Pole and Polar Questions in Gujarati

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
વર્તુળ $S_1$ માટે,ધ્રુવનું સમીકરણ $x - 5y - 13 = 0$ મળે છે.
વર્તુળ $S_2$ માટે,ધ્રુવનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ મળે છે.
બંને રેખાઓના ઢાળ અલગ હોવાથી,તેઓ એક બિંદુએ છેદે છે.

(B) ધારો કે ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 = 1$ છે.
આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ ને $x(\frac{l}{-n}) + y(\frac{m}{-n}) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$x_1 = -\frac{l}{n}$ અને $y_1 = -\frac{m}{n}$.
તેથી,ધ્રુવના યામ $\left( -\frac{l}{n}, -\frac{m}{n} \right)$ છે.

(B) ધારો કે ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = a^2$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ માટે,ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = 5$ થશે.
આપણને રેખા $x + 2y = 1$ આપેલ છે,જેને $5$ વડે ગુણતા $5x + 10y = 5$ મળે છે.
$xx_1 + yy_1 = 5$ અને $5x + 10y = 5$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $x_1 = 5$ અને $y_1 = 10$ મળે છે.
તેથી,ધ્રુવ $(5, 10)$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 0)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2\lambda x + 2\mu y + c = 0$ માટે,ધ્રુવ $\lambda(x + 0) + \mu(y + 0) + c = 0$ થશે,જે $\lambda x + \mu y + c = 0$ માં પરિણમે છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ને સ્પર્શે છે જો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય.
$(0, 0)$ થી $\lambda x + \mu y + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|c|}{\sqrt{\lambda^2 + \mu^2}}$ છે.
$d = r$ લેતા,$\frac{|c|}{\sqrt{\lambda^2 + \mu^2}} = r$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{c^2}{\lambda^2 + \mu^2} = r^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $c^2 = r^2(\lambda^2 + \mu^2)$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ છે. તેને $2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
અહીં $g = -\frac{3}{4}$,$f = \frac{5}{4}$,અને $c = -\frac{7}{2}$ છે.
ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $x(x_1 - \frac{3}{4}) + y(y_1 + \frac{5}{4}) - \frac{3}{4}x_1 + \frac{5}{4}y_1 - \frac{7}{2} = 0$ થાય.
આ રેખા $9x + y - 28 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x_1 = 3$ અને $y_1 = -1$ મળે છે.
તેથી,ધ્રુવ $(3, -1)$ છે.

(A) બિંદુ $(x', y')$ ની સાપેક્ષમાં વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx' + yy' = a^2$ છે,જેને $x'x + y'y - a^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $Ax + By + C = 0$ છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{x'}{A} = \frac{y'}{B} = \frac{-a^2}{C}$
આથી,આપણને મળે છે:
$x' = \frac{a^2 A}{-C}$
$y' = \frac{a^2 B}{-C}$
તેથી,ધ્રુવ $(x', y')$ એ $\left( \frac{a^2 A}{-C}, \frac{a^2 B}{-C} \right)$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2 + y^2 - 4x = 0$ થાય છે.
અહીં $g = -2$,$f = 0$ અને $c = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માટે પોલર રેખાનું સૂત્ર $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5x - \frac{1}{2}y - 2(x + 5) = 0$
$5x - \frac{y}{2} - 2x - 10 = 0$
$3x - \frac{y}{2} - 10 = 0$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$6x - y - 20 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = a^2$ છે.
અહીં,$a^2 = 64$,તેથી ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = 64$ $... (i)$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $2x + 3y = 4$ એ ધ્રુવીય રેખા સમાન છે,તેથી:
$\frac{x_1}{2} = \frac{y_1}{3} = \frac{-64}{-4}$
$\frac{x_1}{2} = 16 \Rightarrow x_1 = 32$
$\frac{y_1}{3} = 16 \Rightarrow y_1 = 48$
આમ,ધ્રુવ $(32, 48)$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 7$ છે,તેથી $r^2 = 7$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $x(1) + y(2) = 7$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x + 2y = 7$ અથવા $x + 2y - 7 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(i)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ જીવાનો ધ્રુવ છે.
$(h, k)$ નો ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $\frac{xh}{a^2} + \frac{yk}{b^2} = 1$ $(ii)$ છે.
જો આ જીવા બિંદુ $\theta$ આગળ અભિલંબ હોય,તો તેનું સમીકરણ $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ $(iii)$ થાય.
$(ii)$ અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{h/a^2}{a \sec \theta} = \frac{k/b^2}{-b \csc \theta} = \frac{1}{a^2 - b^2}$.
આથી $\cos \theta = \frac{a^3}{h(a^2 - b^2)}$ અને $\sin \theta = \frac{-b^3}{k(a^2 - b^2)}$ મળે.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a^6}{h^2(a^2 - b^2)^2} + \frac{b^6}{k^2(a^2 - b^2)^2} = 1$.
તેથી $(h, k)$ નો બિંદુપથ $\frac{a^6}{x^2} + \frac{b^6}{y^2} = (a^2 - b^2)^2$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે,જેને $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. કેન્દ્ર $O(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $P(2, 3)$ નું પ્રતિવર્તી બિંદુ છે. પ્રતિવર્તી બિંદુ $Q$ એ રેખા $OP$ પર આવેલું છે જેથી $OP \times OQ = r^2$.
$OP$ નો ઢાળ $\frac{3-1}{2-1} = 2$ છે. રેખા $OP$ નું સમીકરણ $y-1 = 2(x-1)$ છે,જે $2x-y-1=0$ માં પરિણમે છે.
$OP = \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
કારણ કે $OP \times OQ = r^2 = 1$,તેથી $OQ = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
ધારો કે $Q$ એ $(h, k)$ છે. $Q$ એ $2x-y-1=0$ પર હોવાથી,$k = 2h-1$. ઉપરાંત,અંતર $OQ = \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$k-1 = 2h-2$ મૂકતા,આપણને મળે $\sqrt{(h-1)^2+(2h-2)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \sqrt{5(h-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow 5(h-1)^2 = 1$ $\Rightarrow (h-1)^2 = \frac{1}{5}$.
$h-1 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow h = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$h = 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}$ માટે,$k = 2(1 + \frac{1}{\sqrt{5}}) - 1 = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}}$.
આમ $Q = (1 + \frac{1}{\sqrt{5}}, 1 + \frac{2}{\sqrt{5}})$.
$PQ$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)(x-(1+\frac{1}{\sqrt{5}})) + (y-3)(y-(1+\frac{2}{\sqrt{5}})) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $5x^2+5y^2-16x-22y+33=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x-10y+25=0$ છે.
આપેલ બિંદુ $P$ એ $(1, -2)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
અહીં,$g = -5$,$f = -5$,$c = 25$,$x_1 = 1$,અને $y_1 = -2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x(1) + y(-2) - 5(x+1) - 5(y-2) + 25 = 0$
$x - 2y - 5x - 5 - 5y + 10 + 25 = 0$
$-4x - 7y + 30 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $4x + 7y - 30 = 0$ મળે છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(2,3)$ ના પોલરનું સમીકરણ $T=0$ દ્વારા મળે છે:
$x(2)+y(3)-(x+2)-(y+3)+1=0$
$x+2y-4=0$ $\ldots(i)$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(1,1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
$P(2,3)$ અને $C(1,1)$ ને જોડતી રેખા $2x-y-1=0$ છે $\ldots(ii)$.
$P$ નું વ્યસ્ત બિંદુ $Q$ એ રેખા $CP$ અને $P$ ના પોલરનું છેદબિંદુ છે. $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$Q = (\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$.
$Q(\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$ ના પોલરનું સમીકરણ:
$x+2y-8=0$ $\ldots(iii)$.
સમાંતર રેખાઓ $x+2y-4=0$ અને $x+2y-8=0$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \frac{|-4 - (-8)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 8x - 6y - 24 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 49$ મળે.
તેથી,કેન્દ્ર $C(-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 7$ છે.
બે રેખાઓ $l_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $l_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ એ કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1h + b_1k + c_1)(a_2h + b_2k + c_2)$ થાય.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = 3$ અને $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = k$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $49(2(1) + (-3)(2)) = (2(-4) - 3(3) + 3)(1(-4) + 2(3) + k)$.
$49(-4) = (-14)(2 + k)$.
$196 = 14(2 + k)$ $\Rightarrow 14 = 2 + k$ $\Rightarrow k = 12$.
બિંદુ $\left(\frac{12}{4}, \frac{12}{3}\right) = (3, 4)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(x_1, y_1)}$ છે.
$L = \sqrt{3^2 + 4^2 + 8(3) - 6(4) - 24} = \sqrt{9 + 16 + 24 - 24 - 24} = \sqrt{1} = 1$.

(B) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $9x + y - 28 = 0$ નો વર્તુળ $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$ ના સંદર્ભમાં ધ્રુવ છે.
ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $hx + ky - \frac{3}{4}(x + h) + \frac{5}{4}(y + k) - \frac{7}{2} = 0$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $x(4h - 3) + y(4k + 5) - 3h + 5k - 14 = 0$ મળે છે.
આ રેખા અને $9x + y - 28 = 0$ સમાન હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હશે:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
ઉકેલતા $\lambda = 1$ મળે છે,જેનાથી $h = 3$ અને $k = -1$ મળે છે.
તેથી,ધ્રુવ $(3, -1)$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ માટે,$g=-2, f=-3, c=1$ છે.
બિંદુ $(2t, t-4)$ નો ધ્રુવ:
$x(2t) + y(t-4) - 2(x+2t) - 3(y+t-4) + 1 = 0$
$2tx + ty - 4y - 2x - 4t - 3y - 3t + 12 + 1 = 0$
$2tx + ty - 2x - 7y - 7t + 13 = 0$
$t$ ના પદોને અલગ કરતા:
$t(2x + y - 7) + (-2x - 7y + 13) = 0$
બધા $t \in R$ માટે આ સંગામી હોવા માટે,બંને ભાગ શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2x + y - 7 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$-2x - 7y + 13 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$-6y + 6 = 0 \implies y = 1$
$y=1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2x + 1 - 7 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
સંગામી બિંદુ $(3, 1)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2=4$ નો સ્પર્શક $x \cos \theta + y \sin \theta = 2$ છે.
આ રેખાને $x \cos \theta + y \sin \theta - 2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $(x+2)^2+y^2=8$ ની સાપેક્ષે આ સ્પર્શકનો ધ્રુવ છે,જેનું વિસ્તરણ $x^2+y^2+4x-4=0$ થાય છે.
$(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 + 2(x+x_1) - 4 = 0$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$(x_1+2)x + y_1 y + (2x_1-4) = 0$ મળે છે.
આ બંને રેખાઓ સમાન હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\cos \theta}{x_1+2} = \frac{\sin \theta}{y_1} = \frac{-1}{x_1-2}$.
આમ,$\cos \theta = -\frac{x_1+2}{x_1-2}$ અને $\sin \theta = -\frac{y_1}{x_1-2}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(x_1+2)^2 + y_1^2 = (x_1-2)^2$ મળે છે.
$x_1^2 + 4x_1 + 4 + y_1^2 = x_1^2 - 4x_1 + 4$.
$y_1^2 + 8x_1 = 0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2+8x=0$ મળે છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ માટે,$g = -1$,$f = 2$ અને $c = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - 1(x + x_1) + 2(y + y_1) + 3 = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$x(x_1 - 1) + y(y_1 + 2) - x_1 + 2y_1 + 3 = 0$ મળે.
આપેલ સમીકરણ $2x - 3y + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 + 2}{-3} = \frac{-x_1 + 2y_1 + 3}{1} = k$ (ધારો).
પ્રથમ બે ગુણોત્તર પરથી,$x_1 = 2k + 1$ અને $y_1 = -3k - 2$.
ત્રીજા ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા: $- (2k + 1) + 2(-3k - 2) + 3 = k$.
$-8k - 2 = k \implies 9k = -2 \implies k = -2/9$.
તેથી,$x_1 = 5/9$ અને $y_1 = -4/3$.
અંતે,$3x_1 - y_1 = 3(5/9) - (-4/3) = 5/3 + 4/3 = 3$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વર્તુળના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $L_1$ નો ધ્રુવ $L_2$ પર આવેલો હોય.
રેખા $2kx + 3y - 1 = 0$ નો ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ શોધતા અને તેને $2x + y + 5 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પોલરનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ માટે,$g=-2, f=-3, c=-12$ છે.
બિંદુ $(\alpha, -1)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $x(\alpha)+y(-1)-2(x+\alpha)-3(y-1)-12=0$.
સાદુરૂપ આપતા: $\alpha x - y - 2x - 2\alpha - 3y + 3 - 12 = 0$.
$(\alpha-2)x - 4y - 2\alpha - 9 = 0$.
આપેલ છે કે આ સમીકરણ $y=\beta$ છે,એટલે કે $0x + y - \beta = 0$.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x$ માટે: $\alpha-2 = 0 \implies \alpha = 2$.
$y$ માટે: $\frac{-4}{1} = \frac{-2\alpha-9}{-\beta}$.
$-4 = \frac{-2(2)-9}{-\beta} \implies -4 = \frac{-13}{-\beta} \implies -4 = \frac{13}{\beta}$.
$\beta = -\frac{13}{4}$.
હવે,$4(\alpha+\beta) = 4(2 - \frac{13}{4}) = 4(\frac{8-13}{4}) = 4(-\frac{5}{4}) = -5$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-4x-6y+4=0$ છે. ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ માટે ધ્રુવીયનું સમીકરણ $x(x_1-2) + y(y_1-3) - 2x_1 - 3y_1 + 4 = 0$ છે. આપેલ રેખા સાથે સરખાવતા અને $b=1$ મેળવતા,બિંદુ $(1, -1)$ મળે છે. બિંદુ $(1, -1)$ નો ધ્રુવીય $5x+y-6=0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(r, s)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $r^2+s^2=25$ $(i)$.
વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $P$ ની સ્પર્શક જીવા $L$ નું સમીકરણ $xr+ys=9$ $(ii)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=36$ ના સંદર્ભમાં રેખા $L$ નો ધ્રુવ છે. $(h, k)$ નો ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xh+yk=36$ $(iii)$ છે.
સમીકરણો $(ii)$ અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{r}{h} = \frac{s}{k} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આમ,$r = \frac{h}{4}$ અને $s = \frac{k}{4}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $(\frac{h}{4})^2 + (\frac{k}{4})^2 = 25$ મળે છે.
$\frac{h^2+k^2}{16} = 25 \Rightarrow h^2+k^2 = 400$.
તેથી,ધ્રુવ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2=400$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y-1=0$ માટે બિંદુ $(-1, 1)$ ની પોલર રેખાનું સમીકરણ $x(-1) + y(1) - (x-1) + (y+1) - 1 = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $-2x + 2y + 1 = 0$ અથવા $2x - 2y - 1 = 0$ થાય છે.
વ્યસ્ત બિંદુ $(p, q)$ એ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પોલર રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ પર બિંદુ $(x_0, y_0) = (1, -1)$ માંથી દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(p, q)$ માટે $\frac{p-x_0}{a} = \frac{q-y_0}{b} = -\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $a=2, b=-2, c=-1$.
$\frac{p-1}{2} = \frac{q-(-1)}{-2} = -\frac{2(1)-2(-1)-1}{2^2+(-2)^2} = -\frac{3}{8}$.
તેથી $p = \frac{1}{4}$ અને $q = -\frac{1}{4}$ મળે.
આમ,$p^2+q^2 = (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8}$.

(C) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $9x + y - 28 = 0$ નો વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવ છે.
વર્તુળના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(h, k)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ છે.
સમીકરણ $2hx + 2ky - \frac{3(x + h)}{2} + \frac{5(y + k)}{2} - 7 = 0$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$4hx + 4ky - 3x - 3h + 5y + 5k - 14 = 0$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$(4h - 3)x + (4k + 5)y + (5k - 3h - 14) = 0$ મળે.
આપેલ રેખા $9x + y - 28 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{5k - 3h - 14}{-28}$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $(h, k) = (3, -1)$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(3,2)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $T=0$ છે,જે $3x+2y=4$ થાય છે.
કારણ કે $P(\alpha, \beta)$ અને $(3,2)$ સંયુગ્મી બિંદુઓ છે,તેથી $(3,2)$ નો ધ્રુવ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,$3\alpha+2\beta=4$ ...$(i)$.
આપેલ છે કે $P(\alpha, \beta)$ એ રેખા $2x+y=1$ પર છે,તેથી $2\alpha+\beta=1$ ...(ii).
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
(ii) પરથી,$\beta = 1-2\alpha$.
$(i)$ માં મૂકતા: $3\alpha + 2(1-2\alpha) = 4$ $\Rightarrow 3\alpha + 2 - 4\alpha = 4$ $\Rightarrow -\alpha = 2$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
તેથી $\beta = 1 - 2(-2) = 5$.
તેથી,$\alpha+\beta = -2+5 = 3$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x+12y-3=0$ છે.
સરખામણી કરતા $g=-5, f=6, c=-3$ મળે.
કેન્દ્ર $(5, -6)$ અને ત્રિજ્યા $r = 8$ છે.
રેખા $Ax+By+C=0$ એ બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખા છે જો $\frac{x_1+g}{A} = \frac{y_1+f}{B} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-C}$ થાય.
વિકલ્પ $(d)$ $6x-8y+15=0$ માટે ચકાસતા,કેન્દ્રથી રેખાનું અંતર $d = 9.3$ મળે છે.
અહીં $d > r$ હોવાથી,આ રેખા વર્તુળની બહારની રેખા છે જે વર્તુળની અંદરના બિંદુ માટે ધ્રુવીય રેખા હોઈ શકે છે.

(A) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = c^2$ ના સંદર્ભમાં ધ્રુવ છે.
ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $x x_1 + y y_1 = c^2$ છે.
આને $\frac{x x_1}{c^2} + \frac{y y_1}{c^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x_1}{c^2} = \frac{1}{a} \Rightarrow x_1 = \frac{c^2}{a}$
$\frac{y_1}{c^2} = \frac{1}{b} \Rightarrow y_1 = \frac{c^2}{b}$
આમ,ધ્રુવ $\left(\frac{c^2}{a}, \frac{c^2}{b}\right)$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x+6y-3=0$ છે.
આપેલ બિંદુ $P(1, 1)$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
અહીં,$g=2$,$f=3$,$c=-3$,$x_1=1$,અને $y_1=1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(1) + y(1) + 2(x+1) + 3(y+1) - 3 = 0$
$x + y + 2x + 2 + 3y + 3 - 3 = 0$
$3x + 4y + 2 = 0$.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 96 = 0$ ના સંદર્ભમાં રેખા $5x + 7y - 78 = 0$ ની તમામ સંયુગ્મી રેખાઓ આપેલ રેખાના ધ્રુવ (pole) માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે જરૂરી ધ્રુવ $P(x_1, y_1)$ છે. આપેલ વર્તુળના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ છે.
$xx_1 + yy_1 + 3(x + x_1) + 4(y + y_1) - 96 = 0$
$(x_1 + 3)x + (y_1 + 4)y + (3x_1 + 4y_1 - 96) = 0 \quad \dots (i)$
આપેલ રેખા $5x + 7y - 78 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{x_1 + 3}{5} = \frac{y_1 + 4}{7} = \frac{3x_1 + 4y_1 - 96}{-78} = k$ (ધારો)
$x_1 = 5k - 3, y_1 = 7k - 4$ અને $3x_1 + 4y_1 - 96 = -78k$
$k$ ની કિંમત શોધતા $k = 1$ મળે છે.
તેથી,$x_1 = 2$ અને $y_1 = 3$.
આમ,જરૂરી સંગામી બિંદુ $(2, 3)$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે. ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ માટે ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1+yy_1-2(x+x_1)+3(y+y_1)-12=0$ થાય. આપેલ રેખા $x+y+2=0$ સાથે સરખાવતા,ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1+yy_1=r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વર્તુળ $x^2+y^2=16$ છે,તેથી $r^2=16$.
બિંદુ $A(2, c)$ નો ધ્રુવ $2x+cy=16$ છે.
આ ધ્રુવ $B(d, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=d$ અને $y=2$ મૂકીએ છીએ:
$2(d)+c(2)=16$
$2d+2c=16$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $d+c=8$ મળે છે.
તેથી,$c+d=8$.

(A) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ પરનું બિંદુ $P(1,0)$ છે.
$P(1,0)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ જીવાને $P(1,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં જીવાનો ધ્રુવ એ બિંદુ $Q(h,k)$ છે,જેથી આ જીવા એ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં $Q$ ની ધ્રુવીય રેખા બને.
$x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં $Q(h,k)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $hx+ky=4$ છે.
આ ધ્રુવીય રેખા $P(1,0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને $h(1)+k(0)=4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h=4$.
આમ,ધ્રુવો $(h,k)$ નો બિંદુપથ $x=4$ છે.

(A) ધારો કે ધ્રુવ $P(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો ધ્રુવીય રેખાખંડ $xx_1+yy_1=4$ છે.
આ ધ્રુવીય રેખાખંડ એ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ નો સ્પર્શક હોવાથી,આ વર્તુળના કેન્દ્ર $(1, -1)$ થી રેખા $xx_1+yy_1-4=0$ નું લંબ અંતર તેની ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+(-1)^2-(-2)} = \sqrt{4} = 2$ છે.
લંબ અંતર $d = \frac{|1(x_1) + (-1)(y_1) - 4|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = 2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(x_1-y_1-4)^2}{x_1^2+y_1^2} = 4$
$(x_1-y_1-4)^2 = 4(x_1^2+y_1^2)$
$x_1^2+y_1^2+16-2x_1y_1-8x_1+8y_1 = 4x_1^2+4y_1^2$
$3x_1^2+3y_1^2+2x_1y_1+8x_1-8y_1-16=0$.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x^2+3y^2+2xy+8x-8y-16=0$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ ના સાપેક્ષ બિંદુ $A(7, -1/2)$ ની પોલર રેખા $T=0$ દ્વારા મળે છે:
$7x - (1/2)y - 2(x+7) + 3(y - 1/2) - 12 = 0$
$7x - 0.5y - 2x - 14 + 3y - 1.5 - 12 = 0$
$5x + 2.5y - 27.5 = 0$
$2/5$ વડે ગુણતા,$2x + y - 11 = 0$,એટલે કે $2x + y = 11$.
વર્તુળના અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ એ બે અભિલંબનું છેદબિંદુ છે:
$x + 2y = 7$ $(i)$
$2x + y = 11$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y = 14$.
તેમાંથી (ii) બાદ કરતા: $3y = 3 \Rightarrow y = 1$.
$(i)$ માં $y=1$ મૂકતા: $x + 2(1) = 7 \Rightarrow x = 5$.
તેથી,કેન્દ્ર $(5, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(5, 1)$ થી $P(1, 3)$ સુધીનું અંતર છે:
$r^2 = (5-1)^2 + (1-3)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-5)^2 + (y-1)^2 = 20$ છે.
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 2y + 1 = 20$
$x^2 + y^2 - 10x - 2y + 6 = 0$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 46 = 0$ છે. બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $x\alpha + y\beta - 5(x + \alpha) + 7(y + \beta) + 46 = 0$ છે.
આને $3x - 5y + 6 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 34/11$ અને $\beta = -42/11$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -8/11$.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+ky-4=0$ અને $L_2: x+y-5=0$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2+(y-1)^2=3$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ થાય છે.
અહીં $g=-1, f=-1, c=-1$ છે.
સંયુગ્મી રેખાઓની શરત મુજબ,$k=1$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-5x+8y+6=0$ માટે,$g = -\frac{5}{2}$,$f = 4$,અને $c = 6$ છે.
બિંદુ $(4,2)$ નો ધ્રુવ:
$x(4) + y(2) - \frac{5}{2}(x+4) + 4(y+2) + 6 = 0$
$4x + 2y - \frac{5}{2}x - 10 + 4y + 8 + 6 = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$8x + 4y - 5x - 20 + 8y + 16 + 12 = 0$
$3x + 12y + 8 = 0$
કારણ કે $(k,-3)$ એ સંયુગ્મી બિંદુ છે,તે ધ્રુવ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
$(k,-3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(k) + 12(-3) + 8 = 0$
$3k - 36 + 8 = 0$
$3k - 28 = 0$
$k = \frac{28}{3}$

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-2=0$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુઓ $P(2,3)$ અને $Q(K,-2)$ વર્તુળની સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી છે,તેથી બિંદુ $P$ ની ધ્રુવીય રેખા (polar) બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ છે.
કિંમતો $x_1=2, y_1=3, g=-1, f=2, c=-2$ મૂકતા:
$x(2)+y(3)-1(x+2)+2(y+3)-2=0$
$2x+3y-x-2+2y+6-2=0$
$x+5y+2=0$.
ધ્રુવીય રેખા $Q(K,-2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x=K$ અને $y=-2$ મૂકતા:
$K+5(-2)+2=0$
$K-10+2=0$
$K-8=0$
$K=8$.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(1,1)$ ની પોલર રેખાનું સમીકરણ $x(1) + y(1) - 2(x+1) - 3(y+1) + 12 = 0$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$-x - 2y + 7 = 0$ અથવા $x + 2y - 7 = 0$ મળે છે.
પ્રતિવર્તી બિંદુ $(h, k)$ એ બિંદુ $(1,1)$ થી રેખા $x + 2y - 7 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
લંબપાદના સૂત્ર $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h-1}{1} = \frac{k-1}{2} = -\frac{1(1) + 2(1) - 7}{1^2 + 2^2} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$h = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ અને $k = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}$.
આમ,$h + k = \frac{9}{5} + \frac{13}{5} = \frac{22}{5}$.

(D) વિધાન $I$: જો બિંદુ $P$ ની ધ્રુવીય રેખા બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થાય,તો બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી છે. આમ,$I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: વર્તુળ $x^2+y^2=9$ માટે રેખા $x+y+1=0$ નો ધ્રુવ $(-9, -9)$ મળે છે. તેથી,$II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x - 10y + 25 = 0$ છે. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 16$ મળે. કેન્દ્ર $(4, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બે રેખાઓ $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ એ વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $r^2(l_1l_2 + m_1m_2) = (l_1h + m_1k + n_1)(l_2h + m_2k + n_2)$ થાય.
અહીં,$l_1 = 5, m_1 = 6, n_1 = -34$ અને $l_2 = 2, m_2 = 1, n_2 = c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $16(5 \times 2 + 6 \times 1) = (5(4) + 6(5) - 34)(2(4) + 1(5) + c)$.
$16(16) = (16)(13 + c)$.
$16 = 13 + c \implies c = 3$.
રેખા $2x + y + 3 = 0$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$(1, -5)$ માટે: $2(1) + (-5) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$.
આમ,બિંદુ $(1, -5)$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-2x+4y+1=0$ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(1, -2)$ છે.
રેખા $lx+my+n=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે,ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ એ $\frac{x_1+g}{l} = \frac{y_1+f}{m} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-n}$ નું પાલન કરે છે.
અહીં $g=-1, f=2, c=1, l=1, m=-5, n=-7$.
તેથી,$\frac{a-1}{1} = \frac{b+2}{-5} = \frac{-a+2b+1}{7}$.
ઉકેલતા,$a=0$ અને $b=3$ મળે છે.
ધ્રુવ $P$ એ $(0, 3)$ છે.
અંતર $PC = \sqrt{(0-1)^2 + (3-(-2))^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\sqrt{0^3+3^3-1} = \sqrt{26}$.
તેથી,$PC = \sqrt{a^3+b^3-1}$.

(B) લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(4, 5), (4, -2), (-2, 5)$ અને $(-2, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ વ્યાસ સ્વરૂપમાં: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$ થાય છે.
ધારો કે ધ્રુવ $(h, k)$ છે. ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ: $(h-1)x + (k-1.5)y - (h + 1.5k + 18) = 0$.
આ રેખાને $0x + 1y + 2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$h=1$ અને $k=\frac{-32}{7}$ મળે છે.
આમ,ધ્રુવ $\left(1, \frac{-32}{7}\right)$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ છે કે $P(-3, 5)$ નો વ્યસ્ત બિંદુ $A(1, 3)$ છે.
$P$ ની ધ્રુવીય રેખા એ $PA$ ને લંબ હોય છે.
$PA$ નો ઢાળ $m_{PA} = \frac{3 - 5}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,ધ્રુવીય રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{PA}} = 2$ થશે.
ધ્રુવીય રેખા $A(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 3 = 2(x - 1)$ થશે.
$y - 3 = 2x - 2$.
$2x - y + 1 = 0$.

(D) ધારો કે ધ્રુવ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ માટે ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $T = 0$ છે.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$.
ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ: $hx + ky - \frac{3}{2}(\frac{x+h}{2}) + \frac{5}{2}(\frac{y+k}{2}) - \frac{7}{2} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા: $(4h - 3)x + (4k + 5)y - 3h + 5k - 14 = 0$.
આપેલ રેખા $9x + y - 28 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 1$ મળે છે.
તેથી,$4h - 3 = 9$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$4k + 5 = 1$ $\Rightarrow 4k = -4$ $\Rightarrow k = -1$.
આમ,ધ્રુવ $(3, -1)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-8x+10y+5=0$.
$P(1,1)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $T=0$ મુજબ:
$x(1)+y(1)-4(x+1)+5(y+1)+5=0 \Rightarrow x-2y-2=0$ ...$(1)$
$Q(1,-1)$ ને મધ્યબિંદુ તરીકે ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ:
$x(1)+y(-1)-4(x+1)+5(y-1)+5 = 1+1-8-10+5 \Rightarrow 3x-4y-7=0$ ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,આપણને $(11, 13/2)$ મળે છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવરેખા $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ દ્વારા મળે છે.
$S_1 \equiv x^2+y^2+6y+7=0$ માટે $(-1, 2)$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવરેખા:
$-x+2y+3(y+2)+7=0 \Rightarrow -x+5y+13=0$ (સમીકરણ $1$).
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+1=0$ માટે $(-1, 2)$ ના સાપેક્ષમાં ધ્રુવરેખા:
$-x+2y+3(x-1)+1=0$ $\Rightarrow 2x+2y-2=0$ $\Rightarrow x+y-1=0$ (સમીકરણ $2$).
છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$-x+5y+13=0$
$x+y-1=0$
બંનેનો સરવાળો કરતા $6y+12=0$,તેથી $y=-2$.
$x+y-1=0$ માં $y=-2$ મુકતા $x=3$ મળે છે.
આમ,ધ્રુવરેખાઓ $(3, -2)$ બિંદુએ છેદે છે,જે શૂન્યતર બિંદુ છે.

(A) વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(-1, -4)$ અને $C_2(2, -5)$ છે.
$S_2$ ની સાપેક્ષ $C_1(-1, -4)$ ની ધ્રુવીય રેખા $L_1: -3x + y + 1 = 0$ છે.
$S_1$ ની સાપેક્ષ $C_2(2, -5)$ ની ધ્રુવીય રેખા $L_2: 3x - y - 41 = 0$ છે.
આ રેખાઓ સમાંતર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|1 - (-41)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{42}{\sqrt{10}} = 4.2\sqrt{10}$ છે.

(C) ધારો કે $P$ એ $(x_1, y_1)$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ જે યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં છે તે $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ થાય છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $P(x_1, y_1)$ ની પોલર રેખા $xx_1 + yy_1 - r(x+x_1) - r(y+y_1) + r^2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(x_1-r)x + (y_1-r)y = r(x_1+y_1-r)$ મળે છે.
આપેલ છે કે પોલર રેખા $x+2y=4r$ છે,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$.
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2}$ પરથી,$2x_1 - 2r = y_1 - r$,એટલે કે $y_1 = 2x_1 - r$.
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$ પરથી,$4x_1 - 4r = x_1 + y_1 - r$,એટલે કે $3x_1 - 3r = y_1$.
$y_1$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $2x_1 - r = 3x_1 - 3r$,જે $x_1 = 2r$ આપે છે.
$x_1 = 2r$ ને $y_1 = 2x_1 - r$ માં મૂકતા,$y_1 = 2(2r) - r = 3r$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(2r, 3r)$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=18$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$ અને વ્યાસ $D=6 \sqrt{2}$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a=6 \sqrt{2}$ હોવાથી,$a=3 \sqrt{2}$ અને $a^2=18$ મળે.
$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{8}{9}=1-\frac{b^2}{18}$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $\frac{b^2}{18}=\frac{1}{9}$ એટલે કે $b^2=2$ મળે.
તેથી ઉપવલય $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{2}=1$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ સ્પર્શકનો ધ્રુવ છે. ઉપવલયની સાપેક્ષમાં ધ્રુવીય રેખા $\frac{xh}{18}+\frac{yk}{2}=1$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=18$ નો સ્પર્શક છે. રેખા $lx+my=1$ એ $x^2+y^2=R^2$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $R^2(l^2+m^2)=1$ છે.
અહીં $l=\frac{h}{18}$ અને $m=\frac{k}{2}$ છે,તેથી $18(\frac{h^2}{18^2}+\frac{k^2}{4})=1$.
સાદુંરૂપ આપતા,$\frac{h^2}{18}+\frac{18k^2}{4}=1$,એટલે કે $\frac{h^2}{18}+\frac{9k^2}{2}=1$.
આમ,બિંદુપથ $\frac{x^2}{18}+\frac{9y^2}{2}=1$ છે.