Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Gujarati

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ (અંશમાં) કેન્દ્રિય ખૂણા ધરાવતા વર્તુળના લઘુચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l_{minor} = \frac{\theta}{360} \times 2 \pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$ છે.
વર્તુળનો કુલ પરિઘ $2 \pi r$ હોવાથી,ગુરુચાપની લંબાઈ એ કુલ પરિઘમાંથી લઘુચાપની લંબાઈ બાદ કરવાથી મળે છે.
તેથી,ગુરુચાપની લંબાઈ $l_{major} = 2 \pi r - \frac{\pi r \theta}{180}$ થાય.

(B) વર્તુળ $\odot(O, 7)$ નો પરિઘ $C = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ થાય.
અર્ધવર્તુળની લંબાઈ $\pi r = \frac{22}{7} \times 7 = 22$ થાય.
અહીં $\widehat{ABC}$ ની લંબાઈ $14$ આપેલી છે,અને $14 < 22$ હોવાથી,ચાપ $\widehat{ABC}$ એ અર્ધવર્તુળ કરતા નાની છે.
તેથી,$\widehat{ABC}$ એ લઘુચાપ છે.

(B) વર્તુળના વૃતાંશની વ્યાખ્યા એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે તે બે ત્રિજ્યાઓ અને તેને અનુરૂપ ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો વર્તુળનો ભાગ છે.
$1$. વર્તુળનો વૃતખંડ એ જીવા અને ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ છે.
$2$. વર્તુળાકાર વલય એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$3$. પરિઘ એ વર્તુળની સીમા અથવા પરિમિતિ છે.
તેથી,એક ચાપ અને કેન્દ્રને ચાપના અંત્યબિંદુઓ સાથે જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ દ્વારા બનતી આકૃતિને વર્તુળનો વૃતાંશ કહેવામાં આવે છે.

(C) $1$. વર્તુળને $\odot(O, r)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $O$ કેન્દ્ર છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે.
$2$. બિંદુઓ $A$ અને $B$ વર્તુળ પર છે. રેખાખંડ $\overline{AB}$ એ વર્તુળની જીવા છે.
$3$. ચાપ $\widehat{ACB}$ એ બિંદુ $C$ માંથી પસાર થતી $A$ અને $B$ ને જોડતી ચાપ છે. કારણ કે $C$ એ $\angle AOB$ ના અંદરના ભાગમાં છે,તેથી $\widehat{ACB}$ એ લઘુ ચાપ દર્શાવે છે.
$4$. જીવા $\overline{AB}$ અને લઘુ ચાપ $\widehat{ACB}$ નો યોગગણ એ વર્તુળના લઘુ વૃત્તખંડ તરીકે ઓળખાતો પ્રદેશ બનાવે છે.
$5$. તેથી,$\overline{AB} \cup \widehat{ACB}$ એ લઘુ વૃત્તખંડ છે.

(B) વર્તુળની જીવા એ એક રેખાખંડ છે જેના અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે.
ચાપ એ વર્તુળના પરિઘનો એક ભાગ છે.
જીવા અને તેના અનુરૂપ ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશને વર્તુળનો વૃતખંડ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જીવા અને તેના અનુરૂપ ચાપનો યોગ એ વૃતખંડ છે.

(D) વર્તુળાકાર મેદાન માટે,વ્યાસ $d = 105 \, m$ છે.
વાડની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર મેદાનના પરિઘ જેટલી હોય છે.
પરિઘ $= \pi d = \frac{22}{7} \times 105$.
$= 22 \times 15 = 330 \, m$.
તેથી,વાડની લંબાઈ $330 \, m$ છે.

(C) વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે.
અહીં આપેલ ક્ષેત્રફળ $A = 154\,cm^{2}$ છે અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$154 = \frac{22}{7} \times r^{2}$
$r^{2} = 154 \times \frac{7}{22}$
$r^{2} = 7 \times 7 = 49$
$r = \sqrt{49} = 7\,cm$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2 \times r$ થાય.
તેથી,$d = 2 \times 7 = 14\,cm$.

(B) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે,જ્યાં $C$ એ પરિઘ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં $C = 176\,cm$ આપેલ છે અને $\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$176 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$
$r$ શોધવા માટે,સમીકરણને નીચે મુજબ ગોઠવતા:
$r = \frac{176 \times 7}{2 \times 22}$
$r = \frac{176 \times 7}{44}$
$r = 4 \times 7$
$r = 28\,cm$
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $28\,cm$ છે.

(D) અર્ધવર્તુળાકાર બગીચાની પરિમિતિ એ તેની અર્ધ-પરિઘ અને તેના વ્યાસનો સરવાળો છે.
પરિમિતિ $= \pi r + 2r$
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 35 \, m$.
પરિમિતિ $= \frac{22}{7} \times 35 + 2 \times 35$
પરિમિતિ $= 22 \times 5 + 70$
પરિમિતિ $= 110 + 70$
પરિમિતિ $= 180 \, m$.
તેથી,બગીચાનો એક સંપૂર્ણ આંટો મારવા માટે $180 \, m$ અંતર કાપવું પડે.

(B) આપેલ છે કે,અર્ધવર્તુળાકાર ટેબલ-ટોપની પરિમિતિ $3.60 \, m$ છે.
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $3.60 \, m = 360 \, cm$.
અર્ધવર્તુળની પરિમિતિનું સૂત્ર: $P = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$360 = r \left( \frac{22}{7} + 2 \right)$
$360 = r \left( \frac{22 + 14}{7} \right)$
$360 = r \left( \frac{36}{7} \right)$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = 360 \times \frac{7}{36}$
$r = 10 \times 7$
$r = 70 \, cm$.
આમ,અર્ધવર્તુળાકાર ટેબલ-ટોપની ત્રિજ્યા $70 \, cm$ છે.

(C) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 8.4\,cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 8.4$ મળે.
$C = 2 \times 22 \times 1.2$.
$C = 44 \times 1.2 = 52.8\,cm$.

(A) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે,$A = 38.5 \, m^2$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$38.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = 38.5 \times \frac{7}{22}$
$r^2 = \frac{385}{10} \times \frac{7}{22} = \frac{77 \times 5}{2 \times 5} \times \frac{7}{22} = \frac{77 \times 7}{22 \times 2} = \frac{7 \times 7}{2 \times 2} = \frac{49}{4}$
$r = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3.5 \, m$.
વ્યાસ $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = 2r$ છે.
$d = 2 \times 3.5 = 7 \, m$.

(B) વર્તુળાકાર રીંગના આકારના રનિંગ ટ્રેક માટે,ધારો કે અંદરની ત્રિજ્યા $r_{1} \,m$ અને બહારની ત્રિજ્યા $r_{2} \,m$ છે.
પરિઘનો તફાવત $= 44 \,m$
$\therefore 2 \pi r_{2} - 2 \pi r_{1} = 44$
$\therefore 2 \pi (r_{2} - r_{1}) = 44$
$\therefore 2 \times \frac{22}{7} (r_{2} - r_{1}) = 44$
$\therefore r_{2} - r_{1} = \frac{44 \times 7}{2 \times 22}$
$\therefore r_{2} - r_{1} = 7 \,m$
$\therefore$ ટ્રેકની પહોળાઈ $= 7 \,m$.

(D) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2 \pi r$ છે.
ધારો કે બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 14 \, cm$ અને $r_2 = 10.5 \, cm$ છે.
તેમના પરિઘો વચ્ચેનો તફાવત $|2 \pi r_1 - 2 \pi r_2| = 2 \pi (r_1 - r_2)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
તફાવત $= 2 \times \frac{22}{7} \times (14 - 10.5) \, cm$.
તફાવત $= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \, cm$.
તફાવત $= 2 \times 22 \times 0.5 \, cm$.
તફાવત $= 22 \, cm$.

(C) બગીચાની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{210}{2} = 105 \,m$.
રસ્તાને બાદ કરતાં બગીચાની ત્રિજ્યા $r_1 = 105 - 7 = 98 \,m$.
વર્તુળાકાર રીંગના સ્વરૂપમાં રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ એ બહારના વર્તુળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
$= \pi(r_2^2 - r_1^2)$
$= \pi(r_2 + r_1)(r_2 - r_1)$
$= \frac{22}{7} \times (105 + 98) \times (105 - 98)$
$= \frac{22}{7} \times 203 \times 7$
$= 22 \times 203$
$= 4466 \,m^2$.

(C) એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $= 440 \, cm$.
$250$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $= 440 \times 250 \, cm$.
પૈડું પ્રતિ મિનિટ $250$ પરિભ્રમણ કરે છે,તેથી $1$ મિનિટમાં કાપેલું અંતર $= 440 \times 250 \, cm$.
$1$ કલાક ($60$ મિનિટ) માં કાપેલું અંતર $= 440 \times 250 \times 60 \, cm$.
આ અંતરને કિલોમીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગીશું ($cm$ ને $m$ માં ફેરવવા) અને ત્યારબાદ $1000$ વડે ભાગીશું ($m$ ને $km$ માં ફેરવવા):
$km$ માં અંતર $= \frac{440 \times 250 \times 60}{100 \times 1000} \, km$.
$= \frac{6,600,000}{100,000} \, km = 66 \, km$.
તેથી,ટ્રકની ઝડપ $66 \, km/h$ છે.

(B) ઘડિયાળનો મિનિટ કાંટો આપેલા સમયગાળામાં વર્તુળાકાર વૃતાંશ બનાવે છે.
ત્રિજ્યા $r = 12\,cm$ આપેલ છે.
$60$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટો એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,$5$ મિનિટમાં,કાપેલ ખૂણો $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 5 = 30^{\circ}$ થાય.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{30}{360} \times 3.14 \times 12 \times 12$.
$\text{Area} = \frac{1}{12} \times 3.14 \times 144 = 3.14 \times 12 = 37.68\,cm^2$.

(C) લઘુ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 42\,cm$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times 42 \times 42 \times \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times 42 \times 42 \times \frac{1}{3}$.
$\text{Area} = 22 \times 6 \times 14 = 1848\,cm^{2}$.

(D) લઘુ વૃત્તાંશ $OACB$ માટે,કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ અને ત્રિજ્યા $r\,cm$ છે.
લઘુ વૃત્તાંશ $OACB$ ની પરિમિતિ = બે ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો + ચાપ $\widehat{ACB}$ ની લંબાઈ.
પરિમિતિ $= 2r + \text{ચાપ } \widehat{ACB} \text{ ની લંબાઈ}$
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{\pi r \theta}{180}$ હોવાથી:
$20 = 2r + \frac{\pi r \times 90}{180}$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$20 = 2r + \frac{22}{7} \times \frac{r}{2}$
$20 = 2r + \frac{11r}{7}$
$20 = r \left( 2 + \frac{11}{7} \right)$
$20 = r \left( \frac{14 + 11}{7} \right)$
$20 = r \left( \frac{25}{7} \right)$
$r = \frac{20 \times 7}{25}$
$r = \frac{4 \times 7}{5} = \frac{28}{5} = 5.6\,cm$.

(C) આપેલ છે કે $\odot(O, 5.6)$ માં,$\overline{OA} \perp \overline{OB}$.
તેથી,$OA = OB = 5.6 \text{ cm}$ અને $m\angle AOB = 90^\circ$.
લઘુચાપ $\widehat{AB}$ દ્વારા બનતા લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
તેને અનુરૂપ લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ}) - (\Delta OAB \text{ નું ક્ષેત્રફળ})$.
તેથી,લઘુ વૃત્તાંશ અને લઘુ વૃત્તખંડના ક્ષેત્રફળનો તફાવત એ $\Delta OAB$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલો થાય.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 5.6 \times 5.6 = 15.68 \text{ cm}^2$.

(A) અહીં ત્રિજ્યાઓ $\overline{ OA }$ અને $\overline{ OB }$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થાય.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5.6 \, cm$ છે.
લઘુવૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{22}{7} \times (5.6)^2 \times \frac{90^\circ}{360^\circ}$.
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 31.36 \times \frac{1}{4}$.
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 7.84 = 22 \times 1.12 = 24.64 \, cm^2$.

(D) છત્રીને $r = 56 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતું સપાટ વર્તુળ માનવામાં આવે છે.
અહીં $8$ સમાન અંતરે આવેલા સળિયા હોવાથી,વર્તુળ $8$ સમાન વૃત્તાંશમાં વિભાજિત થાય છે.
દરેક વૃત્તાંશ માટે કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}$ થશે.
બે ક્રમિક સળિયા વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ એ એક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે,જે નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (56)^{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 56 \times 56$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{8} \times 22 \times 8 \times 56$
ક્ષેત્રફળ $= 22 \times 56 = 1232 \, cm^{2}$.

(A) વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 30\,cm$,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{60}{360} \times 3.14 \times (30)^{2}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 900$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 3.14 \times 150$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 471\,cm^{2}$.

(C) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા દર્શાવે છે,તેથી $r = 6 \, cm$.
$60 \, \text{મિનિટમાં}$,મિનિટ કાંટો $360^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$10 \, \text{મિનિટમાં}$ મિનિટ કાંટા દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 10 = 60^{\circ}$ થાય.
આવરી લેવાયેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $r = 6 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ ધરાવતા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times 6 \times 6$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 36 = 3.14 \times 6 = 18.84 \, cm^2$.

(A) લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ એ અનુરૂપ લઘુવૃત્તખંડના ક્ષેત્રફળ અને બે ત્રિજ્યાઓ તથા જીવા દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
લઘુવૃત્તાંશ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ} + \Delta OAC$ નું ક્ષેત્રફળ
લઘુવૃત્તાંશ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 14.25\,cm^2 + 25\,cm^2$
લઘુવૃત્તાંશ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 39.25\,cm^2$

(B) વર્તુળનો વ્યાસ $= 2 \times$ ત્રિજ્યા.
$= 2 \times 35 = 70 \, cm$.
ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો થાય.
તેથી,ચોરસનો વિકર્ણ $= 70 \, cm$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{(\text{વિકર્ણ})^{2}}{2}$.
$= \frac{70^{2}}{2} = \frac{4900}{2} = 2450 \, cm^{2}$.

(C) લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ એ તેના અનુરૂપ લઘુવૃત્તખંડના ક્ષેત્રફળ અને જીવા તથા વર્તુળના કેન્દ્ર દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
લઘુવૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લઘુવૃત્તખંડ } \overline{AB} \cup \widehat{ACB} \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \Delta OAB \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
આપેલ છે:
લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $= 114 \, cm^2$
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 200 \, cm^2$
તેથી,
લઘુવૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 114 \, cm^2 + 200 \, cm^2 = 314 \, cm^2$.

(C) અહીં,ત્રિજ્યા $r = 14 \, cm$ છે.
$\overline{OA} \perp \overline{OB}$ હોવાથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થાય.
લઘુવૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{4} \times 22 \times 2 \times 14$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{4} \times 616 = 154 \, cm^2$.

(C) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે.
ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે અને કેન્દ્ર આગળના ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $\theta_1 = \theta_2 = \theta$.
બે વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{9}$ આપેલ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r_1^2}{\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r_2^2} = \frac{4}{9}$ મળે.
પદને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ મળે.
તેથી,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ કેન્દ્રિય ખૂણા ધરાવતા વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે.
એક જ વર્તુળમાં $\theta_1$ અને $\theta_2$ કેન્દ્રિય ખૂણા ધરાવતા બે વૃત્તાંશ માટે,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\theta_1}{360^\circ} \times \pi r^2)}{(\frac{\theta_2}{360^\circ} \times \pi r^2)} = \frac{\theta_1}{\theta_2}$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $1:4$ છે,તેથી $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{1}{4}$.
આમ,કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) $\Delta ABC$ માં,પાયો $BC$ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ છે,તેથી પાયો $BC = 2r = 2 \times 10 = 20 \, cm$ થાય.
અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ત્રિકોણની મહત્તમ ઊંચાઈ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈ $OA = 10 \, cm$ થાય.
$\Delta ABC$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{મહત્તમ ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 \, cm^2$.

(A) જ્યારે કોઈ ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,ત્યારે ચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 10\, cm$.
વર્તુળનો વ્યાસ $= 2 \times r = 2 \times 10\, cm = 20\, cm$.
આમ,ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $20\, cm$ છે.

(C) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,$r = 10.5 \, cm = \frac{21}{2} \, cm$.
મિનિટ કાંટો $60$ મિનિટમાં $360^{\circ}$ પૂર્ણ કરે છે.
$20$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ખૂણો $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 20 = 120^{\circ}$ છે.
આવરી લેવાયેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિજ્યા $r$ અને કેન્દ્રિય ખૂણા $\theta$ વાળા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{2}\right)^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{3} \times 11 \times 3 \times \frac{21}{2} = \frac{231}{2} = 115.5 \, cm^2$.

(B) આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 3.5\,cm = \frac{7}{2}\,cm$.
બે ત્રિજ્યાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થશે.
લઘુ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times 38.5 = 9.625\,cm^2$.

(A) લઘુ વૃત્તાંશની પરિમિતિ એ બે ત્રિજ્યાઓ અને ચાપની લંબાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે.
પરિમિતિ $= 2r + l$,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે.
અહીં $r = 21 \ cm$ અને પરિમિતિ $= 64 \ cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $64 = 2(21) + l$.
$64 = 42 + l$.
$l = 64 - 42$.
$l = 22 \ cm$.
તેથી,ચાપની લંબાઈ $22 \ cm$ છે.

(D) લઘુ વૃત્તાંશની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 2r + l$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે.
અહીં $r = 7 \, cm$ અને $P = \frac{86}{3} \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{86}{3} = 2(7) + l$.
$\frac{86}{3} = 14 + l \implies l = \frac{86}{3} - 14 = \frac{86 - 42}{3} = \frac{44}{3} \, cm$.
લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r l$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = \frac{1}{2} \times 7 \times \frac{44}{3} = \frac{154}{3} \, cm^2$.

(C) જ્યારે ત્રિજ્યા $r$ અને ચાપની લંબાઈ $l$ આપેલી હોય ત્યારે વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r \times l$ છે.
અહીં આપેલ છે: $r = 6 \, cm$ અને $l = 12 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36 \, cm^2$.

(A) વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું સૂત્ર ત્રિજ્યા $(r)$ અને ચાપની લંબાઈ $(l)$ ના સંદર્ભમાં $A = \frac{1}{2} \times r \times l$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 10\,cm$ અને ક્ષેત્રફળ $A = 40\,cm^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$40 = \frac{1}{2} \times 10 \times l$
$40 = 5 \times l$
$l = \frac{40}{5}$
$l = 8\,cm$.
આમ,ચાપની લંબાઈ $8\,cm$ છે.

(B) જ્યારે ત્રિજ્યા $r$ અને ચાપની લંબાઈ $l$ આપેલી હોય ત્યારે વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times r \times l$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 12\,cm$ અને ચાપની લંબાઈ $l = 12\,cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 12\,cm \times 12\,cm = 6 \times 12\,cm^{2} = 72\,cm^{2}$.

(D) વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
$\odot(O, 6)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_1 = 6$ છે. તેથી,ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi(6)^2 = 36\pi$.
$\odot(P, 12)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_2 = 12$ છે. તેથી,ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi(12)^2 = 144\pi$.
ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{36\pi}{144\pi} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1 = 8 \, cm$ અને $r_2 = 12 \, cm$ છે.
તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{8^2}{12^2} = \frac{64}{144}$ મળે છે.
અંશ અને છેદને $16$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{64 \div 16}{144 \div 16} = \frac{4}{9}$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $4:9$ છે.

(C) $5 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું વાસ્તવિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2 = \pi(5)^2 = 25\pi \, cm^2$ છે.
$6 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi(6)^2 = 36\pi \, cm^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલો વધારો $A_2 - A_1 = 36\pi - 25\pi = 11\pi \, cm^2$ છે.
ગણતરી કરેલ ક્ષેત્રફળમાં ટકાવારી વધારો $\frac{\text{ક્ષેત્રફળમાં વધારો}}{\text{વાસ્તવિક ક્ષેત્રફળ}} \times 100 = \frac{11\pi}{25\pi} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$= \frac{11}{25} \times 100 = 11 \times 4 = 44 \%$.

(A) અહીં ત્રિજ્યા $r = 4$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે.
લઘુચાપની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times 4$
$L = \frac{1}{8} \times 8\pi$
$L = \pi$.
આમ,લઘુચાપ $\widehat{ACB}$ ની લંબાઈ $\pi$ છે.

(D) અહીં, ત્રિજ્યા $r = 6$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \pi(6) = 12 \pi$ થાય.
લઘુચાપ $\widehat{AC}$ ની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $L_{minor} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2 \pi r = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 12 \pi = \frac{1}{6} \times 12 \pi = 2 \pi$ છે.
ગુરુચાપ $\widehat{ABC}$ ની લંબાઈ એ વર્તુળના કુલ પરિઘમાંથી લઘુચાપની લંબાઈ બાદ કરવાથી મળે છે.
ગુરુચાપ $\widehat{ABC}$ ની લંબાઈ $= 12 \pi - 2 \pi = 10 \pi$.

(C) વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = 7$ ધરાવતા વર્તુળ માટે,પરિઘ $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ એકમ થાય.
વર્તુળનો અર્ધ-પરિઘ $\frac{C}{2} = \frac{44}{2} = 22$ એકમ થાય.
લઘુચાપ એટલે એવી ચાપ જેની લંબાઈ વર્તુળના અર્ધ-પરિઘ કરતા ઓછી હોય.
તેથી,લઘુચાપની લંબાઈ $22$ એકમ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $12$ એ $22$ કરતા નાની સંખ્યા છે.
આમ,$\odot(O, 7)$ ના લઘુચાપની લંબાઈ $12$ એકમ હોઈ શકે છે.

(B) ચાપની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે લઘુચાપ $\widehat{ACB}$ ની લંબાઈ $= \frac{1}{6} \times \text{પરિઘ}$.
વર્તુળનો પરિઘ $2\pi r$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{1}{6} \times 2\pi r$
બંને બાજુ $2\pi r$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{6}$
$\theta = 60^{\circ}$

(A) કેન્દ્ર આગળ $\theta$ માપનો ખૂણો આંતરતી ચાપની લંબાઈ $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ દ્વારા મળે છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ છે.
તેથી,લઘુચાપ $\widehat{ACB}$ ની લંબાઈ અને પરિઘનો ગુણોત્તર $\frac{L}{C} = \frac{(\frac{\theta}{360^{\circ}}) \times 2\pi r}{2\pi r} = \frac{\theta}{360^{\circ}}$ થાય.
અહીં $\theta = 72^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{72^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{5}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1:5$ છે.

(C) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $200 \, cm^{2}$ આપેલ છે.
લઘુ વૃત્તાંશ એ બે ત્રિજ્યાઓ અને એક ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો વર્તુળનો ભાગ છે,જેમાં કેન્દ્રિય ખૂણો $180^{\circ}$ કરતા ઓછો હોય છે.
તેથી,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળ કરતા હંમેશા ઓછું હોય છે.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{200}{2} = 100 \, cm^{2}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $75 \, cm^{2}$ એ $100 \, cm^{2}$ કરતા નાનું છે.
તેથી,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $75 \, cm^{2}$ હોઈ શકે છે.

(D) $r = 7 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ દ્વારા મળે છે.
$A = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^{2}$.
લઘુ વૃત્તાંશ એ એવો વૃત્તાંશ છે જેનો કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta < 180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ વર્તુળના અડધા ક્ષેત્રફળ (એટલે કે અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળ) કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{154}{2} = 77 \, cm^{2}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $55 \, cm^{2}$ એ $77 \, cm^{2}$ કરતા ઓછું છે.
આમ,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $55 \, cm^{2}$ હોઈ શકે છે.

(D) વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 14 \, cm$,ક્ષેત્રફળ $= 77 \, cm^2$ અને $\pi = \frac{22}{7}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
$77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 22 \times 2 \times 14$.
$77 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 616$.
$\theta = \frac{77 \times 360^\circ}{616}$.
$\theta = \frac{27720}{616} = 45^\circ$.
આમ,કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $45^\circ$ છે.