अवकल समीकरण left(1+e^{frac{x}{y}}right) dx + | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\fr

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$x+y e^{\frac{x}{y}}=C$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{-e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}{1+e^{\frac{x}{y}}}$ ...$(i)$ यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $x = vy$,तब $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$ ...(ii) (ii) को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v(1-v)}{1+e^v}$ $y \frac{dv}{dy} = \frac{-e^v + ve^v}{1+e^v} - v = \frac{-e^v + ve^v - v - ve^v}{1+e^v} = \frac{-(e^v + v)}{1+e^v}$ चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\frac{dy}{y}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} dv = -\int \frac{dy}{y}$ माना $v+e^v = t$,तब $(1+e^v) dv = dt$। अतः,$\ln|t| = -\ln|y| + \ln|C|$ $\ln|v+e^v| + \ln|y| = \ln|C| \Rightarrow y(v+e^v) = C$ $v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $y(\frac{x}{y} + e^{\frac{x}{y}}) = C \Rightarrow x + ye^{\frac{x}{y}} = C$

अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx + \left(1-\frac{x}{y}\right) e^{\frac{x}{y}} dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए ($C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

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$\frac{dx}{dy} = h\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप वाले एक समघातीय अवकल समीकरण को किस प्रतिस्थापन (substitution) द्वारा हल किया जा सकता है?

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