lim _{n rightarrow infty} prod_{r=1}^nleft(1+ | vedclass

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Question

(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\

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$\frac{4}{e}$

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(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln y = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{2 r}{n^2} \ln \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है:$\ln y = \int_0^1 2x \ln(1+x^2) dx$.माना $t = 1+x^2$,तब $dt = 2x dx$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.$\ln y = \int_1^2 \ln(t) dt$.समाकलन सूत्र $\int \ln(t) dt = t \ln(t) - t$ का उपयोग करने पर:$\ln y = [t \ln(t) - t]_1^2 = (2 \ln 2 - 2) - (1 \ln 1 - 1) = 2 \ln 2 - 2 + 1 = \ln(4) - 1 = \ln(4) - \ln(e) = \ln \left(\frac{4}{e}\right)$.अतः,$y = \frac{4}{e}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ का मान किसके बराबर है?

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$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin ^{-1} \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin ^{-1} \frac{2}{n} + \dots + \frac{n}{n} \sin ^{-1} \frac{n}{n} \right] =$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{1} + 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3} + \ldots + n \sqrt{n}}{n^{5/2}} \right) = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

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