TS EAMCET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $SHM$ માં ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ ના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - y^2)$
$P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $K.E. = 8 \times P.E.$
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - y^2) = 8 \times \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$
$A^2 - y^2 = 8 y^2$
$A^2 = 9 y^2$
$y = \pm \frac{A}{3}$
આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{3 \pi} \sin \left(\frac{100}{\pi} t + \frac{\pi}{4}\right)$ પરથી,કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{3 \pi}$ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $y = \frac{\sqrt{3 \pi}}{3} = \frac{\sqrt{3} \sqrt{\pi}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{\pi}{3}}$.

(C) ધાતુ માટેના લાક્ષણિક સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન વક્રમાં:
$P$ એ પ્રમાણસરતાની સીમા દર્શાવે છે.
$Q$ એ સ્થિતિસ્થાપક સીમા (અથવા યીલ્ડ પોઈન્ટ) દર્શાવે છે.
$R$ એ અલ્ટીમેટ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ (અંતિમ તણાવ ક્ષમતા) દર્શાવે છે,જે મહત્તમ પ્રતિબળ છે જે પદાર્થ નેકિંગ શરૂ થાય તે પહેલાં સહન કરી શકે છે.
$S$ એ ફ્રેક્ચર અથવા તૂટવાનું બિંદુ દર્શાવે છે.
તેથી,બિંદુ $R$ એ પદાર્થની અલ્ટીમેટ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થને અનુરૂપ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે, અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે। સરેરાશ ઝડપ એ કુલ કાપેલું અંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર હોવાથી, આપણે ધન અને ઋણ વેગના અંતરાલો માટે ક્ષેત્રફળના મૂલ્ય (magnitude) ને ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
$80 \, s$ માં કાપેલું કુલ અંતર એ બનેલા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના માનાંકનો સરવાળો છે:
$\text{અંતર } = |Area_{OAB}| + |Area_{BCD}|$
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ ($t=0$ થી $t=40 \, s$ સુધી):
$Area_{OAB} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times 10 \, m/s = 200 \, m$
ત્રિકોણ $BCD$ નું ક્ષેત્રફળ ($t=40$ થી $t=80 \, s$ સુધી):
$Area_{BCD} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times |\text{વેધ}| = \frac{1}{2} \times 40 \, s \times |-10 \, m/s| = 200 \, m$
કુલ અંતર $= 200 \, m + 200 \, m = 400 \, m$
કુલ સમય $= 80 \, s$
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{400 \, m}{80 \, s} = 5 \, m/s$

(C) આપેલ સમીકરણ $Q V = k P T L^\alpha$ છે.
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[Q] = M L^{-1} T^{-1}$
$[V] = L^3$
$[P] = M L^{-1} T^{-2}$
$[T] = T$
$[L] = L$
$k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે,તેથી $[k] = 1$.
બંને બાજુના પરિમાણોને સરખાવતા:
$[Q][V] = [k][P][T][L]^\alpha$
$(M L^{-1} T^{-1})(L^3) = (1)(M L^{-1} T^{-2})(T)(L^\alpha)$
$M L^2 T^{-1} = M L^{-1+\alpha} T^{-1}$
બંને બાજુ $L$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2 = -1 + \alpha$
$\alpha = 3$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે મેક્સવેલના સંબંધ મુજબ,પ્રકાશની ઝડપ $c$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$.
તેથી,ગુણાકાર $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ થાય.
પ્રકાશની ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે.
પરિમાણો મૂકતા,આપણને મળે છે: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [LT^{-1}]^{-2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [L^{-2} T^2]$.
દળ,લંબાઈ અને સમયના સંદર્ભમાં,આને $[M^0 L^{-2} T^2]$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ છે કે $1 \,s$ માં પ્રાપ્ત કરેલ ઊંચાઈ $h=25 \,m$ છે. ધારો કે $u$ એ ઉપરની દિશામાં પ્રારંભિક વેગ છે. ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$h=ut-\frac{1}{2}gt^2$.
$25=u(1)-\frac{1}{2}(10)(1)^2$
$25=u-5 \Rightarrow u=30 \,m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ દડાનો અંતિમ વેગ શૂન્ય થાય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $v=u-gt \Rightarrow 0=30-10t \Rightarrow t=3 \,s$ છે.
હવે,$2 \,s$ માં કાપેલું અંતર એ $2 \,s$ માં સ્થાનાંતર છે કારણ કે દડો હજુ ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે:
$d_1=u(2)-\frac{1}{2}g(2)^2 = 30(2)-5(4) = 60-20 = 40 \,m$.
$3 \,s$ માં દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ:
$H=u(3)-\frac{1}{2}g(3)^2 = 30(3)-5(9) = 90-45 = 45 \,m$.
$4 \,s$ પછીનું સ્થાનાંતર:
$S_2=u(4)-\frac{1}{2}g(4)^2 = 30(4)-5(16) = 120-80 = 40 \,m$.
દડો $t=3 \,s$ પર મહત્તમ ઊંચાઈ વટાવી ચૂક્યો હોવાથી,$4 \,s$ માં કાપેલું કુલ અંતર $d_2=H+(H-S_2) = 45+(45-40) = 50 \,m$ થશે.
ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ છે.

(B) કણનો વેગ $v(t) = 1 - 3t^2 + 2t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ એ સ્થાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,$v = \frac{dx}{dt}$.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ ને સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું સંકલન કરીને મેળવી શકાય છે:
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (1 - 3t^2 + 2t^3) \ dt$.
સંકલન કરતા:
$x(t) = t - t^3 + \frac{2t^4}{4} + C = t - t^3 + \frac{t^4}{2} + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે,$x = 0$,તેથી અચળાંક $C$ શોધવા માટે આ કિંમતો મૂકતા:
$0 = 0 - 0^3 + \frac{0^4}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,સ્થાનનું વિધેય $x(t) = t - t^3 + \frac{t^4}{2}$ છે.
$t = 2 \ s$ સમયે,સ્થાન:
$x(2) = 2 - (2)^3 + \frac{(2)^4}{2} = 2 - 8 + \frac{16}{2} = 2 - 8 + 8 = 2 \ m$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h = \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $4$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_1 = \frac{1}{2}g(4)^2 = 8g$ છે.
$12$ સેકન્ડમાં ($4$ સેકન્ડ + $8$ સેકન્ડ) કાપેલું કુલ અંતર $h_{12} = \frac{1}{2}g(12)^2 = 72g$ છે.
પછીની $8$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d_2 = h_{12} - d_1 = 72g - 8g = 64g$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{d_2}{d_1} = \frac{64g}{8g} = 8$ થાય.

(B) પ્રકૃતિમાં રહેલા મૂળભૂત બળો તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતાના ઉતરતા ક્રમમાં નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: $1$
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: $10^{-2}$
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: $10^{-13}$
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $10^{-39}$
વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(E)$ અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(W)$ ની પ્રબળતાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતાનો ભાગાકાર કરીશું:
$\frac{E}{W} = \frac{10^{-2}}{10^{-13}} = 10^{-2 - (-13)} = 10^{11}$
તેથી,ગુણોત્તર $10^{11}$ છે.

(B) આપેલ છે,$v(t) = v_0(1 - t/t_0)$ જ્યાં $v_0 = 10 \ m/s$ અને $t_0 = 10 \ s$.
વેગ $t_1$ સમયે શૂન્ય થાય છે જ્યારે $1 - t_1/t_0 = 0$,તેથી $t_1 = t_0 = 10 \ s$.
$0 \le t \le 10 \ s$ માટે,કણ ધન દિશામાં ગતિ કરે છે. સ્થાનાંતર $s_1$ વેગના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$s_1 = \int_0^{10} v_0(1 - t/t_0) dt = v_0 [t - t^2/(2t_0)]_0^{10} = 10 [10 - 100/20] = 10 [10 - 5] = 50 \ m$.
$10 \le t \le 20 \ s$ માટે,વેગ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે કણ ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે. સ્થાનાંતર $s_2$ છે:
$s_2 = \int_{10}^{20} v_0(1 - t/t_0) dt = 10 [t - t^2/20]_{10}^{20} = 10 [(20 - 400/20) - (10 - 100/20)] = 10 [(20 - 20) - (10 - 5)] = 10 [0 - 5] = -50 \ m$.
કુલ કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતરોના મૂલ્યોનો સરવાળો છે: $d = |s_1| + |s_2| = |50| + |-50| = 100 \ m$.

(B) ધારો કે પ્રથમ દડાને $t=0$ સમયે $h$ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી પાડવામાં આવે છે અને બીજા દડાને તે જ $h$ ઊંચાઈએથી $t=1 \,s$ સમયે પાડવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર પ્રથમ દડા દ્વારા કપાયેલ અંતર $H_1 = \frac{1}{2} g t^2$ છે.
બીજો દડો $t=1 \,s$ સમયે પાડવામાં આવે છે. ધારો કે બીજો દડો પાડ્યા પછીનો સમય $t_1$ છે. તેથી $t = 1 + t_1$.
સમય $t$ પર પ્રથમ દડા દ્વારા કપાયેલ અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g (1 + t_1)^2$ છે.
સમય $t_1$ પર બીજા દડા દ્વારા કપાયેલ અંતર $s_2 = \frac{1}{2} g t_1^2$ છે.
બંને દડાઓ વચ્ચેનું અંતર $s_1 - s_2 = 10 \,m$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} g (1 + t_1)^2 - \frac{1}{2} g t_1^2 = 10$.
$g = 10 \,m/s^2$ લેતા: $5(1 + 2t_1 + t_1^2) - 5t_1^2 = 10$.
$5 + 10t_1 + 5t_1^2 - 5t_1^2 = 10$.
$10t_1 = 5$.
$t_1 = 0.5 \,s$.
કુલ સમય $t = 1 + t_1 = 1 + 0.5 = 1.5 \,s$.

(B) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ અને નબળું ન્યુક્લિયર બળ.
આ પૈકી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સૌથી નબળું મૂળભૂત બળ છે,નબળું ન્યુક્લિયર બળ નહીં.
તેથી,નબળું ન્યુક્લિયર બળ સૌથી નબળું છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
સંરક્ષણના નિયમો ખરેખર પ્રકૃતિની સમપ્રમાણતા સાથે ઊંડો સંબંધ ધરાવે છે.
સંરક્ષણનો નિયમ એ અવલોકનો અને પ્રયોગો પર આધારિત એક પૂર્વધારણા છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાઓમાં,દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતા $(E = mc^2)$ જળવાય છે,જેનો અર્થ છે કે દળનું ઊર્જામાં અને ઊર્જાનું દળમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,શરૂઆતના બિંદુ '$X$' પર ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો એ શિખર '$Z$' પરની ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
$mgh + \frac{1}{2}mv^2 = mgh' + \frac{1}{2}mv'^2$
બંને બાજુ દળ $m$ વડે ભાગતા:
$gh + \frac{1}{2}v^2 = gh' + \frac{1}{2}v'^2$
$v'^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$v'^2 = 2g(h - h') + v^2$
આપેલ છે: $h = 100 \ m$,$h' = 60 \ m$,$v = 10 \ m \ s^{-1}$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v'^2 = 2 \times 10 \times (100 - 60) + (10)^2$
$v'^2 = 20 \times 40 + 100$
$v'^2 = 800 + 100 = 900$
$v' = \sqrt{900} = 30 \ m \ s^{-1}$

(A) પ્રથમ દડાને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
પ્રથમ દડો $t = 10 \ s$ પર જમીન પર અથડાય છે.
બીજો દડો $1 \ s$ પછી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તે $t_2 = 10 - 1 = 9 \ s$ સુધી ગતિમાં રહ્યો છે.
પ્રથમ દડા દ્વારા કાપેલું અંતર $s_1 = 500 \ m$ છે (કારણ કે તે જમીન પર અથડાય છે).
બીજા દડા દ્વારા $9 \ s$ માં કાપેલું અંતર $s_2 = \frac{1}{2} \times g \times t_2^2$ છે.
$s_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 9^2 = 5 \times 81 = 405 \ m$.
બંને દડાઓ વચ્ચેનું અંતર $s_1 - s_2 = 500 - 405 = 95 \ m$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રવેગ $a = 6t$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ m/s$,પ્રારંભિક સ્થાન $x_0 = 0$.
પગલું $1$: પ્રવેગનું સંકલન કરીને વેગ $v(t)$ શોધો.
$v(t) = \int a \ dt = \int 6t \ dt = 3t^2 + C$.
$t = 0$ સમયે,$v = 10 \ m/s$,તેથી $C = 10$. આમ,$v(t) = 3t^2 + 10$.
પગલું $2$: વેગનું સંકલન કરીને સ્થાન $x(t)$ શોધો.
$x(t) = \int v(t) \ dt = \int (3t^2 + 10) \ dt = t^3 + 10t + C'$.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$,તેથી $C' = 0$. આમ,$x(t) = t^3 + 10t$.
પગલું $3$: $t = 2 \ s$ સમયે અંતરની ગણતરી કરો.
$x(2) = (2)^3 + 10(2) = 8 + 20 = 28 \ m$.
કારણ કે વેગ $v(t) = 3t^2 + 10$ એ $t \ge 0$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતર જેટલું જ છે.
સાચો જવાબ $28 \ m$ છે.

(D) $1$. $t = 20 \ s$ સમયે રોકેટની ઊંચાઈની ગણતરી કરો: $h = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (20)^2 = 200 \ m$.
$2$. $t = 20 \ s$ સમયે રોકેટના વેગની ગણતરી કરો: $v = a t = 1 \times 20 = 20 \ m \ s^{-1}$.
$3$. ટુકડો અલગ થાય છે અને તે $200 \ m$ ની ઊંચાઈથી $20 \ m \ s^{-1}$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ઉપરની તરફ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરે છે.
$4$. ટુકડા માટે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$ વાપરતા,જ્યાં $s = -200 \ m$ (નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર),$u = 20 \ m \ s^{-1}$,અને $a = -g = -10 \ m \ s^{-2}$:
$-200 = 20 t - 5 t^2$
$5 t^2 - 20 t - 200 = 0$
$t^2 - 4 t - 40 = 0$.
$5$. દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $t$ શોધો:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{176}}{2} = 2 \pm 6.63$.
$6$. સમય ધન હોવો જોઈએ,તેથી $t \approx 8.63 \ s$.

(B) ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા. બંને કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u = 0)$,તેથી સમય $t$ પછી તેમનો વેગ:
$v_1 = a_1 t$ અને $v_2 = a_2 t$
તેમની બાદબાકી કરતા: $(v_1 - v_2) = (a_1 - a_2)t \dots (1)$
ગતિના બીજા સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા. તેમની વચ્ચેનું અંતર:
$s_1 - s_2 = \frac{1}{2}a_1 t^2 - \frac{1}{2}a_2 t^2 = \frac{1}{2}(a_1 - a_2)t^2$
અહીં $s_1 - s_2 = 50 \ m$ અને $(a_1 - a_2) = 4 \ m \ s^{-2}$ આપેલ છે,તેથી:
$50 = \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 \Rightarrow 50 = 2t^2 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5 \ s$
$t = 5 \ s$ અને $(a_1 - a_2) = 4 \ m \ s^{-2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(v_1 - v_2) = 4 \times 5 = 20 \ m \ s^{-1}$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ $u \cos \theta$ હોય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રારંભિક ઝડપ એ મહત્તમ ઊંચાઈએ રહેલી ઝડપ કરતાં બમણી છે:
$u = 2(u \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \theta = 60^{\circ}$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{R}{H}$:
$\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin(2\theta)}{\sin^2 \theta} = \frac{4 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\frac{R}{H} = 4 \cot(60^{\circ}) = 4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે ટ્રેકનું કુલ અંતર $2d$ છે.
પ્રથમ અડધું અંતર $d$,$v_0 = 10 \ m \ s^{-1}$ ના વેગથી કાપવામાં આવે છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{v_0} = \frac{d}{10}$ છે.
બાકીનું અંતર $d$,$T$ સમયમાં કાપવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રથમ અડધા સમય $T/2$ માટે વેગ $v_1$ છે અને બીજા અડધા સમય $T/2$ માટે વેગ $v_2$ છે.
બીજા અડધા ભાગમાં કાપેલું અંતર $d = v_1(T/2) + v_2(T/2) = (v_1+v_2) \frac{T}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $v_1+v_2 = 20 \ m \ s^{-1}$,તેથી $d = 20 \times \frac{T}{2} = 10T$. આમ,$T = \frac{d}{10}$.
મુસાફરી માટે લાગતો કુલ સમય $t_{total} = t_1 + T = \frac{d}{10} + \frac{d}{10} = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$ છે.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \ m \ s^{-1}$ થાય.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક હંમેશા અચળ રહે છે. ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 140 \ m/s$ છે અને ખૂણો $\theta_0 = 60^{\circ}$ છે. ધારો કે $t$ સમય પછી વેગ $v$ છે અને ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક: $v_x = v_0 \cos 60^{\circ} = v \cos 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{1}{2} = v \times \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v = \frac{140}{\sqrt{3}} \ m/s$.
$t$ સમય પર શિરોલંબ ઘટક: $v_y = v_0 \sin 60^{\circ} - gt = v \sin 30^{\circ}$.
$140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10t = \frac{140}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2}$.
$70\sqrt{3} - 10t = \frac{70}{\sqrt{3}}$.
$10t = 70\sqrt{3} - \frac{70}{\sqrt{3}} = 70 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{140}{\sqrt{3}}$.
$t = \frac{14}{\sqrt{3}} \ s$.

(A) આપેલ છે કે,કાર $A$ નો વેગ $\vec{v}_A = 30 \hat{i} \text{ km/h}$ (પૂર્વ તરફ) છે.
કાર $B$ માટે,વેગ $\vec{v}_B = 30 \hat{j} \text{ km/h}$ (ઉત્તર તરફ) છે.
કાર $A$ ની સાપેક્ષે કાર $B$ નો વેગ એ સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ છે.
$\vec{v}_{BA} = 30 \hat{j} - 30 \hat{i} \text{ km/h}$.
$\vec{v}_{BA}$ નું મૂલ્ય $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(-30)^2 + (30)^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42 \text{ km/h}$ છે.
દિશા $\tan \theta = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{30}{-30} = -1$ દ્વારા મળે છે. આ ધન $x$-અક્ષ (પૂર્વ) થી $135^{\circ}$ નો ખૂણો દર્શાવે છે.
આ સદિશ બીજા ચરણમાં (ઋણ $x$,ધન $y$) હોવાથી,તે પશ્ચિમની $45^{\circ}$ ઉત્તર દિશામાં છે.

(D) માણસ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં સ્ટ્રોક મારીને નદી પાર કરે છે. જમીનની સાપેક્ષે માણસનો વેગ એ સ્થિર પાણીમાં તેના વેગ અને નદીના વેગનો સદિશ સરવાળો છે. જો કે,નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય ફક્ત તેના વેગના નદીના પ્રવાહને લંબ ઘટક પર આધાર રાખે છે.
માણસ પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરતો હોવાથી,નદીને લંબ તેનો વેગ ઘટક $v_y = 4 \ km/h$ છે.
નદીની પહોળાઈ $d = 1 \ km$ છે.
નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{d}{v_y} = \frac{1 \ km}{4 \ km/h} = 0.25 \ h$
આને મિનિટમાં ફેરવતા:
$t = 0.25 \times 60 \ min = 15 \ min$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v + 2m(0) = m v_P + 2m v_Q$
$v = v_P + 2v_Q \quad \dots(1)$
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકના સૂત્ર $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{1}{3} = \frac{v_Q - v_P}{v - 0}$
$v_Q - v_P = \frac{v}{3} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$v = v_P + 2v_Q$. આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$v_Q - v_P = \frac{v_P + 2v_Q}{3}$
$3v_Q - 3v_P = v_P + 2v_Q$
$v_Q = 4v_P$
$\frac{v_Q}{v_P} = 4$

(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = 5 \,cm$.
આવર્તકાળ,$T = 5 \,s$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{5} \,rad/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
રેખીય ઝડપ $v = \omega r = (\frac{2 \pi}{5}) \times 5 = 2 \pi \,cm/s$ છે।
કણ સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં હોવાથી,પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા મળે છે।
કિંમતો મૂકતા,$a = \frac{(2 \pi)^2}{5} = \frac{4 \pi^2}{5} = 0.8 \pi^2 \,cm/s^2$.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે:
$(a)$ કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા સ્થાનાંતરને લંબ હોવાથી,એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
$(b)$ કેન્દ્રગામી બળ એ ત્રિજ્યાવર્તી બળ છે જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
$(c)$ કોણીય વેગ $\omega$ મૂલ્ય અને દિશામાં અચળ રહે છે.
$(d)$ ઝડપ (વેગનું મૂલ્ય) અચળ હોવા છતાં,સ્પર્શકીય વેગ એ સદિશ રાશિ છે. વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા સતત બદલાતી હોવાથી,સ્પર્શકીય વેગ અચળ રહેતો નથી.
તેથી,સ્પર્શકીય વેગ અચળ છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}}$ છે.
$(A)$ રીંગ માટે,$I = MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
$(B)$ નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{Mg \sin \theta}{3.5}$.
$(C)$ નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2} = \frac{Mg \sin \theta}{3}$.
$(D)$ પોલા નળાકાર માટે,$I = MR^2$. તેથી,$f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
આમ,સાચી જોડ $A-II, B-I, C-III, D-II$ છે.

(A) આપેલ મૂલ્યો: $m = 0.2 \ kg$,$h = 2 \ m$,$x = 0.1 \ m$,$k = 50 \ N \ m^{-1}$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા બ્લોકની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v = x \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.1 \times \sqrt{\frac{50}{0.2}} = 0.1 \times \sqrt{250} = 0.1 \times 15.81 = 1.581 \ m \ s^{-1}$.
હવે,સ્લેબ છોડ્યા પછી બ્લોક પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. જમીન પર અથડાવા માટે લાગતો સમય ઊભી ઊંચાઈ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 0.4 \Rightarrow t = \sqrt{0.4} \approx 0.632 \ s$.
કાપેલું આડું અંતર:
$s = v \times t = 1.581 \times 0.632 \approx 0.999 \ m \approx 1.0 \ m$ (અથવા આપેલા વિકલ્પો મુજબ $0.99 \ m$).

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $\text{(S.H.M.)}$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મૂલ્ય લેતા,$|a| = \omega^2 |x|$.
આપેલ છે કે $x = 1 \ cm$ અને $a = 3 \ cm s^{-2}$,તેથી $3 = \omega^2 (1)$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 = 3 \ s^{-2}$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $x = 2 \ cm$ હોય ત્યારે $v = 6 \ cm s^{-1}$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$6 = \sqrt{3} \sqrt{A^2 - 2^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$36 = 3 (A^2 - 4)$.
$3$ વડે ભાગતા:
$12 = A^2 - 4$.
$A^2 = 16$.
$A = 4 \ cm$.

(C) સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને રીંગનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_{cm} \omega_0 = m r^2 \omega_0$ છે.
જ્યારે રીંગ સરકવાનું બંધ કરે છે,ત્યારે તે સરક્યા વિના ગબડે છે,તેથી $v = r \omega$ થાય.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_{cm} \omega + m r v = m r^2 (v/r) + m r v = m r v + m r v = 2 m r v$ થાય.
સંપર્ક બિંદુ પર ઘર્ષણ બળ લાગતું હોવાથી,તે બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
$m r^2 \omega_0 = 2 m r v$.
તેથી,$v / \omega_0 = r / 2 = 50 \ cm / 2 = 25 \ cm$.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x(t) = A \sin^2(\alpha t)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$x(t) = A \left[ \frac{1 - \cos(2\alpha t)}{2} \right] = \frac{A}{2} - \frac{A}{2} \cos(2\alpha t)$.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $x(t) = a_1 + a_2 \cos(\omega t)$ છે, જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા, આપણે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\alpha$ મેળવીએ છીએ.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આપેલ છે કે $T = 0.2 \ s$, તેથી:
$2\alpha = \frac{2\pi}{0.2}$
$\alpha = \frac{\pi}{0.2} = \frac{\pi}{1/5} = 5\pi \ rad/s$.
તેથી, $\alpha$ નું મૂલ્ય $5\pi \ rad/s$ છે.

(B) ધારો કે બે કણોનું સ્થાનાંતર $x_1 = a \sin \omega t$ અને $x_2 = a \sin (\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
જ્યારે તેઓ એકબીજાને પસાર કરે છે,ત્યારે તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોય છે: $x_1 = x_2 = a/2$.
પ્રથમ કણ માટે: $a \sin \omega t = a/2 \Rightarrow \sin \omega t = 1/2$. તેથી,$\omega t = \pi/6$ (ધારીએ કે કણ ધન દિશામાં ગતિ કરે છે).
બીજા કણ માટે: $a \sin (\omega t + \phi) = a/2 \Rightarrow \sin (\omega t + \phi) = 1/2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega t + \phi = \pi/6$ અથવા $\omega t + \phi = 5\pi/6$.
જો $\omega t + \phi = \pi/6$ હોય,તો $\phi = 0$,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે,વિરુદ્ધ દિશામાં નહીં.
જો $\omega t + \phi = 5\pi/6$ હોય,તો $\phi = 5\pi/6 - \pi/6 = 4\pi/6 = 2\pi/3$.
આ કળા પર,વેગ $v_2 = a \omega \cos (\omega t + \phi) = a \omega \cos (5\pi/6) = -a \omega \sqrt{3}/2$ મળે છે,જે ઋણ છે,જે સાબિત કરે છે કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,કળા તફાવત $2\pi/3$ છે.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 200 Hz$,ઝડપ $v = 340 m s^{-1}$,અંતર $\Delta x = 85 cm = 0.85 m$.
સૌ પ્રથમ,$\lambda = \frac{v}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો.
$\lambda = \frac{340}{200} = 1.7 m$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times 0.85$.
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times \frac{1.7}{2} = \pi$ રેડિયન.

(C) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે તાપમાન $T$ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સીધું માપ છે. તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
તાપમાન એ અવસ્થા વિધેય છે જે માત્ર કણોની સરેરાશ ગતિઊર્જા પર આધાર રાખે છે અને વાયુના પ્રકારથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે. $v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,ભારે અણુઓ (વધારે $M$) ની સરેરાશ ઝડપ ઓછી હોય છે. તેથી,વિધાન $(c)$ સાચું છે અને વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(B) લંબગત તરંગ એ એવું તરંગ છે જેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ દિશામાં કંપન કરે છે.
પ્રકાશના તરંગો,વાયોલિનના તાર પરના તરંગો અને પાણીના તરંગો એ લંબગત તરંગોના ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમાં કણોનું કંપન તરંગની ગતિની દિશાને લંબ હોય છે.
ધ્વનિ તરંગો એ સંગત તરંગો છે કારણ કે તેમાં માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર કંપન કરે છે.
તેથી,ધ્વનિ તરંગો એ લંબગત તરંગો નથી.

(D) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{T}{P}$.
તેથી,બે અલગ-અલગ સ્થિતિઓમાં સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2}$.
આપેલ કિંમતો છે: $T_1 = 300 \ K$,$P_1 = 600 \ \text{torr}$,$\lambda_1 = 10^{-7} \ m$,$T_2 = 400 \ K$,$P_2 = 200 \ \text{torr}$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2} = 10^{-7} \times \frac{400}{300} \times \frac{600}{200}$.
$\lambda_2 = 10^{-7} \times \frac{4}{3} \times 3 = 10^{-7} \times 4 = 4 \times 10^{-7} \ m$.

(A) ચાકગતિના ગતિના સમીકરણો પરથી,આપણી પાસે $\omega = \omega_0 + \alpha t$ છે.
આપેલ છે કે $t=0$ સમયે $\omega_0 = 0$,અને $t=2 \ s$ સમયે $\omega = 5 \ rad/s$.
$5 = 0 + \alpha \times 2 \Rightarrow \alpha = 2.5 \ rad/s^2$.
$t=0 \ s$ થી $t=20 \ s$ ના સમયગાળા માટે,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1$ છે:
$\theta_1 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (20)^2 = 500 \ rad$.
$t=20 \ s$ સમયે કોણીય વેગ $\omega_{20} = \omega_0 + \alpha \times 20 = 0 + 2.5 \times 20 = 50 \ rad/s$ છે.
$t=20 \ s$ થી $t=50 \ s$ ના સમયગાળા માટે,પ્રવેગ શૂન્ય છે,તેથી કોણીય વેગ $50 \ rad/s$ પર અચળ રહે છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_2$ છે:
$\theta_2 = \omega_{20} \times \Delta t = 50 \times (50 - 20) = 50 \times 30 = 1500 \ rad$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \theta_1 + \theta_2 = 500 + 1500 = 2000 \ rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi}$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m$ અને પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_i = \frac{1}{2}mv^2$ અને પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = mv$ છે.
બળતણ બળી ગયા પછી,અંતિમ દળ $m' = \frac{m}{2}$ અને અંતિમ ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_f = 16 \times (K.E.)_i = 16 \times \frac{1}{2}mv^2 = 8mv^2$ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $v'$ છે. તો $(K.E.)_f = \frac{1}{2}m'v'^2 = \frac{1}{2}(\frac{m}{2})v'^2 = \frac{1}{4}mv'^2$.
$(K.E.)_f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{4}mv'^2 = 8mv^2 \Rightarrow v'^2 = 32v^2 \Rightarrow v' = \sqrt{32}v = 4\sqrt{2}v$.
અંતિમ વેગમાન $p_f = m'v' = (\frac{m}{2})(4\sqrt{2}v) = 2\sqrt{2}mv$ છે.
વેગમાનમાં થતો વધારો $\frac{p_f}{p_i} = \frac{2\sqrt{2}mv}{mv} = 2\sqrt{2}$ ગણો છે.

(A) કેન્દ્રીય બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dr}$ છે.
આપેલ છે $U(r) = r^{-2} - r^{-1}$.
બળની ગણતરી કરતા: $F = -\frac{d}{dr}(r^{-2} - r^{-1}) = -(-2r^{-3} + r^{-2}) = \frac{2}{r^3} - \frac{1}{r^2}$.
મહત્તમ આકર્ષી બળ માટે,આપણે $\frac{dF}{dr} = 0$ લઈને $F$ નું અંતિમ મૂલ્ય શોધીએ છીએ.
$\frac{dF}{dr} = \frac{d}{dr}(2r^{-3} - r^{-2}) = -6r^{-4} + 2r^{-3} = 0$.
$2r^{-3} = 6r^{-4} \Rightarrow \frac{2}{r^3} = \frac{6}{r^4} \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{2}{(3)^3} - \frac{1}{(3)^2} = \frac{2}{27} - \frac{1}{9} = \frac{2-3}{27} = -\frac{1}{27}$.
બળનું મૂલ્ય $|F| = \frac{1}{27}$ થાય છે.

(C) સંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલ કાર્યને $W_c = -\Delta U$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારનું ઋણ મૂલ્ય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચું છે.
તંત્રની કુલ ઉર્જા ત્યારે જ સંરક્ષિત રહે છે જો તંત્ર અલગ (isolated) હોય. સામાન્ય રીતે,જો તંત્ર પર બાહ્ય બળો કાર્ય કરતા હોય,તો કુલ ઉર્જા હંમેશા સંરક્ષિત રહેતી નથી. તેથી,વિકલ્પ $B$ એક સામાન્ય વિધાન છે જે ઘણીવાર બિન-અલગ તંત્રોના સંદર્ભમાં ખોટું માનવામાં આવે છે.
અસંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ) ઉર્જાનો વ્યય કરે છે. બંધ માર્ગ પર અસંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી. તેથી,વિકલ્પ $C$ ચોક્કસપણે ખોટું વિધાન છે.
સ્થાયી સંતુલનમાં,સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ન્યૂનતમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $dU/dx = 0$ અને $d^2U/dx^2 > 0$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ અને $C$ ની સરખામણી કરતા,$C$ એ અસંરક્ષી બળોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે (તેઓ માર્ગ પર આધારિત છે),જે તેને સ્પષ્ટપણે ખોટું બનાવે છે. તેથી,$C$ એ અપેક્ષિત ખોટું વિધાન છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સળિયા દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ તેના દ્વારા મેળવેલી ચાકગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સળિયાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $L/2$ ઊંચાઈ પર લેતા) $U_i = mg(L/2)$ છે.
જ્યારે સળિયો જમીન સાથે અથડાય ત્યારે અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં,$I$ એ મિજાગરાવાળા છેડાને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{mL^2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા: $mg \frac{L}{2} = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $g = \frac{L}{3} \omega^2$,જે $\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$ આપે છે.
આપેલ કિંમતો $g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $L = 1 \ m$ મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{3 \times 10}{1}} = \sqrt{30} \ rad \ s^{-1}$.

(C) આપેલ તંત્ર માટે,ધારો કે બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં ગતિ કરતા દળ $m_1$ માટે: $T = m_1 a$
શિરોલંબ નીચેની દિશામાં ગતિ કરતા દળ $m_2$ માટે: $m_2 g - T = m_2 a$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $m_2 g = (m_1 + m_2) a$
તેથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2ah$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને સ્થાનાંતર $h$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \left( \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} \right) h$
$v = \sqrt{\left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) 2 g h}$.

(A) આપેલ છે: પૈડાનું દળ $m = 20 \,kg$, ત્રિજ્યા $R = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 80 \,rpm = \frac{80 \times 2 \pi}{60} = \frac{8 \pi}{3} \,rad/s$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 5 \,rev = 5 \times 2 \pi = 10 \pi \,rad$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 0$.
રોટેશનલ ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધીએ:
$\alpha = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2 \theta} = \frac{0 - (8 \pi / 3)^2}{2 \times 10 \pi} = -\frac{64 \pi^2 / 9}{20 \pi} = -\frac{16 \pi}{45} \,rad/s^2$.
અવરોધક ટોર્ક $\tau$ એ સ્પર્શક બળ $F$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે:
$\tau = I \alpha = F R$.
ચકતી માટે, $I = \frac{1}{2} m R^2$.
તેથી, $F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{1}{2} m R \alpha$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.3 \times \left| -\frac{16 \pi}{45} \right| = 10 \times 0.3 \times \frac{16 \pi}{45} = 3 \times \frac{16 \pi}{45} = \frac{16 \pi}{15} \approx 1.06 \pi \,N$.

(B) ધારો કે પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1.2 \ g \ cm^{-3}$ અને તેલની ઘનતા $\rho_o = 0.9 \ g \ cm^{-3}$ છે.
જ્યારે જમણી બાજુએ પ્રવાહી $15 \ cm$ ઉપર ચઢે છે,ત્યારે તે ડાબી બાજુએ પ્રારંભિક સંતુલન સ્તરની સાપેક્ષમાં $15 \ cm$ નીચે ઉતર્યું હશે.
આમ,બંને બાજુના પ્રવાહી સ્તરો વચ્ચેનો કુલ તફાવત $h_l = 15 \ cm + 15 \ cm = 30 \ cm$ છે.
ધારો કે ડાબી બાજુએ તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_o$ છે. ડાબી બાજુએ તેલ અને પ્રવાહીના સંપર્ક બિંદુ પરનું દબાણ એ જ સમક્ષિતિજ સ્તરે જમણી બાજુના દબાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ સંતુલનનો ઉપયોગ કરતા: $h_o \rho_o g = h_l \rho_l g$.
કિંમતો મૂકતા: $h_o \times 0.9 = 30 \times 1.2$.
$h_o = \frac{30 \times 1.2}{0.9} = 40 \ cm$.
તેલનો સ્તંભ ડાબી બાજુના પ્રારંભિક પ્રવાહી સ્તરથી $40 \ cm$ ઉપર છે. ડાબી બાજુનું પ્રવાહી $15 \ cm$ નીચે ઉતર્યું હોવાથી,તેલના સ્તંભની ટોચ પ્રારંભિક સ્તરથી $40 - 15 = 25 \ cm$ ઉપર છે.
જમણી બાજુનું પ્રવાહી પ્રારંભિક સ્તરથી $15 \ cm$ ઉપર છે.
તેથી,તેલના સ્તર અને જમણી બાજુના પ્રવાહી સ્તર વચ્ચેની ઊંચાઈનો તફાવત $25 \ cm - 15 \ cm = 10 \ cm$ છે.

(A) સ્ટોક્સનો નિયમ સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ગતિ કરતા ગોળાકાર પદાર્થો પર લાગતા સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ (viscous drag force) નું વર્ણન કરે છે,જે સામાન્ય રીતે ઓછા રેનોલ્ડ્સ નંબર પર હોય છે.
અશાંત પ્રવાહ (Turbulence) એ પ્રવાહની એક એવી સ્થિતિ છે જે દબાણ અને પ્રવાહના વેગમાં અસ્તવ્યસ્ત ફેરફારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે,જે ઘણીવાર રેનોલ્ડ્સ નંબરના ઉચ્ચ મૂલ્યો સાથે સંકળાયેલ હોય છે.
બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય,બિન-સ્નિગ્ધ પ્રવાહીના સ્થિર પ્રવાહ માટે,પ્રવાહીની ઝડપમાં વધારો થવાથી દબાણમાં ઘટાડો અથવા પ્રવાહીની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ અદબનીય પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ લાગુ પાડવામાં આવતો દબાણનો ફેરફાર સમગ્ર પ્રવાહીમાં સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે. આ સિદ્ધાંતનો સામાન્ય ઉપયોગ હાઇડ્રોલિક લિફ્ટમાં થાય છે.

(C) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_m T = b$ છે,જ્યાં $b$ એ વિનનો અચળાંક છે.
આપેલ છે:
$\lambda_m = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$
$b = 3 \times 10^{-3} \ mK$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$(6 \times 10^{-3} \ m) \times T = 3 \times 10^{-3} \ mK$
$T = \frac{3 \times 10^{-3}}{6 \times 10^{-3}} \ K$
$T = \frac{1}{2} \ K = 0.5 \ K$
તેથી,કૃષ્ણ પદાર્થનું તાપમાન $0.5 \ K$ છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$,નીચેની તરફ લાગતું બ્લોકનું વજન $(W)$ અને નીચેની તરફ લાગતું દોરીનું તણાવ $(T)$ છે.
સંતુલન માટે: $F_B = W + T$.
તેથી,$T = F_B - W$.
આપેલ છે: બ્લોકની ઘનતા $\rho_s = 0.5 \ g/cc = 500 \ kg/m^3$,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1 \ g/cc = 1000 \ kg/m^3$,$T = 20 \ N$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$T = \rho_l V g - \rho_s V g = V g (\rho_l - \rho_s)$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = V \times 10 \times (1000 - 500)$.
$20 = V \times 10 \times 500$.
$20 = 5000 V$.
$V = \frac{20}{5000} = \frac{1}{250} \ m^3$.
બ્લોકનું દળ $m = \rho_s V$ છે.
$m = 500 \times \frac{1}{250} = 2 \ kg$.

(D) ગોળાનું દળ,$m = 1 \ kg$.
હીટરનો પાવર,$P = 40 \ W$.
રૂમનું તાપમાન,$T_0 = 30^{\circ} C$.
ગોળાનું સ્થિર તાપમાન,$T = 70^{\circ} C$.
સ્થિર અવસ્થામાં,હીટર દ્વારા આપવામાં આવતી ઉષ્માનો દર એ આસપાસમાં ગુમાવાતી ઉષ્માના દર જેટલો હોય છે.
ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_0)$ છે.
સ્થિર અવસ્થામાં,$\frac{dQ}{dt} = P = 40 \ W$.
કિંમતો મૂકતા: $40 = k(70 - 30) \Rightarrow 40 = k(40) \Rightarrow k = 1 \ W/^{\circ} C$.
હવે,જ્યારે ગોળાનું તાપમાન $T_1 = 40^{\circ} C$ હોય ત્યારે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર શોધવો છે.
તે જ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dQ_1}{dt} = k(T_1 - T_0)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dQ_1}{dt} = 1(40 - 30) = 10 \ W$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ પદાર્થની ઉત્સર્જિત પાવર $P \propto T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $T_1 = 400 \,K$ પર $P_1 = 1000 \,W$.
આપણે $T_2 = 800 \,K$ પર $P_2$ શોધવાની જરૂર છે।
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{1000} = \left(\frac{800}{400}\right)^4$.
$\frac{P_2}{1000} = (2)^4 = 16$.
$P_2 = 16 \times 1000 = 16000 \,W$.

(B) પાણીને પંપ કરવા માટે જરૂરી પાવર $P$ એ પાણીને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી પાવર છે.
પાવર $P = \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{mgh}{t}$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, દળનો પ્રવાહ દર $\frac{m}{t} = A v \rho$ છે.
આ કિંમત પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = (A v \rho) g h$.
આપેલ કિંમતો: $r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$, $v = 10 \ m \ s^{-1}$, $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$, $g = 10 \ m \ s^{-2}$, $h = 3 \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
પાવરની ગણતરી: $P = (\pi \times 10^{-4}) \times 10 \times 1000 \times 10 \times 3$.
$P = \pi \times 10^{-4} \times 10^5 \times 3 = 30\pi \ W$.

(B) ગરમ થવાને કારણે ધાતુનો ગોળો વિસ્તરણ પામવાનો પ્રયત્ન કરે છે,પરંતુ તેનું કદ અચળ રાખવામાં આવતું હોવાથી,પદાર્થની અંદર થર્મલ સ્ટ્રેસ (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થાય છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $\Delta P$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ઘન પદાર્થ માટે,$\gamma = 3\alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
આપેલ છે: $\alpha = 10^{-5} \ {^{\circ} C}^{-1}$,$\Delta T = 127^{\circ} C - 20^{\circ} C = 107^{\circ} C$,અને $B = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
દબાણમાં થતા ફેરફારના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = B \times (3\alpha \Delta T)$.
$\Delta P = (2 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-5} \times 107) = 6 \times 10^6 \times 107 = 6.42 \times 10^8 \ Pa$.
અંતિમ દબાણ $P_f = P_i + \Delta P = 10^5 \ Pa + 6.42 \times 10^8 \ Pa \approx 6.42 \times 10^8 \ Pa$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,દબાણ આશરે $6 \times 10^8 \ Pa$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે,લેન્સનો પાવર $P_1 = -1.6 D$ અને $P_2 = +2.1 D$ છે.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો કુલ પાવર $P$ એ વ્યક્તિગત પાવરના સરવાળા જેટલો હોય છે:
$P = P_1 + P_2 = -1.6 D + 2.1 D = 0.5 D$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ (મીટરમાં) અને પાવર $P$ (ડાયોપ્ટરમાં) વચ્ચેનો સંબંધ $P = \frac{1}{f(m)}$ છે.
સેન્ટિમીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈ શોધવા માટે,આપણે $f(cm) = \frac{100}{P(D)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{100}{0.5} = 200 cm$.
તેથી,સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $200 cm$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વસ્તુને અંતર્ગોળ અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વસ્તુમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણો અરીસા પર પરાવર્તન પામીને વક્રતા કેન્દ્ર $(C)$ ની પાછળ એક બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય છે.
આના પરિણામે મળતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને વિવર્ધિત (વસ્તુ કરતા મોટું) હોય છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્ર કરતાં વધુ દૂર રચાય છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ ($Y$.$D$.$S$.$E$.) માં $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\omega$ નું સૂત્ર: $\omega = \frac{D \lambda}{d n}$ છે.
અહીં,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,$d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે,અને $\lambda$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ પ્રાયોગિક સેટઅપ માટે $D, d,$ અને $\lambda$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ માધ્યમના વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\omega \propto \frac{1}{n}$.
તેથી,જો $n_1 < n_2$ હોય,તો $\omega_1 > \omega_2$ થાય.
આમ,જો $n_1 < n_2$ હોય તો $\omega_1 > \omega_2$ વિધાન સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે,અવાહક રીંગની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \lambda_0 \cos \phi$ છે.
લંબ અક્ષની બંને બાજુએ $\phi$ ખૂણે $dl = r d\phi$ લંબાઈના બે સપ્રમાણ ખંડો ધ્યાનમાં લો.
દરેક ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos \phi) r d\phi$ છે.
કેન્દ્ર પર દરેક ખંડને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
સમપ્રમાણતાને કારણે સમક્ષિતિજ ઘટકો $dE \sin \phi$ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ શિરોલંબ ઘટકો $dE \cos \phi$ નો સરવાળો છે:
$E = \int_0^{\pi} 2 (dE \cos \phi) = \int_0^{\pi} 2 \left( \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r} \right) \cos \phi$
$E = \frac{2 \lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} \cos^2 \phi d\phi$
$\cos^2 \phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} (1 + \cos 2\phi) d\phi = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\phi + \frac{\sin 2\phi}{2}]_0^{\pi} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\pi - 0] = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0 r}$.

(C) લૂપની ત્રિજ્યા, $r = 1 \, cm = 0.01 \, m$.
લૂપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર, $Q = 1 \times 10^{-6} \, C$.
એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર, $\lambda = \frac{Q}{2 \pi r} = \frac{10^{-6}}{2 \pi \times 0.01} = \frac{10^{-4}}{2 \pi} \, C/m$.
કાપી નાખેલા ભાગની લંબાઈ $l' = 0.01 \% \, \text{of} \, 2 \pi r = \frac{0.01}{100} \times 2 \pi r = 2 \pi \times 10^{-6} \, m$.
કાપી નાખેલા ભાગ પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = l' \lambda = (2 \pi \times 10^{-6}) \times \frac{10^{-4}}{2 \pi} = 10^{-10} \, C$.
સંપૂર્ણ લૂપ માટે, કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જો નાનો ભાગ $l'$ દૂર કરવામાં આવે, તો બાકી રહેલા ભાગને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર તે દૂર કરેલા ભાગ $l'$ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે.
આ નાના ભાગને કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q'$ તરીકે ગણતા, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k Q'}{r^2}$ થાય.
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{(0.01)^2} = \frac{0.9}{10^{-4}} = 9000 \, N/C = 9 \times 10^3 \, N/C$.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું કોણીય અંતર $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda) = 400 nm = 400 \times 10^{-9} m = 4 \times 10^{-7} m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $(d) = 0.001 m = 1.0 \times 10^{-3} m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\theta = \frac{4 \times 10^{-7} m}{1.0 \times 10^{-3} m} = 4 \times 10^{-4} rad$.

(B) પોલા ધાતુના ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 15 \,cm$ છે. સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_{surface} = 20 \,V$ છે.
પોલા ધાતુના ગોળા માટે, ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) જેટલું હોય છે $(E = -dV/dr)$, તેથી જો $E = 0$ હોય, તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
આથી, ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
તેથી, કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $20 \,V$ છે.

(D) પ્રકૃતિમાં રહેલા મૂળભૂત બળો અનુસાર,બળોની શક્તિનો વધતો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $ < $ નબળું ન્યુક્લિયર બળ $ < $ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $ < $ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ.
તેથી,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ એ પ્રકૃતિમાં સૌથી શક્તિશાળી બળ છે.

(B) બે સમકેન્દ્રિત ગોલીય વાહકો ધરાવતા ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$,જેની ત્રિજ્યા $r_1$ (અંદરની) અને $r_2$ (બહારની) છે,તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C = \frac{4 \pi \varepsilon_0 r_1 r_2}{r_2 - r_1}$
અહીં આપેલ છે કે અંદરની ત્રિજ્યા $r_1 = R$ અને બહારની ત્રિજ્યા $r_2 = 2 R$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = \frac{4 \pi \varepsilon_0 (R)(2 R)}{2 R - R}$
$C = \frac{8 \pi \varepsilon_0 R^2}{R}$
$C = 8 \pi \varepsilon_0 R$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) નળાકાર કેપેસિટરના વલયાકાર વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. કેપેસિટરની અક્ષ પર હોય તેવી $r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈની નળાકાર ગૌસિયન સપાટી ધ્યાનમાં લો.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
નળાકાર સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ત્રિજ્યાવર્તી છે અને ગૌસિયન નળાકારની વક્ર સપાટી પર તેનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \pi r L$ છે.
તેથી,$E \times (2 \pi r L) = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
જો $\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા (એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર) હોય,તો $Q_{enclosed} = \lambda L$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E \times 2 \pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$.
$E$ માટે ઉકેલતા,આપણને $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ મળે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E \propto \frac{1}{r}$ મુજબ બદલાય છે.

(C) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈપણ આકારના વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{L}$ એ શરૂઆતના બિંદુ $A$ થી અંતિમ બિંદુ $B$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
જ્યારથી બિંદુઓ $A$ અને $B$ નિશ્ચિત છે,ત્યારે સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}$ એ બે બિંદુઓ વચ્ચે તાર દ્વારા લેવાયેલા માર્ગ (આકાર) ને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન રહે છે.
તેથી,ચુંબકીય બળ માત્ર વિદ્યુતપ્રવાહ $I$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$,અને નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેના સીધી રેખાના સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{L}$ પર આધાર રાખે છે. તે તારના વાસ્તવિક આકારથી સ્વતંત્ર છે.

(D) $i_1$ અને $i_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
આપેલ છે:
$f = 4 \times 10^{-5} \ N \ m^{-1}$
$r = 2.50 \ cm = 2.50 \times 10^{-2} \ m$
$i_1 = 0.5 \ A$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m \ A^{-1}$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 \times 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2 \pi \times 2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 0.5 \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$4 \times 10^{-5} = \frac{10^{-7} \times i_2}{2.50 \times 10^{-2}}$
$i_2 = \frac{4 \times 10^{-5} \times 2.50 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$i_2 = 4 \times 2.50 = 10 \ A$
તાર એકબીજાને અપાકર્ષે છે,તેથી વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવા જોઈએ.

(A) જ્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{net} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 8}{2 + 8} = 1.6 \text{ mF} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ F}$.
સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{net} \times V = 1.6 \times 10^{-3} \times 300 = 0.48 \text{ C} = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે,તેથી $Q_1 = Q_2 = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
$C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{480 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 240 \text{ V}$ છે.
$C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{480 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-3}} = 60 \text{ V}$ છે.
કુલ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{net} V^2 = \frac{1}{2} \times 1.6 \times 10^{-3} \times (300)^2 = 0.8 \times 10^{-3} \times 90000 = 72 \text{ J}$ છે.

(B) ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર કોઈલ સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R_s$ જોડવો પડે છે.
આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R_G = 10 \Omega$
પૂર્ણ સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ $I_g = 2 \text{ mA} = 2 \times 10^{-3} \text{ A}$
જરૂરી વોલ્ટેજ રેન્જ $V = 18 \text{ V}$
શ્રેણી અવરોધ માટેનું સૂત્ર $V = I_g(R_G + R_s)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$18 = 2 \times 10^{-3} \times (10 + R_s)$
$18 / (2 \times 10^{-3}) = 10 + R_s$
$9000 = 10 + R_s$
$R_s = 9000 - 10 = 8990 \Omega$
આમ,$8990 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો આવશ્યક છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(H)$ નું સૂત્ર $H = n \cdot I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$H = 1000 \ A/m$
$I = 2 \ A$
સૂત્ર $H = n \cdot I$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1000 = n \times 2$
$n = 500 \ \text{આંટા/મીટર}$.
પ્રતિ મીટર આંટાને પ્રતિ સેન્ટિમીટર આંટામાં ફેરવવા માટે:
$n = 500 \ \text{આંટા/મીટર} = 500 \ \text{આંટા} / 100 \ \text{સેમી} = 5 \ \text{આંટા/સેમી}$.
આમ,પ્રતિ સેન્ટિમીટર આંટાની સંખ્યા $5$ છે.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $B = \mu_0 n i$,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે,$n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે,અને $i$ એ સોલેનોઇડમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(B \propto n)$,જો $n$ નું મૂલ્ય બમણું કરવામાં આવે,તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પણ બમણું થઈ જશે.

(A) $N$ આંટા, આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2$ ધરાવતી સપાટ સર્પાકાર કોઈલ માટે, કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2(r_2 - r_1)} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$
આપેલ છે:
$N = 2000$
$r_1 = 1 \,cm = 0.01 \,m$
$r_2 = 3 \,cm = 0.03 \,m$
$I = \frac{10^{-3}}{\pi} \,A$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-3}}{2 \times (0.03 - 0.01) \times \pi} \ln\left(\frac{0.03}{0.01}\right)$
$B = \frac{8 \times 10^{-6}}{0.04} \ln(3) = 200 \times 10^{-6} \ln(3) \,T$
અહીં $K = 200$ મળે છે।

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખેંચતી વખતે કદ $V = A \times l$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
નાના ફેરફારો માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta R}{R} = 4 \%$,તેથી $4 \% = 2 \times \frac{\Delta l}{l} \times 100 \%$.
આમ,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 \% = \frac{4 \%}{2} = 2 \%$.

(A) મીટર બ્રિજ એ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
ધારો કે ડાબી બાજુના ગેપમાં અવરોધ $R_L$ છે અને જમણી બાજુના ગેપમાં અવરોધ $R_R$ છે.
સંતુલન બિંદુ ડાબી બાજુથી $l = 37.5 \ cm$ પર છે.
જમણી બાજુના ગેપમાં તારની લંબાઈ $100 - l = 100 - 37.5 = 62.5 \ cm$ છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{37.5}{62.5} = \frac{3}{5}$.
પ્રશ્નમાં જમણી બાજુના અવરોધ અને ડાબી બાજુના અવરોધનો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે,જે $\frac{R_R}{R_L}$ છે.
તેથી,$\frac{R_R}{R_L} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.

(A) લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = q(v \times B)$
અહીં આપેલ કણ ઇલેક્ટ્રોન છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે (જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો મૂળભૂત વિદ્યુતભાર છે).
સૂત્રમાં $q = -e$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$F = -e(v \times B)$
જોકે,સામાન્ય રીતે વિકલ્પોમાં લોરેન્ટ્ઝ બળના સ્વરૂપને દર્શાવવા માટે $e(v \times B)$ નો ઉપયોગ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પૃથ્વીની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ચુંબકીય ઉત્તર ધ્રુવ પર પૃથ્વીની અંદર જાય છે અને ચુંબકીય દક્ષિણ ધ્રુવ પર પૃથ્વીની બહાર આવે છે.
ચુંબકીય ધ્રુવો પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ પૃથ્વીની સપાટીને લંબ હોય છે.
ચુંબકીય ધ્રુવો પર ડીપ એંગલ (અથવા નમનકોણ) $90^{\circ}$ હોય છે.
ડીપ એંગલ એ કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ દ્વારા સમક્ષિતિજ દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો હોવાથી,$90^{\circ}$ નો ડીપ એંગલ સૂચવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ શિરોલંબ દિશામાં છે.
તેથી,ચુંબકીય ધ્રુવો પર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા સંપૂર્ણપણે શિરોલંબ હોય છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,લંબાઈ સદિશ $\vec{L} = L \hat{i}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{F} = I B_0 L(\hat{k} - \hat{j})$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $I B_0 L(\hat{k} - \hat{j}) = I(L \hat{i} \times \vec{B})$.
$I L$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $B_0(\hat{k} - \hat{j}) = \hat{i} \times \vec{B}$.
ધારો કે $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$.
તેથી $\hat{i} \times (B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}) = B_y \hat{k} - B_z \hat{j}$.
આને $B_0(\hat{k} - \hat{j})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $B_y = B_0$ અને $B_z = B_0$ મળે છે.
$\hat{i}$ સાથેના ક્રોસ પ્રોડક્ટમાં $\hat{i}$ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી $B_x$ કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે,પરંતુ વિકલ્પો જોતા $B_x = B_0$ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$\vec{B} = B_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

(B) ચુંબકીય પદાર્થથી ભરેલા ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0(H + M) = \mu_0 H(1 + \chi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\chi$ એ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 H$ હોવાથી,આપણને $B = B_0(1 + \chi)$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો વધારો $\Delta B = B - B_0 = B_0 \chi$ છે.
અપૂર્ણાંક વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} = \chi$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 = \chi \times 100$ છે.
અહીં $\chi = 2 \times 10^{-5}$ આપેલ છે,તેથી ટકાવારી વધારો $(2 \times 10^{-5}) \times 100 = 2 \times 10^{-3} \%$ થાય.

(C) મેગ્નેટિક કન્ફાઈનમેન્ટ ફ્યુઝન એ થર્મોન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પાવર ઉત્પન્ન કરવાની એક પદ્ધતિ છે જે પ્લાઝ્માના સ્વરૂપમાં ફ્યુઝન બળતણને મર્યાદિત કરવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરે છે.
ન્યુક્લી વચ્ચેના ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક અપાકર્ષણને દૂર કરવા માટે,તેમનું તાપમાન કરોડો ડિગ્રી હોવું આવશ્યક છે,જે પ્લાઝ્મા બનાવે છે.
આ પ્લાઝ્માને પછી રિએક્ટરની દિવાલોને સ્પર્શતા અટકાવવા માટે મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ કરીને મર્યાદિત કરવામાં આવે છે.

(C) બે ન્યુક્લિઓન વચ્ચેની સ્થિતિઊર્જા તેમના અંતરના વિધેય તરીકે ન્યુક્લિયર બળના પોટેન્શિયલ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે ઘણીવાર રીડ પોટેન્શિયલ દ્વારા મોડેલ કરવામાં આવે છે.
આ પોટેન્શિયલ વક્ર દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા અંતરે ખૂબ જ આકર્ષી અને ખૂબ જ ટૂંકા અંતરે અપાકર્ષી હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા આશરે $0.8 \ fm$ ના અંતરે તેનું લઘુત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
આ અંતરે,ન્યુક્લિઓન સ્થિર સ્થિતિમાં હોય છે,જે તેમને ઋણ બંધન ઊર્જા સાથે બંધિત અવસ્થા બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે.
સમાન ગતિઊર્જા $K$ માટે,તરંગલંબાઈ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} \approx m_{\text{neutron}} < m_{\alpha\text{-particle}}$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $\alpha$-કણનું દળ સૌથી વધુ હોવાથી,તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સૌથી ટૂંકી હશે.

(A) રિડબર્ગના સમીકરણ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$
અહીં,સંક્રમણ $n_i = 5$ થી $n_f = 1$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{25 - 1}{25} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{24 R}{25}$
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{25}{24 R}$ થશે.

(A) દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ માટેનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ એક અચળાંક છે.
આયોડિન $(A_i = 125)$ અને પોલોનિયમ $(A_p = 216)$ માટે દળ ક્રમાંક આપેલ છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_i}{R_p} = \frac{R_0 A_i^{1/3}}{R_0 A_p^{1/3}} = \left( \frac{A_i}{A_p} \right)^{1/3}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_i}{R_p} = \left( \frac{125}{216} \right)^{1/3}$.
કારણ કે $125 = 5^3$ અને $216 = 6^3$ છે,તેથી $\frac{R_i}{R_p} = \frac{5}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $5:6$ છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી, $p = \sqrt{2mK}$ થાય.
તેથી, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
અહીં $h = 4.14 \times 10^{-15} eVs$, $K = 100 eV$, અને $m = \frac{0.5 \times 10^6}{c^2} eV/c^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 m/s$ છે:
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15}}{\sqrt{2 \times (0.5 \times 10^6 / c^2) \times 100}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times c}{\sqrt{10^8}}$
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-15} \times 3 \times 10^8}{10^4} = 1.242 \times 10^{-10} m = 124.2 pm$.

(A) ન્યુક્લિયસની અંદરના ન્યુક્લિયોન્સ ખૂબ જ મજબૂતીથી બંધાયેલા હોય છે અને ન્યુક્લિયસમાંથી ન્યુક્લિયોનને અલગ કરવા માટે થોડા $MeV$ જેટલી ઉર્જાની જરૂર પડે છે.
તેથી,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનને અલગ કરવા માટે ન્યૂનતમ ઉર્જાની જરૂર પડે છે અને તે ઉર્જાને ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા (binding energy) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જો $Z$ પ્રોટોનની સંખ્યા હોય અને $N$ ન્યુટ્રોનની સંખ્યા હોય,અને ન્યુક્લિયસનું દળ $M(A, Z)$ હોય,તો બંધન ઉર્જા $E_B = [Z m_p + N m_n - M(A, Z)] C^2 > 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_p$ અને $m_n$ અનુક્રમે પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનના દળ છે.
$E_B > 0$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે $Z m_p + N m_n > M(A, Z)$.
તેથી,ન્યુક્લિયસનું દળ તેના ઘટક ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનના દળના સરવાળા કરતાં ઓછું હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $u_1$ એ લેન્સથી વસ્તુનું પ્રારંભિક અંતર છે અને $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $v_1 = 60 \ cm$ (પ્રારંભિક પ્રતિબિંબ અંતર) અને $m = 2$ (લેટરલ મોટવણી).
મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{v_1}{|u_1|} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{60}{|u_1|} = 2 \Rightarrow |u_1| = 30 \ cm$. તેથી,$u_1 = -30 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{60} - \frac{1}{-30} = \frac{1+2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \Rightarrow f = 20 \ cm$.
જ્યારે $H = 24 \ cm$ ઊંચાઈનું પ્રવાહી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે વક્રીભવનને કારણે વસ્તુ ઉપરની તરફ ખસેલી જણાય છે. નવું આભાસી વસ્તુ અંતર $u_2$ એ સામાન્ય સ્થાનાંતરના સૂત્ર દ્વારા મૂળ અંતર સાથે સંબંધિત છે: $u_2 = |u_1| - H(1 - \frac{1}{\mu})$.
નવા પ્રતિબિંબ અંતર $v_2 = 120 \ cm$ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{20} = \frac{1}{120} - \frac{1}{u_2} \Rightarrow \frac{1}{u_2} = \frac{1}{120} - \frac{1}{20} = \frac{1-6}{120} = -\frac{5}{120} = -\frac{1}{24}$.
તેથી,$|u_2| = 24 \ cm$.
સ્થાનાંતરને સરખાવતા: $|u_1| - |u_2| = H(1 - \frac{1}{\mu})$
$30 - 24 = 24(1 - \frac{1}{\mu}) \Rightarrow 6 = 24(1 - \frac{1}{\mu})$
$1 - \frac{1}{\mu} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{\mu} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \mu = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(B) બાયકોન્વેક્સ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ લો.
હવામાં કાચનો વક્રીભવનાંક ${}_a\mu_g = 3/2$ છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{3}{2} - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\frac{1}{2}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{R}$.
તેથી,$f = R$.
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક ${}_w\mu_g = \frac{{}_a\mu_g}{{}_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
પાણીમાં લેન્સ માટે લેન્સ મેકરનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{1}{f_w} = ({}_w\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\frac{9}{8} - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right)$.
$\frac{1}{f_w} = (\frac{1}{8}) \left( \frac{2}{R} \right) = \frac{1}{4R}$.
કારણ કે $R = f$,તેથી $\frac{1}{f_w} = \frac{1}{4f}$,જેનો અર્થ છે કે $f_w = 4f$.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 50 \Omega$,$EMF$ $\varepsilon = 5 V$,પ્રવાહ $i = 50 mA = 50 \times 10^{-3} A$,અને સમય $t = 0.1 s$.
$LR$ સર્કિટમાં પ્રવાહના વધારાનું સૂત્ર: $i = i_0(1 - e^{-\frac{Rt}{L}})$,જ્યાં $i_0 = \frac{\varepsilon}{R}$ એ સ્થાયી પ્રવાહ છે.
પ્રથમ,સ્થાયી પ્રવાહની ગણતરી કરો: $i_0 = \frac{5 V}{50 \Omega} = 0.1 A = 100 mA$.
કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $50 \times 10^{-3} = 100 \times 10^{-3} (1 - e^{-\frac{50 \times 0.1}{L}})$.
સાદું રૂપ આપતા: $0.5 = 1 - e^{-\frac{5}{L}}$.
ગોઠવતા: $e^{-\frac{5}{L}} = 1 - 0.5 = 0.5$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-\frac{5}{L} = \ln(0.5) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$.
તેથી,$L = \frac{5}{\ln(2)} H$.

(B) ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં,ફિશન દરમિયાન ઉત્પન્ન થતા ન્યુટ્રોન ખૂબ જ ઝડપી હોય છે. આ ઝડપી ન્યુટ્રોન $U^{235}$ ના ન્યુક્લિયસમાં વધુ ફિશન કરાવવાની ઓછી શક્યતા ધરાવે છે. મોડરેટર (જેમ કે ભારે પાણી,ગ્રેફાઇટ અથવા સામાન્ય પાણી) નો ઉપયોગ આ ઝડપી ન્યુટ્રોનને ધીમા પાડીને થર્મલ ઉર્જા સુધી લાવવા માટે થાય છે,જેથી તેઓ ચેઇન રિએક્શનને જાળવી રાખવામાં વધુ અસરકારક બને છે. કંટ્રોલ રોડનો ઉપયોગ પ્રતિક્રિયાના દરને નિયંત્રિત કરવા માટે વધારાના ન્યુટ્રોનને શોષવા માટે થાય છે,જ્યારે કુલન્ટનો ઉપયોગ વધારાની ગરમી દૂર કરવા માટે થાય છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનને પોટેન્શિયલ બેરિયરને પાર કરવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ છે અને $V$ એ પોટેન્શિયલ બેરિયર છે.
પોટેન્શિયલ બેરિયર $V$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $V = \frac{K.E.}{e} = \frac{3.2 \times 10^{-20} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ C} = 0.2 \ V$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,પોટેન્શિયલ $V$ અને ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{V}{d}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{V}{E}$.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{0.2 \ V}{5 \times 10^5 \ V/m} = 0.04 \times 10^{-5} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$.
આને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $d = 4 \times 10^{-7} \ m = 4 \times 10^{-5} \ cm$.

(D) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન ડેપ્લેશન વિસ્તારમાં જમા થતા નથી; તેના બદલે,તેઓ હોલ સાથે પુનઃસંયોજન (recombination) પામે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: ડ્રિફ્ટ પ્રવાહ ડેપ્લેશન વિસ્તારમાં રહેલા વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવે છે,જે માઇનોરિટી કેરિયર્સને ગતિ આપે છે ($p$ થી $n$ તરફ ઇલેક્ટ્રોન અને $n$ થી $p$ તરફ હોલ),જેના પરિણામે $p$-બાજુથી $n$-બાજુ તરફ ડ્રિફ્ટ પ્રવાહ વહે છે.
વિધાન $III$ સાચું છે: જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$-વિસ્તારમાંથી $p$-વિસ્તારમાં પ્રસરણ પામે છે,ત્યારે $n$-વિસ્તારમાં રહેલો ડોનર પરમાણુ એક ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે અને ધન આયનીકૃત ડોનર બને છે.
વિધાન $IV$ સાચું છે: પ્રસરણને કારણે ઇલેક્ટ્રોન $n$-બાજુથી $p$-બાજુ તરફ જાય છે,જ્યાં તેઓ હોલ સાથે પુનઃસંયોજન પામે છે.
તેથી,વિધાન $II, III$ અને $IV$ સાચા છે.

(B) બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં જોડાયેલા હોવાથી,આપેલ પરિપથ આકૃતિને ડાયોડને શોર્ટ સર્કિટ તરીકે બદલીને સરળ બનાવી શકાય છે (આદર્શ ડાયોડ ધારીને).
બે $10 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_{eq} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \Omega$
તેથી,એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \text{ V}}{5 \Omega} = 1 \text{ A}$

(B) બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $E_g = 0.7 \ eV$ આપેલ છે.
ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી બનાવવા માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા બેન્ડ ગેપ ઉર્જા જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ,એટલે કે $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \geq E_g$.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{max}$ માટે,ફોટોનની ઉર્જા બેન્ડ ગેપ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ:
$\frac{hc}{\lambda_{max}} = E_g$
$\lambda_{max} = \frac{hc}{E_g}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_{max} = \frac{4.136 \times 10^{-15} \ eV \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{0.7 \ eV}$
$\lambda_{max} = \frac{12.408 \times 10^{-7}}{0.7} \ m$
$\lambda_{max} \approx 17.7257 \times 10^{-7} \ m$
આને જરૂરી સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\lambda_{max} \approx 1772.57 \times 10^{-9} \ m \approx 1773 \times 10^{-9} \ m$.

(C) ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટનું વર્ગીકરણ તેમાં રહેલા લોજિક ગેટ્સ અથવા ઘટકોની સંખ્યાના આધારે કરવામાં આવે છે.
$SSI$ (સ્મોલ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $10$ સુધીના લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
$MSI$ (મીડિયમ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $10$ થી $100$ ની વચ્ચે લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
$LSI$ (લાર્જ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $100$ થી $1000$ ની વચ્ચે લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
$VLSI$ (વેરી લાર્જ સ્કેલ ઇન્ટિગ્રેશન) માં સામાન્ય રીતે $1000$ થી વધુ લોજિક ગેટ્સ હોય છે.
તેથી,$\leq 1000$ લોજિક ગેટ્સ ધરાવતી ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટને $LSI$ કહેવામાં આવે છે.

(B) આપેલ સર્કિટ $OR$ ગેટની એક શ્રેણી ધરાવે છે.
$OR$ ગેટ ઉચ્ચ આઉટપુટ $(1)$ આપે છે જો તેના ઓછામાં ઓછા એક ઇનપુટ ઉચ્ચ $(1)$ હોય.
પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $X$ છે. તેનું આઉટપુટ $1 + X = 1$ થશે.
આ આઉટપુટ $1$ ને બીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે,જેનું બીજું ઇનપુટ $X$ છે. તેનું આઉટપુટ પણ $1 + X = 1$ થશે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,દરેક પછીના $OR$ ગેટને તેના એક ઇનપુટ તરીકે $1$ મળે છે.
તેથી,દરેક $OR$ ગેટનું એક ઇનપુટ $1$ હોવાથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહેશે,ભલે $X$ ની કિંમત ગમે તે હોય.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના દળ ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
આ દર્શાવે છે કે કદ $V$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(V \propto A)$.
જો દળ ક્રમાંક $A$ થી વધારીને $2A$ કરવામાં આવે,તો નવું કદ $V'$ એ $V' \propto 2A$ થશે.
તેથી,$V' = 2V$.

(A) આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં,$0 \ K$ થી ઉપરના કોઈપણ તાપમાને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n_e)$ એ હોલની સંખ્યા $(n_h)$ જેટલી જ હોય છે.
ઓરડાના તાપમાને,ઉષ્મીય ઉર્જા કેટલાક સહસંયોજક બંધોને તોડવા માટે પૂરતી હોય છે,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
દરેક તૂટેલો બંધ એક મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને એક હોલ ઉત્પન્ન કરતું હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન $(n_e)$ અને હોલ $(n_h)$ ની સાંદ્રતા સમાન રહે છે,એટલે કે $n_e = n_h = n_i$,જ્યાં $n_i$ એ આંતરિક વાહક સાંદ્રતા છે.

(D) $p-n$ જંકશન ડાયોડ રેક્ટિફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે।
જ્યારે ઇનપુટ સિગ્નલ ધન $(+5 \,V)$ હોય, ત્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે અને તેમાંથી પ્રવાહ વહે છે, જેથી લોડ અવરોધ $R_L$ પર સિગ્નલ મળે છે।
જ્યારે ઇનપુટ સિગ્નલ ઋણ $(-5 \,V)$ હોય, ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે અને તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, જેથી પ્રવાહ અટકી જાય છે।
તેથી, $R_L$ પરનું આઉટપુટ માત્ર ઇનપુટ સિગ્નલનો ધન ભાગ જ દર્શાવશે, જેના પરિણામે $5 \,V$ ના પીક સાથેનો સ્ક્વેર વેવ મળશે અને ઋણ ચક્ર દરમિયાન $0 \,V$ મળશે।

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં છે,તેથી $n_1 = 1$. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = \frac{1 \cdot h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$\Delta E$ ઉર્જાનું શોષણ કર્યા પછી,કોણીય વેગમાનમાં $\frac{h}{2 \pi}$ નો વધારો થાય છે.
તેથી,નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = L_1 + \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi} + \frac{h}{2 \pi} = \frac{2h}{2 \pi}$ થાય છે.
આને $L = \frac{nh}{2 \pi}$ સાથે સરખાવતા,આપણને નવો મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n_2 = 2$ મળે છે.
$n$-મી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1 = 1$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
$n_2 = 2$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6 \ eV}{2^2} = -\frac{13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$.
શોષાયેલી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$ છે.

(A) $5 \ mg$ ${}^{235}U$ માં યુરેનિયમના પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{m}{M} \times N_A$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $m = 5 \times 10^{-3} \ g$,$M = 235 \ g/mol$,અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ atoms/mol$ છે.
$N = \frac{5 \times 10^{-3}}{235} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.28 \times 10^{19} \ atoms$.
મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $E = N \times E_{fission}$ છે,જ્યાં $E_{fission} = 200 \ MeV = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.2 \times 10^{-11} \ J$ છે.
$E = 1.28 \times 10^{19} \times 3.2 \times 10^{-11} \ J \approx 4.096 \times 10^8 \ J$.
આમ,મુક્ત થતી અંદાજિત ઉર્જા $4 \times 10^8 \ J$ છે.

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $f_1 = f_c - f_m$ અને $f_2 = f_c + f_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $f_1 + f_2 = (f_c - f_m) + (f_c + f_m) = 2f_c$,જેનો અર્થ છે કે $f_c = \frac{f_1 + f_2}{2}$.
બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $f_2 - f_1 = (f_c + f_m) - (f_c - f_m) = 2f_m$,જેનો અર્થ છે કે $f_m = \frac{f_2 - f_1}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{f_c}{f_m} = \frac{(f_1 + f_2)/2}{(f_2 - f_1)/2} = \frac{f_1 + f_2}{f_2 - f_1}$.
ધન ગુણોત્તર મેળવવા માટે નિરપેક્ષ મૂલ્ય લેતા,આપણને $\left|\frac{f_1+f_2}{f_2-f_1}\right|$ મળે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં, એમીટર $A_1$ ધરાવતી શાખામાં $4 \text{ V}$ ની બેટરીના સાપેક્ષમાં રિવર્સ બાયસમાં જોડાયેલ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે.
આદર્શ $p-n$ જંકશન ડાયોડ જ્યારે રિવર્સ બાયસમાં જોડાયેલ હોય ત્યારે તે ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોવાથી, $A_1$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી, એમીટર $A_1$ નું રીડિંગ $0 \text{ A}$ છે.

(D) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની રેન્જ $d$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{2 R_e h}$
જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
$d = 64 \ km = 64 \times 10^3 \ m$
$R_e = 6.4 \times 10^6 \ m$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$d^2 = 2 R_e h$
$h$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$h = \frac{d^2}{2 R_e}$
કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{(64 \times 10^3)^2}{2 \times 6.4 \times 10^6} = \frac{4096 \times 10^6}{12.8 \times 10^6} = \frac{4096}{12.8} = 320 \ m$

(D) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(A_m)$ અને કેરિયર વેવના પીક વોલ્ટેજ $(A_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$m = \frac{A_m}{A_c}$
આપેલ છે:
$A_c = 15 V$
$m = 80\% = 0.80$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.80 = \frac{A_m}{15 V}$
$A_m = 0.80 \times 15 V$
$A_m = 12 V$
તેથી, મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $12 V$ હોવો જોઈએ।

(B) ધારો કે $I_{max}$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે. કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/3$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/3) = 2\pi/3$ થાય.
આપેલ તીવ્રતા $I_1 = I_0 = I_{max} \cos^2(2\pi/6) = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$.
આમ,$I_{max} = 4 I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ થાય.
$I_{max} = 4 I_0$ મૂકતા,આપણને $I_2 = 4 I_0$ મળે છે.