Tangent and normal to a circle Questions in Gujarati

(C) રેખાનું સમીકરણ $3x + y + k = 0$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 10$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે.
જો રેખા $Ax + By + C = 0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય:
$\left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right| = r$
કિંમતો મૂકતા:
$\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} \right| = \sqrt{10}$
$\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$
$|k| = 10$
તેથી,$k = \pm 10$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળનો અભિલંબ હંમેશા કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ માંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબનો ઢાળ એ રેખાખંડ $CP$ નો ઢાળ છે.
ઢાળ $m = \frac{y_1 - (-f)}{x_1 - (-g)} = \frac{y_1+f}{x_1+g}$ થાય.
આમ,અભિલંબનો ઢાળ $\frac{y_1+f}{x_1+g}$ છે.

(B) આપેલ છે $h^2 + hk + k^2 = 37$ ... $(i)$
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$.
વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 10$ છે ... $(ii)$
બિંદુ $(1, 2)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$(1 - h)^2 + (2 - k)^2 = 10$.
વિસ્તરણ કરતા,$1 - 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = 10$,જે $h^2 + k^2 - 2h - 4k = 5$ માં પરિણમે છે.
$(i)$ માંથી $h^2 + k^2 = 37 - hk$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$37 - hk - 2h - 4k = 5 \Rightarrow hk + 2h + 4k = 32$ ... $(iii)$
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી સ્પર્શક રેખા $3x + y - 5 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{10}$ જેટલું થાય:
$\frac{|3h + k - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \sqrt{10} \Rightarrow |3h + k - 5| = 10$.
ધારો કે $3h + k - 5 = 10$,તેથી $3h + k = 15 \Rightarrow k = 15 - 3h$.
$k = 15 - 3h$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$h(15 - 3h) + 2h + 4(15 - 3h) = 32$
$15h - 3h^2 + 2h + 60 - 12h = 32$
$-3h^2 + 5h + 28 = 0 \Rightarrow 3h^2 - 5h - 28 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(3h + 7)(h - 4) = 0$ ઉકેલતા,$h = 4$ અથવા $h = -7/3$ મળે.
જો $h = 4$ હોય,તો $k = 15 - 3(4) = 3$.
આમ,$k = 3$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $P(2+\sqrt{3}, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $CP$ નો ઢાળ $m_{CP} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \sqrt{3}$ છે,જે $\tan 60^{\circ}$ દર્શાવે છે.
નવું કેન્દ્ર $C'(2+2\cos 60^{\circ}, 4+2\sin 60^{\circ}) = (3, 4+\sqrt{3})$ મળે છે.
નવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y-(4+\sqrt{3}))^2 = 2^2$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-6x-2(4+\sqrt{3})y + (24+8\sqrt{3}) = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળના અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાં છેદે છે. આપેલ અભિલંબ $(x-1)(y-2)=0$ પરથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
જેহেতু $3x+4y=6$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી રેખા $3x+4y-6=0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{5} = 1$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1^2$,જેનું સાદું રૂપ $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 1$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25 - k}$ છે.
સ્પર્શકનું અંતર કેન્દ્રથી ત્રિજ્યા જેટલું હોય,તેથી $r = 10$ અને $k = -75$.
બિંદુ $Q$ એ $CP$ ને $-1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $CQ = r$ થાય.
કોઈપણ બિંદુ $Q$ માટે પાવર $CQ^2 - r^2$ થાય છે,જે $r^2 - r^2 = 0$ થશે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(3, -2)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{4}{3}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 3}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,$3\alpha + 4\beta = 1$ મળે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ રેખા $4\alpha - 3\beta + 7 = 0$ પર છે.
સમીકરણો ઉકેલતા $\alpha = -1$ અને $\beta = 1$ મળે.
તેથી,$\alpha + 2\beta = -1 + 2(1) = 1$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2x-12y-132=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x+1)^2+(y-6)^2 = 169 = 13^2$ મળે.
તેથી,કેન્દ્ર $(-1, 6)$ અને ત્રિજ્યા $r = 13$ છે.
રેખા $12x+5y+k=0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{12}{5}$ છે.
આ રેખાને લંબ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5}{12}$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x-12y+c = 0$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
કેન્દ્ર $(-1, 6)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $13$ જેટલું હોય:
$\frac{|5(-1)-12(6)+c|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}} = 13$
$\frac{|-5-72+c|}{13} = 13$
$|c-77| = 169$
$c-77 = 169 \Rightarrow c = 246$ અથવા $c-77 = -169 \Rightarrow c = -92$.
તેથી,સ્પર્શકોના સમીકરણો $5x-12y+246=0$ અને $5x-12y-92=0$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + d = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળનો અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
જો રેખા અભિલંબ હોય,તો તે કેન્દ્ર $(-g, -f)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(-g) + b(-f) + c = 0$
$-ag - bf + c = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$ag + bf - c = 0$

(C) ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = m(x - 3)$ છે,જે $mx - y + (4 - 3m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ (કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$) ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$3 = \frac{|m(0) - 1(0) + 4 - 3m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$3\sqrt{m^2 + 1} = |4 - 3m|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9(m^2 + 1) = (4 - 3m)^2$.
$9m^2 + 9 = 16 - 24m + 9m^2$.
$9 = 16 - 24m$.
$24m = 7$.
$m = \frac{7}{24}$.

(C) ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{16}\right)$ છે.
તેથી $\cos(2\theta) = \frac{7}{16}$.
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2\theta - 1 = \frac{7}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $2\cos^2\theta = \frac{23}{16}$,તેથી $\cos^2\theta = \frac{23}{32}$.
આમ,$\sin^2\theta = 1 - \frac{23}{32} = \frac{9}{32}$,અને $\tan^2\theta = \frac{9/32}{23/32} = \frac{9}{23}$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x + 4y + c = 0$ માટે,કેન્દ્ર $O(-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{8 - c}$ છે.
બિંદુ $P(2, 2)$ થી કેન્દ્ર $O(-2, -2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{32}$ છે.
કાટ.
$\tan^2\theta = \frac{r^2}{d^2 - r^2} = \frac{8 - c}{24 + c}$.
$\frac{8 - c}{24 + c} = \frac{9}{23}$ ને ઉકેલતા $c = -1$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-4=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2$ અને $f=3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, -3)$ છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળનો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અભિલંબ એ $(1, 1)$ અને $(2, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-3-1}{2-1} = \frac{-4}{1} = -4$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $(y-1) = -4(x-1)$ છે.
$y-1 = -4x+4$.
$4x+y = 5$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = r^2$ છે.
અહીં $r^2 = 1$ હોવાથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = 1$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
આને $x x_1 + y y_1 = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x_1 = \frac{1}{a}$ અને $y_1 = \frac{1}{b}$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ સ્પર્શબિંદુ હોવાથી,તે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પર આવેલું હોય.
તેથી,બિંદુ $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)$ વર્તુળ પર આવેલું છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2+y^2+6x+6y-2=0$ છે.
બિંદુ $Q$ એ $Y$-અક્ષ પર છે અને રેખા $5x-2y+6=0$ પર છે.
રેખાના સમીકરણમાં $x=0$ મૂકતા: $5(0)-2y+6=0$ $\Rightarrow -2y=-6$ $\Rightarrow y=3$.
તેથી,$Q$ ના યામ $(0, 3)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ દ્વારા મળે છે.
વર્તુળના સમીકરણ $S(x, y) = x^2+y^2+6x+6y-2$ માં $Q(0, 3)$ મૂકતા:
$S_1 = 0^2 + 3^2 + 6(0) + 6(3) - 2 = 0 + 9 + 0 + 18 - 2 = 25$.
તેથી,સ્પર્શકની લંબાઈ $PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{25} = 5$.

(A) કેન્દ્ર $C(1, 2)$ અને બિંદુ $P(16, 7)$ વચ્ચેનું અંતર $PC = \sqrt{(16-1)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{250}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PACB$ નું ક્ષેત્રફળ $AP \times r = 75$ થાય.
ધારો કે $AP = x$,તેથી $x = \frac{75}{r}$.
કાટ્રાયેંગલ $\triangle PAC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$x^2 + r^2 = PC^2 \Rightarrow (\frac{75}{r})^2 + r^2 = 250$
$r^4 - 250r^2 + 5625 = 0$
$(r^2 - 225)(r^2 - 25) = 0$
તેથી $r^2 = 225$ અથવા $r^2 = 25$.
આમ,$r = 15$ અથવા $r = 5$ મળે. વિકલ્પ મુજબ સાચો જવાબ $5$ છે.

(B) કારણ કે $(\alpha, \beta)$ રેખા $3x - 4y = 1$ પર આવેલું છે,તેથી $3\alpha - 4\beta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = \frac{3\alpha - 1}{4}$.
કારણ કે $(\alpha, \beta)$ વર્તુળ $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ પર પણ આવેલું છે,આપણે $\beta$ ની કિંમત મૂકીએ:
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha - 1}{4} + 2)^2 = 4$
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha + 7}{4})^2 = 4$
$16(\alpha - 1)^2 + (3\alpha + 7)^2 = 64$
$16(\alpha^2 - 2\alpha + 1) + (9\alpha^2 + 42\alpha + 49) = 64$
$16\alpha^2 - 32\alpha + 16 + 9\alpha^2 + 42\alpha + 49 = 64$
$25\alpha^2 + 10\alpha + 1 = 0$
$(5\alpha + 1)^2 = 0$
$\alpha = -\frac{1}{5}$.
$\alpha$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\beta = \frac{3(-\frac{1}{5}) - 1}{4} = \frac{-\frac{3}{5} - 1}{4} = \frac{-\frac{8}{5}}{4} = -\frac{2}{5}$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$.

(A) રેખા $y=mx+1$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $x+my+k=0$ સ્વરૂપમાં હોય છે,અથવા $y=-\frac{1}{m}x+c$.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ માટે,રેખા $y=m_1x+c$ સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2=r^2(1+m_1^2)$ છે.
અહીં,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{m}$ અને $r=1$ છે.
આ શરતમાં કિંમતો મૂકતા: $c^2 = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{m})^2) = 1 + \frac{1}{m^2} = \frac{m^2+1}{m^2}$.
તેથી,$c = \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m}x \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$ છે.
$m$ વડે ગુણતા,આપણને $my = -x \pm \sqrt{m^2+1}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x+my \pm \sqrt{1+m^2}=0$ થાય છે.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $a = \sqrt{9} = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}$.
$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+3}$.
$y = \sqrt{3}x \pm 3(2)$.
$y = \sqrt{3}x \pm 6$.
પદોને ગોઠવતા,$\sqrt{3}x - y \pm 6 = 0$ મળે છે.

(A) બિંદુ $(4,0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 4)$ એટલે કે $mx - y - 4m = 0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$) ને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
લંબ અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ મુજબ,$\frac{|m(0) - (0) - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$.
$| -4m | = 2\sqrt{m^2 + 1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16m^2 = 4(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 4m^2 = m^2 + 1$ $\Rightarrow 3m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 4)$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+4x+8y-38=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x+2)^2+(y+4)^2=58$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-2,-4)$ છે.
ધારો કે $Q(x_1, y_1)$ એ $P(-9,-1)$ માંથી પસાર થતા વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ છે.
$C$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x_1-9}{2}=-2 \Rightarrow x_1=5$ અને $\frac{y_1-1}{2}=-4 \Rightarrow y_1=-7$ મળે.
આમ,$Q$ એ $(5,-7)$ છે.
$Q$ આગળનો સ્પર્શક $P$ આગળના સ્પર્શકને સમાંતર હોય છે.
ત્રિજ્યા $CP$ નો ઢાળ $m_{CP} = \frac{-1-(-4)}{-9-(-2)} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7}$ છે.
$P$ (અને $Q$) આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ ત્રિજ્યાના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી થાય,એટલે કે $m = -\frac{1}{-3/7} = \frac{7}{3}$.
$Q(5,-7)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-7) = \frac{7}{3}(x - 5)$ છે.
$3(y+7) = 7(x-5)$ $\Rightarrow 3y+21 = 7x-35$ $\Rightarrow 7x-3y=56$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $5x^2 + 5y^2 = 1$ છે.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 = \frac{1}{5} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.
આપેલ રેખા $3x + 4y = 1$ છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$ છે.
$m = -\frac{3}{4}$ અને $r = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મૂકતા:
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{1 + \frac{9}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{25}{16}}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{4}$
$y = -\frac{3}{4}x \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$
$4$ વડે ગુણતા:
$4y = -3x \pm \sqrt{5}$
$3x + 4y = \pm \sqrt{5}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - 3y - 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ:
$2x + 2yy' - 1 - 3y' = 0$
$y'(2y - 3) = 1 - 2x$
$y' = \frac{1 - 2x}{2y - 3}$
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T$ છે:
$m_T = \frac{1 - 2(1)}{2(1) - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 1 = -1(x - 1)$
$y - 1 = -x + 1$
$x + y - 2 = 0$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 10$ છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે.
રેખા $3x + y + k = 0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર તેની ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી $3x + y + k = 0$ નું લંબ અંતર $\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right|$ છે.
તેને ત્રિજ્યા સાથે સરખાવતા: $\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$.
$\Rightarrow |k| = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10$.
તેથી,$k = \pm 10$.

(C) ધારો કે બિંદુ $(4, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - (-2) = m(x - 4)$ છે,જે $mx - y - (4m + 2) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{10} = \frac{|m(0) - 1(0) - (4m + 2)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$\sqrt{10} = \frac{|4m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $10(m^2 + 1) = (4m + 2)^2$.
$10m^2 + 10 = 16m^2 + 16m + 4$.
$6m^2 + 16m - 6 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3m^2 + 8m - 3 = 0$ થાય.
$(3m - 1)(m + 3) = 0$,તેથી $m = \frac{1}{3}$ અથવા $m = -3$.
$m = \frac{1}{3}$ માટે,રેખા $y + 2 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y + 6 = x - 4 \implies x - 3y = 10$ મળે.
$m = -3$ માટે,રેખા $y + 2 = -3(x - 4) \implies y + 2 = -3x + 12 \implies 3x + y = 10$ મળે.
આમ,સમીકરણો $3x + y = 10$ અને $x - 3y = 10$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=16$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(0,0)$ છે.
વર્તુળનો કોઈપણ અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,બિંદુ $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ આગળનો અભિલંબ એ $C(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
રેખા $CP$ નો ઢાળ $m = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0}{\frac{1}{\sqrt{3}} - 0} = 1$ છે.
$(0,0)$ માંથી પસાર થતી અને $m=1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 0)$ છે,જે $x - y = 0$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $y=mx+k_1$ અને $y=mx+k_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+m^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખાઓ $r=2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના સમાંતર સ્પર્શકો હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર વર્તુળના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2r = 2 \times 2 = 4$ થાય.
અહીં,$m = \sqrt{3}$,તેથી $m^2 = 3$.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{1+3}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{4}} = 4$
$\frac{|k_1-k_2|}{2} = 4$
$|k_1-k_2| = 8$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને બિંદુ $(4, -4)$ ને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ $P = (\frac{0+4}{2}, \frac{0-4}{2}) = (2, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 - y = 0$ છે. તેને $2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y = 0$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ છે.
$x_1 = 2, y_1 = -2, g = 0, f = -\frac{1}{4}, c = 0$ મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 - \frac{1}{2}(-2)} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ એકમ.}$

(C) ધારો કે બિંદુ $P = (6, 8)$ છે અને વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 - 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(6, 8)$ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\text{લંબાઈ} = \sqrt{6^2 + 8^2 - 4} = \sqrt{36 + 64 - 4} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96}$.
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4 \sqrt{6}$ નું સાદું રૂપ આપતા.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) $(x_1, y_1)$ બિંદુએ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ માટે,$r^2=25$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1) = (-3, 4)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(-3) + y(4) = 25$
$-3x + 4y = 25$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$3x - 4y + 25 = 0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y=0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-1$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (1, -2)$ છે.
ધારો કે $A(3, -1)$ એ વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ છે અને $B(x_1, y_1)$ એ બીજું અંત્યબિંદુ છે.
કેન્દ્ર $C$ એ વ્યાસ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$(1, -2) = (\frac{3+x_1}{2}, \frac{-1+y_1}{2})$.
$B$ માટે ઉકેલતા,$x_1=-1$ અને $y_1=-3$ મળે છે.
તેથી,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $B(-1, -3)$ છે.
$B(-1, -3)$ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $CB$ ને લંબ હોય છે.
ત્રિજ્યા $CB$ નો ઢાળ $m_{CB} = \frac{-3-(-2)}{-1-1} = \frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -2$ થાય.
$B(-1, -3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y+3 = -2(x+1)$ એટલે કે $2x+y+5=0$ મળે છે.

(C) $(1,1)$ આગળ રેખાનું સમીકરણ $x+y-2=0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે.
અભિલંબ એ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $1$ છે.
તેથી,$\tan \theta = 1$,જે $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્રના યામ $h = 1 \pm r \cos \theta$ અને $k = 1 \pm r \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{2}$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ હોવાથી:
$h = 1 \pm \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
$k = 1 \pm \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
તેથી,શક્ય કેન્દ્રો $(2, 2)$ અથવા $(0, 0)$ છે.
વર્તુળના સમીકરણો $x^2 + y^2 = 2$ અથવા $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$ છે.
$x^2 + y^2 - 2 = 0$ વર્તુળ માટે,$(1, 2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{1^2 + 2^2 - 2} = \sqrt{3}$ છે.
$(x-2)^2 + (y-2)^2 - 2 = 0$ વર્તુળ માટે,$(1, 2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 - 2} = \sqrt{-1}$ મળે છે,જે શક્ય નથી.
તેથી,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y-3=0$ છે.
વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=-1$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(-g, -f) = (1, 1)$ છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી રેખાખંડ $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O(1, 1)$ એ વ્યાસ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $Q$ ના યામ $(x, y)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-1+x}{2} = 1 \implies -1+x = 2 \implies x = 3$
$\frac{2+y}{2} = 1 \implies 2+y = 2 \implies y = 0$
આમ,$Q$ ના યામ $(3, 0)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=3$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-3, -2)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબ એ કેન્દ્ર $(-3, -2)$ અને બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન $(-2)$ હોવાથી,આ રેખા $y = -2$ છે.
તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $y+2=0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y+12=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 1$ મળે.
આમ,કેન્દ્ર $O(3,-2)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $A(2,3)$ થી કેન્દ્ર $O(3,-2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(3-2)^2+(-2-3)^2} = \sqrt{26}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો અડધો ખૂણો $\alpha$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $AOP$ માં,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
તેથી $\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}}$ અને $\tan(\alpha) = \frac{1}{5}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $\theta = 2\alpha$ છે.
$\tan(\theta) = \frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} = \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} = \frac{5}{12}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.

(A) વર્તુળના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને નિયામક વર્તુળ કહેવામાં આવે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2a^2$ છે.
બિંદુ $(10,4)$ નિયામક વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,આપણને મળે છે:
$10^2+4^2 = 2a^2$
$100+16 = 2a^2$
$116 = 2a^2$
$a^2 = 58$
$a = \sqrt{58}$

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $S = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ અને બિંદુ $(1, 1)$ છે.
$S_1 = 1^2 + 1^2 + 2(1) + 2(1) + 1 = 7$.
$T = x(1) + y(1) + (x + 1) + (y + 1) + 1 = 2x + 2y + 3$.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$7(x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1) = (2x + 2y + 3)^2$.
$7x^2 + 7y^2 + 14x + 14y + 7 = 4x^2 + 4y^2 + 9 + 8xy + 12x + 12y$.
પદોને ગોઠવતા:
$3x^2 - 8xy + 3y^2 + 2x + 2y - 2 = 0$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-4x-8y+4=0$ છે. કેન્દ્ર $(2, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+4^2-4} = \sqrt{16} = 4$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી કેન્દ્ર $(2,4)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તેથી,ઉગમબિંદુ અને કેન્દ્રને જોડતી રેખા તથા એક સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha/2$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin(\alpha/2) = r/d = 4/(2\sqrt{5}) = 2/\sqrt{5}$.
તેથી,$\cos(\alpha/2) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha/2)} = \sqrt{1 - 4/5} = 1/\sqrt{5}$.
આમ,$\tan(\alpha/2) = \sin(\alpha/2) / \cos(\alpha/2) = (2/\sqrt{5}) / (1/\sqrt{5}) = 2$.
સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{2 \tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan \alpha = \frac{2(2)}{1 - 2^2} = \frac{4}{-3} = -4/3$.
$\alpha$ લઘુકોણ હોવાથી,આપણે તેનું મૂલ્ય લઈએ,તેથી $\tan \alpha = 4/3$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x+\lambda)^2+(y+1)^2=\lambda^2$ છે.
અહીં,કેન્દ્ર $C$ એ $(-\lambda, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ એ $|\lambda|$ છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે અને $P$ એ $O$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે,તેથી ખૂણો $\angle COP = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = 45^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OCP$ માં,$\tan(\angle COP) = \frac{CP}{OP} = \frac{r}{OP}$ થાય.
$\angle COP = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(45^{\circ}) = 1$,તેથી $OP = CP = |\lambda|$ મળે.
વળી,અંતર $OC = \sqrt{(-\lambda-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{\lambda^2+1}$ થાય.
$\triangle OCP$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OC^2 = OP^2 + CP^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(\sqrt{\lambda^2+1})^2 = |\lambda|^2 + |\lambda|^2$.
$\lambda^2 + 1 = 2\lambda^2$.
તેથી,$\lambda^2 = 1$ મળે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=50$ અને રેખા $x+7=0$ છે.
$x = -7$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-7)^2 + y^2 = 50$
$49 + y^2 = 50$
$y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $P_1(-7, 1)$ અને $P_2(-7, -1)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
બિંદુ $(-7, 1)$ માટે: $-7x + y = 50 \Rightarrow 7x - y + 50 = 0$.
બિંદુ $(-7, -1)$ માટે: $-7x - y = 50 \Rightarrow 7x + y + 50 = 0$.
તેથી,જરૂરી સમીકરણો $7x+y+50=0$ અને $7x-y+50=0$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x+4y-1=0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4+4-(-1)} = 3$ છે.
બિંદુ $C(1, 1)$ થી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $OC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAC$ માં,$\sin \alpha = \frac{OA}{OC} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
સ્પર્શકોની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-14x+2y+25=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x^2-14x+49) + (y^2+2y+1) - 49 - 1 + 25 = 0$,જે $(x-7)^2 + (y+1)^2 = 25 = 5^2$ માં પરિણમે છે.
આમ,ત્રિજ્યા $r = 5$ અને કેન્દ્ર $P = (7, -1)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી કેન્દ્ર $P(7,-1)$ વચ્ચેનું અંતર $OP = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુથી દોરેલા સ્પર્શકો વર્તુળને $A$ અને $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં,$\sin \theta = \frac{AP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\triangle OBP$ માટે,$\sin \alpha = \frac{BP}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\alpha = 45^{\circ}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $\theta + \alpha = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-1)^2+2^2-(-11)} = 4$.
બિંદુ $(1,3)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ $L_T = \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11} = 3$.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે.
$\tan\theta = \frac{r}{L_T} = \frac{4}{3}$.
$\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \frac{2(4/3)}{1+(4/3)^2} = \frac{24}{25}$.
તેથી,$2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ ... $(i)$ છે.
કેન્દ્ર $A$ એ $(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+2^2+20} = \sqrt{25} = 5$ છે.
બિંદુ $B(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(1) + y(7) - (x+1) - 2(y+7) - 20 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5y = 35$ અથવા $y = 7$ ... $(ii)$ થાય છે.
બિંદુ $D(4, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(4) + y(-2) - (x+4) - 2(y-2) - 20 = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 4y = 20$ ... $(iii)$ થાય છે.
સ્પર્શકોના છેદબિંદુ $C$ માટે $(ii)$ અને $(iii)$ ઉકેલતા: $y=7$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$3x - 4(7) = 20$ $\Rightarrow 3x = 48$ $\Rightarrow x = 16$. તેથી,$C = (16, 7)$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $2 \times \text{Area}(\triangle ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times r \times L)$ છે,જ્યાં $L$ એ $C$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
$L = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{256 + 49 - 32 - 28 - 20} = \sqrt{225} = 15$.
ક્ષેત્રફળ $= r \times L = 5 \times 15 = 75$ ચોરસ એકમ.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-1$,$f=-2$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2-0} = \sqrt{5}$ છે.
બિંદુ $P(4,3)$ થી કેન્દ્ર $C(1,2)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(4-1)^2+(3-2)^2} = \sqrt{10}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = \frac{\theta}{2}$ છે.
કાટ
કાટ્રાયંગલના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin(\alpha) = \frac{r}{d} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{4}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2+4x-6y+4=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=2, f=-3, c=4$ મળે છે.
કેન્દ્ર $O = (-g, -f) = (-2, 3)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-4} = \sqrt{9} = 3$.
ઉગમબિંદુ $P(0,0)$ થી કેન્દ્ર $O(-2,3)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ છે.
ધારો કે $\alpha$ એ સ્પર્શક અને ઉગમબિંદુને કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કાટ્રાયંગલના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin \alpha = \frac{r}{d} = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
તેથી $\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1-\frac{9}{13}} = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
આમ,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}} = \frac{3}{2}$.
બંને સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha = 2 \tan^{-1} \left(\frac{3}{2}\right)$ છે.

(C) વર્તુળ $C_1: x^2+y^2-4x+12y-216=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ $(2, -6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = 16$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2+y^2+6x-12y+36=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ $(-3, 6)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 13$ છે.
અહીં $r_1 - r_2 = d$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંતઃસ્પર્શે છે.
સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ એ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના ઢાળને લંબ હોય છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_{C_1C_2} = -\frac{12}{5}$ છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5}{12}$ થાય.

(D) ધારો કે $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$. કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
ધારો કે $S_2: x^2+y^2-2x+2y+1=0$. કેન્દ્ર $C_2 = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$.
સામાન્ય સ્પર્શકો બિંદુ $P$ માં છેદે છે જે કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$P$ ના યામ $(3, -3)$ મળે છે.
$P(3, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $mx - y - 3m - 3 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C_2(1, -1)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r_2=1$ જેટલું હોય.
$\left| \frac{-2m - 2}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 1 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{3}{3} = 1$ થાય.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta = 1$ છે.
આ રેખા $\theta$ ની તમામ કિંમતો માટે વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(h, k)$ થી સ્પર્શક રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
રેખાને $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta - 1 = 0$ તરીકે લખતા,$(h, k)$ થી અંતર $\frac{|(h-2) \cos \theta + (k-2) \sin \theta - 1|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = r$ થાય.
આ $\theta$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું હોવાથી,$h-2 = 0$ અને $k-2 = 0$ હોવું જોઈએ,જે કેન્દ્ર $(2, 2)$ આપે છે.
ત્યારબાદ,અંતર $|-1| = r$ થાય,તેથી $r = 1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 1^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 1$ મળે.
આમ,$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$.