Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $(r) = 3 \text{ m}$ અને ચાપની લંબાઈ $(l) = 1 \text{ m}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $(\theta)$ નું સૂત્ર $\theta = \frac{l}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\theta = \frac{1}{3} \text{ રેડિયન}$ મળે છે.

(B) $r_1 = 7\,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર તારનો પરિઘ $L = 2\pi r_1 = 2 \times \pi \times 7 = 14\pi\,cm$ છે.
આ તારને $r_2 = 12\,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચાપ તરીકે વાળવામાં આવે છે. ચાપની લંબાઈ $L = 14\pi\,cm$ છે.
કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\theta = \frac{L}{r_2}$ (રેડિયનમાં) છે.
$\theta = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6}$ રેડિયન.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180^o}{\pi}$ વડે ગુણો:
$\theta = \frac{7\pi}{6} \times \frac{180^o}{\pi} = 7 \times 30^o = 210^o$.

(B) ચાપની લંબાઈ $(l)$,ત્રિજ્યા $(r)$ અને કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા $(\theta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $l = r \theta$.
આપેલ છે: ચાપની લંબાઈ $l = 15 \ cm$ અને ખૂણો $\theta = 3/4 \ radian$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $15 = r \times (3/4)$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = 15 \times (4/3) = 5 \times 4 = 20 \ cm$.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $20 \ cm$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
$Q$ ના યામ $(3, 4)$ અને $R$ ના યામ $(-4, 3)$ છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}$ છે.
$OR$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $OQ$ અને $OR$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,કેન્દ્રિય ખૂણો $\angle QOR = \frac{\pi}{2}$ થાય.
વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
આમ,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle QOR = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -3, f = -2, c = -12$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 - (-12)} = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
રેખાઓ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેમના સમીકરણો $y = k$ સ્વરૂપમાં હશે.
કેન્દ્ર $(3, 2)$ થી રેખા $y - k = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|2 - k|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = 5$.
$|2 - k| = 5$.
આથી $2 - k = 5$ અથવા $2 - k = -5$ મળે.
તેથી,$k = -3$ અથવા $k = 7$.
રેખાઓ $y = -3$ અને $y = 7$ છે,જેને $y + 3 = 0$ અને $y - 7 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $(y + 3)(y - 7) = 0$ છે.
$y^2 - 7y + 3y - 21 = 0$.
$y^2 - 4y - 21 = 0$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
ચોરસની બાજુઓ યામ અક્ષોને સમાંતર હોવાથી,તેના શિરોબિંદુઓ $(1 \pm 1, -2 \pm 1)$ થશે.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(2, -1), (0, -1), (0, -3), (2, -3)$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ છે.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -3$ અને $f = 1$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, -1)$ છે.
કારણ કે રેખા $x + 2by + 7 = 0$ એ વ્યાસ છે,તેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ.
રેખાના સમીકરણમાં $(3, -1)$ મૂકતા: $3 + 2b(-1) + 7 = 0$.
$10 - 2b = 0$.
$2b = 10 \Rightarrow b = 5$.

(A) જે વર્તુળ રેખાને સ્પર્શે છે તેની ત્રિજ્યા એ વર્તુળના કેન્દ્રથી તે રેખા સુધીના લંબ અંતર જેટલી હોય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીના લંબ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (1, -3)$ અને રેખા $3x - 4y - 5 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A = 3$,$B = -4$,અને $C = -5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{|3(1) - 4(-3) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$r = \frac{|3 + 12 - 5|}{\sqrt{9 + 16}}$
$r = \frac{|10|}{\sqrt{25}}$
$r = \frac{10}{5} = 2$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ છે.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$.
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r = 5$ મૂકતા,આપણને $A = \pi (5)^2 = 25\pi \text{ ચોરસ એકમ}$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 4 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 4 \implies g = 2$,$2f = -4 \implies f = -2$,અને $c = 4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-2, 2)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 - 4} = \sqrt{4 + 4 - 4} = \sqrt{4} = 2$ છે.
કેન્દ્રના $x$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-2| = 2 = r$ અને $y$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|2| = 2 = r$ હોવાથી,વર્તુળ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેને સ્પર્શે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2 = (h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 5$ છે.
બંને વર્તુળો બિંદુ $(5, 5)$ આગળ બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,આ બિંદુ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું $r_1 : r_2 = 5 : 5 = 1 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$(5, 5) = (\frac{1+h}{2}, \frac{2+k}{2})$.
$h$ અને $k$ માટે ઉકેલતા:
$1 + h = 10 \Rightarrow h = 9$
$2 + k = 10 \Rightarrow k = 8$.
જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 9)^2 + (y - 8)^2 = 5^2$ છે.
વિસ્તરણ કરતા,${x^2} - 18x + 81 + {y^2} - 16y + 64 = 25$.
${x^2} + {y^2} - 18x - 16y + 120 = 0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $(-2, 0)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર આ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
$(-2, 0)$ અને $(4, 0)$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{-2+4}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)$ છે.
લંબદ્વિભાજક એ શિરોલંબ રેખા $x = 1$ છે,તેથી $h = 1$.
કેન્દ્ર $(1, k)$ થી $(4, 0)$ સુધીનું અંતર એ ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(4-1)^2 + (0-k)^2} = 5$.
$3^2 + k^2 = 5^2 \implies 9 + k^2 = 25$.
$k^2 = 16 \implies k = \pm 4$.
આમ,બે શક્ય કેન્દ્રો છે: $(1, 4)$ અને $(1, -4)$.
તેથી,આવા $2$ વર્તુળો મળે.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x - 4y + 4 = 0$ અને $6x - 8y - 7 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $3x - 4y - 3.5 = 0$ મળે છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$.
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|7.5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વ્યાસ $1.5$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ થાય.

(C) વર્તુળ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી અને બંને અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(-a, -a)$ અને ત્રિજ્યા $a$ છે,જ્યાં $a > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + a)^2 + (y + a)^2 = a^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 + 2ax + 2ay + a^2 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ રેખા $3x - 4y + 8 = 0$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(-a, -a)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\left| \frac{3(-a) - 4(-a) + 8}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = a$
$\left| \frac{a + 8}{5} \right| = a$
$a + 8 = 5a$ લેતા,$4a = 8$ એટલે કે $a = 2$ મળે છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ છે.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$ છે.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = -4 \implies g = -2$ અને $2f = -6 \implies f = -3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 3)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ $A = (3, 4)$ છે અને બીજું અંત્યબિંદુ $B = (x, y)$ છે.
કેન્દ્ર $C(2, 3)$ એ વ્યાસ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{3 + x}{2} = 2 \implies 3 + x = 4 \implies x = 1$
$\frac{4 + y}{2} = 3 \implies 4 + y = 6 \implies y = 2$
આમ,બીજું અંત્યબિંદુ $(1, 2)$ છે.

(B) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = 3$,$f = -4$,અને $c = 9$ મળે છે.
વર્તુળ દ્વારા $x$-અક્ષ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2\sqrt{3^2 - 9} = 2\sqrt{9 - 9} = 0$ મળે છે.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $0$ હોવાથી,વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -2$ અને $f = -3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 3)$ છે.
હવે,રેખા $3x + 2y = 12$ માં કેન્દ્ર $(2, 3)$ ના યામ મૂકીને તપાસો:
$3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$.
આમ,રેખા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,રેખા એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 9 = 0$ છે.
વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g = -6 \implies g = -3$ અને $2f = -8 \implies f = -4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 4)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપણે ચકાસીએ છીએ કે કયો વિકલ્પ બિંદુ $(3, 4)$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $C$ માટે: $x + y = 3 + 4 = 7$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,રેખા $x + y = 7$ એ વ્યાસ છે.

(C) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
વર્તુળ બંને અક્ષોને સ્પર્શે તે માટે,કેન્દ્રથી બંને અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$|-g| = |-f| = r$,જેનો અર્થ છે કે $|g| = |f| = r$.
વળી,ત્રિજ્યાના સૂત્ર મુજબ $r^2 = g^2 + f^2 - c$.
$g^2 = r^2$ અને $f^2 = r^2$ મૂકતા,આપણને $r^2 = r^2 + r^2 - c$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $c = r^2$ થાય છે.
તેથી,શરત $g^2 = f^2 = c = r^2$ છે.

(D) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = a$ છે.
$x$-અક્ષ વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $x$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
તેથી,કેન્દ્રનો $y$-યામ શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $-f = 0$,તેથી $f = 0$.
ત્રિજ્યા $a = \sqrt{g^2 - c}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = g^2 - c$,જેનો અર્થ છે કે $c = g^2 - a^2$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -6 \implies g = -3$ અને $2f = 2 \implies f = 1$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, -1)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપણે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને કેન્દ્ર $(3, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-1 - 0}{3 - 0} = -\frac{1}{3}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3y = -x$ અથવા $x + 3y = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: y + \sqrt{3}x = 6$,$L_2: y - \sqrt{3}x = 6$,અને $L_3: y = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $y = 6, x = 0$. શિરોબિંદુ $A = (0, 6)$.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $y = 0, x = 2\sqrt{3}$. શિરોબિંદુ $B = (2\sqrt{3}, 0)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $y = 0, x = -2\sqrt{3}$. શિરોબિંદુ $C = (-2\sqrt{3}, 0)$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ લેતા.
બિંદુઓ $(0, 6)$,$(2\sqrt{3}, 0)$,અને $(-2\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળ માટે:
$c = -12$,$g = 0$,અને $f = -2$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4y = 12$ થાય છે.

(C) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ત્રિજ્યા $a$ આપેલી છે,તેથી $r = a$ સૂત્રમાં મૂકતા,
ક્ષેત્રફળ $A = \pi a^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે $AB$ એ $\sqrt{2}$ લંબાઈની જીવા છે અને $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
આપેલ છે કે જીવા દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\angle AOB = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$ છે.
$\Delta AOB$ માં,$OA = OB = r$ (વર્તુળની ત્રિજ્યા).
$\Delta AOB$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
$r^2 + r^2 = (\sqrt{2})^2$
$2r^2 = 2$
$r^2 = 1$
તેથી,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(1) = \pi$ થાય.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 8x - 4y + c = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -8$ અને $2f = -4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $g = -4$ અને $f = -2$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (4, 2)$ છે.
ધારો કે વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x + (-3)}{2} = 4 \implies x - 3 = 8 \implies x = 11$
$\frac{y + 2}{2} = 2 \implies y + 2 = 4 \implies y = 2$
આમ,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(11, 2)$ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x, 3)$ અને $(3, 5)$ છે અને કેન્દ્ર $(2, y)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્ર $(\frac{x + 3}{2}, \frac{3 + 5}{2})$ મળે.
આ યામોને આપેલા કેન્દ્ર $(2, y)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{x + 3}{2} = 2 \implies x + 3 = 4 \implies x = 1$.
$\frac{3 + 5}{2} = y \implies \frac{8}{2} = y \implies y = 4$.
આમ,$x = 1$ અને $y = 4$ મળે છે.

(B) બે નિશ્ચિત બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે જ્યારે તે બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ હોય.
આપેલ બિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(0, 1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ મૂકતા:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2ax$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x^2 - 2ax + y^2 = 0$ મળે છે.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,બંને બાજુ $a^2$ ઉમેરતા: $(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = a^2$.
આ $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ માં પરિણમે છે.
આ કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = a$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
$r = a$ મૂકતા,આપણને $A = \pi a^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $a$ એ ચોરસની બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળની પરિમિતિ = ચોરસની પરિમિતિ:
$2\pi r = 4a \Rightarrow a = \frac{\pi r}{2}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $a^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}$.
ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા:
$\frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi}$.
કારણ કે $\pi \approx 3.14$,તેથી $\frac{4}{\pi} > 1$.
આમ,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતા મોટું છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 10x - 6y + 9 = 0$ ને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = 5$ અને $c = 9$ મળે છે.
વર્તુળ દ્વારા $x$-અક્ષ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈનું સૂત્ર $2\sqrt{g^2 - c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$2\sqrt{5^2 - 9} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$ મળે છે.
તેથી,અંતઃખંડની લંબાઈ $8$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S(x, y) = x^2 + y^2 + 3x - 3y + 2 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળની અંદર હોય જો $S(x_1, y_1) < 0$ હોય.
વિકલ્પ $(A) (-1, 3)$ તપાસતા: $S(-1, 3) = (-1)^2 + (3)^2 + 3(-1) - 3(3) + 2 = 0$. આ બિંદુ વર્તુળ પર છે.
વિકલ્પ $(B) (-2, 1)$ તપાસતા: $S(-2, 1) = (-2)^2 + (1)^2 + 3(-2) - 3(1) + 2 = -2$. $-2 < 0$ હોવાથી,આ બિંદુ વર્તુળની અંદર છે.
વિકલ્પ $(C) (2, 1)$ તપાસતા: $S(2, 1) = 10$. $10 > 0$ હોવાથી,આ બિંદુ વર્તુળની બહાર છે.
વિકલ્પ $(D) (-3, 2)$ તપાસતા: $S(-3, 2) = 0$. આ બિંદુ વર્તુળ પર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S(x, y) = x^2 + y^2 - x + y - 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ નું સ્થાન શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ અને $y = 1$ ને $S(x, y)$ માં મૂકીએ.
$S(1, 1) = (1)^2 + (1)^2 - (1) + (1) - 1 = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$.
અહીં $S(1, 1) = 1 > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ છે.
આપેલ બિંદુ $(5, 1)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$ છે.
બિંદુને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S_1 = (5)^2 + (1)^2 + 6(5) - 4(1) - 3$
$S_1 = 25 + 1 + 30 - 4 - 3 = 49$
તેથી,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{49} = 7$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2$,$f = -4$,અને $c = -5$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4 + 16 + 5} = \sqrt{25} = 5$ છે.
રેખા $3x - 4y - m = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્ર $(2, 4)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5}$.
શરત $d < r$ મુજબ,$\frac{|-10 - m|}{5} < 5$.
$|-10 - m| < 25$.
$-25 < -10 - m < 25$.
$-1$ વડે ગુણતા,$25 > 10 + m > -25$.
બધા પદોમાંથી $10$ બાદ કરતા,$15 > m > -35$,એટલે કે $-35 < m < 15$.

(C) રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત ${c^2} = {a^2}(1 + {m^2})$ છે.
જો ${c^2} < {a^2}(1 + {m^2})$ હોય,તો રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
જો ${c^2} > {a^2}(1 + {m^2})$ હોય,તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $mx - y + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ થાય.
અહીં ${c^2} > {a^2}(1 + {m^2})$ હોવાથી,$\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} > |a|$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર એ વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા વધારે છે.
તેથી,રેખા વર્તુળને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતી નથી.

(A) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(c, c)$ અને ત્રિજ્યા $r = c$ છે.
કેન્દ્ર $(c, c)$ થી રેખા $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ (અથવા $4x + 3y - 12 = 0$) નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $c$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left| \frac{4c + 3c - 12}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| = c$.
$\left| \frac{7c - 12}{5} \right| = c$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $7c - 12 = 5c$ $\Rightarrow 2c = 12$ $\Rightarrow c = 6$.
કિસ્સો $2$: $7c - 12 = -5c$ $\Rightarrow 12c = 12$ $\Rightarrow c = 1$.
રેખા $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ ના અંતઃખંડો $3$ અને $4$ છે,તેથી વર્તુળ ત્રિકોણની અંદર હોવું જોઈએ. $c=6$ માટે વર્તુળ ત્રિકોણની બહાર જાય છે. તેથી,$c=1$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(-1, 2)$ છે.
બિંદુનું વર્તુળની સાપેક્ષ સ્થાન ચકાસવા માટે,આપણે બિંદુના યામને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકીને $S_1$ ની કિંમત શોધીએ:
$S_1 = (-1)^2 + (2)^2 + 2(-1) - 4(2) + 4$
$S_1 = 1 + 4 - 2 - 8 + 4 = -1$.
અહીં $S_1 < 0$ હોવાથી,બિંદુ $(-1, 2)$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
તેથી,આ બિંદુમાંથી વર્તુળ પર કોઈ સ્પર્શક દોરી શકાય નહીં.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 + 2x + 6y - 15 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 0)$ નું વર્તુળની સાપેક્ષ સ્થાન નક્કી કરવા માટે,આપણે $(0, 0)$ યામને $S$ માં મૂકીએ.
$S_1 = (0)^2 + (0)^2 + 2(0) + 6(0) - 15 = -15$.
અહીં $S_1 < 0$ હોવાથી,બિંદુ $(0, 0)$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
તેથી,વર્તુળની અંદરના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર કોઈ સ્પર્શક દોરી શકાય નહીં.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ છે.
બિંદુ $(0.1, 3.1)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે,આપણે $S_1 = S(0.1, 3.1)$ ની કિંમત શોધીએ.
$S_1 = (0.1)^2 + (3.1)^2 - 2(0.1) - 4(3.1) + 3$
$S_1 = 0.01 + 9.61 - 0.2 - 12.4 + 3$
$S_1 = 12.62 - 12.6 = 0.02$.
અહીં $S_1 > 0$ હોવાથી,બિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.

(A) આપેલ રેખા: $4x - 3y - 10 = 0 \implies x = \frac{3y + 10}{4}$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ માં મૂકતા:
$(\frac{3y + 10}{4})^2 + y^2 - 2(\frac{3y + 10}{4}) + 4y - 20 = 0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $16$ વડે ગુણતા:
$(3y + 10)^2 + 16y^2 - 8(3y + 10) + 64y - 320 = 0$.
$9y^2 + 60y + 100 + 16y^2 - 24y - 80 + 64y - 320 = 0$.
$25y^2 + 100y - 300 = 0$.
$y^2 + 4y - 12 = 0$.
$(y + 6)(y - 2) = 0$.
તેથી,$y = -6$ અથવા $y = 2$.
$y = -6$ માટે,$x = \frac{3(-6) + 10}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y = 2$ માટે,$x = \frac{3(2) + 10}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
બિંદુઓ $(-2, -6)$ અને $(4, 2)$ છે.

(C) વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $mx - y + c = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ જેથી રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે.
અંતર $d = \frac{|m(0) - 1(0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}}$ છે.
બે ભિન્ન બિંદુઓ માટે,આપણે $d < r$ ની જરૂર છે,તેથી $\frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}} < r$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|c| < r\sqrt{1 + m^2}$,જે $c^2 < r^2(1 + m^2)$ ને સમાન છે.
આ અસમતાને $-r\sqrt{1 + m^2} < c < r\sqrt{1 + m^2}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ માટે,તેને $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ તરીકે લખી શકાય,તેથી કેન્દ્ર $C_2 = (4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 2$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 4$ છે.
અહીં $d = r_1 + r_2$ $(4 = 2 + 2)$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે.

(D) આપેલ વર્તુળો ${x^2} + {y^2} - x = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + x = 0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - x = 0$ માટે,કેન્દ્ર ${C_1} = (\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા ${r_1} = \frac{1}{2}$ છે.
બીજા વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + x = 0$ માટે,કેન્દ્ર ${C_2} = (-\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા ${r_2} = \frac{1}{2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ${C_1}{C_2} = 1$ છે.
અહીં ${C_1}{C_2} = {r_1} + {r_2} = 1$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે.

(B) વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ એ વક્ર $y = x^2 + 1$ ને બિંદુ $(1, 2)$ પર સ્પર્શે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વક્ર $y = x^2 + 1$ ના બિંદુ $(1, 2)$ પરનો અભિલંબ વર્તુળના કેન્દ્ર $(h, k)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ.
વક્રનું વિકલન $dy/dx = 2x$ છે. $x = 1$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 2(1) = 2$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -1/m_t = -1/2$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને $-1/2$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 2) = -1/2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 5$ થાય છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ આ અભિલંબ પર હોવાથી,$h + 2k = 5$ મળે છે.

(C) વર્તુળનો અભિલંબ એ એવી રેખા છે જે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપેલ રેખા $ax + by + c = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નો અભિલંબ હોવાથી,તે વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા એ વર્તુળનો વ્યાસ હોય છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ $2r$ છે.
તેથી,વર્તુળ દ્વારા અંતઃખંડિત થતી રેખાના ભાગની લંબાઈ $2r$ છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ માટે,તેને $(x-2)^2 + y^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય,તેથી કેન્દ્ર $C_2 = (2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$ છે.
અહીં $d = r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ થાય છે.

(C) વર્તુળ $S = 0$ ની જીવા જેનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ હોય તેનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = x x_1 + y y_1 - a^2$ અને $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x x_1 + y y_1 - a^2 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$
બંને બાજુ $a^2$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$x x_1 + y y_1 = x_1^2 + y_1^2$.

(B) જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $L = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $d$ એ કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
ત્રિજ્યા $R = r$ છે.
લંબ અંતર $d = \frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}}} = \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = 2\sqrt{r^2 - \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}}$
$L = 2\sqrt{\frac{r^2(a^2 + b^2) - a^2b^2}{a^2 + b^2}}$.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે.
રેખા $x - 2y = 2$ એ જીવા હોવાથી,મધ્યબિંદુ $M$ આ રેખા પર આવેલું હશે,તેથી $h - 2k = 2$.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ ને મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ સાથે જોડતો રેખાખંડ જીવા $x - 2y = 2$ ને લંબ છે.
જીવાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
રેખાખંડ $OM$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{k}{h}$ છે.
$OM$ એ જીવાને લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\frac{1}{2} \times \frac{k}{h} = -1$,એટલે કે $k = -2h$.
$k = -2h$ ને $h - 2k = 2$ માં મૂકતા,$h - 2(-2h) = 2$,તેથી $5h = 2$,એટલે કે $h = \frac{2}{5}$.
તેથી $k = -2 \times \frac{2}{5} = -\frac{4}{5}$.
આમ,મધ્યબિંદુ $\left( \frac{2}{5}, -\frac{4}{5} \right)$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 11 = 0$ છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, 2)$ છે.
જીવાને દુભાગતો વ્યાસ તે જીવાને લંબ હોય છે.
આપેલ રેખા $2x - y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
આ રેખાને લંબ વ્યાસનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ થશે.
કેન્દ્ર $(-1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$2y - 4 = -x - 1$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$x + 2y - 3 = 0$ મળે છે.