Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Gujarati

(A) વર્તુળના ભાગોની વ્યાખ્યા મુજબ:
$1.$ $\overline{OA} \cup \overline{OB} \cup \widehat{APB}$ એ બે ત્રિજ્યાઓ અને લઘુ ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ દર્શાવે છે,જે $\text{લઘુ }\ \text{વૃત્તાંશ}$ $(c)$ છે.
$2.$ $\overline{AB} \cup \widehat{AQB}$ એ જીવા અને ગુરુ ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ દર્શાવે છે,જે $\text{ગુરુ }\ \text{વૃત્તખંડ}$ $(d)$ છે.
$3.$ $\overline{AB} \cup \widehat{APB}$ એ જીવા અને લઘુ ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ દર્શાવે છે,જે $\text{લઘુ }\ \text{વૃત્તખંડ}$ $(b)$ છે.
$4.$ $\overline{OA} \cup \overline{OB} \cup \widehat{AQB}$ એ બે ત્રિજ્યાઓ અને ગુરુ ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ દર્શાવે છે,જે $\text{ગુરુ }\ \text{વૃત્તાંશ}$ $(a)$ છે.
તેથી,સાચી જોડ $(1-c), (2-d), (3-b), (4-a)$ છે.

(A) વર્તુળ $\odot(O, r)$ નું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 240 \, cm^2$ આપેલ છે.
કેન્દ્ર આગળ $\theta$ માપનો ખૂણો બનાવતા વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$ છે.
અહીં $\theta = 45^\circ$ અને $\pi r^2 = 240 \, cm^2$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
લઘુ વૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{45}{360} \times 240$
લઘુ વૃત્તાંશ $OACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{8} \times 240 = 30 \, cm^2$.
આમ,લઘુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $30 \, cm^2$ થાય.

(D) અહીં, વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 12 \text{ cm}$ અને લઘુચાપ $\widehat{ACB}$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r = 2 \times \pi \times 12 = 24\pi \text{ cm}$ થાય.
લઘુચાપ $\widehat{ACB}$ ની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $L_{\text{minor}} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ છે.
$L_{\text{minor}} = \frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times 24\pi = \frac{1}{12} \times 24\pi = 2\pi \text{ cm}$.
ગુરુચાપ $\widehat{ADB}$ ની લંબાઈ એ કુલ પરિઘમાંથી લઘુચાપની લંબાઈ બાદ કરવાથી મળે છે.
$L_{\text{major}} = 24\pi - 2\pi = 22\pi \text{ cm}$.

(D) અહીં,ત્રિજ્યા $r = 6.3\, cm$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 40^{\circ}$ છે.
લઘુવૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times (6.3)^{2} \times \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}$
$\text{Area} = \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times \frac{1}{9}$
$\text{Area} = 22 \times 0.9 \times 0.7$
$\text{Area} = 13.86\, cm^{2}$.

(A) વર્તુળના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} r l$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 10 \, cm$ અને $A = 75 \, cm^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$75 = \frac{1}{2} \times 10 \times l$
$75 = 5 \times l$
$l = \frac{75}{5}$
$l = 15 \, cm$.
આમ,ચાપની લંબાઈ $15 \, cm$ છે.

(B) ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = \frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$ છે,જ્યાં $l$ એ ચાપની લંબાઈ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,અને $\theta$ એ અંશમાં કેન્દ્રિય ખૂણો છે.
આપેલ છે: $l = 110 \,cm$ અને $\theta = 150^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$110 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 150}{180}$
$110 = \frac{22}{7} \times \frac{r \times 5}{6}$
$110 = \frac{110 \times r}{42}$
$r = \frac{110 \times 42}{110}$
$r = 42 \,cm$
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $42 \,cm$ છે.

(A) ચાપની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ છે.
અહીં, ત્રિજ્યા $r = 8 \, cm$ અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times 8$
$L = \frac{1}{8} \times 16\pi$
$L = 2\pi \, cm$.
આમ, લઘુચાપ $\widehat{ACB}$ ની લંબાઈ $2\pi \, cm$ છે.

(B) વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્ર આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરતી ચાપની લંબાઈ $L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ચાપની લંબાઈ પરિઘના આઠમા ભાગની છે:
$L = \frac{1}{8} \times 2\pi r$.
$L$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{1}{8} \times 2\pi r$.
બંને બાજુ $2\pi r$ વડે ભાગતા:
$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{1}{8}$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા:
$\theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
આમ,કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા ખૂણાનું માપ $45^\circ$ છે.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = OA = OB = 4 \, cm$ છે.
જીવા $\overline{AB}$ ની લંબાઈ $4 \, cm$ છે.
$\triangle AOB$ માં,$OA = OB = AB = 4 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\triangle AOB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બધા ખૂણાઓનું માપ $60^\circ$ હોય છે.
તેથી,$m \angle AOB = 60^\circ$.

(C) ધારો કે વર્તુળની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળનું મૂળ ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
જો ત્રિજ્યામાં $10 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r'$ નીચે મુજબ થશે:
$r' = r + 0.10r = 1.1r$.
નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ નીચે મુજબ મળે:
$A_2 = \pi (r')^2 = \pi (1.1r)^2 = \pi (1.21r^2) = 1.21 \pi r^2$.
તેથી,નવા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $1.21 \pi r^2$ થશે.

(C) ધારો કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ છે.
અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ત્રિકોણ માટે,ત્રિકોણનો પાયો એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $d = 2r = 2 \times 10 = 20 \, cm$ થાય.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ વ્યાસથી પરિઘ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે શિરોબિંદુ ચાપના મધ્યબિંદુ પર હોય,જેથી ઊંચાઈ ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ જેટલી થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 \, cm^2$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $100 \, cm^2$ છે.

(A) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,$r = 14 \, cm$.
જ્યારે મિનિટ કાંટો $1$ થી $10$ પર જાય છે,ત્યારે તે ઘડિયાળના ડાયલના $12$ માંથી $9$ કાપા જેટલું અંતર કાપે છે.
મિનિટ કાંટા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો $\theta = \frac{9}{12} \times 360^\circ = \frac{3}{4} \times 360^\circ = 270^\circ$ છે.
મિનિટ કાંટા દ્વારા આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ એ $\theta = 270^\circ$ ખૂણાવાળા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{270}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{3}{4} \times 22 \times 2 \times 14$.
ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 11 \times 14 = 462 \, cm^2$.

(C) ચાપની લંબાઈ $L$ શોધવાનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો ખૂણો છે અને $2\pi r$ એ વર્તુળનો પરિઘ છે.
આપેલ છે કે લઘુચાપ $\widehat{AB}$ ની લંબાઈ પરિઘના $\frac{1}{4}$ ભાગની છે,તેથી:
$L = \frac{1}{4} \times (2\pi r)$
$L$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{1}{4} \times 2\pi r$
બંને બાજુ $2\pi r$ વડે ભાગતા:
$\frac{\theta}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$
$\theta = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$
આમ,લઘુચાપ $\widehat{AB}$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = 38.5\, m^2$ છે.
વર્તુળના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
$\pi = \frac{22}{7}$ ની કિંમત મૂકતા:
$38.5 = \frac{22}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{38.5 \times 7}{22}$
$r^2 = \frac{269.5}{22} = 12.25$
$r = \sqrt{12.25} = 3.5\, m$.
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5$
$C = 2 \times 22 \times 0.5 = 22\, m$.
આમ,વર્તુળનો પરિઘ $22\, m$ છે.

(A) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$1.$ લઘુચાપની લંબાઈ $(l)$ શોધવાનું સૂત્ર $l = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$ છે. તેથી,$1$ એ $c$ સાથે જોડાય છે.
$2.$ લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$ છે. તેથી,$2$ એ $d$ સાથે જોડાય છે.
$3.$ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^{2}$ છે. તેથી,$3$ એ $b$ સાથે જોડાય છે.
$4.$ વર્તુળનો પરિઘ $(C)$ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે. તેથી,$4$ એ $a$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-c), (2-d), (3-b), (4-a)$ છે.