Tangent and normal to a circle Questions in Gujarati

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 40x + 10y = 153$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -40 \Rightarrow g = -20$ અને $2f = 10 \Rightarrow f = 5$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (20, -5)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,અભિલંબ એ $(4, -1)$ અને $(20, -5)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-5 - (-1)}{20 - 4} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$ છે.
$(4, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
$y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 4)$
$4(y + 1) = -(x - 4)$
$4y + 4 = -x + 4$
$x + 4y = 0$.
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $x + 4y = 0$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(5, 3)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + ky + 17 = 0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{5^2 + 3^2 + k(3) + 17} = 7$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $25 + 9 + 3k + 17 = 49$ મળે છે.
$51 + 3k = 49$.
$3k = 49 - 51$.
$3k = -2$.
$k = -2/3$.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ માટે,$r^2 = 25$ છે.
તેથી,$(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = 25$ થાય.
આ સમીકરણને આપેલ રેખા $3x + 4y = 25$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x_1 = 3$ અને $y_1 = 4$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(3, 4)$ છે.

(C) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે. બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = r^2$ મુજબ $\sqrt{3}x + y = 4$ થાય.
આ સ્પર્શક $PT$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે.
રેખા $L$ એ $PT$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ અથવા $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ છે.
આ રેખા વર્તૂળ $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ નો સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય: $\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$,જે ઉકેલતા $x - \sqrt{3}y = 1$ અથવા $x - \sqrt{3}y = 5$ મળે છે. વિકલ્પો તપાસતા,$x + \sqrt{3}y = 4$ એ સ્પર્શક $PT$ છે.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2qx \cos \alpha - 2qy \sin \alpha = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -q \cos \alpha$ અને $f = -q \sin \alpha$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (q \cos \alpha, q \sin \alpha)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{q^2 \cos^2 \alpha + q^2 \sin^2 \alpha} = |q|$ છે.
રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|(q \cos \alpha)(\cos \alpha) + (q \sin \alpha)(\sin \alpha) - p|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |q - p|$.
$d = r$ લેતા,$|q - p| = |q|$ મળે.
આથી $q - p = q$ અથવા $q - p = -q$.
તેથી,$p = 0$ અથવા $p = 2q$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $y = c$ એ વર્તુળનો $(1, 1)$ બિંદુ આગળનો સ્પર્શક છે.
બિંદુ $(1, 1)$ એ સ્પર્શક $y = c$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે બિંદુનો $y$-યામ રેખાના સમીકરણમાં મૂકીએ.
$1 = c$.
તેથી,$c$ નું મૂલ્ય $1$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ને સ્પર્શતી $m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$ છે.
$m = \sqrt{3}$ અને $r = 5$ મૂકતા:
$y = \sqrt{3}x \pm 5\sqrt{1 + (\sqrt{3})^2}$
$y = \sqrt{3}x \pm 5\sqrt{1 + 3}$
$y = \sqrt{3}x \pm 5\sqrt{4}$
$y = \sqrt{3}x \pm 5(2)$
$y = \sqrt{3}x \pm 10$.

(A) પરવલય $y = x^2 + 6$ ના બિંદુ $(1, 7)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{1}{2}(y + 7) = x(1) + 6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x + 5$ થાય ... $(i)$
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ ને પણ સ્પર્શે છે ... (ii)
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = 2x + 5$ મૂકતા:
$x^2 + (2x + 5)^2 + 16x + 12(2x + 5) + c = 0$
$5x^2 + 60x + (85 + c) = 0$ ... (iii)
રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય થાય:
$D = (60)^2 - 4(5)(85 + c) = 0$
$3600 - 20(85 + c) = 0 \Rightarrow 85 + c = 180$
સમીકરણ (iii) માં $85 + c = 180$ મૂકતા:
$5x^2 + 60x + 180 = 0$
$x^2 + 12x + 36 = 0$ $\Rightarrow (x + 6)^2 = 0$ $\Rightarrow x = -6$
$y = 2x + 5$ માં $x = -6$ મૂકતા,$y = 2(-6) + 5 = -7$ મળે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $Q$ એ $(-6, -7)$ છે.

(C) જો કોઈ રેખા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય,તો તે વર્તુળનો અભિલંબ કહેવાય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ અભિલંબ હોવાથી,તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 0$.
આ રેખા કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી તે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ દ્વારા બનતા જીવાની લંબાઈ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલી હોય છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $2r$ છે.
તેથી,અંતઃખંડની લંબાઈ $2r$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^2(x - y) + a^2(x + y) = 0$ છે,જેને $x^3 - x^2y + a^2x + a^2y = 0$ તરીકે વિસ્તૃત કરી શકાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આગળ સ્પર્શક શોધવા માટે,આપણે સૌથી ઓછી ઘાતવાળા પદોને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ.
સમીકરણમાં સૌથી ઓછી ઘાતવાળા પદો $a^2x + a^2y = 0$ છે.
$a^2$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને),આપણને $x + y = 0$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3x^2 - (2xy + x^2 \frac{dy}{dx}) + a^2 + a^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આગળ,આ $0 - 0 + a^2 + a^2 \frac{dy}{dx} = 0$ બને છે.
$a^2 \frac{dy}{dx} = -a^2$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -1$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = -1(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -x$ અથવા $x + y = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ થાય.
બિંદુ $\left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$ આગળ,ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{a/\sqrt{2}}{a/\sqrt{2}} = -1$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - \frac{a}{\sqrt{2}} = -1 \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$.
$y - \frac{a}{\sqrt{2}} = -x + \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$x + y = \frac{2a}{\sqrt{2}}$.
$x + y = a\sqrt{2}$.

(C) વક્રનું સમીકરણ $x^2 = y - 6$ છે,જેને $y = x^2 + 6$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ સ્પર્શક શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2x$.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ ઢાળ $m = 2(1) = 2$ મળે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 7 = 2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 5 = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(-8, -6)$ થી રેખાનું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $r = \sqrt{64 + 36 - c} = \sqrt{100 - c}$ જેટલું થાય.
લંબ અંતર $\frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ છે.
તેથી,$\sqrt{5} = \sqrt{100 - c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5 = 100 - c$,તેથી $c = 95$.

(B) પરવલય ${y^2} = 8ax$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2a}{m}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 2{a^2}$ નો પણ સ્પર્શક છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{2a}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}a$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|\frac{2a}{m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4a^2}{m^2(m^2 + 1)} = 2a^2$.
આનું સાદું રૂપ $m^4 + m^2 - 2 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(m^2 - 1)(m^2 + 2) = 0$.
$m^2 = 1$ લેતા,$m = \pm 1$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકોનું સમીકરણ $y = \pm (x + 2a)$ છે.

(A) અભિલંબનું આપેલ સમીકરણ $y^2 - 2y + 4x - 2xy = 0$ છે.
તેના અવયવ પાડતા $(y - 2)(y - 2x) = 0$ મળે છે.
તેથી,અભિલંબ રેખાઓ $y = 2$ અને $y = 2x$ છે.
આ રેખાઓનું છેદબિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
$y = 2$ અને $y = 2x$ ઉકેલતા,$x = 1$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = r^2$ છે,જે $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 - r^2 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = r^2 \Rightarrow r^2 = 2$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{13}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને કેન્દ્ર $(2, 3)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = 3/2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $3/2$ હોવાથી,બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $2x_1 + 3y_1 = 13$ મળે છે.
આ બિંદુ વર્તુળ પર હોવાથી,ઉકેલતા આપણને $(-1, 5)$ અને $(5, 1)$ બિંદુઓ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
$(7, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = m(x - 7)$ છે,એટલે કે $mx - y + (4 - 7m) = 0$.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $4$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|3m + 2 + 4 - 7m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4 \Rightarrow |6 - 4m| = 4\sqrt{m^2 + 1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(6 - 4m)^2 = 16(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 36 - 48m + 16m^2 = 16m^2 + 16$ $\Rightarrow m = 5/12$.
આથી રેખા $5x - 12y + 13 = 0$ મળે છે.
વળી,શિરોલંબ રેખા $x = 7$ પણ $(7, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી અંતર $4$ છે,તેથી તે પણ સ્પર્શક છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(x_1 - 4)(x - 4) + (y_1 - 8)(y - 8) = 20$ છે.
આ સ્પર્શક $(-2, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$(x_1 - 4)(-2 - 4) + (y_1 - 8)(0 - 8) = 20$,જેનું સાદુરૂપ $-6(x_1 - 4) - 8(y_1 - 8) = 20$ થાય છે.
$-2$ વડે ભાગતા,$3(x_1 - 4) + 4(y_1 - 8) = -10$,તેથી $3x_1 - 12 + 4y_1 - 32 = -10$,અથવા $3x_1 + 4y_1 = 34$.
વળી,$P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $(x_1 - 4)^2 + (y_1 - 8)^2 = 20$ પર આવેલું છે.
$y_1 = \frac{34 - 3x_1}{4}$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(x_1 - 4)^2 + \left(\frac{34 - 3x_1}{4} - 8\right)^2 = 20$.
$(x_1 - 4)^2 + \left(\frac{2 - 3x_1}{4}\right)^2 = 20$.
$16(x_1^2 - 8x_1 + 16) + (4 - 12x_1 + 9x_1^2) = 320$.
$25x_1^2 - 140x_1 - 60 = 0 \implies 5x_1^2 - 28x_1 - 12 = 0$.
$(5x_1 + 2)(x_1 - 6) = 0$.
તેથી,$x_1 = 6$ અથવા $x_1 = -\frac{2}{5}$.
જો $x_1 = 6$,તો $y_1 = \frac{34 - 18}{4} = 4$. બિંદુ $(6, 4)$ છે.
જો $x_1 = -\frac{2}{5}$,તો $y_1 = \frac{34 - 3(-2/5)}{4} = \frac{44}{5}$. બિંદુ $\left(-\frac{2}{5}, \frac{44}{5}\right)$ છે.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ ને બિંદુ $(1, -2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(1) + y(-2) = 5$ છે,જે $x - 2y - 5 = 0$ થાય છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ ને સ્પર્શે છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, -3)$ છે.
સ્પર્શબિંદુ એ કેન્દ્ર $(4, -3)$ માંથી રેખા $x - 2y - 5 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. ગુણધર્મ $\frac{x_1 - 4}{1} = \frac{y_1 + 3}{-2} = -\frac{4 - 2(-3) - 5}{1^2 + (-2)^2} = -\frac{5}{5} = -1$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,$x_1 - 4 = -1 \implies x_1 = 3$ અને $y_1 + 3 = 2 \implies y_1 = -1$.
સ્પર્શબિંદુ $(3, -1)$ છે.

(B) આપેલ પરવલય $(y - 2)^2 = 16(x - 1)$ છે. તેની નાભિ $(5, 2)$ છે.
નાભિ $(5, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 2) = m(x - 5)$ છે,એટલે કે $mx - y + (2 - 5m) = 0$.
આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(7, 2)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ છે.
રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
$\frac{|7m - 2 + 2 - 5m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4m^2 = 2(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 2m^2 = 2$ $\Rightarrow m = \pm 1$.

(C) વર્તુળ $S: x^2 + y^2 = 1$ નો $P(0, -1)$ આગળનો સ્પર્શક $y = -1$ છે.
આપાત કિરણ $(-3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સ્પર્શક $y = -1$ ને $(-3, -1)$ બિંદુએ અથડાય છે.
ધારો કે પરાવર્તિત કિરણ $y + 1 = m(x + 3)$ છે,જે $mx - y + 3m - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ પરાવર્તિત કિરણ વર્તુળ $S: x^2 + y^2 = 1$ નો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(0) - (0) + 3m - 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$
$|3m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m - 1)^2 = m^2 + 1$
$9m^2 - 6m + 1 = m^2 + 1$
$8m^2 - 6m = 0$
$2m(4m - 3) = 0$
તેથી,$m = 0$ અથવા $m = \frac{3}{4}$.
જો $m = 0$ હોય,તો રેખા $y = -1$ મળે,જે સ્પર્શક પોતે જ છે. તેથી પરાવર્તિત કિરણ માટે $m = \frac{3}{4}$ લેતા:
$y + 1 = \frac{3}{4}(x + 3)$
$4y + 4 = 3x + 9$
$3x - 4y + 5 = 0$.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ એ બે વર્તુળોના કેન્દ્રો છે.
રેખા $12x + 5y - 7 = 0$ એ બિંદુ $(1, -1)$ આગળ સ્પર્શક છે,તેથી કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $AB$ એ સ્પર્શકને લંબ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{12}{5}$ છે.
તેથી,રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{5}{12}$ થાય.
ધારો કે $\tan \theta = \frac{5}{12}$,તેથી $\cos \theta = \frac{12}{13}$ અને $\sin \theta = \frac{5}{13}$.
કેન્દ્રો $A$ અને $B$ એ બિંદુ $(1, -1)$ થી $13$ એકમ અંતરે આવેલા છે.
પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,યામ $(1 \pm 13 \cos \theta, -1 \pm 13 \sin \theta)$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $(1 \pm 13 \cdot \frac{12}{13}, -1 \pm 13 \cdot \frac{5}{13}) = (1 \pm 12, -1 \pm 5)$.
આમ,બે કેન્દ્રો $(13, 4)$ અને $(-11, -6)$ મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે. સ્પર્શબિંદુ $P(1, \sqrt{3})$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે,તેથી $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$,એટલે કે $x + \sqrt{3}y = 4$.
સ્પર્શક માટે,$y=0$ લેતા $x$-અંતઃખંડ $x=4$ મળે છે. તેથી સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(4, 0)$ માં મળે છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ અભિલંબ કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $(1, \sqrt{3})$ આગળનો અભિલંબ એ $(0, 0)$ અને $(1, \sqrt{3})$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = \sqrt{3}x$ છે.
અભિલંબ $x$-અક્ષને ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર મળે છે.
ત્રિકોણ બિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(4, 0)$ અને $P(1, \sqrt{3})$ દ્વારા બને છે.
$x$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $OA = 4$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $\sqrt{3}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(B) પ્રથમ,રેખાઓ $2x - 3y + 1 = 0$ અને $3x - 2y - 1 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો. આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x = 1$ અને $y = 1$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
હવે,તપાસો કે શું $(1, 1)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$ પર આવેલું છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $(1, 1)$ મૂકતા: $(1)^2 + (1)^2 + 2(1) - 4(1) = 1 + 1 + 2 - 4 = 0$.
બિંદુ $(1, 1)$ વર્તુળ પર હોવાથી,આ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$g = 1, f = -2, c = 0, x_1 = 1, y_1 = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $x(1) + y(1) + 1(x + 1) - 2(y + 1) + 0 = 0$.
$x + y + x + 1 - 2y - 2 = 0$.
$2x - y - 1 = 0$.

(C) ધારો કે વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 8 = 0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5}$ છે.
$AP$ અને $AQ$ સ્પર્શકો હોવાથી,$\angle APC = 90^{\circ}$ અને $\angle AQC = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$P$ અને $Q$ બિંદુઓ $AC$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે.
$AC$ નો વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ: $(x + 2)(x - 2) + (y - 1)(y - 3) = 0$
$x^2 - 4 + y^2 - 4y + 3 = 0$
$x^2 + y^2 - 4y - 1 = 0$.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે બિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $T = 0$ એટલે કે $x x_1 + y y_1 = r^2$ છે.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{3}x + y = 4$ અથવા $\sqrt{3}x + y - 4 = 0$ મળે છે.
આ રેખા બીજા વર્તુળ $x^2 + (y - 3)^2 = \lambda$ નો પણ સ્પર્શક છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{\lambda}$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 3)$ થી રેખા $\sqrt{3}x + y - 4 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{\lambda}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|\sqrt{3}(0) + 1(3) - 4|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|3 - 4|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|-1|}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$d^2 = \lambda$ હોવાથી,$\lambda = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ મળે છે. પરવલયની નાભિ $(4, 0)$ છે.
$(4, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = m(x - 4)$ એટલે કે $mx - y - 4m = 0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $(x-6)^2 + y^2 = 2$ નો સ્પર્શક છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(6, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$
$4m^2 = 2m^2 + 2$
$2m^2 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.

(C) આપેલ વક્ર $xy = (x + c)^2$ છે,જેને $y = \frac{(x + c)^2}{x} = x + 2c + \frac{c^2}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{c^2}{x^2} = \frac{x^2 - c^2}{x^2}$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{dx}{dy} = -\frac{x^2}{x^2 - c^2} = \frac{x^2}{c^2 - x^2}$ થાય.
અભિલંબ યામ અક્ષો પર સંખ્યાત્મક રીતે સમાન અંતઃખંડ કાપે છે,જેનો અર્થ છે કે અભિલંબનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\frac{x^2}{c^2 - x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = c^2 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = c^2 \Rightarrow x = \pm \frac{c}{\sqrt{2}}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x^2}{c^2 - x^2} = -1 \Rightarrow x^2 = -(c^2 - x^2) \Rightarrow x^2 = -c^2 + x^2 \Rightarrow 0 = -c^2$,જે $c \neq 0$ માટે શક્ય નથી.
આમ,અભિસાદ $\pm \frac{c}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$ છે.
સરખામણી કરતા $g = 2, f = 1, c = -4$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.
બિંદુ $P(1, 1/2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1} = \sqrt{1^2 + (1/2)^2 + 4(1) + 2(1/2) - 4} = 3/2$.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\tan(\theta/2) = \frac{r}{\sqrt{S_1}} = \frac{3}{3/2} = 2$.
તેથી,$\theta = 2 \tan^{-1}(2) = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(2, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = 5$ છે.
રેખા $3x - 4y - k = 0$ સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(2, 4)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $5$ જેટલું થાય.
$\frac{|3(2) - 4(4) - k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5$
$\frac{|6 - 16 - k|}{5} = 5$
$|-10 - k| = 25$
$k > 0$ હોવાથી,$10 + k = 25$,તેથી $k = 15$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x - 4y - 15 = 0$ છે.
$(a, b)$ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્ર $(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને સ્પર્શકને લંબ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $3/4$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-4/3$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)$ છે,જે $4x + 3y = 20$ થાય છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$3x - 4y = 15$ $(i)$
$4x + 3y = 20$ (ii)
ઉકેલતા $x = a = 5$ અને $y = b = 0$ મળે છે.
તેથી,$k + a + b = 15 + 5 + 0 = 20$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 25$ છે. કેન્દ્ર $C(7, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર $C$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ઉગમબિંદુ અને કેન્દ્રને જોડતી રેખા અને એક સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\theta}{2}$ છે.
કાટ.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{r}{d} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) $\Delta OAB$ માં,$\angle OAB = 90^{\circ}$ (કારણ કે $AB$ એ $A$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક છે).
આપેલ છે કે $\angle AOB = 60^{\circ}$ અને ત્રિજ્યા $OA = 2$.
$\Delta OAB$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{OA}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AB}{2}$ $\Rightarrow AB = 2\sqrt{3}$.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times OA \times AB = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
વૃત્તાંશ $OAC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi (2)^2 = \frac{1}{6} \times 4\pi = \frac{2\pi}{3}$.
છાયાંકિત ભાગ એ $\Delta OAB$ ના ક્ષેત્રફળમાંથી વૃત્તાંશ $OAC$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતાં મળે છે,જે $2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$ છે.
અછાયાંકિત ભાગ એ વૃત્તાંશ $OAC$ નું ક્ષેત્રફળ છે,જે $\frac{2\pi}{3}$ છે.
ગુણોત્તર = $\frac{\text{છાયાંકિત}}{\text{અછાયાંકિત}} = \frac{2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\pi} - 1$.

(A) વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - (x + x_1) - 1 = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$2x + y - (x + 2) - 1 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x + y - 3 = 0$ થાય છે.
આ રેખા વર્તુળ $C_2$ (કેન્દ્ર $(3, -2)$) માટે જીવા તરીકે કામ કરે છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી રેખા $x + y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3 - 2 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $l = 4$ છે,તેથી જીવાની અડધી લંબાઈ $\frac{l}{2} = 2$ થાય.
વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\frac{l}{2})^2 + d^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખાઓ $x - y = 1$ અને $2x + y = 3$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x - y) + (2x + y) = 1 + 3 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$.
$x = \frac{4}{3}$ ને $x - y = 1$ માં મૂકતા: $\frac{4}{3} - y = 1 \implies y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ એ $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ છે.
ત્રિજ્યા $OP$ નો ઢાળ $m_{OP} = \frac{\frac{1}{3} - (-1)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = 4$ છે.
સ્પર્શક ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{m_{OP}} = -\frac{1}{4}$ થાય.
બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતા અને $-\frac{1}{4}$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 1)$
$4(y + 1) = -(x - 1)$
$4y + 4 = -x + 1$
$x + 4y + 3 = 0$.

(D) આપેલ શંકુ $y - 6 = x^2$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 2x$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 10)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 2(2) = 4$ છે.
$(2, 10)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 10 = 4(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y + 2 = 0$ થાય છે.
સ્પર્શક વર્તુળ $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ ને $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શે છે,તેથી બિંદુ $(\alpha, \beta)$ સ્પર્શક રેખા પર આવેલું છે,એટલે કે $4\alpha - \beta + 2 = 0$,અથવા $\beta = 4\alpha + 2$.
વર્તુળના બિંદુ $(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $x^2 + y^2 + 8x - 2y = k$ નું વિકલન કરતા મળે છે,જે $2x + 2y \frac{dy}{dx} + 8 - 2 \frac{dy}{dx} = 0$ થાય છે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{-(x + 4)}{y - 1}$.
$(\alpha, \beta)$ આગળ ઢાળ $4$ છે,તેથી $\frac{-(\alpha + 4)}{\beta - 1} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $-\alpha - 4 = 4\beta - 4$,અથવા $\alpha = -4\beta$.
$\alpha = -4\beta$ ને $\beta = 4\alpha + 2$ માં મૂકતા,$\beta = 4(-4\beta) + 2$ મળે છે,તેથી $\beta = -16\beta + 2$,જે $17\beta = 2$ આપે છે,એટલે કે $\beta = \frac{2}{17}$.
તેથી $\alpha = -4 \left( \frac{2}{17} \right) = -\frac{8}{17}$.
આમ,બિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ $\left( -\frac{8}{17}, \frac{2}{17} \right)$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4^2$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $P(0, h)$ માંથી દોરેલ સ્પર્શક $y-$અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે, તેથી $\sin \alpha = \frac{r}{OP} = \frac{4}{h}$.
ધારો કે સ્પર્શક $x-$અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે, તો $\theta = 90^\circ - \alpha$, તેથી $\cos \theta = \sin \alpha = \frac{4}{h}$.
$B$ નો $x-$યામ $OB = \frac{r}{\sin \theta} = \frac{4}{\cos \alpha} = \frac{4h}{\sqrt{h^2 - 16}}$ છે.
$\Delta APB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{\text{પાયો}} \times \text{\text{વેધ}} = \frac{1}{2} \times (2 \cdot OB) \times h = OB \times h = \frac{4h^2}{\sqrt{h^2 - 16}}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે, $f(h) = \frac{16h^4}{h^2 - 16}$ નું વિકલન કરતા $h^2 = 32$ મળે છે.
તેથી, $h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a = 1$) ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
આને $m^2x - my + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x = 0$ નું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $m^2x - my + 1 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|3m^2 + 1|}{\sqrt{m^4 + m^2}} = 3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m^2 + 1)^2 = 9(m^4 + m^2)$
$9m^4 + 6m^2 + 1 = 9m^4 + 9m^2$
$3m^2 = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,સમીકરણ $\sqrt{3}y = x + 3$ મળે છે.

(A) રેખા $x + 2y = 1$ એ $x$-અક્ષને $A(1, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, 1/2)$ પર છેદે છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$,$A(1, 0)$ અને $B(0, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે,અને ત્રિકોણ $OAB$ એ ઉગમબિંદુ પર કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ $AB$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1/2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - x - \frac{1}{2}y = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પરના વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x^2$ ને $x \cdot 0$ વડે,$y^2$ ને $y \cdot 0$ વડે,$x$ ને $\frac{x+0}{2}$ વડે અને $y$ ને $\frac{y+0}{2}$ વડે બદલીને મેળવી શકાય છે.
આનાથી $0 + 0 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 0$ અથવા $2x + y = 0$ થાય છે.
$A(1, 0)$ થી રેખા $2x + y = 0$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|2(1) + 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
$B(0, 1/2)$ થી રેખા $2x + y = 0$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|2(0) + 1/2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ છે.
અંતરોનો સરવાળો $d_1 + d_2 = \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{4+1}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. બિંદુ $P$ એ $(\sqrt{3}, 1)$ છે.
$P$ આગળનો અભિલંબ એ $O(0, 0)$ અને $P(\sqrt{3}, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અથવા $x - \sqrt{3}y = 0$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ને $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળનો સ્પર્શક $xx_1 + yy_1 = r^2$ મુજબ $\sqrt{3}x + y = 4$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $Q$ પર છેદે છે. સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$\sqrt{3}x = 4$ મળે,તેથી $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$. આમ,$Q = (\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$.
ત્રિકોણ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$,બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ અને બિંદુ $Q(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $OQ = \frac{4}{\sqrt{3}}$ અને વેધ ($P$ નો $y$-યામ) $= 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ.

(D) રેખા $L: x - y = 0$ ને $(1, 1)$ બિંદુએ સ્પર્શતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + \lambda(x - y) = 0$ છે.
વર્તુળ $(1, -3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(1 - 1)^2 + (-3 - 1)^2 + \lambda(1 - (-3)) = 0$
$0 + 16 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.
સમીકરણમાં $\lambda = -4$ મૂકતા:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 4(x - y) = 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 2 = 0$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=1$ છે. બિંદુ $P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન દ્વારા મળે છે: $2x+2yy'=0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$.
$P$ આગળ,ઢાળ $m_{L1} = -\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = -1$.
રેખા $y=mx+c$ એ $L_{1}$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{L1}} = -\frac{1}{-1} = 1$.
તેથી,રેખા $y=x+c$ અથવા $x-y+c=0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^{2}+y^{2}=1$ નો સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $x-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|3-0+c|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = 1 \Rightarrow |3+c| = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3+c)^{2} = 2$ $\Rightarrow 9+6c+c^{2} = 2$ $\Rightarrow c^{2}+6c+7=0$.

(C) $y$-અક્ષને $(0,4)$ પર સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-0)^2 + (y-4)^2 + \lambda x = 0$ છે.
તે $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(2-0)^2 + (0-4)^2 + \lambda(2) = 0$ $\Rightarrow 4 + 16 + 2\lambda = 0$ $\Rightarrow 2\lambda = -20$ $\Rightarrow \lambda = -10$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 10x - 8y + 16 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(5,4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ સ્પર્શક હોય જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $5$ હોય.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|4(5) + 3(4) - 8| / 5 = 24/5 = 4.8 \neq 5$,તેથી તે સ્પર્શક નથી.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 = 0$
$2y \frac{dy}{dx} = 2 - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1-x}{y}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
તેથી,$\frac{1-x}{y} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1-x = 0$,એટલે કે $x = 1$.
$x = 1$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1)^{2} + y^{2} - 2(1) - 3 = 0$
$1 + y^{2} - 2 - 3 = 0$
$y^{2} - 4 = 0$
$y^{2} = 4$
$y = \pm 2$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(2y - 4) = 2 - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(1-x)}{2(y-2)} = \frac{1-x}{y-2}$
સ્પર્શકો $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ ને મૂળ સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^{2} + (2)^{2} - 2x - 4(2) + 1 = 0$
$x^{2} + 4 - 2x - 8 + 1 = 0$
$x^{2} - 2x - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 3)(x + 1) = 0$
$x = 3$ અથવા $x = -1$
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(3, 2)$ અને $(-1, 2)$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,અને $D(0,1)$ છે.
વર્તુળ $C_{1}$ નું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C_{2}$ નું કેન્દ્ર $(r,r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે કારણ કે તે $AD$ $(x=0)$ અને $AB$ $(y=0)$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળ $C_{2}$ એ $C_{1}$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $\sqrt{r^2 + r^2} = 1 + r$.
$\sqrt{2}r = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{2}+1$. પરંતુ વર્તુળ ચોરસની અંદર હોવાથી $r = \sqrt{2}-1$ લેવું પડે.
$C_{2}$ નું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે જ્યાં $r = \sqrt{2}-1$.
બિંદુ $C(1,1)$ માંથી પસાર થતી $m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y-1 = m(x-1)$ અથવા $mx - y + (1-m) = 0$ છે.
આ રેખા $C_{2}$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,$(r,r)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $r$ થાય:
$\frac{|mr - r + 1 - m|}{\sqrt{m^2+1}} = r \Rightarrow |(m-1)(r-1) + 1| = r\sqrt{m^2+1}$.
$r = \sqrt{2}-1$ મૂકતા,$r-1 = \sqrt{2}-2$.
$|(m-1)(\sqrt{2}-2) + 1| = (\sqrt{2}-1)\sqrt{m^2+1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને $m$ માટે ઉકેલતા $m = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
સ્પર્શક $AB$ ને $E$ માં મળે તે માટે $m = -(2+\sqrt{3})$ અથવા ભૂમિતિ મુજબ યોગ્ય કિંમત લેતા,$y-1 = m(x-1)$ માં $y=0$ મૂકતા $x = 1 - \frac{1}{m}$ મળે.
$m = -(2+\sqrt{3})$ માટે,$x = 1 - \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = 3-\sqrt{3}$.
$EB = 1 - x = 1 - (3-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$ (આ સ્વરૂપમાં નથી). બીજો સ્પર્શક લેતા $EB = 2-\sqrt{3}$ મળે.
આમ $\alpha = 2, \beta = -1$. તેથી $\alpha+\beta = 2-1 = 1$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x - 2y = 4$ પર હોવાથી,$h - 2k = 4$,એટલે કે $k = \frac{h - 4}{2}$.
તેથી,કેન્દ્ર $O(h, \frac{h - 4}{2})$ છે.
રેખા $2x - y + 1 = 0$ એ બિંદુ $A(2, 5)$ આગળ સ્પર્શક છે. ત્રિજ્યા $OA$ એ સ્પર્શકને લંબ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
ત્રિજ્યા $OA$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{\frac{h - 4}{2} - 5}{h - 2} = \frac{h - 14}{2(h - 2)}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,$2 \times \frac{h - 14}{2(h - 2)} = -1$.
$\frac{h - 14}{h - 2} = -1 \implies h - 14 = -h + 2 \implies 2h = 16 \implies h = 8$.
તેથી $k = \frac{8 - 4}{2} = 2$.
કેન્દ્ર $(8, 2)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(8, 2)$ અને $(2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+ax+2ay+c=0$ છે.
$x$-અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^{2}-c} = 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-c} = 2\sqrt{2}$ છે.
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{4}-c = 2 \quad \dots(1)$
$y$-અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^{2}-c} = 2\sqrt{a^{2}-c} = 2\sqrt{5}$ છે.
$\Rightarrow a^{2}-c = 5 \quad \dots(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(a^{2}-c) - (\frac{a^{2}}{4}-c) = 5-2$ $\Rightarrow \frac{3a^{2}}{4} = 3$ $\Rightarrow a^{2} = 4$.
$a < 0$ હોવાથી,$a = -2$ મળે.
$a = -2$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $(-2)^{2}-c = 5$ $\Rightarrow 4-c = 5$ $\Rightarrow c = -1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x-4y-1 = 0$ એટલે કે $(x-1)^{2}+(y-2)^{2} = 6$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{6}$ છે.
સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = 2$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-2) = 2(x-1) \pm \sqrt{6}\sqrt{1+2^{2}}$ છે.
$y-2 = 2x-2 \pm \sqrt{30} \Rightarrow 2x-y \pm \sqrt{30} = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી સ્પર્શક $2x-y \pm \sqrt{30} = 0$ નું અંતર $d = \frac{|\pm \sqrt{30}|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = \sqrt{6}$ થાય.

(B) ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$ છે. તેથી,$\tan \theta = \frac{12}{5}$.
$\tan \theta = \frac{12}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{12}{13}$ અને $\cos \theta = \frac{5}{13}$ મળે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
ધારો કે $\alpha = \theta/2$. $\tan \alpha = \frac{r}{PA} = \frac{1}{PA}$.
$\tan \theta = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{12}{5}$ પરથી $PA = 3/2$ મળે.
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (PA)^2 \sin \theta = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{27}{26}$.
$\Delta CAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} r^2 \sin \theta = \frac{1}{2} (1)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{6}{13}$.
ગુણોત્તર $= \frac{27/26}{6/13} = \frac{9}{4}$.

(C) બિંદુ $R(3,4)$ આગળ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=25$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x+4y=25$ છે.
સ્પર્શક અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ શોધવા માટે:
$P$ (x-અક્ષ પર) માટે,$y=0$ લેતા: $3x=25 \implies x=\frac{25}{3}$. તેથી,$P = (\frac{25}{3}, 0)$.
$Q$ (y-અક્ષ પર) માટે,$x=0$ લેતા: $4y=25 \implies y=\frac{25}{4}$. તેથી,$Q = (0, \frac{25}{4})$.
ત્રિકોણ $OPQ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$P(\frac{25}{3}, 0)$,અને $Q(0, \frac{25}{4})$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OP = \frac{25}{3}$,$OQ = \frac{25}{4}$,અને $PQ = \sqrt{(\frac{25}{3})^{2} + (\frac{25}{4})^{2}} = \sqrt{\frac{625}{9} + \frac{625}{16}} = \frac{125}{12}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર $I(a, b)$ જ્યાં શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(x_1, 0)$,અને $(0, y_1)$ હોય,તે $I = (r_{in}, r_{in})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_{in} = \frac{x_1 + y_1 - \sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{2}$.
અહીં,$r_{in} = \frac{\frac{25}{3} + \frac{25}{4} - \frac{125}{12}}{2} = \frac{25}{12}$.
તેથી,અંતઃકેન્દ્ર $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ પર છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ અંતર $OI = \sqrt{(\frac{25}{12}-0)^{2} + (\frac{25}{12}-0)^{2}} = \sqrt{2(\frac{25}{12})^{2}}$ છે.
તેથી,$r^{2} = 2 \times (\frac{25}{12})^{2} = 2 \times \frac{625}{144} = \frac{625}{72}$.

(D) વર્તુળના અભિલંબ તેના કેન્દ્રમાં છેદે છે. ધારો કે $z = x + iy$.
$(i)$ $(2-i)z = (2+i)\bar{z} \Rightarrow y = \frac{x}{2}$.
(ii) $(2+i)z + (i-2)\bar{z} - 4i = 0 \Rightarrow x + 2y = 2$.
$(i)$ અને (ii) ઉકેલતા: $x = 1, y = \frac{1}{2}$.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, \frac{1}{2})$ છે.
(iii) સ્પર્શક રેખા $iz + \bar{z} + 1 + i = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, \frac{1}{2})$ થી રેખા $x - y + 1 = 0$ નું લંબ અંતર છે:
$r = \frac{|1 - \frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3/2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.