मान लीजिए कि f और g अंतराल I पर अवकलनीय हैं औ | vedclass

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Question

(A, C) फलन $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ पर विचार करें।चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $I$ पर अवकलनीय है।दिया गया है कि $f(a) = 0$

Vedclass · Accepted Answer

यदि $g(a)=0=g(b)$ है,तो समीकरण $g^{\prime}(x)+k g(x)=0$ को $(a, b)$ में हल किया जा सकता है,$k \in R$।

Vedclass · Answer

(A, C) फलन $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ पर विचार करें।चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं,इसलिए $h(x)$ भी $I$ पर अवकलनीय है।दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$,इसलिए $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ और $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ है।रोल के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $h^{\prime}(c) = 0$ हो।$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$।चूंकि $e^{g(x)} 
eq 0$,इसलिए $h^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$ है।अतः,विकल्प $(a)$ सही है।इसी प्रकार,विकल्प $(c)$ के लिए,$m(x) = e^{kx} g(x)$ पर विचार करें।चूंकि $g(a) = 0$ और $g(b) = 0$,इसलिए $m(a) = 0$ और $m(b) = 0$ है।रोल के प्रमेय के अनुसार,$(a, b)$ में $c$ ऐसा विद्यमान है कि $m^{\prime}(c) = 0$ हो।$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$।चूंकि $e^{kx} 
eq 0$,इसलिए $m^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$ है।अतः,विकल्प $(c)$ भी सही है।

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं और $a, b \in I, a < b$ है। तो,

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