समाकलन int_{-pi / 4}^{pi / 4} (lambda|sin x| | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\lambda|\sin x| + \frac{\mu \sin x}{1+\cos x} + \gamma) \, dx$. हम समाकलन को तीन भागों में विभाजित कर सकते हैं: $

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केवल $\mu$ से स्वतंत्र है

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\lambda|\sin x| + \frac{\mu \sin x}{1+\cos x} + \gamma) \, dx$. हम समाकलन को तीन भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \mu \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$. दूसरे समाकलन $J = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx$ पर विचार करें। माना $f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}$. तब $f(-x) = \frac{\sin(-x)}{1+\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{1+\cos x} = -f(x)$. चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\pi/4, \pi/4]$ $0$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए समाकलन $J = 0$ होगा। अतः,$I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$. चूंकि $\mu$ वाला पद शून्य हो जाता है,इसलिए समाकलन का मान $\mu$ से स्वतंत्र है।

समाकलन $\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} (\lambda|\sin x| + \frac{\mu \sin x}{1+\cos x} + \gamma) \, dx$ का मान

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