વક્ર $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$ પરના કયા બિંદુઓ આગળ સ્પર્શકો $y$-અક્ષને સમાંતર છે?

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(2y - 4) = 2 - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(1-x)}{2(y-2)} = \frac{1-x}{y-2}$
સ્પર્શકો $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ ને મૂળ સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^{2} + (2)^{2} - 2x - 4(2) + 1 = 0$
$x^{2} + 4 - 2x - 8 + 1 = 0$
$x^{2} - 2x - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 3)(x + 1) = 0$
$x = 3$ અથવા $x = -1$
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(3, 2)$ અને $(-1, 2)$ છે.