अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ का व्यापक हल है

अवकल समीकरण $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx - \left[\left(\frac{x}{y}\right) \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy = 0$ का व्यापक हल है:

अवकल समीकरण $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

माना अवकल समीकरण $x dy = (\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y) dx$,$x > 0$ का हल वक्र रेखा $x = 1$ को $y = 0$ पर और रेखा $x = 2$ को $y = \alpha$ पर प्रतिच्छेद करता है। तो $\alpha$ का मान है।

यदि $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ एक समघातीय अवकल समीकरण (homogeneous differential equation) है,तो $f(x, y)$ का सामान्य रूप क्या है?

माना अवकल समीकरण $\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] x \frac{dy}{dx} = x + \left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] y$ का हल वक्र $y = y(x)$ बिंदुओं $(1, 0)$ और $(2\alpha, \alpha)$ से गुजरता है,जहाँ $\alpha > 0$ है। तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।