मान लीजिए O(0,0) मूल बिंदु है और रेखा L = x + | vedclass

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Question

(A) मूल बिंदु $O(0,0)$ को प्रतिच्छेदन बिंदुओं $A$ और $B$ से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण वक्र के समीकरण को रेखा $x + y = \lambda$ का उपयोग कर

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$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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(A) मूल बिंदु $O(0,0)$ को प्रतिच्छेदन बिंदुओं $A$ और $B$ से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण वक्र के समीकरण को रेखा $x + y = \lambda$ का उपयोग करके समघातीय (homogenize) बनाकर प्राप्त किया जाता है।समीकरण: $(\lambda^2 - 2\lambda + 2)x^2 + (-6\lambda + 4)xy + (\lambda^2 - 4\lambda + 2)y^2 = 0$चूंकि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:$(\lambda^2 - 2\lambda + 2) + (\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0$$2\lambda^2 - 6\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 1, 2$.रेखाएं $x + y - 1 = 0$ और $x + y - 2 = 0$ हैं।इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|-1 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

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वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ का व्यास,$(2, 1)$ केंद्र वाले दूसरे वृत्त की एक जीवा है। इस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

यदि समान त्रिज्या $a$ वाले और $(2, 3)$ तथा $(5, 6)$ केंद्रों वाले दो वृत्त लंबकोणीय (orthogonal) हैं,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $x+y=k$ वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $O$ मूल बिंदु है और $\angle AOB=90^{\circ}$ है,तो $k$ $(k>1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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