Locus Related Problem Questions in Gujarati

(C) ધારો કે નવા કોઓર્ડિનેટ્સ $(x', y')$ છે જ્યાં $x = x' + h$ અને $y = y' + k$ છે. આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(x' + h)^2 + (y' + k)^2 - 4(x' + h) + 6(y' + k) - 7 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x'^2 + 2hx' + h^2 + y'^2 + 2ky' + k^2 - 4x' - 4h + 6y' + 6k - 7 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$x'^2 + y'^2 + x'(2h - 4) + y'(2k + 6) + (h^2 + k^2 - 4h + 6k - 7) = 0$
રેખીય પદોને દૂર કરવા માટે,$x'$ અને $y'$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2h - 4 = 0 \Rightarrow h = 2$
$2k + 6 = 0 \Rightarrow k = -3$
આમ,બિંદુ $(h, k)$ એ $(2, -3)$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $P$ નું $(a, 0)$ થી અંતર તેના $y$-અક્ષથી અંતર જેટલું છે.
$P(h, k)$ નું $(a, 0)$ થી અંતર $\sqrt{(h-a)^2 + (k-0)^2}$ છે.
$P(h, k)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $|h|$ છે.
અંતરને સરખાવતા: $\sqrt{(h-a)^2 + k^2} = |h|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(h-a)^2 + k^2 = h^2$.
$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2$.
$k^2 - 2ah + a^2 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ $y^2 - 2ax + a^2 = 0$ મળે છે.

(B) બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે પ્રાચલ $\theta$ નો લોપ કરીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણો:
$x = a(1 - \cos \theta )$ $\Rightarrow x - a = -a \cos \theta$ $\Rightarrow \cos \theta = \frac{a - x}{a}$ .....$(i)$
$y = a \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{y}{a}$ .....$(ii)$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{y}{a})^2 + (\frac{a - x}{a})^2 = 1$
$\frac{y^2}{a^2} + \frac{a^2 - 2ax + x^2}{a^2} = 1$
$x^2 + y^2 - 2ax = 0$
આ $(a, 0)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $S$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ સંબંધ $SQ^2 + SR^2 = 2SP^2$ છે.
યામ મૂકતા:
$((x + 1)^2 + (y - 0)^2) + ((x - 2)^2 + (y - 0)^2) = 2((x - 1)^2 + (y - 0)^2)$
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 - 2x + 5 + 2y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
આ $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA^2 + PB^2 = AB^2$.
અંતર $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$,તેથી $AB^2 = 16$.
$PA^2 = (x - 2)^2 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$.
$PB^2 = (x + 2)^2 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2$.
સરવાળો કરતા: $(x^2 - 4x + 4 + y^2) + (x^2 + 4x + 4 + y^2) = 16$.
$2x^2 + 2y^2 + 8 = 16$.
$2x^2 + 2y^2 = 8$.
$x^2 + y^2 = 4$,એટલે કે $x^2 + y^2 - 4 = 0$.

(B) ધારો કે ગતિ કરતું બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$x$-અક્ષથી અંતર એ ઉગમબિંદુથી અંતર કરતા અડધું છે:
$|y| = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$y^2 = \frac{1}{4} (x^2 + y^2)$
$4y^2 = x^2 + y^2$
$x^2 - 3y^2 = 0$
આમ,બિંદુપથનું જરૂરી સમીકરણ $x^2 - 3y^2 = 0$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$P(x, y)$ નું $(-1, 0)$ થી અંતર એ $P(x, y)$ નું $(0, 2)$ થી અંતર કરતાં $3$ ગણું છે.
$\sqrt{(x + 1)^2 + (y - 0)^2} = 3 \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x + 1)^2 + y^2 = 9(x^2 + (y - 2)^2)$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 9(x^2 + y^2 - 4y + 4)$
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 9x^2 + 9y^2 - 36y + 36$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$8x^2 + 8y^2 - 2x - 36y + 35 = 0$
આ સમીકરણ $Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0$ સ્વરૂપનું છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$x$-અક્ષથી અંતર એ $y$-અક્ષથી અંતર કરતા બમણું છે:
$|y| = 2|x|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = 4x^2$ મળે છે,જે બે રેખાઓ $y = 2x$ અને $y = -2x$ દર્શાવે છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,સમીકરણ $y = 2x$ એ બિંદુપથ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA = kPB$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $PA^2 = k^2 PB^2$ મળે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - ak)^2 + y^2 = k^2 \left[ (x - \frac{a}{k})^2 + y^2 \right]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2akx + a^2k^2 + y^2 = k^2 \left[ x^2 - 2x(\frac{a}{k}) + \frac{a^2}{k^2} + y^2 \right]$.
$x^2 - 2akx + a^2k^2 + y^2 = k^2x^2 - 2akx + a^2 + k^2y^2$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2(1 - k^2) + y^2(1 - k^2) = a^2 - a^2k^2$.
$(1 - k^2)(x^2 + y^2) = a^2(1 - k^2)$.
આમ,$x^2 + y^2 = a^2$ મળે.
તેથી,સમીકરણ $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
$(x, y)$ નું $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
$(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$(0, 0)$ થી અંતર એ $x$-અક્ષથી અંતર કરતા ત્રણ ગણું છે:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3|y|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$x^2 + y^2 = 9y^2$
$x^2 + y^2 - 9y^2 = 0$
$x^2 - 8y^2 = 0$

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ અને $(-g, -f)$ વચ્ચેનું અંતર $a$ આપેલ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x - (-g))^2 + (y - (-f))^2} = a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + g)^2 + (y + f)^2 = a^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2gx + g^2 + y^2 + 2fy + f^2 = a^2$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + g^2 + f^2 - a^2 = 0$
આપેલ છે કે $k = g^2 + f^2 - a^2$,તેથી સમીકરણમાં $k$ મૂકતા:
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ શરત $2PA = 3PB$ છે,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $4PA^2 = 9PB^2$ મળે.
બિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $B(4, -3)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$4(h^2 + k^2) = 9((h - 4)^2 + (k + 3)^2)$
$4h^2 + 4k^2 = 9(h^2 - 8h + 16 + k^2 + 6k + 9)$
$4h^2 + 4k^2 = 9h^2 - 72h + 144 + 9k^2 + 54k + 81$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$5h^2 + 5k^2 - 72h + 54k + 225 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ:
$5x^2 + 5y^2 - 72x + 54y + 225 = 0$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $P$ નું $A(1, -2)$ થી અંતર એ $P$ ના $B(-3, 5)$ થી અંતર કરતાં બમણું છે.
તેથી,$PA = 2PB \Rightarrow PA^2 = 4PB^2$.
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4[(x + 3)^2 + (y - 5)^2]$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 4[x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25]$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 4[x^2 + y^2 + 6x - 10y + 34]$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 4x^2 + 4y^2 + 24x - 40y + 136$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$3x^2 + 3y^2 + 26x - 44y + 131 = 0$.

(B) ધારો કે ગતિ કરતા બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુનું અંતર હંમેશા $4$ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 + y^2 = 4^2$ મળે છે.
તેથી,બિંદુનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 16$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. $\angle APB = 90^\circ$ હોવાથી,$AP$ અને $BP$ ના ઢાળ પરસ્પર લંબ છે.
$AP$ નો ઢાળ = $\frac{y - 0}{x - (-a)} = \frac{y}{x + a}$
$BP$ નો ઢાળ = $\frac{y - 0}{x - a} = \frac{y}{x - a}$
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી:
$\left(\frac{y}{x + a}\right) \times \left(\frac{y}{x - a}\right) = -1$
$\frac{y^2}{x^2 - a^2} = -1$
$y^2 = -(x^2 - a^2)$
$y^2 = -x^2 + a^2$
$x^2 + y^2 = a^2$

(B) ધારો કે $A$ ના યામ $(-a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(a, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA^2 + PB^2 = k$.
$(x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = k$.
$(x^2 + 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k$.
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = k$.
$x^2 + y^2 = \frac{k - 2a^2}{2}$.
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(B) ધારો કે $(h, k)$ એ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્રના યામ શિરોબિંદુઓની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$h = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}{3}$ અને $k = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha + 2}{3}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$3h - 1 = \cos \alpha + \sin \alpha$ અને $3k - 2 = \sin \alpha - \cos \alpha$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h - 1)^2 + (3k - 2)^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$
$(9h^2 - 6h + 1) + (9k^2 - 12k + 4) = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha)$
$9h^2 + 9k^2 - 6h - 12k + 5 = 2$
$9h^2 + 9k^2 - 6h - 12k + 3 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$3(h^2 + k^2) - 2h - 4k + 1 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,બિંદુપથ $3(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 1 = 0$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
રેખા $x = 2$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $|x - 2|$ છે.
આપેલ છે કે અંતરોનો સરવાળો $4$ છે,તેથી $\sqrt{x^2 + y^2} + |x - 2| = 4$.
$\sqrt{x^2 + y^2} = 6 - x$ લેતા.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + y^2 = (6 - x)^2$.
$x^2 + y^2 = 36 + x^2 - 12x$.
$y^2 + 12x = 36$.

(B) ધારો કે ગતિ કરતા બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$4 \times (x\text{-અક્ષથી અંતર}) = (\text{ઉગમબિંદુથી અંતર})^2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $4|y| = (\sqrt{x^2 + y^2})^2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $4|y| = x^2 + y^2$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2 + y^2 - 4|y| = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $P(x, y)$ થી $(3, -2)$ ના અંતરનો વર્ગ એ $P(x, y)$ થી રેખા $5x - 12y - 13 = 0$ ના અંતર જેટલો છે.
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \frac{|5x - 12y - 13|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = \frac{|5x - 12y - 13|}{13}$
$13(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13) = |5x - 12y - 13|$
$13x^2 + 13y^2 - 78x + 52y + 169 = \pm(5x - 12y - 13)$
કિસ્સો $1$: $13x^2 + 13y^2 - 78x + 52y + 169 = 5x - 12y - 13$
$13x^2 + 13y^2 - 83x + 64y + 182 = 0$
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સમીકરણ $13x^2 + 13y^2 - 83x + 64y + 182 = 0$ એ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$P$ નું $(4, 0)$ થી અંતર એ રેખા $x - 16 = 0$ થી તેના અંતર કરતા અડધું છે.
તેથી,$\sqrt{(h - 4)^2 + (k - 0)^2} = \frac{1}{2} |h - 16|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h - 4)^2 + k^2 = \frac{1}{4} (h - 16)^2$.
$4(h^2 - 8h + 16 + k^2) = h^2 - 32h + 256$.
$4h^2 - 32h + 64 + 4k^2 = h^2 - 32h + 256$.
$3h^2 + 4k^2 = 192$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x^2 + 4y^2 = 192$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ એ $(1, 0)$ અને $(2\cos \theta, 2\sin \theta)$ ને જોડતી રેખાનું $2 : 3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{2(2\cos \theta) + 3(1)}{2 + 3} = \frac{4\cos \theta + 3}{5}$
$k = \frac{2(2\sin \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{4\sin \theta}{5}$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$\cos \theta = \frac{5h - 3}{4}$ અને $\sin \theta = \frac{5k}{4}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{5h - 3}{4}\right)^2 + \left(\frac{5k}{4}\right)^2 = 1$
$(5h - 3)^2 + (5k)^2 = 16$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,બિંદુપથ $(5x - 3)^2 + (5y)^2 = 16$ મળે છે,જે એક વર્તુળ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ:
$1) x \cos \theta + y \sin \theta = a$
$2) x \sin \theta - y \cos \theta = b$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^2 + (x \sin \theta - y \cos \theta)^2 = a^2 + b^2$
$x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta + x^2 \sin^2 \theta + y^2 \cos^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta = a^2 + b^2$
$x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a^2 + b^2$
$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળ દ્વારા $x$-અક્ષ પર કપાતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 2a$ છે,જેનો અર્થ છે કે $g^2 - c = a^2$ $(i)$.
વર્તુળ દ્વારા $y$-અક્ષ પર કપાતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^2 - c} = 2b$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f^2 - c = b^2$ $(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,આપણને $g^2 - f^2 = a^2 - b^2$ મળે છે.
$(-g, -f)$ ને $(x, y)$ સાથે બદલતા,આપણી પાસે $g = -x$ અને $f = -y$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(-x)^2 - (-y)^2 = a^2 - b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = a^2 - b^2$ થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h|$ થાય.
વર્તુળ $x - y = 0$ રેખાને પણ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|h - k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = |h|$.
આનું સાદું રૂપ $|h - k| = |h|\sqrt{2}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h - k)^2 = 2h^2$,જે $h^2 - 2hk + k^2 = 2h^2$ અથવા $h^2 + 2hk - k^2 = 0$ આપે છે.
કોઈપણ $k \neq 0$ માટે,$h$ માં આ દ્વિઘાત સમીકરણ $h$ માટે વાસ્તવિક કિંમતો આપે છે.
$k$ માટે અનંત કિંમતો હોવાથી,આવા અનંત વર્તુળો શક્ય છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
$x$-અક્ષ પર $(y=0)$ વર્તુળ દ્વારા કપાતી જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 2a$ છે,જેનો અર્થ છે કે $g^2 - c = a^2$,અથવા $c = g^2 - a^2$ $(i)$.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + b^2 + 2g(0) + 2f(b) + c = 0$,જે $b^2 + 2fb + c = 0$ $(ii)$ આપે છે.
$(i)$ માંથી $c = g^2 - a^2$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $b^2 + 2fb + g^2 - a^2 = 0$ મળે છે.
ગોઠવતા,$g^2 + 2fb = a^2 - b^2$ મળે છે.
બિંદુપથ શોધવા માટે $(g, f)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $x^2 + 2by = a^2 - b^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |k|$ થાય.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky = 0$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પર $2l$ લંબાઈની જીવા કાપે છે (જ્યાં $x = 0$).
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $y^2 - 2ky + h^2 = 0$ મળે છે.
$y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{k^2 - h^2} = 2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2 - h^2 = l^2$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,બિંદુપથ $y^2 - x^2 = l^2$ મળે છે,જે એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે બે નિશ્ચિત સમતલીય બિંદુઓ $A(0, 0)$ અને $B(a, 0)$ છે.
ગતિમાન બિંદુ $P(x, y)$ લો.
આપેલ શરત મુજબ,અંતરનો ગુણોત્તર અચળ $\lambda$ છે:
$\frac{PA}{PB} = \lambda \implies \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{(x-a)^2 + y^2}} = \lambda$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + y^2 = \lambda^2 ((x-a)^2 + y^2)$
$x^2 + y^2 = \lambda^2 (x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$
$(1 - \lambda^2)x^2 + (1 - \lambda^2)y^2 + 2a\lambda^2 x - a^2\lambda^2 = 0$
અહીં $\lambda \ne 1$ હોવાથી,$(1 - \lambda^2)$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 + \frac{2a\lambda^2}{1 - \lambda^2}x - \frac{a^2\lambda^2}{1 - \lambda^2} = 0$
આ વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ છે. તેથી,બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 13 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(x^2 + 4x) + (y^2 + 6y) = -13$ મળે છે.
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = -13 + 4 + 9$.
$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$.
આ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $r^2 = 0$ છે.
ત્રિજ્યા $0$ હોવાથી,આ સમીકરણ $(-2, -3)$ પર એક બિંદુ વર્તુળ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ નું બંને અક્ષોથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
આમ,$|h| = |k| = r$.
આનો અર્થ એ છે કે $h = k$ અથવા $h = -k$.
તેથી,કેન્દ્ર $(x, y)$ નો બિંદુપથ $x = y$ અથવા $x = -y$ છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $(x - y)(x + y) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ છે.
ધારો કે ગતિશીલ બિંદુ $P(x, y)$ છે.
$P$ થી શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરના વર્ગોનો સરવાળો અચળ $K$ છે:
$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 = K$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x^2 - 2x(x_1 + x_2 + x_3) + 3y^2 - 2y(y_1 + y_2 + y_3) + (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) = K$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2 - 2x\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right) + y^2 - 2y\left(\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) = \text{અચળ}$
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ છે,જે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.

(C) વર્તુળના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને ડાયરેક્ટર સર્કલ (નિયામક વર્તુળ) કહેવામાં આવે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ માટે,ડાયરેક્ટર સર્કલ $x^2 + y^2 = 2a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ મૂળ વર્તુળ સાથે સમકેન્દ્રી વર્તુળ છે,જેની ત્રિજ્યા $\sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |h|$ થાય. ધારો કે $h > 0$,તેથી $r = h$.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1(3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 14} = 2$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $CC_1 = R_1 + r$ થાય.
$\sqrt{(h - 3)^2 + (k - 3)^2} = 2 + h$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h - 3)^2 + (k - 3)^2 = (2 + h)^2$
$h^2 - 6h + 9 + k^2 - 6k + 9 = 4 + 4h + h^2$
$k^2 - 10h - 6k + 14 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 - 10x - 6y + 14 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે ${r_2 = 2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર ${(h, k)}$ છે જે આપેલ વર્તુળની બહારની બાજુએ ગબડે છે.
આપેલ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 3x - 6y - 9 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર ${C_1 = \left( -\frac{3}{2}, 3 \right)}$ અને ત્રિજ્યા ${r_1 = \frac{9}{2}}$ છે.
વર્તુળ બહારની બાજુએ ગબડતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ${r_1 + r_2 = \frac{9}{2} + 2 = \frac{13}{2}}$ થાય.
તેથી,બિંદુપથ: ${\left( h + \frac{3}{2} \right)^2 + (k - 3)^2 = \left( \frac{13}{2} \right)^2}$.
વિસ્તરણ કરતા: ${h^2 + k^2 + 3h - 6k - 31 = 0}$.
આમ,બિંદુપથ ${x^2 + y^2 + 3x - 6y - 31 = 0}$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = |h|$ થશે.
વર્તુળ બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $(2, 0)$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$(h - 2)^2 + (k - 0)^2 = h^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$h^2 - 4h + 4 + k^2 = h^2$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$k^2 = 4h - 4$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $y^2 = 4x - 4$ મળે છે,જે એક પરવલય છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(x, y)$ છે.
વર્તુળ $Y$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = |x|$ છે.
કેન્દ્ર $O(x, y)$ થી $X$-અક્ષ પરની જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
ધારો કે જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2a$ છે. જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(x, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $O(x, y)$ થી મધ્યબિંદુ $M(x, 0)$ સુધીનું અંતર $|y|$ છે.
કેન્દ્ર,જીવાનું મધ્યબિંદુ અને જીવાના એક અંત્યબિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ એ ત્રિજ્યા $r = |x|$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$r^2 = |y|^2 + a^2$.
$r = x$ મૂકતા,આપણને $x^2 = y^2 + a^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = a^2$ થાય છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(h - a)^2 + k^2}$ થાય.
વર્તુળ રેખા $x + 1 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h + 1|$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h - a)^2 + k^2 = (h + 1)^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2h + 1$.
તેથી,$k^2 = 2h(1 + a) + 1 - a^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2x(1 + a) + (1 - a^2)$ મળે છે,જે એક પરવલય છે.

(B) રેખા $lx + my - 1 = 0$ એ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત એ છે કે કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ.
બિંદુથી રેખાના અંતરનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{|l(0) + m(0) - 1|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = a$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\sqrt{l^2 + m^2}} = a$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $l^2 + m^2 = \frac{1}{a^2}$ મળે છે.
$(l, m)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = \frac{1}{a^2}$ મળે છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વર્તુળ માટે ડાયરેક્ટર સર્કલ એ બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ માટે,ડાયરેક્ટર સર્કલની ત્રિજ્યા $r\sqrt{2}$ હોય છે.
આપેલ વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ માટે,ત્રિજ્યા $r = a$ છે.
તેથી,ડાયરેક્ટર સર્કલની ત્રિજ્યા $a\sqrt{2}$ થશે.
આમ,ડાયરેક્ટર સર્કલનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} = (a\sqrt{2})^2$ એટલે કે ${x^2} + {y^2} = 2{a^2}$ થાય.

(C) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ પરનું બિંદુ છે.
$P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = 4$ છે.
આ સ્પર્શક યામ અક્ષોને $A(\frac{4}{x_1}, 0)$ અને $B(0, \frac{4}{y_1})$ માં મળે છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{2}{x_1}$ અને $k = \frac{2}{y_1}$,જેનો અર્થ છે કે $x_1 = \frac{2}{h}$ અને $y_1 = \frac{2}{k}$.
કારણ કે $(x_1, y_1)$ એ $x^2 + y^2 = 4$ પર આવેલું છે,તેથી $(\frac{2}{h})^2 + (\frac{2}{k})^2 = 4$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = 1$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 1$ છે.

(B) રેખા $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને સ્પર્શે તેની શરત એ છે કે કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{1}{\alpha}x + \frac{1}{\beta}y - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
લંબ અંતર $d = \frac{|\frac{1}{\alpha}(0) + \frac{1}{\beta}(0) - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{\alpha})^2 + (1/\beta)^2}} = a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{(\frac{1}{\alpha})^2 + (1/\beta)^2} = a^2$.
આથી $(\frac{1}{\alpha})^2 + (1/\beta)^2 = \frac{1}{a^2}$ મળે છે.
ધારો કે $X = \frac{1}{\alpha}$ અને $Y = \frac{1}{\beta}$. સમીકરણ $X^2 + Y^2 = (\frac{1}{a})^2$ બને છે,જે એક વર્તુળ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પર $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:3$ છે:
$\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 + 3}}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 - 6x_1 + 5}} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 + 3}{x_1^2 + y_1^2 - 6x_1 + 5} = \frac{4}{9}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 + 3) = 4(x_1^2 + y_1^2 - 6x_1 + 5)$
$9x_1^2 + 9y_1^2 + 36x_1 + 27 = 4x_1^2 + 4y_1^2 - 24x_1 + 20$
પદોને ગોઠવતા:
$5x_1^2 + 5y_1^2 + 60x_1 + 7 = 0$
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $5x^2 + 5y^2 + 60x + 7 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ થાય છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T = xh + yk - (x + h)$ અને $S_1 = h^2 + k^2 - 2h$ છે.
તેથી,જીવાનું સમીકરણ $xh + yk - (x + h) = h^2 + k^2 - 2h$ છે.
આ જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ:
$0(h) + 0(k) - (0 + h) = h^2 + k^2 - 2h$
$-h = h^2 + k^2 - 2h$
$h^2 + k^2 - h = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - x = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 - 2x - 6y - 10 = 0$ છે.
તેથી,$hx + ky - (x + h) - 3(y + k) - 10 = h^2 + k^2 - 2h - 6k - 10$.
જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$-h - 3k - 10 = h^2 + k^2 - 2h - 6k - 10$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$h^2 + k^2 - h - 3k = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - x - 3y = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
ધારો કે $M(h, k)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\triangle CAM$ માં,$\angle ACM = 60^\circ$ અને $CA = 2$ છે.
$\cos(60^\circ) = \frac{CM}{CA}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{CM}{2}$ $\Rightarrow CM = 1$.
$CM^2 = (h-1)^2 + (k-1)^2 = 1^2$.
$h^2 - 2h + 1 + k^2 - 2k + 1 = 1$.
$h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$.
તેથી,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ છે.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = mx$ છે.
ધારો કે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ નું કેન્દ્ર $C(a, 0)$ છે.
રેખા $AB$ એ વર્તુળની જીવા હોવાથી,કેન્દ્ર $C(a, 0)$ માંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને તેના મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ પર દુભાગે છે.
આમ,રેખા $CM$ એ રેખા $AB$ ને લંબ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m = \frac{k}{h}$ છે.
$CM$ નો ઢાળ $\frac{k - 0}{h - a} = \frac{k}{h - a}$ છે.
$CM \perp AB$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{k}{h}\right) \times \left(\frac{k}{h - a}\right) = -1$
$k^2 = -h(h - a)$
$k^2 = -h^2 + ah$
$h^2 + k^2 - ah = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - ax = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 2^2 + 2g(1) + 2f(2) + c = 0$,જે $2g + 4f + c + 5 = 0$ આપે છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ને લંબચ્છેદી રીતે કાપે છે,તેથી $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ ની શરત મુજબ,$2g(0) + 2f(0) = c - 4$,એટલે કે $c = 4$.
$c = 4$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2g + 4f + 4 + 5 = 0$,જે $2g + 4f + 9 = 0$ આપે છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ ના બિંદુપથ માટે $g = -x$ અને $f = -y$ મૂકતા,આપણને $2(-x) + 4(-y) + 9 = 0$,એટલે કે $2x + 4y - 9 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે વર્તુળ $x^2 + y^2 = p^2$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેથી શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ $2g(0) + 2f(0) = c - p^2$,જેનો અર્થ છે કે $c = p^2$.
વર્તુળ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + p^2 = 0$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,તેથી $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + p^2 = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + p^2) = 0$ થાય છે.