Tangent and normal to a circle Questions in Gujarati

(B) આપેલ રેખા $yy' = 2ax + 2ax'$ છે,જેને $2ax - yy' + 2ax' = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2a}{y'}$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{y'}{2a}$ થશે.
બિંદુ $(x', y')$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y' = -\frac{y'}{2a}(x - x')$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$2ay - 2ay' = -xy' + x'y'$ મળે.
આમ,$xy' + 2ay - 2ay' - x'y' = 0$ એ માંગેલ સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ છે.
તે $(-1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $10 - 2g - 6f + c = 0$ $(ii)$.
તે $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $9 + 6g + c = 0$ $(iii)$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $-4/3$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $3/4$ થાય.
તેથી,$\frac{-f - 0}{-g - 3} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3g - 4f + 9 = 0$ $(iv)$.
સમીકરણો $(ii)$,$(iii)$ અને $(iv)$ ઉકેલતા,આપણને $g = -1, f = 3/2$ અને $c = -3$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 3y - 3 = 0$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(5, 3)$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x + ky + 17 = 0$ માટે,સ્પર્શકની લંબાઈ $7$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{5^2 + 3^2 + 2(5) + k(3) + 17} = 7$
$\sqrt{25 + 9 + 10 + 3k + 17} = 7$
$\sqrt{61 + 3k} = 7$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$61 + 3k = 49$
$3k = 49 - 61$
$3k = -12$
$k = -4$.

(B) રેખા $y = Mx + C$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $C^2 = a^2(1 + M^2)$ છે.
આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ ને $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,ઢાળ $M = -\frac{l}{m}$ અને અંતઃખંડ $C = -\frac{n}{m}$ છે.
આ કિંમતોને $C^2 = a^2(1 + M^2)$ માં મૂકતા:
$(-\frac{n}{m})^2 = a^2(1 + (-\frac{l}{m})^2)$
$\frac{n^2}{m^2} = a^2(1 + \frac{l^2}{m^2})$
$\frac{n^2}{m^2} = a^2(\frac{m^2 + l^2}{m^2})$
$n^2 = a^2(l^2 + m^2)$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = mx$ છે,એટલે કે $mx - y = 0$.
આ રેખા વર્તુળ $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 25$ નો સ્પર્શક હોય તો કેન્દ્ર $(7, -1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 5$ જેટલું થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના અંતરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{|m(7) - (-1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 5$.
$\frac{|7m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(7m + 1)^2 = 25(m^2 + 1)$.
$49m^2 + 14m + 1 = 25m^2 + 25$.
$24m^2 + 14m - 24 = 0$.
$12m^2 + 7m - 12 = 0$.
આ $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે. ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{-12}{12} = -1$ થાય.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,બંને સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2(1 + m^2)$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = mx + c$ મૂકતા: $x^2 + (mx + c)^2 = a^2$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા સ્પર્શબિંદુના યામ $\left( -\frac{a^2m}{c}, \frac{a^2}{c} \right)$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 50$ અને રેખા $x = -7$ છે.
$x = -7$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-7)^2 + y^2 = 50 \implies 49 + y^2 = 50 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(-7, 1)$ અને $(-7, -1)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
બિંદુ $(-7, 1)$ માટે: $-7x + y = 50 \implies 7x - y + 50 = 0$.
બિંદુ $(-7, -1)$ માટે: $-7x - y = 50 \implies 7x + y + 50 = 0$.
આમ,સમીકરણો $7x \pm y + 50 = 0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 16$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{16} = 4$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ને સ્પર્શે તે માટેની શરત $c^2 = r^2(1 + m^2)$ છે.
અહીં,$m = \sqrt{3}$,$c = k$,અને $r = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $k^2 = 4^2(1 + (\sqrt{3})^2)$ મળે છે.
$k^2 = 16(1 + 3) = 16 \times 4 = 64$.
તેથી,$k = \pm 8$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 36$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $a = 6$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m = \tan(45^\circ) = 1$ થાય.
$m$ ઢાળવાળા $x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2}$ છે.
$m = 1$ અને $a = 6$ મૂકતા:
$y = 1(x) \pm 6\sqrt{1 + (1)^2}$
$y = x \pm 6\sqrt{2}$.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ હંમેશા કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબ કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને બિંદુ $P = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 1$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 22x - 4y + 25 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(11, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 10$ છે.
રેખા $5x + 12y + 8 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $12x - 5y + k = 0$ થાય.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવાથી,$\frac{|12(11) - 5(2) + k|}{13} = 10$.
$|122 + k| = 130$
તેથી $k = 8$ અથવા $k = -252$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $12x - 5y + 8 = 0$ અને $12x - 5y - 252 = 0$ છે.

(D) રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે જો કેન્દ્રમાંથી રેખા પરના લંબનું અંતર એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
અહીં કેન્દ્ર $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ છે અને ત્રિજ્યા $a$ છે.
લંબ અંતરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\left| \frac{a \cos^2 \alpha + a \sin^2 \alpha - p}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} \right| = a$
$|a - p| = a$
તેથી,$p = 0$ અથવા $p = 2a$.

(C) રેખા $lx + my + n = 0$ એ વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત એ છે કે કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખાનું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|lh + mk + n|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$
$d = a$ લેતા:
$a = \frac{|lh + mk + n|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$a^2 = \frac{(lh + mk + n)^2}{l^2 + m^2}$
તેથી:
$(lh + mk + n)^2 = a^2(l^2 + m^2)$

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(a, b)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $(a, b)$ થી રેખા $(x - a)\cos \alpha + (y - b)\sin \alpha - r = 0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|(a - a)\cos \alpha + (b - b)\sin \alpha - r|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}}$
$d = \frac{|0 + 0 - r|}{\sqrt{1}} = |-r| = r$.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવાથી $(d = r)$,આ રેખા $\alpha$ ના તમામ મૂલ્યો માટે વર્તુળનો સ્પર્શક છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બિંદુ $(0, 0)$ છે,તેથી $S_1 = 0^2 + 0^2 - 2r(0) - 2h(0) + h^2 = h^2$.
$(0, 0)$ પર સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x(0) + y(0) - r(x + 0) - h(y + 0) + h^2 = 0$ છે,જે $T = -rx - hy + h^2$ તરીકે સરળ બને છે.
$SS_1 = T^2$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$h^2(x^2 + y^2 - 2rx - 2hy + h^2) = (-rx - hy + h^2)^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$h^2x^2 + h^2y^2 - 2rh^2x - 2h^3y + h^4 = r^2x^2 + h^2y^2 + h^4 + 2rhxy - 2rh^2x - 2h^3y$.
સમાન પદો $h^2y^2, h^4, -2rh^2x, -2h^3y$ ને દૂર કરતા:
$h^2x^2 = r^2x^2 + 2rhxy$.
$(h^2 - r^2)x^2 - 2rhxy = 0$.
$x((h^2 - r^2)x - 2rhy) = 0$.
આમ,સમીકરણો $x = 0$ અને $(h^2 - r^2)x - 2rhy = 0$ છે.

(A) રેખા $\sqrt{3}x + y + 3 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\sqrt{3}x + y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|\sqrt{3}(0) + 1(0) + k|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = a$
$\frac{|k|}{\sqrt{3 + 1}} = a$
$\frac{|k|}{2} = a$
$|k| = 2a$
$k = \pm 2a$
તેથી,જરૂરી સમીકરણ $\sqrt{3}x + y \pm 2a = 0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 169$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 13$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
બિંદુ $(5, 12)$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x + 12y = 169$ છે. તેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{5}{12}$ છે.
બિંદુ $(12, -5)$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $12x - 5y = 169$ છે. તેનો ઢાળ $m_2 = \frac{12}{5}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-\frac{5}{12}) \times (\frac{12}{5}) = -1$ હોવાથી,સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{9} = 3$ છે.
રેખા $x = k$ વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x - k = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતર $d = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |k|$ છે.
$d = r$ લેતા,$|k| = 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $k = 3$ અથવા $k = -3$.
તેથી,$k$ ની સાચી કિંમત $3$ અથવા $-3$ છે.

(B) આપેલ રેખા $y \cos \alpha = x \sin \alpha + a \cos \alpha$ છે.
$\cos \alpha$ વડે ભાગતા,$y = x \tan \alpha + a$ મળે.
આ રેખા $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = \tan \alpha$ અને $c = a$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2(1 + m^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a^2 = a^2(1 + \tan^2 \alpha)$ મળે.
$a^2 \neq 0$ હોવાથી,$1 = 1 + \tan^2 \alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 \alpha = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x \sin \alpha - y \cos \alpha + a \cos \alpha = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોય:
$\frac{|0 - 0 + a \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}} = a$
$|a \cos \alpha| = a$
$|\cos \alpha| = 1$
$\cos^2 \alpha = 1$.

(A) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $C$ એ બહારનું બિંદુ છે. ધારો કે $CA$ અને $CB$ એ $C$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા બે સ્પર્શકો છે જે અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
$\triangle OAC$ અને $\triangle OBC$ માં:
$1$. $OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$2$. $OC = OC$ (સામાન્ય બાજુ)
$3$. $\angle OAC = \angle OBC = 90^o$ (સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે)
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle OAC \cong \triangle OBC$.
તેથી,$CPCT$ દ્વારા,$CA = CB$.
આમ,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા બે સ્પર્શકો હંમેશા લંબાઈમાં સમાન હોય છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 8x - 2y + 12 = 0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 1)$ છે.
$y = -1$ મૂકતા:
$x^2 + (-1)^2 - 8x - 2(-1) + 12 = 0$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
$(x - 3)(x - 5) = 0$
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = 5$. બિંદુઓ $(3, -1)$ અને $(5, -1)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ હંમેશા કેન્દ્ર $(4, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $(3, -1)$ માટે,અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{1 - (-1)}{4 - 3} = 2$ છે.
સમીકરણ: $y + 1 = 2(x - 3) \Rightarrow 2x - y - 7 = 0$.
બિંદુ $(5, -1)$ માટે,અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{1 - (-1)}{4 - 5} = -2$ છે.
સમીકરણ: $y + 1 = -2(x - 5) \Rightarrow 2x + y - 9 = 0$.

(A) સ્પર્શક બિંદુ રેખા અને વર્તુળ બંનેના સમીકરણોનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
વિકલ્પ $A$: $(1, -2)$ તપાસતા:
રેખા માટે: $1 - (-2) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
વર્તુળ માટે: $(1)^2 + (-2)^2 - 4(1) + 6(-2) + 11 = 1 + 4 - 4 - 12 + 11 = 0$. (સમાધાન થાય છે)
આમ,બિંદુ $(1, -2)$ એ સ્પર્શક બિંદુ છે.

(B) કોઈપણ રેખા વર્તુળનો અભિલંબ ત્યારે જ કહેવાય જો તે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય.
આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, b)$ છે અને રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
કેન્દ્રના યામ $(a, b)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$b = m(a) + c$
$b = ma + c$

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 39 = 0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-2, -3)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબ બિંદુ $(2, 3)$ અને કેન્દ્ર $(-2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = \frac{3 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{3}{2}(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 2y = 0$ થાય છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = \frac{2y}{3}$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$13y^2 + 78y - 351 = 0$
$y^2 + 6y - 27 = 0$
$(y - 3)(y + 9) = 0$,તેથી $y = 3$ અથવા $y = -9$.
જો $y = -9$ હોય,તો $x = -6$ મળે.
આમ,બીજું બિંદુ $(-6, -9)$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 0)$ છે.
રેખા $x + 2y = 3$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x + 2y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $(1, 0)$ બિંદુ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $1 + 2(0) + \lambda = 0$,એટલે કે $\lambda = -1$.
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $x + 2y - 1 = 0$ છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
અહીં,$x_1 = \frac{ab^2}{a^2 + b^2}$,$y_1 = \frac{a^2b}{a^2 + b^2}$,અને $r^2 = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x \left( \frac{ab^2}{a^2 + b^2} \right) + y \left( \frac{a^2b}{a^2 + b^2} \right) = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$
બંને બાજુ $\frac{ab}{a^2 + b^2}$ વડે ભાગતા:
$xb + ya = ab$
$ab$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ છે,જેને $mx - y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(4, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(4, -5)$ થી રેખા $mx - y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|m(4) - (-5)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 5$.
$|4m + 5| = 5\sqrt{m^2 + 1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4m + 5)^2 = 25(m^2 + 1)$.
$16m^2 + 40m + 25 = 25m^2 + 25$.
$9m^2 - 40m = 0$.
$m(9m - 40) = 0$.
આમ,$m = 0$ અથવા $m = \frac{40}{9}$.

(A) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $S S_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = {x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c$,$S_1 = c$,અને $T = gx + fy + c$ છે.
તેથી,$c({x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c) = (gx + fy + c)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $c{x^2} + c{y^2} + 2gcx + 2fcy + {c^2} = {g^2}{x^2} + {f^2}{y^2} + {c^2} + 2gfxy + 2gcx + 2fcy$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$(c - {g^2}){x^2} - 2gfxy + (c - {f^2}){y^2} = 0$ મળે છે.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,${x^2}$ અને ${y^2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
તેથી,$(c - {g^2}) + (c - {f^2}) = 0$.
આમ,${g^2} + {f^2} = 2c$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ $S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
સ્પર્શકો $OP$ અને $OQ$ ઉગમબિંદુથી દોરવામાં આવ્યા છે.
સ્પર્શબિંદુઓ $P$ અને $Q$ વર્તુળ પર છે અને રેખા $PQ$ એ સ્પર્શકની જીવા છે.
સ્પર્શકની જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $T = 0$ એટલે કે $gx + fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ $S=0$ અને રેખા $PQ=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda(gx + fy + c) = 0$ છે.
આ વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c + \lambda(c) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ મૂકતા,$O, P, Q$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + gx + fy = 0$ મળે છે.
$\triangle OPQ$ નું પરિકેન્દ્ર આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે,જે $\left(-\frac{g}{2}, -\frac{f}{2}\right)$ છે.
આ કિંમત આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(C) સ્પર્શબિંદુ શોધવા માટે,રેખા $x = 0$ નું સમીકરણ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$ ના સમીકરણમાં મૂકો.
$x = 0$ મૂકતા આપણને મળે છે:
$(0)^2 + y^2 - 2(0) - 6y + 9 = 0$
$y^2 - 6y + 9 = 0$
જેને $(y - 3)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $y = 3$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(0, 3)$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - 4y = 0$ છે.
તેને ${x^2} + {(y - 2)^2} = 4$ તરીકે લખતા,કેન્દ્ર $(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ મળે છે.
રેખા $mx - y + c = 0$ વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 2)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(0) - 2 + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$|c - 2| = 2\sqrt{1 + m^2}$
$c - 2 = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$
$c = 2 \pm 2\sqrt{1 + m^2} = 2(1 \pm \sqrt{1 + m^2})$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે. સ્પર્શકનું બિંદુ $P(1, \sqrt{3})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = 4$ છે.
આ સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(4, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x$ છે,જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ અને $A(4, 0)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + 0 + 4(-\sqrt{3})| = 2\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) રેખાનું સમીકરણ $x - y + a\sqrt{2} = 0$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ આગળ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $hx + ky = a^2$ છે.
આપેલ રેખા $x - y = -a\sqrt{2}$ ને $hx + ky = a^2$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{h}{1} = \frac{k}{-1} = \frac{a^2}{-a\sqrt{2}}$.
આથી,$h = -\frac{a}{\sqrt{2}}$ અને $k = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $\left( -\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ ના બિંદુ $(1, -2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ મુજબ $x(1) + y(-2) = 5$ એટલે કે $x - 2y = 5$ થાય છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી જે બિંદુ $x - 2y = 5$ નું સમાધાન કરે તે સ્પર્શબિંદુ છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$(3, -1)$ લેતા: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$.
આમ,સાચો જવાબ $(3, -1)$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x - 6y - 10 = 0$ છે. સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -\frac{3}{2}$ અને $f = -3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\frac{3}{2}, 3)$ છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળનો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 3)$ અને બિંદુ $(-3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{4 - 3}{-3 - \frac{3}{2}} = \frac{1}{-\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ છે.
બિંદુ $(-3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી અભિલંબ રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - 4 = -\frac{2}{9}(x + 3)$
$9(y - 4) = -2(x + 3)$
$9y - 36 = -2x - 6$
$2x + 9y - 30 = 0$.

(C) રેખા $y = x + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ને બે સંપાતી બિંદુઓમાં છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = r^2(1 + m^2)$ છે.
અહીં,$m = 1$ અને $r^2 = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $c^2 = 1(1 + 1^2) = 2$ મળે છે.
તેથી,$c = \pm \sqrt{2}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે,જે $x^2 + y^2 = a^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 5$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c = \pm a\sqrt{1 + m^2}$ છે.
$a = 5$ મૂકતા,આપણને $c = \pm 5\sqrt{1 + m^2}$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm 5\sqrt{1 + m^2}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી રેખા $y = mx + 5\sqrt{1 + m^2}$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $ax^2 + ay^2 = r^2$ છે.
$a$ વડે ભાગતા,આપણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $x^2 + y^2 - \frac{r^2}{a} = 0$.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $S_1 = \alpha^2 + \beta^2 + 2g\alpha + 2f\beta + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણા સમીકરણમાંથી કિંમતો મૂકતા,આપણને $S_1 = \alpha^2 + \beta^2 - \frac{r^2}{a}$ મળે છે.

(C) વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપેલ અભિલંબનું સમીકરણ $y - x + 3 = 0$ છે.
વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ માટે,કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વિકલ્પ $(c)$ માટે,વર્તુળ $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ ને અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 - 3 + 3 = 0$.
આમ,કેન્દ્ર અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c' = 0$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c' = 0$ છે.
આપેલ વર્તુળને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$g = -1$,$f = -2$,અને $c' = 3$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 3)$ ને સ્પર્શકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$x(2) + y(3) - 1(x + 2) - 2(y + 3) + 3 = 0$
$2x + 3y - x - 2 - 2y - 6 + 3 = 0$
$x + y - 5 = 0$
તેને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$y = -x + 5$
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$c = 5$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S_1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $S_1$ એ બિંદુ $P$ ના યામોને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકવાથી મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ છે.

(C) $x^2 + y^2 = r^2$ વર્તુળના $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બિંદુ $(a, b)$ આપેલ હોવાથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $ax + by = r^2$ થશે.
આને $ax + by - r^2 = 0$ સ્વરૂપમાં લખતા,આપેલ સમીકરણ $ax + by - \lambda = 0$ સાથે સરખાવતા,
તેથી,$\lambda = r^2$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-6, 8)$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $OC$ એ $(0, 0)$ અને $(-6, 8)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
ત્રિજ્યા $OC$ નો ઢાળ $m_{radius} = \frac{8 - 0}{-6 - 0} = -\frac{4}{3}$ છે.
ઉગમબિંદુ આગળનો સ્પર્શક ત્રિજ્યા $OC$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = \frac{3}{4}$ થાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $\frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \frac{3}{4}x$ એટલે કે $3x - 4y = 0$ થાય.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ એ $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. ઉગમબિંદુથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $OA = \sqrt{S_1}$ છે,જ્યાં $S_1$ એ $(0, 0)$ આગળ વર્તુળના સમીકરણની કિંમત છે.
આમ,$OA = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2g(0) + 2f(0) + c} = \sqrt{c}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OAC$ માં,$\angle OAC = 90^\circ$ છે કારણ કે સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
$\Delta OAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c}$.
ચતુષ્કોણ $OACB$ એ બે એકરૂપ ત્રિકોણ $\Delta OAC$ અને $\Delta OBC$ થી બનેલો છે.
તેથી,ચતુષ્કોણ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{Area}(\Delta OAC) = 2 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{c(g^2 + f^2 - c)}$.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પરના બિંદુ $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(a \cos \alpha) + y(a \sin \alpha) = a^2$ છે.
આ સમીકરણને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા,$y = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} x + \frac{a}{\sin \alpha}$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = - \cot \alpha$ થાય.

(C) $(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + \lambda x - a^2 = 0$ સ્વરૂપનું છે.
આ વર્તુળ $mx - y + c = 0$ રેખાને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(-\lambda/2, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\lambda/2)^2 + a^2}$ જેટલું છે.
તેથી,$\frac{|m(-\lambda/2) - 0 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{\lambda^2}{4} + a^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(c - m\lambda/2)^2}{m^2 + 1} = \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.
$(c - m\lambda/2)^2 = (m^2 + 1)(\frac{\lambda^2}{4} + a^2)$.
$c^2 - mc\lambda + \frac{m^2\lambda^2}{4} = \frac{m^2\lambda^2}{4} + m^2a^2 + \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.
$\frac{\lambda^2}{4} + mc\lambda + (a^2(m^2 + 1) - c^2) = 0$.
આ $\lambda$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ પરિમાણોવાળા બે વર્તુળો આપે છે. આ વર્તુળો લંબકોણીય હોય તે માટે,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
અહીં,$g_1 = \lambda_1/2, g_2 = \lambda_2/2, f_1 = 0, f_2 = 0, c_1 = -a^2, c_2 = -a^2$.
તેથી,$2(\frac{\lambda_1}{2})(\frac{\lambda_2}{2}) = -a^2 - a^2$ $\Rightarrow \frac{\lambda_1\lambda_2}{2} = -2a^2$ $\Rightarrow \lambda_1\lambda_2 = -4a^2$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો ગુણાકાર $\lambda_1\lambda_2 = 4(a^2(m^2 + 1) - c^2)$.
બંનેને સરખાવતા: $4(a^2(m^2 + 1) - c^2) = -4a^2$.
$a^2(m^2 + 1) - c^2 = -a^2$.
$c^2 = a^2(m^2 + 1 + 1) = a^2(m^2 + 2)$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(-2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
ધન અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = a$ $(a > 0)$ છે.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $\left| \frac{-2 + 2 - a}{\sqrt{2}} \right| = 2$.
$|-a| = 2\sqrt{2}$,તેથી $a = 2\sqrt{2}$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + y = 2\sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે $P = (\alpha, \beta)$ એ બહારનું બિંદુ છે અને $C$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. ધારો કે $P$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો વર્તુળને $T_1$ અને $T_2$ માં સ્પર્શે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PT_1C$ માં,ખૂણો $\angle CPT_1 = \theta$ છે (જ્યાં $2\theta$ એ સ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો છે).
આપણી પાસે $CT_1 = a$ (ત્રિજ્યા) અને $PT_1 = \sqrt{OP^2 - CT_1^2} = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{CT_1}{PT_1} = \frac{a}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}}\right)$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $2\theta = 2\tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}}\right)$ થાય.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ છે. કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
$3x - 4y - 1 = 0$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $4x + 3y + k = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|4(1) + 3(2) + k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 3 \implies |10 + k| = 15$.
તેથી $k = 5$ અથવા $k = -25$.
આમ,સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x + 3y - 25 = 0$ છે.

(B) ધારો કે સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 1$ છે. આ રેખા દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1 y_1| = a^2$ છે,તેથી $|x_1 y_1| = 2a^2$.
રેખાનું સમીકરણ $y_1 x + x_1 y - x_1 y_1 = 0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $a$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|-x_1 y_1|}{\sqrt{y_1^2 + x_1^2}} = a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x_1^2 y_1^2}{x_1^2 + y_1^2} = a^2$
$x_1^2 y_1^2 = (2a^2)^2 = 4a^4$ મૂકતા:
$\frac{4a^4}{x_1^2 + y_1^2} = a^2 \implies x_1^2 + y_1^2 = 4a^2$.
આપણને $|x_1 y_1| = 2a^2$ અને $x_1^2 + y_1^2 = 4a^2$ મળે છે.
$(|x_1| + |y_1|)^2 = x_1^2 + y_1^2 + 2|x_1 y_1| = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 \implies |x_1| + |y_1| = 2a\sqrt{2}$.
$(|x_1| - |y_1|)^2 = x_1^2 + y_1^2 - 2|x_1 y_1| = 4a^2 - 4a^2 = 0 \implies |x_1| = |y_1|$.
આમ,$|x_1| = |y_1| = a\sqrt{2}$.
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $x \pm y = \pm a\sqrt{2}$ મળે છે.