Tangent and normal to a circle Questions in Gujarati

(D) પરવલય $y^2=x$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{4m}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6y+4=0$ માટે કેન્દ્ર $(0, 3)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{5}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $mx - y + \frac{1}{4m} = 0$ છે.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબઅંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય: $\frac{|-3 + \frac{1}{4m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$m = 1/2$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ એટલે કે $x - 2y + 1 = 0$ થાય.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^2+y^2=a^2$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0$
$-\frac{x}{y} = 0 \implies x = 0$.
વક્રના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
$0^2 + y^2 = a^2 \implies y^2 = a^2$.
$y \geq 0$ હોવાથી,આપણને $y = a$ મળે છે.
આમ,વક્ર પરનું બિંદુ $(0, a)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$,$f=0$,અને $c=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 0)$ છે.
વર્તુળનો કોઈપણ અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબ એ રેખા $x+2y-3=0$ ને સમાંતર છે.
રેખા $x+2y-3=0$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ પણ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1)$.
$2y = -x + 1$,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y - 1 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R, S$ છે. બાજુઓ $x=-5$ અને $y=4$ છે. ચોરસનું કેન્દ્ર $C(3,-4)$ છે.
કેન્દ્ર $C(3,-4)$ થી રેખા $x=-5$ નું અંતર $|3 - (-5)| = 8$ છે. બાજુની લંબાઈ $2 \times 8 = 16$ હોવાથી,અન્ય બાજુઓ $x=11$ અને $y=-12$ છે.
શિરોબિંદુઓ $P(-5, 4)$,$S(11, 4)$,$R(11, -12)$,અને $Q(-5, -12)$ છે.
$x=-5$ પર આવેલા શિરોબિંદુઓ $P(-5, 4)$ અને $Q(-5, -12)$ છે.
ચોરસના પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3,-4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-4 - 4)^2} = 8\sqrt{2}$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 128$ છે.
$P(-5, 4)$ પરનો સ્પર્શક $y-x = 9$ છે.
$Q(-5, -12)$ પરનો સ્પર્શક $x+y = -17$ છે.
$y-x=9$ અને $x+y=-17$ ઉકેલતા,છેદબિંદુ $(-13, -4)$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
રેખા $x-2y-6=0$ અભિલંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે:
$-g - 2(-f) - 6 = 0$ $\Rightarrow -g + 2f = 6$ $\Rightarrow g = 2f - 6$.
રેખા $y=2$ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખા $y=2$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$r = |-f - 2| = \sqrt{g^2 + f^2 + 8}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(f+2)^2 = g^2 + f^2 + 8$.
$f^2 + 4f + 4 = g^2 + f^2 + 8 \Rightarrow 4f - 4 = g^2$.
$g = 2f - 6$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4f - 4 = (2f - 6)^2 = 4f^2 - 24f + 36$.
$4f^2 - 28f + 40 = 0 \Rightarrow f^2 - 7f + 10 = 0$.
$(f-2)(f-5) = 0 \Rightarrow f = 2$ અથવા $f = 5$.
જો $f = 2$,તો $g = -2$. ત્રિજ્યા $r = |-2 - 2| = 4$.
જો $f = 5$,તો $g = 4$. ત્રિજ્યા $r = |-5 - 2| = 7$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે. ત્રિજ્યા $r=1$ અને કેન્દ્ર $(0,0)$ છે.
ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $P(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - \sqrt{2} = m(x - \sqrt{2})$ છે,જે $mx - y + \sqrt{2}(1-m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું થાય.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = \frac{|\sqrt{2}(1-m)|}{\sqrt{m^2+1}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$m^2+1 = 2(1-m)^2$ મળે.
$m^2+1 = 2 - 4m + 2m^2$ એટલે કે $m^2 - 4m + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x+2y+c=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (3, -1)$ છે.
સ્પર્શક $x-2y=0$ એ બિંદુ $P$ આગળ છે,તેથી ત્રિજ્યા $CP$ એ સ્પર્શકને લંબ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 1/2$ છે. તેથી,અભિલંબ $CP$ નો ઢાળ $m_2 = -2$ છે.
કેન્દ્ર $C(3, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $-2$ ઢાળ ધરાવતી અભિલંબની રેખાનું સમીકરણ $y+1 = -2(x-3)$ એટલે કે $2x+y-5=0$ છે.
બિંદુ $P$ એ સ્પર્શક $x-2y=0$ અને અભિલંબ $2x+y-5=0$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=2y$,તેથી $2(2y)+y-5=0 \implies 5y=5 \implies y=1$. તેથી $x=2$. આમ $P = (2, 1)$.
બિંદુ $P(2, 1)$ અને $(6, 3)$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \sqrt{(6-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(D) ધારો કે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ માટે,ત્રિજ્યા $r = 4$ અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
રેખા $mx - y + c = 0$ સ્પર્શક હોવાની શરત $\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$ છે,તેથી $c^2 = 16(m^2 + 1)$.
વર્તુળ $(x - 9)^2 + y^2 = 16$ માટે,કેન્દ્ર $(9, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
રેખા $mx - y + c = 0$ સ્પર્શક હોવાની શરત $\frac{|9m + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4$ છે,તેથી $(9m + c)^2 = 16(m^2 + 1)$.
$16(m^2 + 1)$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$c^2 = (9m + c)^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $c = -(9m + c)$ અથવા $c = 9m + c$.
કિસ્સો $1$: $c = 9m + c \implies 9m = 0 \implies m = 0$.
કિસ્સો $2$: $c = -9m - c \implies 2c = -9m \implies c = -\frac{9m}{2}$.
$c = -\frac{9m}{2}$ ને $c^2 = 16(m^2 + 1)$ માં મૂકતા:
$\frac{81m^2}{4} = 16m^2 + 16 \implies 81m^2 = 64m^2 + 64 \implies 17m^2 = 64 \implies m^2 = \frac{64}{17}$.
તેથી,$m = \pm \frac{8}{\sqrt{17}}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો ઢાળ $\frac{8}{\sqrt{17}}$ છે.

(D) $(-1, -2)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = m(x + 1)$ છે,જે $mx - y + (m - 2) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|m(3) - 4 + m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|2m - 3| = \sqrt{m^2 + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2m - 3)^2 = m^2 + 1$
$3m^2 - 12m + 8 = 0$
અહીં $m_1 + m_2 = 4$ અને $m_1 m_2 = \frac{8}{3}$.
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{16 - \frac{32}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\sqrt{3}|m_1 - m_2| = 4$.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ બે અભિલંબનું છેદબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x - 3y = -5$ $(1)$
$4x - 5y = -7$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4x - 6y = -10$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(4x - 5y) - (4x - 6y) = -7 - (-10) \implies y = 3$.
$y = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2x - 3(3) = -5 \implies 2x - 9 = -5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
બિંદુ $(2, 5)$ વર્તુળ પર છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 3)$ અને બિંદુ $(2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x-6y+2=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3, f=-3, c=2$ મળે.
કેન્દ્ર $C(-3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{9+9-2} = 4$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ છે,તેથી $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{4}{3}$ મળે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{CP} = \frac{4}{5}$ મળે.
તેથી $CP = 5$.
$CP^2 = (k+3)^2 + (6k-3)^2 = 25$.
$37k^2 - 30k - 7 = 0$.
$(37k + 7)(k - 1) = 0$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k = 1$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા $4x - 3y + p = 0$ વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
$\frac{|4(2) - 3(-3) + p|}{5} = 3 \Rightarrow |17 + p| = 15$.
$p + 3 > 0$ હોવાથી,$p = -2$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ શોધતા,$h = -2/5$ અને $k = -6/5$ મળે છે.
તેથી,$h - 2k = -2/5 - 2(-6/5) = 2$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3}$ છે.
પ્રચલિત યામો $x = 1 + \sqrt{3}\cos\theta$ અને $y = 1 + \sqrt{3}\sin\theta$ છે.
$P(\frac{\pi}{4})$ માટે,$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, y_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$.
$Q(\frac{\pi}{3})$ માટે,$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, y_2 = 1 + \frac{3}{2}$.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}} = 2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$.
સ્પર્શક જીવાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$ થશે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+6y-2=0$ છે. કેન્દ્ર $O$ એ $(-3, -3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2-(-2)} = \sqrt{9+9+2} = \sqrt{20}$ છે.
બિંદુ $Q$ એ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ છે. રેખાના સમીકરણ $5x-2y+6=0$ માં $x=0$ મૂકતા,$-2y+6=0$ મળે,તેથી $y=3$. આમ,$Q$ એ $(0, 3)$ છે.
બિંદુ $Q(0, 3)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $PQ = \sqrt{S_1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $S_1 = x_1^2+y_1^2+6x_1+6y_1-2$.
$PQ = \sqrt{0^2+3^2+6(0)+6(3)-2} = \sqrt{0+9+0+18-2} = \sqrt{25} = 5$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(5,0)$ છે.
બિંદુ $(9,3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $9x + 3y - 5(x+9) = 0$ એટલે કે $4x + 3y - 45 = 0$ થાય.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને $A(\frac{45}{4}, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $3x - 4y - 15 = 0$ થાય.
અભિલંબ $X$-અક્ષને $B(5,0)$ બિંદુએ છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(9,3)$,$A(\frac{45}{4}, 0)$ અને $B(5,0)$ છે.
પાયો $AB = \frac{45}{4} - 5 = \frac{25}{4}$ અને વેધ $3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times 3 = \frac{75}{8}$ ચોરસ એકમ.

(B) રેખા $x+2y=1$ છે. $X$-અંતઃખંડ $A(1,0)$ અને $Y$-અંતઃખંડ $B(0, 1/2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-x-\frac{1}{2}y=0$ છે.
ઉગમબિંદુ પરનો સ્પર્શક $2x+y=0$ છે.
$A(1,0)$ થી લંબ અંતર $d_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
$B(0, 1/2)$ થી લંબ અંતર $d_2 = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ છે.
સરવાળો $d_1+d_2 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{5}}{4}$ છે.
તેથી,સરવાળો $2r$ એટલે કે વર્તુળ $S$ ના વ્યાસ જેટલો થાય છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16$ છે,જે $x^2 + y^2 = a^2$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a^2 = 16$.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $y = mx + C$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોય તો $C^2 = a^2(1 + m^2)$ થાય.
$a^2 = 16$ મૂકતા,$C^2 = 16(1 + m^2)$ મળે.
$16$ વડે ભાગતા,$\frac{C^2}{16} = 1 + m^2$ મળે.
$m^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$m^2 = \frac{C^2}{16} - 1 = \frac{C^2 - 16}{16}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$m = \pm \frac{1}{4} \sqrt{C^2 - 16}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $T^2=SS_1$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે અને વર્તુળ $S: x^2+y^2+2gx+2fy+g^2=0$ છે.
$(0,0)$ પર $S_1 = g^2$ છે.
$(0,0)$ પર સ્પર્શક $T = gx+fy+g^2$ છે.
$T^2=SS_1$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(gx+fy+g^2)^2 = (x^2+y^2+2gx+2fy+g^2)(g^2)$
$g^2x^2+f^2y^2+g^4+2gfxy+2g^3x+2g^2fy = g^2x^2+g^2y^2+2g^3x+2g^2fy+g^4$
સમાન પદો દૂર કરતા:
$f^2y^2+2gfxy = g^2y^2$
$y^2(g^2-f^2)-2gfxy = 0$
$y[(g^2-f^2)y-2gfx] = 0$
આમ,સમીકરણો $y=0$ અને $(g^2-f^2)y-2gfx=0$ છે.

(A) રેખા $ax+by-1=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-r^2=0$ નો સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $ax+by-1=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|a(0)+b(0)-1|}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} = r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{1}{a^2+b^2} = r^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2+b^2 = \frac{1}{r^2}$.
જો $r=1$ હોય,તો $a^2+b^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $(a,b)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ પર આવેલું છે,એટલે કે $S_1=0$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ છે.
બિંદુ $(a, 4)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$y=4$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+4^2-6x-2(4)+1=0$
$x^2-6x+9=0$
$(x-3)^2=0 \Rightarrow x=3$.
આમ,સ્પર્શક બિંદુ $(3, 4)$ છે,તેથી $a=3$.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c'=0$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c'=0$ છે.
અહીં,$g=-3, f=-1, c'=1$ અને $(x_1, y_1)=(3, 4)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x(3)+y(4)-3(x+3)-1(y+4)+1=0$
$3x+4y-3x-9-y-4+1=0$
$3y-12=0 \Rightarrow y-4=0$.
આને $y+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c=-4$ મળે છે.
તેથી,$ac = 3 \times (-4) = -12$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે.
કેન્દ્ર $A(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
બિંદુ $B(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=7$ મળે છે.
બિંદુ $D(4, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x-4y=20$ મળે છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $C(16, 7)$ છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ બે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ નો બનેલો છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \times 15 = 37.5$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 37.5 = 75$.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-13=0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = -\frac{2}{3}$ છે.
હવે,બિંદુ $\left(m, -\frac{1}{m}\right)$ એ $\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right)$ થાય છે.
આ બિંદુનું વર્તુળની સાપેક્ષમાં સ્થાન ચકાસવા માટે,આપણે તેને $S(x, y) = x^2+y^2-13$ માં મૂકીએ:
$S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 13 = \frac{4}{9} + \frac{9}{4} - 13 = \frac{16 + 81 - 468}{36} = -\frac{371}{36}$.
અહીં $S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) < 0$ હોવાથી,આ બિંદુ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y=12$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 12+9+4 = 25 = 5^2$ મળે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
રેખા $4x+3y+5=0$ ને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $4x+3y+k=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી સ્પર્શક $4x+3y+k=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5$.
$\frac{|12-6+k|}{5} = 5
\Rightarrow |6+k| = 25$.
આથી $6+k = 25$ અથવા $6+k = -25$ મળે.
તેથી,$k = 19$ અથવા $k = -31$.
સ્પર્શકોના સમીકરણો $4x+3y+19=0$ અને $4x+3y-31=0$ છે.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x+8y-144=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -6 \Rightarrow g = -3$ અને $2f = 8 \Rightarrow f = 4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, -4)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે અભિલંબ વર્તુળને ફરીથી $(x_1, y_1)$ બિંદુએ મળે છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ એ $(8, 8)$ અને $(x_1, y_1)$ ને જોડતી જીવાનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1+8}{2} = 3$ $\Rightarrow x_1+8 = 6$ $\Rightarrow x_1 = -2$
$\frac{y_1+8}{2} = -4$ $\Rightarrow y_1+8 = -8$ $\Rightarrow y_1 = -16$
આમ,જરૂરી બિંદુ $(-2, -16)$ છે.

(C) ધારો કે $(a, b)$ એ બિંદુ છે જ્યાં રેખા $4x - 3y + 7 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળ પરના બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xa + yb - 3(x + a) + 2(y + b) - 12 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(a - 3)x + (b + 2)y - (3a - 2b + 12) = 0$ મળે છે.
આપેલ રેખા $4x - 3y + 7 = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર:
$\frac{a - 3}{4} = \frac{b + 2}{-3} = \frac{-(3a - 2b + 12)}{7} = k$.
આથી,$a = 4k + 3$ અને $b = -3k - 2$.
ત્રીજા ગુણોત્તરમાં કિંમતો મૂકતા: $-(3(4k + 3) - 2(-3k - 2) + 12) = 7k$.
$-(12k + 9 + 6k + 4 + 12) = 7k$ $\Rightarrow -(18k + 25) = 7k$ $\Rightarrow -25k = 25$ $\Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ મૂકતા,$a = 4(-1) + 3 = -1$ અને $b = -3(-1) - 2 = 1$.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(-1, 1)$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે. બિંદુ $P(1, \sqrt{3})$ વર્તુળ પર આવેલું છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે,જે $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$ એટલે કે $x + \sqrt{3}y = 4$ થાય.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને $A(4, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
$P(1, \sqrt{3})$ આગળનો અભિલંબ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x$ છે.
ત્રિકોણ $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ અને $A(4, 0)$ બિંદુઓ દ્વારા બને છે.
$\triangle OPA$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OA \times y_P = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(1, \sqrt{3})$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
$(1, \sqrt{3})$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + \sqrt{3}y = 4$ થાય છે.
આ સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $B(4, 0)$ પર છેદે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ છે.
$(1, \sqrt{3})$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = \sqrt{3}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = \sqrt{3}x$ થાય છે.
આ અભિલંબ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધન $x$-અક્ષ,સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\triangle OAB$ છે,જ્યાં $O(0, 0)$,$A(1, \sqrt{3})$,અને $B(4, 0)$ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OB \times AD$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $AD$ એ બિંદુ $A$ નો $y$-યામ છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(D) રેખા $x+3y=0$ એ $(0,0)$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h,k)$ એ $(0,0)$ બિંદુએ સ્પર્શકના અભિલંબ પર આવેલું છે.
સ્પર્શક $x+3y=0$ નો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{3}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = 3$ થાય.
$(0,0)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y-0 = 3(x-0)$ એટલે કે $y=3x$ છે.
આમ,કેન્દ્ર $(x, 3x)$ સ્વરૂપનું છે.
કેન્દ્ર $(x, 3x)$ થી $(0,0)$ બિંદુ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\sqrt{(x-0)^2 + (3x-0)^2} = 1$
$\sqrt{x^2 + 9x^2} = 1$
$\sqrt{10x^2} = 1$
$|x|\sqrt{10} = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$.
જો $x = \frac{1}{\sqrt{10}}$,તો $y = 3x = \frac{3}{\sqrt{10}}$. તેથી કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ છે.

(D) આપેલ રેખા $y=2x+c$ છે,જેને $2x-y+c=0$ તરીકે લખી શકાય.
$y=mx+c_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=2$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=5$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=\sqrt{5}$ છે.
રેખા $y=mx+c_1$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c_1^2 = r^2(1+m^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $c^2 = 5(1+2^2)$ મળે છે.
$c^2 = 5(1+4) = 5(5) = 25$.
તેથી,$c = \pm 5$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,$c$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ અને બિંદુ $(1,3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
લંબાઈ $= \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11}$
$= \sqrt{1+9-2+12-11}$
$= \sqrt{22-13}$
$= \sqrt{9}$
$= 3$

(A) રેખા $y-3x=0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે. ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1,1)$ થી રેખા $3x-y=0$ નું લંબ અંતર છે.
$r = \frac{|3(1) - 1(1)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3-1|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતો બીજો સ્પર્શક $y=mx$ છે,એટલે કે $mx-y=0$.
કેન્દ્ર $(1,1)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર પણ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$r = \frac{|m(1) - 1(1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(m-1)^2}{m^2+1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
$5(m^2 - 2m + 1) = 2(m^2 + 1)$.
$5m^2 - 10m + 5 = 2m^2 + 2$.
$3m^2 - 10m + 3 = 0$.
$3m^2 - 9m - m + 3 = 0$.
$3m(m-3) - 1(m-3) = 0$.
$(3m-1)(m-3) = 0$.
તેથી,$m=3$ અથવા $m=\frac{1}{3}$.
કારણ કે $m=3$ એ આપેલ સ્પર્શક $y=3x$ છે,તેથી બીજો સ્પર્શક $y=\frac{1}{3}x$ છે,જે $3y=x$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x+4y-3=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3$ અને $f=2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-3, -2)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપણે કેન્દ્ર $(-3, -2)$ અને આપેલ બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $y = -2$ થશે.
તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ $y+2=0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2x-2y+1=0$ છે,જેને $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. કેન્દ્ર $C(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
સ્પર્શકો $x+y+k=0$ અને $x+ay+b=0$ લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળ $m_1 = -1$ અને $m_2 = -1/a$ માટે $m_1 m_2 = -1$ થાય. તેથી,$(-1)(-1/a) = -1$,જે $a = -1$ આપે છે.
કેન્દ્ર $(-1, 1)$ થી સ્પર્શક $x+y+k=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું છે:
$\frac{|-1+1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 1 \Rightarrow |k| = \sqrt{2}$. $k > 1$ હોવાથી,$k = \sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(-1, 1)$ થી સ્પર્શક $x-y+b=0$ નું અંતર પણ $r=1$ છે:
$\frac{|-1-1+b|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = 1 \Rightarrow |b-2| = \sqrt{2}$.
આથી $b-2 = \sqrt{2}$ અથવા $b-2 = -\sqrt{2}$ મળે. $b > 1$ હોવાથી,$b = 2+\sqrt{2}$ લેતા.
અંતે,$b-k = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1=T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = x^2+y^2-4=0$ અને બિંદુ $(4,0)$ છે.
$S_1 = 4^2+0^2-4 = 12$.
$T = 4x-4$.
$SS_1=T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$12(x^2+y^2-4) = (4x-4)^2$.
$12(x^2+y^2-4) = 16(x-1)^2$.
$4$ વડે ભાગતા:
$3(x^2+y^2-4) = 4(x^2-2x+1)$.
$3x^2+3y^2-12 = 4x^2-8x+4$.
$x^2-3y^2-8x+16 = 0$.
$(x-4)^2 - 3y^2 = 0$.
$(x-4)^2 = 3y^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{3}y = \pm(x-4)$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-1, f=2, c=3$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-1)^2+2^2-3} = \sqrt{1+4-3} = \sqrt{2}$.
બિંદુ $P(6,-5)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{S_1}$ છે.
$L = \sqrt{6^2+(-5)^2-2(6)+4(-5)+3} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં,જ્યાં $O$ કેન્દ્ર છે અને $A$ સ્પર્શબિંદુ છે,$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{r}{L} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{2\tan(\frac{\theta}{2})}{1-\tan^2(\frac{\theta}{2})} = \frac{2(\frac{1}{4})}{1-(\frac{1}{4})^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.
તેથી,$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{15}{8}$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2-6x+4y+12=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2=1$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
બિંદુ $(1, -3)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ ધારો. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y+3=m(x-1)$ એટલે કે $mx-y-m-3=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\left|\frac{m(3)-(-2)-m-3}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{2m-1}{\sqrt{m^2+1}}\right|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2m-1)^2 = m^2+1$.
$4m^2-4m+1 = m^2+1$.
$3m^2-4m = 0$.
$m(3m-4) = 0$.
તેથી,ઢાળ $m_1=0$ અને $m_2=\frac{4}{3}$ મળે છે.
અંતે,$9(m_1^2+m_2^2) = 9(0^2 + (\frac{4}{3})^2) = 9(\frac{16}{9}) = 16$.

(A) $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો $O(0,0)$ અને $A(1,0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
$C_3$ એ $O(0,0)$ અને $A(1,0)$ માંથી પસાર થતું એકમ વર્તુળ છે. ધારો કે તેનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
તે $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $h^2 + k^2 = 1$.
તે $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(h-1)^2 + k^2 = 1$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2h - 1 = 0 \implies h = 1/2$.
તેથી $(1/2)^2 + k^2 = 1 \implies k = \sqrt{3}/2$.
$C_3$ નું કેન્દ્ર $(1/2, \sqrt{3}/2)$ છે.
રેખા $L: ax + by + c = 0$ એ $C_1$ નો સ્પર્શક છે જો $|c|/\sqrt{a^2+b^2} = 1$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ એ $C_1$ અને $C_3$ બંનેનો સ્પર્શક છે અને $C_2$ ને છેદતું નથી.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ છે.
કેન્દ્ર $O(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $P(6, -5)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{36+25-12-20+3} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$\triangle OAP$ માં,$\tan(\theta/2) = \frac{OA}{AP} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$.
$\tan \theta = \frac{2\tan(\theta/2)}{1-\tan^2(\theta/2)} = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$.

(C) આપેલ છે કે,બિંદુ $P(1,1)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+gx+gy-2=0$ પર સ્પર્શકો $PA$ અને $PB$ દોરેલા છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $PA = \sqrt{S_1} = \sqrt{1^2+1^2+g(1)+g(1)-2} = \sqrt{1+1+g+g-2} = \sqrt{2g}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-\frac{g}{2}, -\frac{g}{2})$ છે અને ત્રિજ્યા $r = AC = \sqrt{(-\frac{g}{2})^2 + (-\frac{g}{2})^2 - (-2)} = \sqrt{\frac{g^2}{4} + \frac{g^2}{4} + 2} = \sqrt{\frac{g^2+4}{2}} = \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}}$.
$PA$ સ્પર્શક હોવાથી,$\angle PAC = 90^\circ$. $\triangle PAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PA \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2g} \times \frac{\sqrt{g^2+4}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g}$.
ચતુષ્કોણ $PACB$ એ બે એકરૂપ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ અને $\triangle PBC$ થી બનેલો છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $PACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\triangle PAC) = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{g^3+4g} = \sqrt{g^3+4g}$.

(C) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y - 14 = 0$ અને $6x + 8y + 7 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$3x + 4y + \frac{7}{2} = 0$.
આ રેખાઓ વર્તુળના સમાંતર સ્પર્શકો હોવાથી,વર્તુળનો વ્યાસ આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો થાય.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -14$,અને $c_2 = \frac{7}{2}$.
$d = \frac{|-14 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-\frac{28}{2} - \frac{7}{2}|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{35}{2}|}{5} = \frac{35}{2 \times 5} = \frac{7}{2}$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ સમાંતર સ્પર્શકો વચ્ચેના અંતરથી અડધી હોય છે:
$r = \frac{d}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$.

(B) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આ શરત આપેલ વર્તુળો માટે લાગુ પાડતા:
$1$) $4g + 4f = c + 7$
$2$) $-4g + 4f = c + 7$
$3$) $-4g - 4f = c + 7$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા $8g = 0 \Rightarrow g = 0$ મળે.
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા $c = -7$ મળે.
તેથી $f = 0$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $S: x^2 + y^2 - 7 = 0$ છે.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + c = 0$ મુજબ $\sqrt{3}x + 2y - 7 = 0$ થાય.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-16y+64=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શક $mx-y+c=0$ છે.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે:
$\left|\frac{2m-4+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 2 \Rightarrow c = 2\sqrt{1+m^2}-2m+4$
$\left|\frac{3m-8+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 3 \Rightarrow c = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$c$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2\sqrt{1+m^2}-2m+4 = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$\sqrt{1+m^2} = m-4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1+m^2 = m^2-8m+16$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.

(A) બિંદુ $P$ ના યામ $\left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 10 = 0$ છે.
રેખા $y = 6$ સાથેનું છેદબિંદુ $Q = (6\sqrt{3} - 10, 6)$ છે.
રેખા $x = -6$ સાથેનું છેદબિંદુ $R = (-6, \frac{4}{\sqrt{3}})$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $S = (-6, 6)$ છે.
ત્રિકોણ $RSQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{62 - 24\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ મળે છે.