माना कि संबंध R_{1},R पर a R_{1} b के रूप में | vedclass

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Question

(D) स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$ के लिए,$1 + a \cdot a = 1 + a^{2}$ है। चूँकि $a^{2} \ge 0$,इसलिए $1 + a^{2} \ge 1 > 0$ है। अतः,सभी $a \in R$ के लिए

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$R_{1}$ स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है।

Vedclass · Answer

(D) स्वतुल्यता: किसी भी $a \in R$ के लिए,$1 + a \cdot a = 1 + a^{2}$ है। चूँकि $a^{2} \ge 0$,इसलिए $1 + a^{2} \ge 1 > 0$ है। अतः,सभी $a \in R$ के लिए $(a, a) \in R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ स्वतुल्य है।सममितता: यदि $(a, b) \in R_{1}$ है,तो $1 + ab > 0$ है। चूँकि $ab = ba$,इसलिए $1 + ba > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ सममित है।संक्रामकता: $a = 1$,$b = 1/2$,और $c = -1$ लें। हमारे पास $1 + (1)(1/2) = 1.5 > 0$ है,इसलिए $(1, 1/2) \in R_{1}$ है। साथ ही,$1 + (1/2)(-1) = 0.5 > 0$ है,इसलिए $(1/2, -1) \in R_{1}$ है। हालाँकि,$1 + (1)(-1) = 0$,जो $> 0$ नहीं है। अतः,$(1, -1) 
otin R_{1}$ है। इसलिए,$R_{1}$ संक्रामक नहीं है।

माना कि संबंध $R_{1}$,$R$ पर $a R_{1} b$ के रूप में परिभाषित है यदि $1+ab > 0$ है। तो

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माना $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\}$ तथा $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$ समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ पर दो संबंध हैं। $R \circ S^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

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