मान लीजिए I_{n} = int_{0}^{1} x^{n} tan^{-1} | vedclass

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Question

(D) हमारे पास $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} 	an^{-1} x \, dx$ है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I_{n} = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+

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$a_{1}, a_{2}, a_{3}$ $AP$ में हैं

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(D) हमारे पास $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} 	an^{-1} x \, dx$ है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I_{n} = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} 	an^{-1} x ight]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \, dx$ $I_{n} = \frac{\pi}{4(n+1)} - \frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{1+x^{2}} \, dx$. अब,रिडक्शन फॉर्मूला का उपयोग करने पर: $(n+3) I_{n+2} + (n+1) I_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{n+2}$. इसकी तुलना $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ से करने पर,हमें $a_{n} = n+3$ और $b_{n} = n+1$ प्राप्त होता है। चूँकि $a_{n} = n+3$,इसलिए $a_{1}=4, a_{2}=5, a_{3}=6$,जो $AP$ में हैं। चूँकि $b_{n} = n+1$,इसलिए $b_{1}=2, b_{2}=3, b_{3}=4$,जो $AP$ में हैं। अतः,$a_{n}$ और $b_{n}$ दोनों $AP$ में हैं।

मान लीजिए $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$ है। यदि सभी $n \geq 1$ के लिए $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ है,तो

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माना $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. तो $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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