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{12}{5}$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{5}{12}$ થાય.
વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 2^2$ માટે ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x + 12y = \pm 26$ મળે.
સ્પર્શ બિંદુ $(\frac{-ar^2}{c}, \frac{-br^2}{c})$ સૂત્ર મુજબ,બિંદુઓ $\left( \pm \frac{10}{13}, \pm \frac{24}{13} \right)$ મળે છે. વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $3x - 4y = 0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|3(0) - 4(0)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{0}{5} = 0$.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $0$ હોવાથી,રેખા વર્તૂળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
વર્તૂળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા તે વર્તૂળનો અભિલંબ હોય છે.
તેથી,રેખા $3x - 4y = 0$ એ વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 25$ નો અભિલંબ છે.

(A) લંબચોરસનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને $(8, 6)$ ને જોડતા વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{0+8}{2}, \frac{0+6}{2}) = (4, 3)$ છે.
વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ છે.
પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R = \frac{10}{2} = 5$ છે.
પરિવૃતનું સમીકરણ $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$ થાય છે.
વિકર્ણનો ઢાળ $m = \frac{6-0}{8-0} = \frac{3}{4}$ છે.
વિકર્ણને સમાંતર સ્પર્શકોનું સ્વરૂપ $y = \frac{3}{4}x + c$ એટલે કે $3x - 4y + 4c = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(4, 3)$ થી સ્પર્શકનું અંતર ત્રિજ્યા $R = 5$ જેટલું હોય છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{|3(4) - 4(3) + 4c|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5$.
$\frac{|12 - 12 + 4c|}{5} = 5 \implies |4c| = 25 \implies 4c = \pm 25$.
$4c$ ની કિંમત $3x - 4y + 4c = 0$ માં મૂકતા,આપણને $3x - 4y \pm 25 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -3, f = 2, c = -12$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 - (-12)} = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5$.
સ્પર્શક રેખા $4x + 3y + 5 = 0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $4x + 3y + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી સ્પર્શક રેખા $4x + 3y + k = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 5$ જેટલું હોય.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|4(3) + 3(-2) + k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$.
$\frac{|6 + k|}{5} = 5$.
$|6 + k| = 25$.
$6 + k = 25$ અથવા $6 + k = -25$.
$k = 19$ અથવા $k = -31$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $4x + 3y + 19 = 0$ અને $4x + 3y - 31 = 0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
આપેલ રેખા $(x + g) \cos \theta + (y + f) \sin \theta = k$ છે,જેને $x \cos \theta + y \sin \theta + (g \cos \theta + f \sin \theta - k) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
જો રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોય,તો કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$r = \left| \frac{(-g) \cos \theta + (-f) \sin \theta + g \cos \theta + f \sin \theta - k}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} \right|$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $r = \left| \frac{-k}{1} \right| = |k|$ મળે છે.
આમ,$\sqrt{g^2 + f^2 - c} = |k|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $g^2 + f^2 - c = k^2$ મળે છે,જેનું સાદુંરૂપ $g^2 + f^2 = k^2 + c$ થાય છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2$,$f = -4$,અને $c = -5$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = \sqrt{25} = 5$ છે.
રેખા $Ax + By + C = 0$ વર્તુળને સ્પર્શે જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
રેખા $3x - 4y - \lambda = 0$ છે.
અંતર $d = \frac{|3(2) - 4(4) - \lambda|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 16 - \lambda|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-10 - \lambda|}{5}$ છે.
$d = r$ લેતા,$\frac{|-10 - \lambda|}{5} = 5$,જેનો અર્થ છે કે $|-10 - \lambda| = 25$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $-10 - \lambda = 25 \Rightarrow \lambda = -35$ અથવા $-10 - \lambda = -25 \Rightarrow \lambda = 15$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું મૂલ્ય $15$ છે.