Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Gujarati

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 1 = 0$ અને $L_2: 4x + 3y - 7 = 0$ છે. આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે. ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો મેળવીને અને વર્તુળ $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે તે ચકાસતા,વિકલ્પ $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20$ અને બિંદુ $(0, 0)$ છે.
$S_1$ એ $(0, 0)$ પર $S$ ની કિંમત છે,તેથી $S_1 = 20$.
$T$ એ $(0, 0)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ છે,જે $T = 10(x + y + 2)$ છે.
હવે,$SS_1 = T^2$ લેતા,$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = [10(x + y + 2)]^2$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = 100(x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4)$.
$x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20 = 5x^2 + 5y^2 + 10xy + 20x + 20y + 20$.
$4x^2 + 4y^2 + 10xy = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$2x^2 + 2y^2 + 5xy = 0$ મળે છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(f, g)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6 = 0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_1 = \sqrt{f^2 + g^2 - 6}$.
બિંદુ $(f, g)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 3x + 3y = 0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $L_2 = \sqrt{f^2 + g^2 + 3f + 3g}$.
આપેલ ગુણોત્તર $L_1 : L_2 = 2 : 1$ છે,તેથી $\frac{L_1}{L_2} = 2$,એટલે કે $\frac{L_1^2}{L_2^2} = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f^2 + g^2 - 6}{f^2 + g^2 + 3f + 3g} = 4$.
$f^2 + g^2 - 6 = 4(f^2 + g^2 + 3f + 3g)$.
$f^2 + g^2 - 6 = 4f^2 + 4g^2 + 12f + 12g$.
$3f^2 + 3g^2 + 12f + 12g + 6 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $f^2 + g^2 + 4f + 4g + 2 = 0$ મળે છે.

(A) $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x - y + 1 = 0$ છે.
વર્તુળોનું કુળ $(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11) + \lambda(x - y + 1) = 0$ છે.
આ વર્તુળ $3x + y - 3 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
ગણતરી કરતા $\lambda$ ના મૂલ્યો મળે છે,જેનાથી અચળ પદ $7$ અને $12$ મળે છે.

(B) રેખા $\lambda x - y + 1 = 0$ ના યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
રેખા $x - 2y + 3 = 0$ ના યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $(-3, 0)$ અને $(0, \frac{3}{2})$ છે.
વર્તુળ આ ચાર બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે $(0, 1), (-3, 0)$ અને $(0, \frac{3}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
$(0, 1)$ મૂકતા,$1 + 2f + c = 0$ મળે.
$(0, \frac{3}{2})$ મૂકતા,$\frac{9}{4} + 3f + c = 0$ મળે.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $f = -\frac{5}{4}$ અને $c = \frac{3}{2}$ મળે.
$(-3, 0)$ મૂકતા,$9 - 6g + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow g = \frac{7}{4}$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + \frac{3}{2} = 0$ છે.
તે $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{1}{\lambda^2} - \frac{7}{2\lambda} + \frac{3}{2} = 0$ મળે.
$3\lambda^2 - 7\lambda + 2 = 0$ ઉકેલતા,$\lambda = 2$ અથવા $\lambda = \frac{1}{3}$ મળે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $2$ છે.

(C) રેખા $ax + by = 0$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ ને સ્પર્શે છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -2)$ થી રેખા $ax + by = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય:
$\left| \frac{-a - 2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| = \sqrt{5}$
$(a + 2b)^2 = 5(a^2 + b^2)$
$4a^2 - 4ab + b^2 = 0$
$(2a - b)^2 = 0 \Rightarrow b = 2a$.
આગળ,રેખા $ax + by = 0$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0$ નો અભિલંબ છે. તેથી,આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, -1)$ રેખા પર હોવું જોઈએ:
$2a - b = 0 \Rightarrow b = 2a$.
આમ,$a = 1$ લેતા $b = 2$ મળે છે. તેથી,$(a, b) = (1, 2)$.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$,અને $D(0, a)$ છે.
વર્તુળ આ ચાર બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ નું પાલન કરે છે.
$A(0, 0)$ મૂકતા,આપણને $c = 0$ મળે છે.
$B(a, 0)$ મૂકતા,આપણને $a^2 + 2ga = 0 \Rightarrow g = -a/2$ મળે છે.
$D(0, a)$ મૂકતા,આપણને $a^2 + 2fa = 0 \Rightarrow f = -a/2$ મળે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - ax - ay = 0$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વર્તુળનો વ્યાસ $AC$ છે જેના અંતિમ બિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(a, a)$ છે. સમીકરણ $(x-0)(x-a) + (y-0)(y-a) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - ax + y^2 - ay = 0$ અથવા $x^2 + y^2 - ax - ay = 0$ થાય છે.

(A) $A(1, 0)$ અને $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{4 - 0}{3 - 1}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x - 2$ થાય છે.
વર્તુળના સમીકરણ ${x^2} + {y^2} = 4$ માં $y = 2x - 2$ મૂકતા:
${x^2} + {(2x - 2)^2} = 4$
${x^2} + 4{x^2} - 8x + 4 = 4$
$5{x^2} - 8x = 0$
$x(5x - 8) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = \frac{8}{5}$.
$x = 0$ માટે,$y = 2(0) - 2 = -2$. તેથી,$Q = (0, -2)$.
$x = \frac{8}{5}$ માટે,$y = 2(\frac{8}{5}) - 2 = \frac{16}{5} - \frac{10}{5} = \frac{6}{5}$. તેથી,$P = (\frac{8}{5}, \frac{6}{5})$.
હવે,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગુણોત્તર શોધીએ.
$PA = \sqrt{(1.6 - 1)^2 + (1.2 - 0)^2} = \sqrt{0.6^2 + 1.2^2} = \sqrt{1.8} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
$BP = \sqrt{(3 - 1.6)^2 + (4 - 1.2)^2} = \sqrt{1.4^2 + 2.8^2} = \sqrt{9.8} = \frac{7}{\sqrt{5}}$.
$\alpha = \frac{BP}{PA} = \frac{7/\sqrt{5}}{3/\sqrt{5}} = \frac{7}{3}$.
$QA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{5}$.
$BQ = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$Q$ એ $AB$ નું બહારની તરફ વિભાજન કરતું હોવાથી,$\beta = \frac{BQ}{QA} = \frac{3\sqrt{5}}{-\sqrt{5}} = -3$.
$\alpha = \frac{7}{3}$ અને $\beta = -3$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ:
${x^2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
${x^2} - (\frac{7}{3} - 3)x + (\frac{7}{3})(-3) = 0$
${x^2} + \frac{2}{3}x - 7 = 0$
$3{x^2} + 2x - 21 = 0$.

(C) ધારો કે $p$ એ સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ છે. તો $p = a \sin 60^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્ર,વેધકેન્દ્ર,પરિકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર બધા એક જ બિંદુ પર સંપાતી થાય છે.
તેથી,અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{3}p = \frac{1}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
વર્તુળનો વ્યાસ $D = 2r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે વર્તુળમાં અંતઃસ્થિત ચોરસની બાજુનું માપ $x$ છે. ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
તેથી,$x^2 + x^2 = D^2$,જે $2x^2 = D^2$ આપે છે.
$D = \frac{a}{\sqrt{3}}$ મૂકતા,આપણને $2x^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{a^2}{3}$ મળે છે.
તેથી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2 = \frac{a^2}{6}$ થાય.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $y = mx$ છે.
વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ માં $y = mx$ મૂકતા:
$x^2 + m^2x^2 - x + 3mx = 0$
$x[x(1 + m^2) - (1 - 3m)] = 0$
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(\frac{1 - 3m}{1 + m^2}, \frac{m(1 - 3m)}{1 + m^2})$ મળે છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $I_1 = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{1 + m^2}}$ મળે.
રેખા $L_2: x + y = 1$ માટે,$y = 1 - x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2 - 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$.
ઉકેલ $x = 1, 2$ મળે છે,તેથી $y = 0, -1$ મળે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $I_2 = \sqrt{(1 - 2)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2}$ મળે.
$I_1^2 = I_2^2$ લેતા: $\frac{(1 - 3m)^2}{1 + m^2} = 2$.
$7m^2 - 6m - 1 = 0 \Rightarrow (7m + 1)(m - 1) = 0$.
તેથી $m = 1$ અથવા $m = -1/7$.
આમ,રેખાઓ $x - y = 0$ અને $x + 7y = 0$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x\sqrt{5} + 2y - 3\sqrt{5} = 0$ પરના લંબની લંબાઈ:
$OL = \frac{|0(\sqrt{5}) + 2(0) - 3\sqrt{5}|}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5 + 4}} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે. તેથી,$OQ = OP = \sqrt{10}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OQL$ માં,જીવા $PQ$ ના અડધા ભાગ $QL$ ની લંબાઈ:
$QL = \sqrt{OQ^2 - OL^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{10 - 5} = \sqrt{5}$.
જીવા $PQ$ ની કુલ લંબાઈ $2 \times QL = 2\sqrt{5}$ છે.
$\Delta OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times PQ \times OL = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5}) \times \sqrt{5} = \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$.

(B) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
તે $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{1}{2}, k)$ થશે.
ત્રિજ્યા $r^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = \frac{1}{4} + k^2$.
વર્તુળ $S_2$ એ $x^2 + y^2 = 9$ (કેન્દ્ર $(0, 0)$,ત્રિજ્યા $R = 3$) ને સ્પર્શે છે.
આંતરિક સ્પર્શ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R - r$ થાય.
$d^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = r^2$.
તેથી $r^2 = (3 - r)^2 = 9 - 6r + r^2$,જે $6r = 9$ આપે છે,એટલે કે $r = \frac{3}{2}$.
$r^2 = \frac{9}{4}$ ને $r^2 = \frac{1}{4} + k^2$ માં મૂકતા,$\frac{9}{4} = \frac{1}{4} + k^2$,તેથી $k^2 = 2$,$k = \pm \sqrt{2}$.
આમ,કેન્દ્ર $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ મળે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\left( \frac{1}{2}, -\sqrt{2} \right)$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના બિંદુ $(a, b)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $ax + by = r^2$ છે.
સ્પર્શક યામ અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{ax}{r^2} + \frac{by}{r^2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{r^2/a} + \frac{y}{r^2/b} = 1$.
આમ,$A$ ($y$-અક્ષ પર) અને $B$ ($x$-અક્ષ પર) ના યામ અનુક્રમે $(0, r^2/b)$ અને $(r^2/a, 0)$ છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $OA = |r^2/b|$ અને $OB = |r^2/a|$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \left|\frac{r^2}{a}\right| \times \left|\frac{r^2}{b}\right| = \frac{r^4}{2|ab|}$ થાય.
આકૃતિ મુજબ $a$ અને $b$ ધન લેતા,ક્ષેત્રફળ $\frac{r^4}{2ab}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $A$ ના યામ $(r, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, r)$ છે જેથી $\angle AOB = 90^\circ$ થાય. ધારો કે $P$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ છે.
$\Delta PAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(\alpha, \beta)$ નીચે મુજબ મળે:
$\alpha = \frac{r \cos \theta + r + 0}{3} = \frac{r(\cos \theta + 1)}{3}$
$\beta = \frac{r \sin \theta + 0 + r}{3} = \frac{r(\sin \theta + 1)}{3}$
ગોઠવતા,આપણને મળે:
$\cos \theta = \frac{3\alpha}{r} - 1$
$\sin \theta = \frac{3\beta}{r} - 1$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{3\alpha}{r} - 1\right)^2 + \left(\frac{3\beta}{r} - 1\right)^2 = 1$
$\left(\alpha - \frac{r}{3}\right)^2 + \left(\beta - \frac{r}{3}\right)^2 = \left(\frac{r}{3}\right)^2$
આમ,બિંદુપથ $(x - \frac{r}{3})^2 + (y - \frac{r}{3})^2 = (\frac{r}{3})^2$ છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $C$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $T_1$ એ $P$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PT_1C$ માં,$P$ આગળનો ખૂણો $\frac{\theta}{2}$ છે.
તેથી,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{PT_1}{CT_1}$.
અહીં,$PT_1$ એ $P$ માંથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ છે,જે $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ છે.
$CT_1$ એ ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
તેથી,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{g^2 + f^2 - c}}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |k|$ થાય.
વર્તુળ ${x^2} + {(y - 1)^2} = 1$ (કેન્દ્ર $(0, 1)$,ત્રિજ્યા $1$) ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt {{{(h - 0)}^2} + {{(k - 1)}^2}} = 1 + |k|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
${h^2} + {(k - 1)^2} = {(1 + |k|)^2}$
${h^2} + {k^2} - 2k + 1 = 1 + 2|k| + {k^2}$
${h^2} = 2k + 2|k|$
કિસ્સો $1$: જો $k > 0$ હોય,તો $|k| = k$,તેથી ${h^2} = 2k + 2k = 4k$. આમ,બિંદુપથ $y > 0$ માટે ${x^2} = 4y$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $k < 0$ હોય,તો $|k| = -k$,તેથી ${h^2} = 2k - 2k = 0$. આમ,બિંદુપથ $y < 0$ માટે $x = 0$ છે.
આમ,બિંદુપથ $\{ (x, y) : {x^2} = 4y, y > 0\} \cup \{ (0, y) : y < 0\}$ છે.

(C) સમીકરણો $x^2 + y^2 = 5$ અને $y^2 = 4x$ ને ઉકેલતા:
$y^2 = 4x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા $x^2 + 4x - 5 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(x + 5)(x - 1) = 0$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -5$.
$y^2 = 4x$ હોવાથી,$x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $x = 1$.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 4$,તેથી $y = \pm 2$. છેદબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ માટે,વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ મળે. $(1, 2)$ બિંદુએ $m_1 = -\frac{1}{2}$.
પરવલય $y^2 = 4x$ માટે,વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ મળે. $(1, 2)$ બિંદુએ $m_2 = 1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-1/2 - 1}{1 + (-1/2)(1)} \right| = \left| \frac{-3/2}{1/2} \right| = 3$.

(D) પ્રથમ વક્ર $4x^2 + py^2 = 45$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $8x + 2py(dy/dx) = 0$ મળે,તેથી $(dy/dx)_I = -4x/(py)$.
બીજા વક્ર $x^2 - 4y^2 = 5$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x - 8y(dy/dx) = 0$ મળે,તેથી $(dy/dx)_{II} = x/(4y)$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય: $(-4x/py) \times (x/4y) = -1$.
આ સાદું રૂપ આપતા $x^2/(py^2) = 1$,અથવા $x^2 = py^2$ મળે છે.
$x^2 = py^2$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $py^2 - 4y^2 = 5$,જે $y^2(p - 4) = 5$ આપે છે,તેથી $y^2 = 5/(p - 4)$.
$x^2 = py^2$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4(py^2) + py^2 = 45$,જે $5py^2 = 45$ આપે છે,તેથી $py^2 = 9$.
$y^2 = 9/p$ હોવાથી,તેને $y^2 = 5/(p - 4)$ માં મૂકતા $9/p = 5/(p - 4)$ મળે છે.
$9(p - 4) = 5p \implies 9p - 36 = 5p \implies 4p = 36 \implies p = 9$.

(C) પરવલય ${y^2 = 8x}$ માટે,${4a = 8}$,તેથી ${a = 2}$ મળે છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ ${O(0, 0)}$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ ${L(a, 2a)}$ અને ${L'(a, -2a)}$ છે,એટલે કે ${L(2, 4)}$ અને ${L'(2, -4)}$.
ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0}$ છે.
વર્તુળ ${O(0, 0)}$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ${c = 0}$.
બિંદુ ${L(2, 4)}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: ${4 + 16 + 4g + 8f = 0 \implies g + 2f = -5}$.
બિંદુ ${L'(2, -4)}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: ${4 + 16 + 4g - 8f = 0 \implies g - 2f = -5}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: ${2g = -10 \implies g = -5}$ અને ${f = 0}$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2 + y^2 - 10x = 0}$ છે.

(C) બે વર્તુળો જેમની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ હોય અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ હોય,તો તે લંબછેદી હોવાની શરત $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ છે.
અહીં $r_1 = r_2 = a$ અને કેન્દ્રો $C_1(2, 3)$ અને $C_2(5, 6)$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$.
તેથી,$d^2 = 18$.
લંબછેદી હોવાની શરતમાં કિંમત મૂકતા: $18 = a^2 + a^2$.
$18 = 2a^2$.
$a^2 = 9$.
$a = 3$ (ત્રિજ્યા ધન હોવી જોઈએ).

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$.
પરવલય $y^2 = 4\sqrt{5}x$ માટે $a = \sqrt{5}$.
પરવલયનો સ્પર્શક $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m}$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|\frac{\sqrt{5}}{m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \implies m^4 + m^2 - 2 = 0$.
આથી વિધાન-$I$ સાચું છે અને વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(C) વર્તુળ $S = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
અહીં $S = x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$.
બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ હોવાથી,$S_1 = 0^2 + 0^2 + 20(0 + 0) + 20 = 20$.
સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $(0, 0)$ આગળ $10(x + y) + 20 = 0$ એટલે કે $x + y + 2 = 0$ થાય.
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = (10(x + y + 2))^2$
$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = 100(x + y + 2)^2$
$20$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20 = 5(x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y)$
$x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20 = 5x^2 + 5y^2 + 20 + 10xy + 20x + 20y$
$4x^2 + 4y^2 + 10xy = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$2x^2 + 2y^2 + 5xy = 0$.

(A) પરવલય $y^2 = 16x$ ની નાભિ $(a, 0) = (4, 0)$ છે.
વર્તુળ $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ નું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
ધારો કે $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી સ્પર્શક રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 4)$ એટલે કે $mx - y - 4m = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(6, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$
$4m^2 = 2m^2 + 2$
$2m^2 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2 + y^2 + 4x - 7y + 12 = 0$.
$(1)$ બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 - 7y_1 + 12}$ છે.
$(1, 2)$ માટે: $\sqrt{1^2 + 2^2 + 4(1) - 7(2) + 12} = \sqrt{1 + 4 + 4 - 14 + 12} = \sqrt{7}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$(2)$ $y$-અંતઃખંડ માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y^2 - 7y + 12 = 0 \implies (y - 3)(y - 4) = 0$.
બીજ $y = 3$ અને $y = 4$ મળે છે. અંતઃખંડની લંબાઈ $|4 - 3| = 1 \neq 2$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$(3)$ $x$-અંતઃખંડ માટે,$y = 0$ મૂકતા: $x^2 + 4x + 12 = 0$.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 16 - 4(1)(12) = 16 - 48 = -32 < 0$.
$D < 0$ હોવાથી,બીજ કાલ્પનિક છે,એટલે કે વર્તુળ $x$-અક્ષને છેદતું નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$(4)$ તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $S_1: x^2 + y^2 - 8x = 0$ અને $H: \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ છે.
$AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda H = 0$ સ્વરૂપમાં મળે છે.
ગણતરી કરતા,સાચો જવાબ $x^2 + y^2 - 12x + 24 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે,જે બિંદુઓમાંથી લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય તે બિંદુઓનો બિંદુપથ એ નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2r^2$ છે.
અહીં,$r^2 = 169$,તેથી નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2(169) = 338$ છે.
વિધાન-$1$ માટે: તપાસો કે $(17, 7)$ એ $x^2 + y^2 = 338$ પર છે કે નહીં. $17^2 + 7^2 = 289 + 49 = 338$. તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સ્પર્શકો લંબ છે. વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે: વ્યાખ્યા મુજબ,નિયામક વર્તુળ એ એવા બિંદુઓનો બિંદુપથ છે જ્યાંથી વર્તુળ પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે. આમ,$x^2 + y^2 = 338$ પરના દરેક બિંદુએથી $x^2 + y^2 = 169$ પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે. વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ ની સમજૂતી આપે છે.

(C) આપેલ વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 3^2 - 6} = \sqrt{4} = 2$ છે.
આ વર્તૂળનો વ્યાસ એ બીજા વર્તૂળની જીવા $AB$ છે,જેની લંબાઈ $2 \times 2 = 4$ છે.
બીજા વર્તૂળનું કેન્દ્ર $D(2, 1)$ છે. જીવાનું મધ્યબિંદુ $C(1, 3)$ છે.
કેન્દ્ર $D(2, 1)$ થી જીવા $AB$ પરના લંબનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ છે.
બીજા વર્તૂળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{AC^2 + d^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. વર્તૂળો $x^{2} + y^{2} = a^{2}$,$x^{2} + y^{2} = b^{2}$ અને $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$PT_1 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - a^2}$
$PT_2 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - b^2}$
$PT_3 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - c^2}$
આપેલ છે કે $PT_1^2, PT_2^2, PT_3^2$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,તેથી:
$2PT_2^2 = PT_1^2 + PT_3^2$
કિંમતો મૂકતા:
$2(x_1^2 + y_1^2 - b^2) = (x_1^2 + y_1^2 - a^2) + (x_1^2 + y_1^2 - c^2)$
$2x_1^2 + 2y_1^2 - 2b^2 = 2x_1^2 + 2y_1^2 - a^2 - c^2$
$-2b^2 = -a^2 - c^2$
$2b^2 = a^2 + c^2$
આ દર્શાવે છે કે $a^2, b^2, c^2$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ લો.
વર્તુળના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x^{2} + (mx)^{2} - x + 3(mx) = 0$
$x^{2}(1 + m^{2}) - x(1 - 3m) = 0$
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(\frac{1 - 3m}{1 + m^{2}}, \frac{m(1 - 3m)}{1 + m^{2}})$ મળે.
અંતઃખંડની લંબાઈ $I_1 = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{1 + m^{2}}}$.
રેખા $L_2: x + y = 1$ માટે,$y = 1 - x$ મૂકતા:
$x^{2} + (1 - x)^{2} - x + 3(1 - x) = 0 \implies 2x^{2} - 6x + 4 = 0 \implies x^{2} - 3x + 2 = 0$.
બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(2, -1)$ મળે.
અંતઃખંડ $I_2 = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = \sqrt{2}$.
$I_1 = I_2$ લેતા,$\frac{(1 - 3m)^{2}}{1 + m^{2}} = 2 \implies 7m^{2} - 6m - 1 = 0$.
$(7m + 1)(m - 1) = 0 \implies m = 1, -\frac{1}{7}$.
તેથી $y = x$ અથવા $y = -\frac{1}{7}x$,એટલે કે $x - y = 0$ અથવા $x + 7y = 0$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ:
$\frac{x - \alpha}{\cos \theta} = \frac{y - \beta}{\sin \theta} = k$
જ્યાં $k$ એ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ થી અંતર છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ છે.
આ બિંદુ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ પર હોવાથી:
$(\alpha + k \cos \theta)^2 + (\beta + k \sin \theta)^2 = r^2$
$\alpha^2 + 2k \alpha \cos \theta + k^2 \cos^2 \theta + \beta^2 + 2k \beta \sin \theta + k^2 \sin^2 \theta = r^2$
$k^2 + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^2 + \beta^2 - r^2) = 0$
આ $k$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $k_1$ અને $k_2$ છે. આ બીજ અંતર $PA$ અને $PB$ દર્શાવે છે.
તેથી,$PA \cdot PB = k_1 \cdot k_2 = \text{બીજનો ગુણાકાર} = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,પાવર ઓફ અ પોઈન્ટ પ્રમેય મુજબ,$PA \cdot PB = PT^2$,જ્યાં $PT$ એ $P$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ છે,જે $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - r^2}$ છે. તેથી,$PA \cdot PB = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$.

(C) $y^2 = 4x$ ને $C_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + 4x - 6x + 1 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$
$\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$
$\Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 4(1) = 4$,તેથી $y = \pm 2$.
છેદબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
$C_1$ માટે,વિકલન $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(1, 2)$ પર,ઢાળ $m_1 = 1$. બિંદુ $(1, -2)$ પર,ઢાળ $m_1 = -1$.
$C_2$ માટે,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3-x}{y}$. બિંદુ $(1, 2)$ પર,ઢાળ $m_2 = \frac{3-1}{2} = 1$. બિંદુ $(1, -2)$ પર,ઢાળ $m_2 = \frac{3-1}{-2} = -1$.
બંને બિંદુઓ પર ઢાળ સમાન હોવાથી,વક્રો એકબીજાને ચોક્કસ બે બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4\sqrt{5}x$ છે,તેથી $a = \sqrt{5}$.
રેખા $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{\sqrt{5}}{m}$ એ પરવલયનો સ્પર્શક છે.
આ રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક બને તે માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|\frac{\sqrt{5}}{m}|}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
$\frac{5}{m^2(1 + m^2)} = \frac{5}{2}$
$m^2(1 + m^2) = 2$
$m^4 + m^2 - 2 = 0$
$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$
$m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^2 = 1$,તેથી $m = \pm 1$.
$m = 1$ માટે,સ્પર્શક $y = x + \sqrt{5}$ છે. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
તારવેલી શરત $m^4 + m^2 - 2 = 0$ છે. વિધાન-$2$ માં $m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ આપેલ છે,જે ખોટું છે. તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(C) જીવા દ્વારા ઉગમબિંદુ પર આંતરેલા ખૂણાને શોધવા માટે,આપણે રેખા $lx + my = 1$ નો ઉપયોગ કરીને વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ ના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ.
${x^2} + {y^2} = {a^2}{(lx + my)^2}$
${x^2} + {y^2} = {a^2}({l^2}{x^2} + {m^2}{y^2} + 2lmxy)$
$({a^2}{l^2} - 1){x^2} + 2{a^2}lmxy + ({a^2}{m^2} - 1){y^2} = 0$
આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = {a^2}{l^2} - 1$,$H = {a^2}lm$,અને $B = {a^2}{m^2} - 1$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\theta = 45^\circ$,તેથી $\tan 45^\circ = 1$.
$1 = \left| \frac{2\sqrt{({a^2}lm)^2 - ({a^2}{l^2} - 1)({a^2}{m^2} - 1)}}{{a^2}{l^2} - 1 + {a^2}{m^2} - 1} \right|$
$|{a^2}({l^2} + {m^2}) - 2| = 2\sqrt{{a^4}{l^2}{m^2} - ({a^4}{l^2}{m^2} - {a^2}{l^2} - {a^2}{m^2} + 1)}$
$|{a^2}({l^2} + {m^2}) - 2| = 2\sqrt{{a^2}({l^2} + {m^2}) - 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$[{a^2}({l^2} + {m^2}) - 2]^2 = 4[{a^2}({l^2} + {m^2}) - 1]$

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે.
તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અચળ પદ $0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2} = 3k$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$g^2 + f^2 = 9k^2$ મળે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $A$ અને $y$-અક્ષને $B$ માં છેદે છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y=0$ મુકતા,$x^2 + 2gx = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = -2g$. આમ,$A = (-2g, 0)$.
વર્તુળના સમીકરણમાં $x=0$ મુકતા,$y^2 + 2fy = 0$,તેથી $y = 0$ અથવા $y = -2f$. આમ,$B = (0, -2f)$.
$\Delta OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ એ $x = \frac{0 + (-2g) + 0}{3} = -\frac{2g}{3}$ અને $y = \frac{0 + 0 + (-2f)}{3} = -\frac{2f}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$g = -\frac{3x}{2}$ અને $f = -\frac{3y}{2}$.
આ કિંમતોને $g^2 + f^2 = 9k^2$ માં મુકતા,$\left(-\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3y}{2}\right)^2 = 9k^2$ મળે.
$\frac{9x^2}{4} + \frac{9y^2}{4} = 9k^2$.
$9$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = k^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 4k^2$ થાય છે.

(D) ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $B(\alpha, \beta)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + (p\alpha + q\beta) = 0$ મળે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,જ્યારે $y = 0$ લઈએ ત્યારે મળતા સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય થાય.
$y = 0$ મુકતા,$x^2 - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$ મળે.
સ્પર્શક હોવાની શરત મુજબ,વિવેચક $D = 0$.
$D = (p + \alpha)^2 - 4(p\alpha + q\beta) = 0$.
$p^2 - 2p\alpha + \alpha^2 - 4q\beta = 0$.
$(p - \alpha)^2 = 4q\beta$.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x - p)^2 = 4qy$ મળે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ માટે,$(1, 2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $T_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1 + 2 - 4} = \sqrt{4} = 2$.
બીજા વર્તુળ માટે,સમીકરણને $x^2 + y^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y + \frac{k}{3} = 0$ તરીકે લખતા,સ્પર્શકની લંબાઈ $T_2 = \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{3}(2) + \frac{k}{3}} = \sqrt{4 + \frac{k}{3}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{4 + k/3}} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{4 + k/3} = \frac{16}{9} \Rightarrow 36 = 64 + \frac{16k}{3}$.
$\frac{16k}{3} = -28 \Rightarrow k = -\frac{21}{4}$.

(A) ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ એ બે એકરૂપ કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PQC$ અને $\Delta PRC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ક્ષેત્રફળ $(PQCR) = 2 \times \text{Area}(\Delta PQC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times PQ \times QC) = PQ \times r$.
અહીં,$r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $PQ$ એ બિંદુ $P$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C$ એ $(1, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1 + 4 + 20} = 5$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $L = PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{225} = 15$.
તેથી,ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 15 \times 5 = 75 \text{ sq. units}$.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4y - 6 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{10}$ છે.
રેખા $ax + by = 2$ પ્રથમ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(1, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|a(1) + b(0) - 2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 2 \implies |a - 2| = 2\sqrt{a^2 + b^2} \dots (i)$.
રેખા બીજા વર્તુળને અભિલંબ છે,તેથી તે તેના કેન્દ્ર $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય:
$a(0) + b(2) = 2 \implies 2b = 2 \implies b = 1$.
$b = 1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$|a - 2| = 2\sqrt{a^2 + 1^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(a - 2)^2 = 4(a^2 + 1) \implies a^2 - 4a + 4 = 4a^2 + 4$.
$3a^2 + 4a = 0 \implies a(3a + 4) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a = -\frac{4}{3}$.
આમ,$a = -\frac{4}{3}$ અને $b = 1$ મળે છે.

(B) વર્તુળોનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2\lambda_i x - c^2 = 0$ છે.
દરેક વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\lambda_i, 0)$ છે અને ઉગમબિંદુથી અંતર $|\lambda_i|$ છે.
જેহেতু $|\lambda_1|, |\lambda_2|, |\lambda_3|$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $\lambda_2^2 = \lambda_1 \lambda_3$ થાય.
ધારો કે $(x_0, y_0)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = c^2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $x_0^2 + y_0^2 = c^2$.
$(x_0, y_0)$ થી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2\lambda_i x - c^2 = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $L_i = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 - 2\lambda_i x_0 - c^2}$ છે.
$x_0^2 + y_0^2 = c^2$ મૂકતા,$L_i = \sqrt{c^2 - 2\lambda_i x_0 - c^2} = \sqrt{-2\lambda_i x_0}$ મળે.
જેহেতু $L_i^2 = -2\lambda_i x_0$,સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગો $\lambda_i$ ના પ્રમાણમાં છે.
જેহেতু $\lambda_i$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી તેમના વર્ગો $L_i^2$ પણ $G.P.$ માં છે,જેનો અર્થ છે કે લંબાઈ $L_i$ પણ $G.P.$ માં છે.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $9 = 16(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{9}{16} \implies e^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies e = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે અને તે $(\sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(0, 3)$ અને $(\sqrt{7}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(D) ધારો કે પરવલય $x$-અક્ષને $A(\alpha, 0)$ અને $B(\beta, 0)$ માં છેદે છે.
પરવલય $y = ax^2 + bx + c$ આ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
ધારો કે વર્તુળ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થાય છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ એ $x$-અક્ષ પર છે.
વર્તુળના સંદર્ભમાં બિંદુ $O$ ની પાવર $OT^2 = OA \cdot OB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સ્પર્શક બિંદુ છે.
$A$ અને $B$ ઉગમબિંદુથી અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ અંતરે હોવાથી,$OA = \alpha$ અને $OB = \beta$ થાય.
તેથી,$OT^2 = \alpha \beta = \frac{c}{a}$.
આમ,સ્પર્શકની લંબાઈ $OT = \sqrt{\frac{c}{a}}$ થાય.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,જેનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તે જમણી તરફ ખુલે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2px = 0$ છે,જેને $(x + p)^2 + y^2 = p^2$ તરીકે લખી શકાય.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (-p, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = |p|$ છે.
વર્તુળ પરવલયને બહારની તરફ સ્પર્શે તે માટે,વર્તુળનું કેન્દ્ર ઋણ $x$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ (કારણ કે પરવલય $x \ge 0$ વિસ્તારમાં છે).
જો $p > 0$ હોય,તો કેન્દ્ર $(-p, 0)$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર છે. વર્તુળ $y$-અક્ષની ડાબી બાજુએ રહે છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર પરવલયને બહારની તરફ સ્પર્શે છે.
જો $p < 0$ હોય,તો કેન્દ્ર $(-p, 0)$ એ ધન $x$-અક્ષ પર છે. આ કિસ્સામાં,વર્તુળ પરવલયને અંદરની તરફ સ્પર્શશે.
તેથી,બહારની તરફ સ્પર્શવાની શરત $p > 0$ છે.

(C) આપેલા સમીકરણો:
$1$) ઉપવલય: $9x^2 + 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$
$2$) પરવલય: $y^2 = x - 4$
$3$) વર્તુળ: $x^2 + y^2 - 12x + 32 = 0 \Rightarrow (x-6)^2 + y^2 = 4$
પરવલય $y^2 = x-4$ માટે સ્પર્શક $x=4$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ માટે $x=4$ બિંદુ $(4, 0)$ આગળ સ્પર્શક છે.
વર્તુળ $(x-6)^2 + y^2 = 4$ માટે $x=4$ બિંદુ $(4, 0)$ આગળ સ્પર્શક છે.
તેથી,$x=4$ એ સામાન્ય સ્પર્શક છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2bx = 0$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 4ax$ મૂકતા: $x^2 + 4ax + 2bx = 0$.
$x(x + 4a + 2b) = 0$.
સ્પર્શવા માટે,$x = 0$ એ બેવડું બીજ હોવું જોઈએ,તેથી $4a + 2b = 0$ એટલે કે $b = -2a$.
બહારથી સ્પર્શવા માટે,$a$ અને $b$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.

(A) આપેલ સ્પર્શક રેખા $2x - y + 1 = 0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $A(2, 5)$ આગળ ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,અભિલંબ $OA$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{2}$ થશે.
બિંદુ $A(2, 5)$ માંથી પસાર થતી અભિલંબ રેખાનું સમીકરણ $(y - 5) = -\frac{1}{2}(x - 2)$ છે.
$2y - 10 = -x + 2 \Rightarrow x + 2y = 12$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ એ અભિલંબ રેખા $x + 2y = 12$ અને આપેલ રેખા $x - 2y = 4$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + 2y) + (x - 2y) = 12 + 4$ $\Rightarrow 2x = 16$ $\Rightarrow x = 8$.
$x = 8$ ને $x - 2y = 4$ માં મૂકતા: $8 - 2y = 4$ $\Rightarrow 2y = 4$ $\Rightarrow y = 2$.
તેથી,કેન્દ્ર $O(8, 2)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $O(8, 2)$ અને $A(2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 12x - 4y + 30 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(6, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી કેન્દ્રનું અંતર $d = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$ છે.
સૌથી દૂરનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે ઉગમબિંદુ અને કેન્દ્રને જોડતી રેખા પર કેન્દ્રની બીજી બાજુએ ત્રિજ્યા જેટલું અંતર કાપવું પડે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P = (12, 4)$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. કેન્દ્ર $C$ થી જીવાનું અંતર $d = \sqrt{(h - a/2)^2 + (k - b/2)^2}$ છે.
જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી કેન્દ્ર અને જીવાના અંત્યબિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
આમ,કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $d = R \sin(45^\circ) = \frac{R}{\sqrt{2}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$d^2 = \frac{R^2}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( h - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( k - \frac{b}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2 + b^2}{4} \right) = \frac{a^2 + b^2}{8}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$h^2 - ah + \frac{a^2}{4} + k^2 - bk + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{8}$.
$h^2 + k^2 - ah - bk + \frac{a^2 + b^2}{4} - \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$.
$h^2 + k^2 - ah - bk + \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0$ (કેન્દ્ર $(2, 0)$,ત્રિજ્યા $r = 4$) અને $C_2: x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$ (કેન્દ્ર $(-2, 0)$,ત્રિજ્યા $r = 4$) છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
સામાન્ય જીવા $x = 0$ ($y$-અક્ષ) છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોની લંબાઈ $d_1 = 4$ અને $d_2 = 4\sqrt{3}$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(D) $\Delta ABC$ માં,$\angle A = 90^\circ$. ધારો કે $\angle C = \theta$. તો $\angle B = 90^\circ - \theta$.
$AC$ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,$\angle ADC = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
$\Delta ADC$ માં,$\cos \theta = \frac{AD}{AC} \Rightarrow AC = \frac{AD}{\cos \theta}$.
$\Delta ABC$ માં,$\tan \theta = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \cos \theta = \frac{AC}{\sqrt{AB^2 + AC^2}}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $AC = \frac{AD \cdot \sqrt{AB^2 + AC^2}}{AC}$.
$AC^2 = AD \sqrt{AB^2 + AC^2} \Rightarrow AC^4 = AD^2(AB^2 + AC^2)$.
$AC^2(AC^2 - AD^2) = AD^2 \cdot AB^2$.
$AC^2 = \frac{AD^2 \cdot AB^2}{AC^2 - AD^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$AC = \frac{AB \cdot AD}{\sqrt{AC^2 - AD^2}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સમરૂપ ત્રિકોણો $\Delta ADC \sim \Delta BAC$ નો ઉપયોગ કરતા,$AC = \frac{AB \cdot AD}{\sqrt{AB^2 - AD^2}}$ મળે છે.