एक समतल $\pi$ जो बिंदुओं $2 \hat{i}-3 \hat{j}$ और $3 \hat{i}+4 \hat{k}$ से होकर गुजरता है,सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ के समानांतर है। यदि बिंदुओं $\hat{i}+2 \hat{j}$ और $\hat{j}-2 \hat{k}$ को जोड़ने वाली रेखा समतल $\pi$ को बिंदु $a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ पर काटती है,तो $a+b+2c=$

रेखाएँ $\frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{\lambda}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$ समतलीय हैं। यदि $p$ वह समतल है जिसमें ये रेखाएँ स्थित हैं,तो $\lambda$ के सभी मानों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु समतल पर स्थित है?

मान लीजिए कि रेखाएँ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$,$\lambda \in R$ और $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$,$\mu \in R$,बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $P$ और $Q$ क्रमशः रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ और $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ है। यदि बिंदु $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में स्थित है,तो $27(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतलों $x + y + z = 1$ और $2x + 3y + 4z = 5$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $x - y + z = 0$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ समतल $x+2y+3z=15$ को बिंदु $P$ पर मिलती है,तो मूल बिंदु से $P$ की दूरी क्या है?

यदि रेखाएँ $\overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(3\hat{j} - \hat{k})$ और $\overrightarrow{r} = (\alpha\hat{i} - \hat{j}) + \mu(2\hat{i} - 3\hat{k})$ समतलीय हैं,तो इन दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल की बिंदु $(\alpha, 0, 0)$ से दूरी ज्ञात कीजिए।