एक अतिपरवलय (hyperbola) के संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) की लंबाई उसके अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) की लंबाई से अधिक है। तो,उत्केंद्रता (eccentricity) $e$ है

मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब,अतिपरवलय के केंद्र पर $\frac{\pi}{3}$ का कोण अंतरित करता है। यदि $b^2 = \frac{l}{m}(1+\sqrt{n})$ है,जहाँ $l$ और $m$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,तो $l^2+m^2+n^2$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $a>0, b>0$ है। मान लीजिए $e$ और $\ell$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। मान लीजिए $e^{\prime}$ और $\ell^{\prime}$ क्रमशः इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। यदि $e^{2}=\frac{11}{14} \ell$ और $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8} \ell^{\prime}$ है,तो $77a+44b$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर खींची गई लंबवत दूरियों का गुणनफल है

वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ के भीतर उन पूर्णांक बिंदुओं $(x, y)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ से वक्र $\sqrt{(x + 5\sqrt{2})^2 + y^2} - \sqrt{(x - 5\sqrt{2})^2 + y^2} = 10$ पर केवल एक वास्तविक स्पर्शरेखा खींची जा सके (जहाँ पूर्णांक बिंदु $(x, y)$ का अर्थ है $x, y \in \mathbb{Z}$):

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0)$,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।