Chord of contact of tangent and common chord Questions in Gujarati

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - 21} = \sqrt{9 + 16 - 21} = \sqrt{4} = 2$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$x(0) + y(0) - 3(x + 0) - 4(y + 0) + 21 = 0$
$3x + 4y - 21 = 0$ ... $(i)$
ધારો કે $M$ એ $OC$ અને $AB$ નું છેદબિંદુ છે. $CM$ એ $C(3, 4)$ થી રેખા $3x + 4y - 21 = 0$ નું લંબ અંતર છે:
$CM = \frac{|3(3) + 4(4) - 21|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|9 + 16 - 21|}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$
$\triangle AMC$ માં,$\angle AMC = 90^\circ$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AM = \sqrt{AC^2 - CM^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{4 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{100 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{84}{25}} = \frac{2\sqrt{21}}{5}$
તેથી $AB = 2AM$ હોવાથી:
$AB = 2 \times \frac{2\sqrt{21}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{21}$

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0$ અને $y_1 = 0$.
$S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
$S_1 = c$
$T = gx + fy + c$
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$c(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) = (gx + fy + c)^2$
$c(x^2 + y^2) + 2gcx + 2fcy + c^2 = (gx + fy)^2 + 2c(gx + fy) + c^2$
$c(x^2 + y^2) = (gx + fy)^2$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ છે. સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $xh + yk = a^2$ છે.
કેન્દ્ર $O(0, 0)$ થી જીવા $AB$ પરના લંબ $OM$ ની લંબાઈ $OM = \frac{a^2}{\sqrt{h^2 + k^2}}$ છે.
કાટ્રાયેંગલ $OAM$ માં,$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \frac{a\sqrt{h^2 + k^2 - a^2}}{\sqrt{h^2 + k^2}}$.
$AB = 2AM$ હોવાથી,$AB = \frac{2a\sqrt{h^2 + k^2 - a^2}}{\sqrt{h^2 + k^2}}$.
બિંદુ $P(h, k)$ થી જીવા $AB$ પરના લંબ $PM$ ની લંબાઈ $PM = OP - OM = \frac{h^2 + k^2 - a^2}{\sqrt{h^2 + k^2}}$ છે.
ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times AB \times PM = \frac{a(h^2 + k^2 - a^2)^{3/2}}{h^2 + k^2}$ થાય.

(A) ધારો કે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(h, k)$ છે.
$P(h, k)$ માંથી $x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળ પરના સ્પર્શકોની જીવાનું સમીકરણ $hx + ky = a^2$ અથવા $hx + ky - a^2 = 0$ છે.
આ જીવા $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ વર્તુળને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ છે.
કેન્દ્ર $(a, 0)$ થી રેખા $hx + ky - a^2 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|h(a) + k(0) - a^2|}{\sqrt{h^2 + k^2}} = a$
$|ah - a^2| = a\sqrt{h^2 + k^2}$
$|h - a| = \sqrt{h^2 + k^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h - a)^2 = h^2 + k^2$
$h^2 - 2ah + a^2 = h^2 + k^2$
$k^2 = a^2 - 2ah = a(a - 2h)$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = a(a - 2x)$ મળે છે.

(C) બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ થી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(\alpha, \beta)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વર્તુળ $S_1: x^2 + y^2 - 4x - 5 = 0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - 4\alpha - 5}$ છે.
બીજા વર્તુળ $S_2: x^2 + y^2 + 6x - 2y + 6 = 0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + 6\alpha - 2\beta + 6}$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી:
$\alpha^2 + \beta^2 - 4\alpha - 5 = \alpha^2 + \beta^2 + 6\alpha - 2\beta + 6$
બંને બાજુથી $\alpha^2 + \beta^2$ બાદ કરતા:
$-4\alpha - 5 = 6\alpha - 2\beta + 6$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$10\alpha - 2\beta + 11 = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - 9 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 12y + 27 = 0$ છે.
બે સ્પર્શતા વર્તુળો માટે સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2 + y^2 - 9) - (x^2 + y^2 - 12y + 27) = 0$
$x^2 + y^2 - 9 - x^2 - y^2 + 12y - 27 = 0$
$12y - 36 = 0$
$12y = 36$
$y = 3$.

(A) ધારો કે $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0$ અને $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 5x + 6y + 15 = 0$.
આપેલ વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમનો સામાન્ય સ્પર્શક રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6) - (x^2 + y^2 - 5x + 6y + 15) = 0$
$3x - 9 = 0$
$x = 3$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $x = 3$ છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 = x^2 + y^2 + 4x + 1 = 0$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2 = x^2 + y^2 + 6x + 2y + 3 = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 4x + 1) - (x^2 + y^2 + 6x + 2y + 3) = 0$.
$(4x - 6x) + (0 - 2y) + (1 - 3) = 0$.
$-2x - 2y - 2 = 0$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + y + 1 = 0$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + x - y - 1 = 0$ છે.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = 1/2$,$f = -1/2$,અને $c = -1$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (-1/2, 1/2)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2 - (-1)} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1} = \sqrt{3/2}$ છે.
ધારો કે $M(1, 1)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. કેન્દ્ર $C(-1/2, 1/2)$ થી મધ્યબિંદુ $M(1, 1)$ સુધીનું અંતર $d$ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(1 - (-1/2))^2 + (1 - 1/2)^2} = \sqrt{(3/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{9/4 + 1/4} = \sqrt{10/4} = \sqrt{5/2}$.
જીવા અસ્તિત્વમાં હોવા માટે,કેન્દ્રથી મધ્યબિંદુનું અંતર $d$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અહીં,$d = \sqrt{5/2}$ અને $r = \sqrt{3/2}$ છે.
$d > r$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.
તેથી,આવી કોઈ જીવા અસ્તિત્વમાં નથી.

(B) વર્તુળની ત્રિજ્યા $a$ છે અને તેનો વ્યાસ $x$-અક્ષ પર છે,જેનું એક અંત્યબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. તેથી,કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે અને વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(2a, 0)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ થાય.
જીવા $y = mx$ વર્તુળને ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ અને બિંદુ $B$ પર છેદે છે. વર્તુળના સમીકરણમાં $y = mx$ મૂકતા:
$x^2 + (mx)^2 - 2ax = 0$
$x^2(1 + m^2) - 2ax = 0$
$x(x(1 + m^2) - 2a) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = \frac{2a}{1 + m^2}$.
$x = \frac{2a}{1 + m^2}$ માટે,$y = m \left( \frac{2a}{1 + m^2} \right) = \frac{2am}{1 + m^2}$.
આમ,$B = \left( \frac{2a}{1 + m^2}, \frac{2am}{1 + m^2} \right)$.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$O(0, 0)$ અને $B\left( \frac{2a}{1 + m^2}, \frac{2am}{1 + m^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x\left( x - \frac{2a}{1 + m^2} \right) + y\left( y - \frac{2am}{1 + m^2} \right) = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{2ax}{1 + m^2} - \frac{2amy}{1 + m^2} = 0$
$(1 + m^2)(x^2 + y^2) - 2a(x + my) = 0$.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $C(h, k)$ છે.
જીવા ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી ઉગમબિંદુ અને જીવાના અંત્યબિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ઉગમબિંદુથી મધ્યબિંદુ $C(h, k)$ નું અંતર $d = \sqrt{h^2 + k^2}$ છે.
ઉગમબિંદુ,મધ્યબિંદુ અને જીવાના એક અંત્યબિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઉગમબિંદુ પાસેનો ખૂણો $45^\circ$ છે.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(45^\circ) = \frac{d}{r}$,જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r = 2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{2} = \frac{h^2 + k^2}{4}$,જેનું સાદું રૂપ $h^2 + k^2 = 2$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 2$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} = 3$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3}$ અને કેન્દ્ર $C(0, 0)$ છે.
ધારો કે જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2$ છે. કેન્દ્ર $C(0, 0)$ થી જીવા $x - 2y - k = 0$ પરનું લંબ અંતર $d$ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,અંતર $d = \sqrt{r^2 - (\text{અડધી જીવાની લંબાઈ})^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$.
$(0, 0)$ થી $x - 2y - k = 0$ પરનું લંબ અંતર $d = \frac{|0 - 2(0) - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}}$ છે.
$d$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$.
$|k| = \sqrt{10}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \pm \sqrt{10}$.

(A) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળો છે:
$S_1: (x - a)^2 + (y - b)^2 - c^2 = 0$
$S_2: (x - b)^2 + (y - a)^2 - c^2 = 0$
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$((x - a)^2 - (x - b)^2) + ((y - b)^2 - (y - a)^2) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2ax + a^2 - (x^2 - 2bx + b^2)) + (y^2 - 2by + b^2 - (y^2 - 2ay + a^2)) = 0$
$(-2ax + a^2 + 2bx - b^2) + (-2by + b^2 + 2ay - a^2) = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2bx - 2ax + 2ay - 2by = 0$
$2(b - a)x - 2(b - a)y = 0$
$2(b - a)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a \neq b$):
$x - y = 0$

(C) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2 + y^2 - 2ax = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 2by = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ એટલે કે $ax - by = 0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = a$ છે.
કેન્દ્ર $(a, 0)$ થી રેખા $ax - by = 0$ પરનું લંબ અંતર $p = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2 - p^2} = 2\sqrt{a^2 - \frac{a^4}{a^2 + b^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ થાય.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2 + y^2 - 12 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 3y - 2 = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - 12) - (x^2 + y^2 - 4x + 3y - 2) = 0$
$4x - 3y - 10 = 0$.
પ્રથમ વર્તુળ $S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1(0, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $4x - 3y - 10 = 0$ પરનું લંબ અંતર $p_1$:
$p_1 = \frac{|4(0) - 3(0) - 10|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{R_1^2 - p_1^2}$ છે.
લંબાઈ $= 2\sqrt{12 - 2^2} = 2\sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{8} = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: (x - a)^2 + (y - b)^2 = c^2$
$S_2: (x - b)^2 + (y - a)^2 = c^2$
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે:
$(x - a)^2 - (x - b)^2 + (y - b)^2 - (y - a)^2 = 0$
જેનું સાદુરૂપ આપતા $y = x$ મળે છે.
પ્રથમ વર્તુળમાં $y = x$ મૂકતા:
$(x - a)^2 + (x - b)^2 = c^2$
કેન્દ્ર $(a, b)$ થી રેખા $x - y = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|a - b|}{\sqrt{2}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2}$:
$= 2\sqrt{c^2 - \frac{(a - b)^2}{2}} = \sqrt{4c^2 - 2(a - b)^2}$

(A) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $gx + fy + c = 0$ છે.
બિંદુ $(g, f)$ થી સંપર્ક જીવાનું સમીકરણ $gx + fy + g(x + g) + f(y + f) + c = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2gx + 2fy + g^2 + f^2 + c = 0$ અથવા $gx + fy + \frac{g^2 + f^2 + c}{2} = 0$ થાય છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = g$,$B = f$,$C_1 = c$,અને $C_2 = \frac{g^2 + f^2 + c}{2}$ છે.
તેથી,$d = \frac{|c - \frac{g^2 + f^2 + c}{2}|}{\sqrt{g^2 + f^2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{g^2 + f^2 - c}{\sqrt{g^2 + f^2}} \right)$.

(B) ધારો કે બિંદુ $R$ ના યામ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ માટે બિંદુ $R(h, k)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $hx + ky = a^2$ અથવા $hx + ky - a^2 = 0$ છે.
આપેલ છે કે આ સ્પર્શક જીવા એ રેખા $lx + my + n = 0$ છે.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હશે:
$\frac{h}{l} = \frac{k}{m} = \frac{-a^2}{n}$.
આથી,આપણને મળે છે:
$h = \frac{-a^2l}{n}$ અને $k = \frac{-a^2m}{n}$.
તેથી,$R$ ના યામ $\left( \frac{-a^2l}{n}, \frac{-a^2m}{n} \right)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ છે.
બિંદુ $A(0, 1)$ માટે સ્પર્શક જીવા $BC$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$x(0) + y(1) - (x + 0) + 2(y + 1) + 1 = 0$
$-x + 3y + 3 = 0$.
$B$ અને $C$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda(BC) = 0$ છે:
$(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1) + \lambda(-x + 3y + 3) = 0$.
આ વર્તુળ $A(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0, y=1$ મૂકતા:
$6 + 6\lambda = 0 \implies \lambda = -1$.
આમ,માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - x + y - 2 = 0$ છે.

(D) સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ ${S_1} - {S_2} = 0$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $({x^2} + {y^2} + 5x + 7y + 9) - ({x^2} + {y^2} + 7x + 5y + 9) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $-2x + 2y = 0$ અથવા $x - y = 0$ મળે છે.
વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 5x + 7y + 9 = 0$ માટે,કેન્દ્ર ${C_1}$ એ $(-\frac{5}{2}, -\frac{7}{2})$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{19}{2}}$ છે.
કેન્દ્ર ${C_1}$ થી રેખા $x - y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{\frac{19}{2} - \frac{1}{2}} = 6$ થાય છે.

(B) વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $mx - y + c = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \left| \frac{c}{\sqrt{1 + m^2}} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યા $a$,અંતર $d$ અને જીવાની અડધી લંબાઈ $b$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $a^2 = d^2 + b^2$ છે.
આમ,$d^2 = a^2 - b^2$.
$d$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{c^2}{1 + m^2} = a^2 - b^2$ મળે છે.
તેથી,$(1 + m^2)(a^2 - b^2) = c^2$.

(B) સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ બે વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મેળવવામાં આવે છે: $(x^2 + y^2 + 4x + 3y + 2) - (x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2x + 1 = 0$ અથવા $x = -1/2$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(-1, -3/2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-3/2)^2 - 1} = \sqrt{1 + 9/4 - 1} = 3/2$ છે.
કેન્દ્ર $C_1(-1, -3/2)$ થી રેખા $x + 1/2 = 0$ નું લંબ અંતર $d = |-1 - (-1/2)| = |-1/2| = 1/2$ છે.
સામાન્ય જીવાની અડધી લંબાઈ $PM = \sqrt{r_1^2 - d^2} = \sqrt{(3/2)^2 - (1/2)^2} = \sqrt{9/4 - 1/4} = \sqrt{8/4} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,સામાન્ય જીવાની કુલ લંબાઈ $PQ = 2 \times PM = 2\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ છે,જેને $4x + 3y - 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = \frac{169}{25}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $4x + 3y - 12 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|4(0) + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{12}{5}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{(\frac{13}{5})^2 - (\frac{12}{5})^2} = 2\sqrt{\frac{169 - 144}{25}} = 2\sqrt{\frac{25}{25}} = 2(1) = 2$ છે.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો છે:
${S_1 = x^2 + y^2 + 2x - 3y + 6 = 0}$ .....$(i)$
${S_2 = x^2 + y^2 + x - 8y - 13 = 0}$ .....$(ii)$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ ${S_1 - S_2 = 0}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
${(x^2 + y^2 + 2x - 3y + 6) - (x^2 + y^2 + x - 8y - 13) = 0}$
${x + 5y + 19 = 0}$ .....$(iii)$
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયું બિંદુ સમીકરણ ${x + 5y + 19 = 0}$ નું સમાધાન કરે છે:
બિંદુ $(1, -4)$ માટે:
${1 + 5(-4) + 19 = 1 - 20 + 19 = 0}$.
આમ,બિંદુ $(1, -4)$ સામાન્ય જીવા પર આવેલું છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = a^2$ છે.
અહીં બિંદુ $(x_1, y_1) = (5, -3)$ અને વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 10$ છે,જ્યાં $a^2 = 10$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x(5) + y(-3) = 10$
$5x - 3y = 10$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $D(2, 1)$ છે.
આપેલ વર્તુળનો વ્યાસ એ માંગેલ વર્તુળની જીવા છે,જેની લંબાઈ $2 \times 2 = 4$ છે.
તેથી,કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ACD$ માં,$AC = 2$ અને $CD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{5}$ છે.
માંગેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ છે કે વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 2x = 0$ $(i)$ અને રેખા $y = x$ $(ii)$ છે.
$(i)$ માં $y = x$ મુકતા,આપણને મળે:
${x^2} + {x^2} - 2x = 0$
$2{x^2} - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1$.
$y = x$ હોવાથી,છેદબિંદુઓ $A = (0, 0)$ અને $B = (1, 1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$A(0, 0)$ અને $B(1, 1)$ મુકતા:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
${x^2} - x + {y^2} - y = 0$
${x^2} + {y^2} - x - y = 0$.

(A) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વર્તુળને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખતા: $x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3 = 0$ $(S_1)$.
બીજું વર્તુળ: $x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15 = 0$ $(S_2)$.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$:
$(x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3) - (x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15) = 0$
$-\frac{20}{3}x + 2y + 12 = 0$
$-3$ વડે ગુણતા,$20x - 6y - 36 = 0$,એટલે કે $10x - 3y - 18 = 0$.

(D) સામાન્ય જીવા $PQ$ નું સમીકરણ બંને વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મળે છે: $(x^2 + y^2 + 2ax + cy + a) - (x^2 + y^2 - 3ax + dy - 1) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $5ax + (c - d)y + (a + 1) = 0$ થાય છે.....$(i)$
$P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી રેખાનું આપેલ સમીકરણ $5x + by - a = 0$ છે.....$(ii)$
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{5a}{5} = \frac{c - d}{b} = \frac{a + 1}{-a}$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગ પરથી: $a = \frac{a + 1}{-a}$
$-a^2 = a + 1$
$a^2 + a + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $a^2 + a + 1 = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = -3$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$a$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે.
બિંદુ $(3, 2)$ માટે,$S_1 = 3^2 + 2^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12$.
$S_1 < 0$ હોવાથી,બિંદુ $(3, 2)$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
સ્પર્શક જીવા ફક્ત વર્તુળની બહાર આવેલા બિંદુઓ માટે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,આવી કોઈ સ્પર્શક જીવા અસ્તિત્વમાં નથી અને પરિણામે,ત્રિકોણ $OAB$ બની શકતો નથી.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(4, 3)$ છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ છે. ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
સ્પર્શક જીવાની સમીકરણ $AB$ એ $T = 0$ છે,જે $4x + 3y = 9$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $OQ = \frac{|4(0) + 3(0) - 9|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{9}{5}$ છે.
$\triangle OAQ$ માં,$AQ = \sqrt{OA^2 - OQ^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$ છે.
સ્પર્શક જીવાની લંબાઈ $AB = 2 \times AQ = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ છે.
અંતર $PQ$ એ બિંદુ $P(4, 3)$ થી રેખા $4x + 3y - 9 = 0$ નું અંતર છે,જે $PQ = \frac{|16 + 9 - 9|}{5} = \frac{16}{5}$ છે.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{192}{25}$.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ ${C_2}$ ના કેન્દ્રના યામ છે.
તેનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 5^2$ છે.
${C_1}$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4^2$ છે. ${C_1}$ અને ${C_2}$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $2hx + 2ky = h^2 + k^2 - 9$ $(i)$ છે.
ધારો કે $p$ એ ${C_1}$ ના કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી $(i)$ પરના લંબની લંબાઈ છે.
તેથી $p = \frac{|h^2 + k^2 - 9|}{\sqrt{4h^2 + 4k^2}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{4^2 - p^2}$ છે,જે મહત્તમ ત્યારે જ હોય જો $p = 0$.
આથી $h^2 + k^2 - 9 = 0$ $(ii)$.
$(i)$ નો ઢાળ $\frac{3}{4}$ આપેલ છે.
તેથી,$-\frac{h}{k} = \frac{3}{4} \Rightarrow k = -\frac{4h}{3}$ $(iii)$.
$(iii)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,$h^2 + (-\frac{4h}{3})^2 = 9$ $\Rightarrow h^2 + \frac{16h^2}{9} = 9$ $\Rightarrow \frac{25h^2}{9} = 9$ $\Rightarrow h^2 = \frac{81}{25}$ $\Rightarrow h = \pm \frac{9}{5}$.
જો $h = \frac{9}{5}$,તો $k = -\frac{12}{5}$.
જો $h = -\frac{9}{5}$,તો $k = \frac{12}{5}$.
આમ,કેન્દ્રના યામ $\left( -\frac{9}{5}, \frac{12}{5} \right)$ અને $\left( \frac{9}{5}, -\frac{12}{5} \right)$ છે.

(D) બે વર્તુળો ${S_1} = 0$ અને ${S_2} = 0$ ની સામાન્ય જીવા (રેખા $L$) નું સમીકરણ ${S_1} - {S_2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળો છે:
${S_1}: {x^2} + {y^2} - 25 = 0$
${S_2}: {x^2} + {y^2} - 8x + 7 = 0$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$({x^2} + {y^2} - 25) - ({x^2} + {y^2} - 8x + 7) = 0$
$8x - 32 = 0$
$x = 4$
આ રેખા $L$ નું સમીકરણ છે.
બીજું વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 8x + 7 = 0$ છે. તેને વ્યાપક સ્વરૂપ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = -8$ મળે છે,તેથી $g = -4$,અને $f = 0$.
બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (4, 0)$ છે.
બિંદુ $(4, 0)$ થી રેખા $x - 4 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ:
$d = \frac{|4 - 4|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{0}{1} = 0$.
આમ,લંબની લંબાઈ $0$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં,$S = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$.
બિંદુ $(6, -5)$ માટે,$S_1 = (6)^2 + (-5)^2 - 2(6) + 4(-5) + 3 = 32$.
સ્પર્શક $T = 5x - 3y - 13 = 0$.
$SS_1 = T^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3)(32) = (5x - 3y - 13)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $7x^2 + 23y^2 + 30xy + 66x + 50y - 73 = 0$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરની સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, -3)$ અને વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ છે,તેથી $g = 2$,$f = -3$,અને $c = -12$ મળે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(2) + y(-3) + 2(x + 2) - 3(y - 3) - 12 = 0$
$2x - 3y + 2x + 4 - 3y + 9 - 12 = 0$
$4x - 6y + 1 = 0$

(B) ધારો કે $S = x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$. બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, 1)$ માટે,$S_1 = 0^2 + 1^2 - 2(0) + 4(1) = 5$.
સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 - (x + x_1) + 2(y + y_1) = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(0, 1)$ મૂકતા,$T = x(0) + y(1) - (x + 0) + 2(y + 1) = -x + 3y + 2$.
સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
$5(x^2 + y^2 - 2x + 4y) = (-x + 3y + 2)^2$.
$5x^2 + 5y^2 - 10x + 20y = x^2 + 9y^2 + 4 - 6xy - 4x + 12y$.
પદોને ગોઠવતા,$4x^2 - 4y^2 + 6xy - 6x + 8y - 4 = 0$ મળે છે.

(B) સામાન્ય જીવા $PQ$ નું સમીકરણ બંને વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(x^2 + y^2 + 2ax + cy + a) - (x^2 + y^2 - 3ax + dy - 1) = 0$
જેનું સાદું રૂપ $5ax + (c - d)y + (a + 1) = 0$ થાય છે ...... $(i)$
આપણને આપેલ છે કે રેખા $PQ$ એ $5x + 6y - a = 0$ છે ...... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\frac{5a}{5} = \frac{c - d}{6} = \frac{a + 1}{-a}$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગ પરથી: $a = \frac{a + 1}{-a} \implies -a^2 = a + 1 \implies a^2 + a + 1 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3$ છે
$D < 0$ હોવાથી,$a$ નું કોઈ વાસ્તવિક મૂલ્ય શક્ય નથી.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 16 = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ લેતા,$-4x - 4y + 16 = 0$ મળે,એટલે કે $x + y = 4$ અથવા $\frac{x + y}{4} = 1$.
વર્તુળ $S_2 = 0$ અને જીવાના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડ મેળવવા માટે,વર્તુળના સમીકરણને જીવાના સમીકરણની મદદથી સમઘાતી બનાવતા:
$x^2 + y^2 - 16(1)^2 = 0$
$x^2 + y^2 - 16\left(\frac{x + y}{4}\right)^2 = 0$
$x^2 + y^2 - (x^2 + y^2 + 2xy) = 0$
$-2xy = 0$,જેનો અર્થ છે કે $xy = 0$.
આમ,રેખાઓ $x = 0$ અને $y = 0$ મળે છે.
રેખાઓ $x = 0$ અને $y = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + 1 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 4x + 8y - 18 = 0$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ લેતા:
$15x - 21y + 38 = 0$
વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2(2, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{38}$ છે.
કેન્દ્રથી જીવા પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{152}{\sqrt{666}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $= 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{38 - \frac{152^2}{666}} = 2\sqrt{\frac{1102}{333}}$.

(C) સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ બે વર્તુળોના સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મેળવી શકાય છે:
$[(x - a)^{2} + y^{2} - c^{2}] - [x^{2} + (y - b)^{2} - c^{2}] = 0$
$x^{2} - 2ax + a^{2} + y^{2} - c^{2} - x^{2} - y^{2} + 2by - b^{2} + c^{2} = 0$
$-2ax + 2by + a^{2} - b^{2} = 0$
$2ax - 2by - a^{2} + b^{2} = 0 \dots (1)$
પ્રથમ વર્તુળના કેન્દ્ર $(a, 0)$ થી રેખા $(1)$ નું અંતર $p$ છે:
$p = \frac{|2a(a) - 2b(0) - a^{2} + b^{2}|}{\sqrt{(2a)^{2} + (-2b)^{2}}} = \frac{|2a^{2} - a^{2} + b^{2}|}{\sqrt{4a^{2} + 4b^{2}}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2}}$
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{c^{2} - p^{2}}$ છે:
$L = 2\sqrt{c^{2} - \left(\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\right)^{2}}$
$L = 2\sqrt{c^{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{4}}$
$L = \sqrt{4c^{2} - a^{2} - b^{2}}$

(C) ધારો કે વર્તુળ $C_2$ ના કેન્દ્રના યામ $(h, k)$ છે. તેનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = 25$ છે.
$C_1$ નું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 16$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ મુજબ $2hx + 2ky = h^{2} + k^{2} - 9$ મળે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે તે $C_1$ ના કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય.
તેથી,$h^{2} + k^{2} - 9 = 0$ અથવા $h^{2} + k^{2} = 9$.
સામાન્ય જીવા $2hx + 2ky = 9$ નો ઢાળ $-h/k = 3/4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $k = -4h/3$.
$k$ ની કિંમત $h^{2} + k^{2} = 9$ માં મૂકતા,$h^{2} + (-4h/3)^{2} = 9$,એટલે કે $h^{2} + 16h^{2}/9 = 9$,જે $25h^{2}/9 = 9$ આપે છે,તેથી $h^{2} = 81/25$.
આમ,$h = \pm 9/5$. જો $h = 9/5$ હોય,તો $k = -12/5$. જો $h = -9/5$ હોય,તો $k = 12/5$.
તેથી,કેન્દ્રના શક્ય યામ $(9/5, -12/5)$ અને $(-9/5, 12/5)$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 21 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^{2} + 4^{2} - 21} = \sqrt{9 + 16 - 21} = \sqrt{4} = 2$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી સ્પર્શ જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $x(0) + y(0) - 3(x + 0) - 4(y + 0) + 21 = 0$ એટલે કે $3x + 4y - 21 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C(3, 4)$ થી રેખા $3x + 4y - 21 = 0$ પરનું લંબઅંતર $CM = \frac{|3(3) + 4(4) - 21|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|9 + 16 - 21|}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AMC$ માં,$AM = \sqrt{AC^{2} - CM^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{4 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{100 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{84}{25}} = \frac{2\sqrt{21}}{5}$ છે.
તેથી $AB = 2AM = 2 \times \frac{2\sqrt{21}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{21}$ થાય.

(A) રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જેને $\frac{y - mx}{c} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ છે.
ઉગમબિંદુ અને છેદબિંદુઓને જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^{2} + y^{2} = a^{2} \left( \frac{y - mx}{c} \right)^{2}$
$c^{2}(x^{2} + y^{2}) = a^{2}(y^{2} - 2mxy + m^{2}x^{2})$
$x^{2}(c^{2} - a^{2}m^{2}) + 2a^{2}mxy + y^{2}(c^{2} - a^{2}) = 0$.
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટે,$x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(c^{2} - a^{2}m^{2}) + (c^{2} - a^{2}) = 0$
$2c^{2} - a^{2}(1 + m^{2}) = 0$
$2c^{2} = a^{2}(1 + m^{2})$.

(D) વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની સાપેક્ષે સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 0)$ માટે સ્પર્શ જીવા: $g(x + 0) + f(y + 0) + c = 0 \Rightarrow gx + fy + c = 0$ (સમીકરણ $1$).
બિંદુ $(g, f)$ માટે સ્પર્શ જીવા: $xg + yf + g(x + g) + f(y + f) + c = 0$ $\Rightarrow 2gx + 2fy + g^2 + f^2 + c = 0$ $\Rightarrow gx + fy + \frac{1}{2}(g^2 + f^2 + c) = 0$ (સમીકરણ $2$).
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં $A = g, B = f, C_1 = c, C_2 = \frac{1}{2}(g^2 + f^2 + c)$.
અંતર $d = \frac{|\frac{1}{2}(g^2 + f^2 + c) - c|}{\sqrt{g^2 + f^2}} = \frac{g^2 + f^2 - c}{2 \sqrt{g^2 + f^2}}$.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2 + y^2 - 6x - 16 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 8y - 9 = 0$
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - 6x - 16) - (x^2 + y^2 - 8y - 9) = 0$
$-6x + 8y - 7 = 0$ અથવા $6x - 8y + 7 = 0$
વર્તુળ $C_1$ માટે,કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - (-16)} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી સામાન્ય જીવા $6x - 8y + 7 = 0$ પરના લંબનું અંતર $d$:
$d = \frac{|6(3) - 8(0) + 7|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{|18 + 7|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2 \sqrt{r_1^2 - d^2}$:
$= 2 \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = 2 \sqrt{25 - \frac{25}{4}} = 2 \sqrt{\frac{75}{4}} = 5 \sqrt{3}$

(C) વર્તૂળ $C_1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે અને તે પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોને સ્પર્શેં છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે. તેનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તૂળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r$ અને કેન્દ્ર $(r, r)$ છે. તેનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે.
બે છેદતા વર્તૂળોની સામાન્ય જીવા તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે. સામાન્ય જીવાની લંબાઈ ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે તે નાના વર્તૂળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય.
રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ $2(r-1)(x+y) + 1 - r^2 = 0$ મળે છે.
જ્યારે આ રેખા $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય,ત્યારે $2(r-1)(2) + 1 - r^2 = 0 \implies r^2 - 4r + 3 = 0$ મળે છે.
તેથી $r = 3$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ પર દોરેલી સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
અહીં,બિંદુ $(x_1, y_1) = (5, -3)$ છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ છે,તેથી $r^2 = 10$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(5) + y(-3) = 10$
$5x - 3y = 10$
આમ,સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $5x - 3y = 10$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલી સ્પર્શ જીવાનું સમીકરણ $T = 0$ છે,જ્યાં $T = xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$.
અહીં $g = 2$,$f = 3$,$c = -12$ અને બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 3)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x(2) + y(3) + 2(x + 2) + 3(y + 3) - 12 = 0$
$2x + 3y + 2x + 4 + 3y + 9 - 12 = 0$
$4x + 6y + 1 = 0$
$4x + 6y = -1$
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી,તેથી જવાબ 'એકપણ નહિ' આવશે.

(C) ધારો કે બે આપેલા વર્તૂળો $C_1: x^2 + y^2 + 5x - 8y + 1 = 0$ અને $C_2: x^2 + y^2 - 3x + 7y - 25 = 0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 + 5x - 8y + 1) - (x^2 + y^2 - 3x + 7y - 25) = 0$
$8x - 15y + 26 = 0$.
આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ છે. તેને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -1, f = 0$ મળે છે.
આ વર્તૂળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 0)$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0) = (1, 0)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|8(1) - 15(0) + 26|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} = \frac{|8 + 26|}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{34}{\sqrt{289}} = \frac{34}{17} = 2$.