lim _{n rightarrow infty}left[frac{n+3}{n^2+1 | vedclass

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Question

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $S = \lim _{n

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$\frac{\pi}{4}+\frac{3}{2} \ln 2$

Vedclass · Answer

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n+3r}{n^2+r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें $S = \lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{\frac{1}{n} + 3\frac{r}{n^2}}{1 + (\frac{r}{n})^2} = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1 + 3(\frac{r}{n})}{1 + (\frac{r}{n})^2}$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\int_0^1 \frac{1+3x}{1+x^2} dx$ है।इसे $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + 3 \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx$ में विभाजित किया जा सकता है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें $[	an^{-1} x]_0^1 + \frac{3}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1$ प्राप्त होता है।$= (\frac{\pi}{4} - 0) + \frac{3}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{3}{2} \ln 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+3}{n^2+1^2}+\frac{n+6}{n^2+2^2}+\frac{n+9}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{2}{n}\right]=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1) \sqrt{2n+1}}+\frac{n}{(n+2) \sqrt{2(2n+2)}}+\frac{n}{(n+3) \sqrt{3(2n+3)}}+\ldots n \text{ पद}\right]=\int_0^1 f(x) d x$,तो $f(x)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^2} \sec ^2 \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} \sec ^2 \frac{4}{n^2}+\frac{3}{n^2} \sec ^2 \frac{9}{n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2} \sec ^2 \frac{n^2}{n^2}\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{2}^{3} x^{2} d x$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{1}{n}\right)+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{2}{n}\right)+\ldots+\sin \frac{\pi}{3}\right]=$

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