NEET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) एकसमान कोणीय त्वरण के तहत कोणीय वेग का सूत्र $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ है।
यहाँ, प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_{0} = 1200\,rpm$ और अंतिम कोणीय गति $\omega = 3120\,rpm$ है।
समय अंतराल $t = 16\,s$ है।
सबसे पहले, $1\,rpm = \frac{2\pi}{60}\,rad/s$ के संबंध का उपयोग करके कोणीय गति को $rpm$ से $rad/s$ में बदलें।
कोणीय गति में परिवर्तन $\Delta\omega = 3120 - 1200 = 1920\,rpm$ है।
इसे $rad/s$ में बदलने पर: $\Delta\omega = 1920 \times \frac{2\pi}{60} = 32 \times 2\pi = 64\pi\,rad/s$ प्राप्त होता है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\Delta\omega}{t} = \frac{64\pi}{16} = 4\pi\,rad/s^{2}$ है।

(A) घूर्णन त्रिज्या $k$ का सूत्र $k = \sqrt{\frac{I}{m}}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $m$ द्रव्यमान है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली समान डिस्क के लिए:
$1$. उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{mR^2}{2}$ है।
$2$. उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{mR^2}{4}$ है।
मान लीजिए कि $k_1$ और $k_2$ क्रमशः $I_1$ और $I_2$ के अनुरूप घूर्णन त्रिज्याएँ हैं।
अतः,$\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{mR^2 / 2}{mR^2 / 4}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2} = \sqrt{2}: 1$.

(A) $P-V$ आरेख में,रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जबकि समतापीय प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
सभी गैसों के लिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma > 1$ होता है,इसलिए रुद्धोष्म वक्र के ढाल का परिमाण समतापीय वक्र के ढाल से अधिक होता है।
अतः,रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है।
ग्राफ को देखने पर:
$1$ समआयतनिक प्रक्रिया (नियत आयतन) को दर्शाता है।
$4$ समदाबी प्रक्रिया (नियत दाब) को दर्शाता है।
$2$ और $3$ के बीच,वक्र $2$ वक्र $3$ की तुलना में अधिक तीव्र है।
इस प्रकार,वक्र $2$ रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है और वक्र $3$ समतापीय प्रक्रिया को दर्शाता है।

(B) चूंकि लिफ्ट स्थिर वेग से चल रही है,इसलिए कुल त्वरण $a = 0$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,केबल में तनाव $T$ को गुरुत्वाकर्षण बल और घर्षण बल दोनों को संतुलित करना चाहिए।
$T = mg + f$
यहाँ $m = 2000\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,और $f = 3000\,N$ दिया गया है:
$T = (2000 \times 10) + 3000 = 20000 + 3000 = 23000\,N$।
मोटर द्वारा दी गई शक्ति $P = T \times v$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 1.5\,m/s$ दिया गया है:
$P = 23000 \times 1.5 = 34500\,W$।

(D) समतल कोण को चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $(d\theta = ds/r)$। चूंकि चाप की लंबाई और त्रिज्या दोनों की विमा लंबाई $(L)$ है,इसलिए समतल कोण की विमा $[L^1/L^1] = [M^0 L^0 T^0]$ होती है,जो कि विमाहीन है। हालाँकि,इसकी एक इकाई है,जो रेडियन $(rad)$ है।
इसी प्रकार,ठोस कोण को गोलाकार सतह के क्षेत्रफल और त्रिज्या के वर्ग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $(d\Omega = dA/r^2)$। चूंकि क्षेत्रफल और त्रिज्या का वर्ग दोनों की विमा लंबाई का वर्ग $(L^2)$ है,इसलिए ठोस कोण की विमा $[L^2/L^2] = [M^0 L^0 T^0]$ होती है,जो कि विमाहीन है। हालाँकि,इसकी एक इकाई है,जो स्टेरेडियन $(sr)$ है।
अतः,समतल कोण और ठोस कोण में इकाइयाँ होती हैं लेकिन विमाएँ नहीं होती हैं।

(B) जब एक गोलाकार गेंद को अत्यधिक श्यान द्रव में गिराया जाता है, तो वह तीन बलों का अनुभव करती है: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल, और ऊपर की ओर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल और श्यान घर्षण बल।
गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = mg - F_B - F_v$ है, जहाँ $F_v = 6\pi\eta rv$ श्यान घर्षण बल है।
प्रारंभ में, चाल $(v)$ शून्य होती है, इसलिए श्यान घर्षण बल शून्य होता है, और गेंद नीचे की ओर त्वरित होती है। जैसे-जैसे चाल बढ़ती है, श्यान घर्षण बल बढ़ता जाता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, $ma = mg - F_B - 6\pi\eta rv$। जैसे-जैसे $v$ बढ़ता है, त्वरण $a$ घटता जाता है।
अंततः, गेंद एक स्थिर सीमांत वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लेती है जब कुल बल शून्य हो जाता है $(a = 0)$।
यह व्यवहार एक ऐसे वक्र द्वारा दर्शाया जाता है जो मूल बिंदु से शुरू होता है, जिसका ढलान घटता जाता है (त्वरण घटता है), और समय बढ़ने के साथ यह क्षैतिज (स्थिर वेग) हो जाता है। वक्र $B$ इस विवरण से मेल खाता है।

(B) $n^{\text{th}}$ सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि पिंड मुक्त रूप से गिर रहा है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ है।
अतः,$S_{n} = \frac{g}{2}(2n - 1)$.
इसका अर्थ है कि $S_{n} \propto (2n - 1)$.
$1^{\text{st}}, 2^{\text{nd}}, 3^{\text{rd}}$ और $4^{\text{th}}$ सेकंड के लिए अनुपात:
$S_{1} : S_{2} : S_{3} : S_{4} = (2(1) - 1) : (2(2) - 1) : (2(3) - 1) : (2(4) - 1)$.
$S_{1} : S_{2} : S_{3} : S_{4} = 1 : 3 : 5 : 7$.

(D) साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P_{in} = P_{0} + \frac{4T}{R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $P_{0}$ वायुमंडलीय दबाव है, $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बुलबुले की त्रिज्या है。
जैसे-जैसे साबुन का बुलबुला फैलता है, उसकी त्रिज्या $R$ बढ़ती है。
चूंकि पद $\frac{4T}{R}$, $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है, $\frac{4T}{R}$ का मान घटता है。
अतः, बुलबुले के अंदर का कुल दबाव $P_{in}$ घट जाता है。

(A) किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $I_g$ को उस बिंदु पर रखे गए प्रति इकाई द्रव्यमान पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I_g = \frac{F}{m}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 60 \, g = 60 \times 10^{-3} \, kg = 0.06 \, kg$
बल $F = 3.0 \, N$
मान रखने पर:
$I_g = \frac{3.0 \, N}{0.06 \, kg} = 50 \, N/kg$
अतः,गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $50 \, N/kg$ है।

(B) तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $\mu$ स्थिर रहता है,इसलिए चाल तनाव के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $v \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक तनाव $T_i = T$ है और अंतिम तनाव $T_f = 2T$ है।
प्रारंभिक चाल $v_i$ और अंतिम चाल $v_f$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_i}{v_f} = \sqrt{\frac{T}{2T}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(C) कण का वेग विस्थापन-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{dx}{dt} = \tan \theta$
दिए गए कोण $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ हैं,इसलिए उनके वेगों का अनुपात होगा:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,वेगों का अनुपात $1: \sqrt{3}$ है।

(A) मान लीजिए कि $10\,kg$ द्रव्यमान मूल बिंदु $(x_1 = 0)$ पर है और $20\,kg$ द्रव्यमान $x_2 = 10\,m$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र $X_{CM}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$X_{CM} = \frac{10 \times 0 + 20 \times 10}{10 + 20}$
$X_{CM} = \frac{200}{30} = \frac{20}{3}\,m$.
अतः,$10\,kg$ द्रव्यमान से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{20}{3}\,m$ है।

(B) शुरुआत में,शेल स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
मान लीजिए कि तीन टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1 = \frac{2m}{5}$,$m_2 = \frac{2m}{5}$,और $m_3 = \frac{m}{5}$ हैं।
$\frac{2m}{5}$ द्रव्यमान वाले दो टुकड़े परस्पर लंबवत दिशाओं में $v$ गति के साथ चलते हैं। मान लीजिए उनके वेग सदिश $\vec{v}_1 = -v \hat{i}$ और $\vec{v}_2 = -v \hat{j}$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3$
$0 = \frac{2m}{5}(-v \hat{i}) + \frac{2m}{5}(-v \hat{j}) + \frac{m}{5} \vec{v}_3$
$\frac{m}{5} \vec{v}_3 = \frac{2m}{5} v \hat{i} + \frac{2m}{5} v \hat{j}$
$\vec{v}_3 = 2v \hat{i} + 2v \hat{j}$
तीसरे टुकड़े की गति $\vec{v}_3$ का परिमाण है:
$v_3 = |\vec{v}_3| = \sqrt{(2v)^2 + (2v)^2} = \sqrt{4v^2 + 4v^2} = \sqrt{8v^2} = 2\sqrt{2} v$.

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $L_1 = 121 \ cm = 1.21 \ m$ और $L_2 = 100 \ cm = 1.0 \ m$ है।
मान लीजिए लंबे लोलक के दोलनों की संख्या $n_1$ है और छोटे लोलक के दोलनों की संख्या $n_2$ है।
उनके फिर से माध्य स्थिति में समान कला में होने के लिए,कुल समय समान होना चाहिए: $n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$n_1 (2 \pi \sqrt{\frac{1.21}{g}}) = n_2 (2 \pi \sqrt{\frac{1.0}{g}})$.
$n_1 (1.1) = n_2 (1.0)$.
$1.1 n_1 = n_2$,जिसका अर्थ है $\frac{n_2}{n_1} = \frac{1.1}{1} = \frac{11}{10}$.
चूंकि $n_2$ और $n_1$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए छोटे लोलक $(n_2)$ के लिए कंपनों की न्यूनतम संख्या $11$ है और लंबे लोलक $(n_1)$ के लिए $10$ है।

(C) आयताकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Breadth}$.
यहाँ,लंबाई $= 55.3 \ m$ ($3$ सार्थक अंक) और चौड़ाई $= 25 \ m$ ($2$ सार्थक अंक) है।
गुणनफल करने पर: $55.3 \times 25 = 1382.5 \ m^{2}$.
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,गुणनफल के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या उतनी ही होनी चाहिए जितनी उस माप में है जिसमें सबसे कम सार्थक अंक हैं।
यहाँ,सबसे कम सार्थक अंकों की संख्या $2$ है (जो $25 \ m$ में है)।
$1382.5$ को $2$ सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर,हमें $1400 \ m^{2}$ प्राप्त होता है,जिसे $14 \times 10^{2} \ m^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल वेग का क्षैतिज घटक शेष रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $u = 10 \ ms^{-1}$ और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$v_x = 10 \cos 30^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ ms^{-1}$.
अतः,उच्चतम बिंदु पर चाल $5 \sqrt{3} \ ms^{-1}$ है।

(A) $1$. गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ से,$G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$। विमीय सूत्र $[MLT^{-2}][L^2] / [M^2] = [M^{-1}L^3T^{-2}]$ होता है। अतः,$(a)-(ii)$।
$2$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U)$: $U = -\frac{G M m}{r}$। विमीय सूत्र $[MLT^{-2}][L] = [ML^2T^{-2}]$ होता है। अतः,$(b)-(iv)$।
$3$. गुरुत्वीय विभव $(V)$: $V = \frac{U}{m}$। विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}] / [M] = [L^2T^{-2}]$ होता है। अतः,$(c)-(i)$।
$4$. गुरुत्वीय तीव्रता $(E)$: $E = \frac{F}{m}$। विमीय सूत्र $[MLT^{-2}] / [M] = [LT^{-2}]$ होता है। अतः,$(d)-(iii)$।
अतः,सही मिलान $(a)-(ii), (b)-(iv), (c)-(i), (d)-(iii)$ है।

(B) जब एक स्प्रिंग को खींचा जाता है,तो स्प्रिंग के तार में केवल लंबाई में परिवर्तन के बजाय आकार में परिवर्तन (मरोड़/अपरूपण) होता है। इसलिए,स्प्रिंग की कठोरता उसके पदार्थ के शियर मॉडुलस $(G)$ द्वारा निर्धारित होती है।
अभिकथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के संबंध में,तांबे की तुलना में स्टील का यंग मॉडुलस और तन्य शक्ति बहुत अधिक होती है। इसलिए,समान आयामों वाली तांबे की स्प्रिंग की तुलना में स्टील की स्प्रिंग अधिक मजबूत होती है और विरूपण के प्रति अधिक प्रतिरोधी होती है। अतः,यह कथन कि तांबे की स्प्रिंग की तन्य शक्ति स्टील की स्प्रिंग से अधिक होती है,असत्य है।
कारण $(R)$ असत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) मोलों की संख्या $n$,जल के द्रव्यमान को उसके मोलर द्रव्यमान $(H_{2}O)$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
दिया गया द्रव्यमान $= 4.5 \, kg = 4.5 \times 10^{3} \, g$.
जल का मोलर द्रव्यमान $= 18 \, g/mol$.
$n = \frac{4.5 \times 10^{3}}{18} = 0.25 \times 10^{3} = 250 \, mol$.
$STP$ पर,एक आदर्श गैस के $1 \, mol$ का आयतन $22.4 \, L = 22.4 \times 10^{-3} \, m^{3}$ होता है।
अतः,कुल आयतन $V = n \times 22.4 \times 10^{-3} \, m^{3}$.
$V = 250 \times 22.4 \times 10^{-3} \, m^{3} = 5.6 \, m^{3}$.

(A) एक आवर्ती फलन वह है जो समय के नियमित अंतराल पर अपने मानों को दोहराता है।
$\sin \omega t$,$\cos \omega t$ और उनके रैखिक संयोजन जैसे फलन आवर्ती होते हैं क्योंकि वे $T = 2\pi / \omega$ की समयावधि के बाद अपने मानों को दोहराते हैं।
फलन $f(t) = e^{-\omega t}$ एक चरघातांकी क्षय फलन है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$e^{-\omega t}$ एकदिश रूप से घटता है और $t \to \infty$ होने पर शून्य के करीब पहुंच जाता है।
चूंकि यह कभी भी अपने मानों को नहीं दोहराता है,इसलिए यह एक गैर-आवर्ती गति का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिए गए मान हैं: प्रारंभिक वेग $u = 20\,m/s$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = \frac{(20)^2 \sin^2(30^{\circ})}{2 \times 10}$
$H = \frac{400 \times (1/2)^2}{20}$
$H = \frac{400 \times 1/4}{20}$
$H = \frac{100}{20} = 5\,m$.
अतः,गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $5\,m$ है।

(A) सबसे पहले,निकाय का त्वरण ज्ञात करें। कुल द्रव्यमान $M = 3 + 2 + 1 = 6\,kg$ है।
ढलान के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_1 = 60\,N$ (ऊपर की ओर) और $F_2 = 18\,N$ (नीचे की ओर) हैं।
सभी ब्लॉकों के लिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $Mg \sin 30^{\circ} = 6 \times 10 \times 0.5 = 30\,N$ है।
परिणामी बल $F_{\text{net}} = 60 - 18 - 30 = 12\,N$ है।
त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{M} = \frac{12}{6} = 2\,ms^{-2}$ (ऊपर की ओर)।
अब,$1\,kg$ के ब्लॉक पर विचार करें। मान लीजिए $2\,kg$ और $1\,kg$ के ब्लॉकों के बीच अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ है।
$1\,kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल $N$ (ऊपर की ओर),$F_2 = 18\,N$ (नीचे की ओर),और $mg \sin 30^{\circ} = 1 \times 10 \times 0.5 = 5\,N$ (नीचे की ओर) हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $N - 18 - 5 = m \times a \implies N - 23 = 1 \times 2 \implies N = 25\,N$।

(A) बर्तन के आधार पर तरल स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ तरल स्तंभ की ऊंचाई है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
चूंकि दोनों बर्तन $A$ और $B$ को एक ही तरल (पानी) से समान ऊंचाई $h$ तक भरा जाता है,इसलिए आधार पर दबाव केवल ऊंचाई $h$,घनत्व $\rho$ और स्थिरांक $g$ पर निर्भर करता है।
चूंकि $h$,$\rho$,और $g$ दोनों बर्तनों के लिए समान हैं,इसलिए बर्तन $A$ के आधार पर दबाव बर्तन $B$ के आधार पर दबाव के बराबर होना चाहिए।

(A) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले तरल में $v$ टर्मिनल वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की गोलाकार वस्तु पर लगने वाला श्यान ड्रैग बल $F$ इस प्रकार है:
$F = 6 \pi \eta r v$
दी गई मान:
त्रिज्या $r = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$
वेग $v = 10\,cm\,s^{-1} = 10 \times 10^{-2}\,m\,s^{-1} = 0.1\,m\,s^{-1}$
श्यानता $\eta = 0.9\,kg\,m^{-1}s^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = 6 \times 3.14 \times 0.9 \times (5 \times 10^{-3}) \times (0.1)$
$F = 6 \times 3.14 \times 0.9 \times 5 \times 10^{-4}$
$F = 84.78 \times 10^{-4}\,N$
$F = 8.478 \times 10^{-3}\,N \approx 8.48 \times 10^{-3}\,N$

(C) दिया गया है: $\overrightarrow{ F }=2 \hat{ i }+\hat{ j }-\hat{ k }$ और $\overrightarrow{ r }=3 \hat{ i }+2 \hat{ j }-2 \hat{ k }$.
$1$. अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट):
$\overrightarrow{ F } \cdot \overrightarrow{ r } = (2)(3) + (1)(2) + (-1)(-2) = 6 + 2 + 2 = 10$.
$2$. सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट):
$\overrightarrow{ F } \times \overrightarrow{ r } = \begin{vmatrix} \hat{ i } & \hat{ j } & \hat{ k } \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{ i }((1)(-2) - (-1)(2)) - \hat{ j }((2)(-2) - (-1)(3)) + \hat{ k }((2)(2) - (1)(3))$
$= \hat{ i }(-2 + 2) - \hat{ j }(-4 + 3) + \hat{ k }(4 - 3)$
$= 0 \hat{ i } + 1 \hat{ j } + 1 \hat{ k } = \hat{ j } + \hat{ k }$.
$3$. सदिश गुणनफल का परिमाण:
$|\overrightarrow{ F } \times \overrightarrow{ r }| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
अतः,परिमाण $10$ और $\sqrt{2}$ हैं।

(D) हुक के नियम के अनुसार,स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल $F$ साम्यावस्था से विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती होता है और विपरीत दिशा में कार्य करता है।
इसे समीकरण $F = -kx$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूँकि संबंध $F = -kx$ है,इसलिए $F$ और $x$ के बीच का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसका ढाल (slope) ऋणात्मक $(-k)$ है।
अतः,सही निरूपण ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $D$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,g = 0.005\,kg$,रैखिक संवेग $p = 0.3\,kg\,m/s$,समय $t = 5\,s$।
हम जानते हैं कि रैखिक संवेग $p = mv$,जहाँ $v$ वेग है।
मान रखने पर: $0.005 \times v = 0.3$।
वेग के लिए हल करने पर: $v = \frac{0.3}{0.005} = \frac{300}{5} = 60\,m/s$।
यह मानते हुए कि पिंड एकसमान वेग से गति कर रहा है,तय की गई दूरी $d = v \times t$ होगी।
$d = 60\,m/s \times 5\,s = 300\,m$।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,दो बिंदुओं के बीच किसी वस्तु को ले जाने में संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
यह केवल वस्तु की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
चूंकि तीनों रास्ते बिंदु $A$ से शुरू होते हैं और बिंदु $B$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए प्रत्येक रास्ते पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य समान होना चाहिए।
अतः,$W_1 = W_2 = W_3$।

(D) अभिकथन $(A)$ गलत है क्योंकि यह कहता है कि टुकड़े स्वयं मूल पथ का अनुसरण करते हैं। वास्तव में,केवल टुकड़ों का द्रव्यमान केंद्र $(C.O.M.)$ मूल परवलयाकार प्रक्षेप पथ का अनुसरण करना जारी रखता है।
कारण $(R)$ सही है क्योंकि विस्फोट आंतरिक रासायनिक बलों के कारण होता है,और विस्फोट के दौरान बाहरी बल (गुरुत्वाकर्षण) अपरिवर्तित रहता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ सही नहीं है लेकिन कारण $(R)$ सही है।

(A) सुमेलन इस प्रकार है:
$(a) \rightarrow (iv)$: ग्राफ अवमंदित दोलनों को दर्शाता है जहाँ वायु घर्षण के कारण समय के साथ आयाम कम हो जाता है।
$(b) \rightarrow (iii)$: ग्राफ एक रैखिक संबंध $y = -kx$ को दर्शाता है,जो स्प्रिंग के प्रत्यानयन बल $(F = -kx)$ के अनुरूप है।
$(c) \rightarrow (ii)$: ग्राफ स्थिर आयाम के साथ सरल आवर्त गति को दर्शाता है,जो नगण्य वायु घर्षण के तहत दोलन करने वाले एक आदर्श लोलक के अनुरूप है।
$(d) \rightarrow (i)$: ग्राफ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाता है,जहाँ उनका योग (कुल यांत्रिक ऊर्जा) स्थिर रहता है।
अतः,सही सुमेलन $(a)-(iv), (b)-(iii), (c)-(ii), (d)-(i)$ है।

(C) दी गई प्रक्रिया का समीकरण $PV^2 = C$ है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$।
इसे प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{nRT}{V})V^2 = C$।
यह सरल होकर $nRTV = C$ हो जाता है,या $TV = \text{constant}$ (चूंकि $nR$ और $C$ नियतांक हैं)।
इसलिए,$T_1 V_1 = T_2 V_2$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} = \frac{V_2}{V_1}$।
यदि $V_2 > V_1$ है,तो $\frac{V_2}{V_1} > 1$,जिसका अर्थ है $\frac{T_1}{T_2} > 1$,इसलिए $T_1 > T_2$ या $T_2 < T_1$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
यंग मापांक $(Y)$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए $Y$ का विमीय सूत्र प्रतिबल के विमीय सूत्र के समान होता है।
प्रतिबल को भी प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
अतः,यंग मापांक का विमीय सूत्र दाब के विमीय सूत्र के समान है।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 60\,rpm = 60 \times \frac{2\pi}{60} = 2\pi\,rad/s$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = 360\,rpm = 360 \times \frac{2\pi}{60} = 12\pi\,rad/s$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E. = \frac{1}{2} I (\omega_f^2 - \omega_i^2) = 484\,J$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} I ((12\pi)^2 - (2\pi)^2) = 484$.
$\frac{1}{2} I (144\pi^2 - 4\pi^2) = 484$.
$\frac{1}{2} I (140\pi^2) = 484$.
$70\pi^2 I = 484$.
$\pi^2 \approx 9.86$ का उपयोग करने पर,$70 \times 9.86 \times I = 484$.
$690.2 I = 484$.
$I = \frac{484}{690.2} \approx 0.701\,kg\cdot m^2$.

(B) ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4\ell}$ (बंद पाइप के लिए) या $n = \frac{v}{2\ell}$ (खुली पाइप के लिए) द्वारा दी जाती है। दोनों स्थितियों में,$n \propto v$ है।
चूंकि गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,आवृत्ति $n$ निरपेक्ष तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $n \propto \sqrt{T}$।
यहाँ $T_1 = 27^{\circ}C = 300\,K$ और $T_2 = 90^{\circ}C = 363\,K$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
$\frac{n_2}{400} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$।
$n_2 = 400 \times 1.1 = 440\,Hz$।

(A) एकसमान धनात्मक त्वरण $(a > 0)$ के साथ गति कर रही वस्तु के लिए,स्थिति-समय समीकरण गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$।
यदि हम प्रारंभिक स्थिति $x_0 = 0$ और प्रारंभिक वेग $v_0 = 0$ मान लें,तो समीकरण $x = \frac{1}{2} a t^2$ हो जाता है।
यह समीकरण $x-t$ तल में ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,वक्र की स्पर्शरेखा का ढाल (जो वेग $v = \frac{dx}{dt} = at$ को दर्शाता है) भी बढ़ता है,जो यह इंगित करता है कि वेग समय के साथ बढ़ रहा है,जो धनात्मक त्वरण की परिभाषा है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिखाया गया ग्राफ धनात्मक त्वरण के साथ गति को दर्शाता है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,चूंकि सभी पात्रों के लिए $P$,$V$ और $T$ समान हैं,इसलिए मोलों की संख्या $n$ समान होगी। एवोगेड्रो के नियम के अनुसार,सभी पात्रों में अणुओं की संख्या समान होगी।
गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(V_{rms})$ का सूत्र है:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$
$M_{F_2} = 38 \text{ g/mol}$
$M_{SF_6} = 146 \text{ g/mol}$
चूंकि हीलियम का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी वर्ग माध्य मूल चाल सबसे अधिक होगी।

(C) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}$ और गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ के बीच का संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ है।
दिया गया है $V = -\frac{K}{x}$,इसलिए $x$-अक्ष पर क्षेत्र की तीव्रता का घटक $E_x = -\frac{dV}{dx}$ होगा।
$E_x = -\frac{d}{dx} \left( -\frac{K}{x} \right) = K \frac{d}{dx} (x^{-1}) = K (-1) x^{-2} = -\frac{K}{x^2}$।
चूंकि विभव केवल $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए $E_y$ और $E_z$ घटक शून्य होंगे।
बिंदु $(2, 0, 3) \ m$ पर,$x$-निर्देशांक $2$ है।
$E_x$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर:
$E_x = -\frac{K}{2^2} = -\frac{K}{4}$।

(D) स्थायी अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए जंक्शन पर तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए ऊष्मा धारा $H$ दोनों के लिए समान है।
$H_{Cu} = H_{Steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{\ell} = \frac{K_{Steel} A (\theta - 0)}{\ell}$
यहाँ $K_{Cu} = 385 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ और $K_{Steel} = 50 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ दिया गया है।
$385(100 - \theta) = 50(\theta - 0)$
$5$ से विभाजित करने पर:
$77(100 - \theta) = 10\theta$
$7700 - 77\theta = 10\theta$
$87\theta = 7700$
$\theta = \frac{7700}{87} \approx 88.5^{\circ} \, C$.

(C) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2}$ है।
$g$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $L = 10 \, cm$,$\Delta L = 0.1 \, cm$,$T = 100 \, s$,और $\Delta T = 1 \, s$।
$g$ में प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta g}{g} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta T}{T} \times 100 \right)$ है।
प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{0.1}{10} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{1}{100} \times 100 \right)$।
प्रतिशत त्रुटि $= 1\% + 2\% = 3\%$।
अतः,$g$ के मापन में प्रतिशत त्रुटि $3\%$ है।

(D) मान लीजिए कि $t = 0$ पर दोनों तत्वों के लिए रेडियोधर्मी परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,समय $t$ पर शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
तत्व $X_1$ के लिए,जिसका क्षय नियतांक $\lambda_1 = 10\lambda$ है,परमाणुओं की संख्या $N_1 = N_0 e^{-10\lambda t}$ है।
तत्व $X_2$ के लिए,जिसका क्षय नियतांक $\lambda_2 = \lambda$ है,परमाणुओं की संख्या $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
$N_1$ और $N_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$
$e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$
$e^{-9\lambda t} = e^{-1}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$-9\lambda t = -1$
$t = \frac{1}{9\lambda}$.

(B) बायो-सावर्ट नियम का व्यंजक है: $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$.
कथन $I$ सही है क्योंकि यह नियम विशेष रूप से एक सूक्ष्म धारा अवयव $Id\vec{l}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र के योगदान को परिभाषित करता है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि इसमें स्रोतों की प्रकृति को आपस में बदल दिया गया है। बायो-सावर्ट नियम में एक सदिश स्रोत $(Id\vec{l})$ शामिल होता है,जबकि कूलॉम के नियम में एक अदिश स्रोत (आवेश $q$) शामिल होता है। कथन में इसके विपरीत दावा किया गया है,इसलिए यह गलत है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(B) दिया गया है: वक्रता त्रिज्याएँ $R_{1} = +20 \ cm = +0.2 \ m$ और $R_{2} = -20 \ cm = -0.2 \ m$ (उभयोत्तल लेंस के लिए चिह्न परिपाटी के अनुसार)।
अपवर्तनांक $\mu = 1.5 = \frac{3}{2}$.
लेंस मेकर सूत्र $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$ है।
मान रखने पर: $P = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{0.2} - \frac{1}{-0.2} \right)$.
$P = (0.5) \left( \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} \right) = (0.5) \left( \frac{2}{0.2} \right)$.
$P = (0.5) \times 10 = +5 \ D$.

(A) $Q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के खोखले चालक गोले की सतह पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है: $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$.
यहाँ,$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$ एक नियतांक है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों पर समान आवेश $Q$ है।
अतः,विभव $V$ त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $V \propto \frac{1}{R}$।
चूंकि $R_{1} >> R_{2}$ है,इसलिए छोटे गोले की त्रिज्या $R_{2}$ है।
चूंकि $R_{2} < R_{1}$ है,इसलिए $V_{2} > V_{1}$ होगा।
अतः,छोटे गोले पर विभव अधिक होगा।

(B) चालकों के लिए,प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha$ धनात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि तापमान के साथ प्रतिरोध बढ़ता है।
अर्धचालकों के लिए,प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha$ ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों की संख्या में वृद्धि के कारण प्रतिरोध घटता है।

(C) परिपथ $(a)$ में,दोनों p-n जंक्शन समान फॉरवर्ड-बायस अभिविन्यास में जुड़े हुए हैं। चूंकि वे समान हैं और श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक जंक्शन पर विभवांतर समान होता है।
परिपथ $(b)$ में,एक जंक्शन फॉरवर्ड-बायस में है जबकि दूसरा रिवर्स-बायस में है। रिवर्स-बायस जंक्शन बहुत अधिक प्रतिरोध प्रदान करता है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर फॉरवर्ड-बायस जंक्शन की तुलना में काफी अधिक होगा।
परिपथ $(c)$ में,दोनों p-n जंक्शन समान रिवर्स-बायस अभिविन्यास में जुड़े हुए हैं। चूंकि वे समान हैं और श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक जंक्शन पर विभवांतर समान होता है।
अतः,परिपथ $(a)$ और $(c)$ दोनों में दो p-n जंक्शनों के सिरों पर विभवांतर समान है।

(B) विधि $(i)$:
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$।
यहाँ $n_1 = 1$ (वायु),$n_2 = \sqrt{3}$ (कांच),और $i = 60^{\circ}$ दिया गया है।
$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$
$\sin r = \frac{1}{2} \implies r = 30^{\circ}$।
परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण $i = 60^{\circ}$ है।
अपवर्तित किरण और अभिलंब के बीच का कोण $r = 30^{\circ}$ है।
परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $180^{\circ} - (i + r) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ होगा।
विधि $(ii)$:
चूंकि आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ ब्रूस्टर कोण की शर्त को पूरा करता है,जहाँ $\tan i_p = \mu = \sqrt{3}$,इसका अर्थ है $i_p = 60^{\circ}$।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(D) ट्रांसमीटर की शक्ति $P = 100\,kW = 100 \times 10^{3}\,W = 10^{5}\,W$ है।
समय $t = 1\,\text{घंटा }= 3600\,\text{सेकंड}$ है।
विकिरित ऊर्जा $E$ ज्ञात करने का सूत्र $E = P \times t$ है।
मान रखने पर, $E = 10^{5}\,W \times 3600\,\text{सेकंड}$ प्राप्त होता है।
अतः, $E = 3600 \times 10^{5}\,J = 36 \times 10^{7}\,J$।

(B) धारावाही चालक पर चुंबकीय बल $F = BIl \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B = F / (Il)$.
बल $F$ की विमाएँ $[MLT^{-2}]$ हैं।
धारा $I$ की विमाएँ $[A]$ हैं।
लंबाई $l$ की विमाएँ $[L]$ हैं।
इसलिए,$B$ की विमाएँ $[MLT^{-2}] / ([A][L]) = [MT^{-2}A^{-1}]$ हैं।
चुंबकीय पारगम्यता $\mu$,$B = \mu H$ द्वारा $B$ और $H$ से संबंधित है,जहाँ $H$ की विमाएँ $[IL^{-1}] = [AL^{-1}]$ हैं।
अतः,$\mu = B / H = [MT^{-2}A^{-1}] / [AL^{-1}] = [MLT^{-2}A^{-2}]$.
अतः,विमाएँ $[MLT^{-2}A^{-2}]$ चुंबकीय पारगम्यता के अनुरूप हैं।

(B) प्रत्यावर्ती धारा $(ac)$ स्रोत के लिए,शिखर वोल्टेज $(V_0)$ और रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वोल्टेज $(V_{rms})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$.
शिखर वोल्टेज के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms}$.
अतः,शिखर वोल्टेज $ac$ स्रोत के $rms$ मान का $\sqrt{2}$ गुना होता है।

(A) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ धारा है।
दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = 100 \text{ फेरे/mm} = 100 \times 10^3 \text{ फेरे/m} = 10^5 \text{ फेरे/m}$.
धारा $i = 1\,A$.
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\,\text{m/A}$.
मान रखने पर:
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (10^5) \times (1)$
$B = 4\pi \times 10^{-2} \text{ T}$
$B \approx 4 \times 3.14 \times 10^{-2} \text{ T} = 12.56 \times 10^{-2} \text{ T}$.

(C) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम तरंगों को उनकी तरंगदैर्ध्य सीमा के आधार पर वर्गीकृत करता है:
$(a)$ $AM$ रेडियो तरंगों की तरंगदैर्ध्य लंबी होती है, जो आमतौर पर $10^{2} \, m$ के आसपास होती है ($(ii)$ के साथ मेल खाता है)।
$(b)$ सूक्ष्म तरंगों (Microwaves) की तरंगदैर्ध्य $10^{-2} \, m$ की सीमा में होती है ($(iii)$ के साथ मेल खाता है)।
$(c)$ अवरक्त विकिरण (Infrared) की तरंगदैर्ध्य $10^{-4} \, m$ के आसपास होती है ($(iv)$ के साथ मेल खाता है)।
$(d)$ $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य बहुत कम होती है, जो आमतौर पर $10^{-10} \, m$ के आसपास होती है ($(i)$ के साथ मेल खाता है)।
अतः, सही मिलान $(a) - (ii), (b) - (iii), (c) - (iv), (d) - (i)$ है।

(A) चूंकि दोनों प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों के सिरों पर विभवांतर $(V)$ समान होगा।
प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा $(H)$ का सूत्र $H = \frac{V^2}{R} \times t$ है।
दिए गए समय $(t)$ और स्थिर विभवांतर $(V)$ के लिए,ऊष्मीय ऊर्जा प्रतिरोध के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $H \propto \frac{1}{R}$।
अतः,$100\,\Omega$ $(H_1)$ में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा और $200\,\Omega$ $(H_2)$ में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{200\,\Omega}{100\,\Omega} = \frac{2}{1}$।
इस प्रकार,अनुपात $2: 1$ है।

(B) हाफ-वेव रेक्टिफायर में,डायोड केवल इनपुट $AC$ सिग्नल के धनात्मक अर्ध-चक्र (positive half-cycle) के दौरान ही चालन करता है।
इसलिए,आउटपुट सिग्नल में इनपुट सिग्नल के प्रत्येक पूर्ण चक्र के लिए एक पल्स होती है।
परिणामस्वरूप,आउटपुट सिग्नल की आवृत्ति इनपुट सिग्नल की आवृत्ति के बराबर होती है।
यह दिया गया है कि इनपुट आवृत्ति $f_{\text{in}} = 60\,Hz$ है,इसलिए आउटपुट आवृत्ति $f_{\text{out}}$ भी $60\,Hz$ होगी।

(B) एक समविभव पृष्ठ पर आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है क्योंकि पृष्ठ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है।
किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \int \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ है।
चूंकि $q \neq 0$ और $d\vec{l} \neq 0$,इसका अर्थ है कि $\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ है।
इसका मतलब है कि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ समविभव पृष्ठ पर विस्थापन सदिश $d\vec{l}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,विद्युत बल रेखाओं और समविभव पृष्ठ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = h\nu - h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति $\nu$ के लिए,निरोधी विभव $\frac{V_s}{2}$ है। अतः,$e(\frac{V_s}{2}) = h\nu - h\nu_0$ --- $(1)$
आवृत्ति $\frac{\nu}{2}$ के लिए,निरोधी विभव $V_s$ है। अतः,$eV_s = h(\frac{\nu}{2}) - h\nu_0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,हमें $eV_s = \frac{h\nu}{2} - h\nu_0$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{1}{2}(\frac{h\nu}{2} - h\nu_0) = h\nu - h\nu_0$
$\frac{h\nu}{4} - \frac{h\nu_0}{2} = h\nu - h\nu_0$
$h\nu_0 - \frac{h\nu_0}{2} = h\nu - \frac{h\nu}{4}$
$\frac{h\nu_0}{2} = \frac{3h\nu}{4}$
$\nu_0 = \frac{3}{2}\nu$.

(A) दिया गया है:
वर्गाकार लूप की भुजा की लंबाई,$l = 1\,m$।
लूप का क्षेत्रफल,$A = l^2 = (1\,m)^2 = 1\,m^2$।
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.5\,T$।
लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{B}$ के समानांतर है।
इसलिए,$\overrightarrow{B}$ और $\overrightarrow{A}$ के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\phi = B A \cos\theta$
मान रखने पर:
$\phi = 0.5 \times 1 \times \cos(0^\circ)$
चूंकि $\cos(0^\circ) = 1$,
$\phi = 0.5 \times 1 \times 1 = 0.5\,Wb$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है।
इसलिए,$T_1 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
इसलिए,$T_2 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$।
अनुपात $T_1 : T_2$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$।
अतः,अनुपात $9:4$ है।

(C) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,संवेग $(p)$ वाले कण से जुड़ी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{h}{p}$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $\lambda$,$p$ के व्युत्क्रमानुपाती है (अर्थात,$\lambda \propto \frac{1}{p}$)।
जैसे-जैसे संवेग $(p)$ बढ़ता है,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ घटती जाती है।
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है,जिसे विकल्प $C$ में सही ढंग से दिखाया गया है।

(C) पर्दे पर खंड की चौड़ाई $y = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
अतः,$y = n \lambda \left(\frac{D}{d}\right)$.
चूँकि खंड की लंबाई $y$ और प्रायोगिक मापदंड $D$ और $d$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ होगा।
दिया गया है $n_1 = 8$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,और $\lambda_2 = 400 \ nm$.
मान रखने पर: $8 \times 600 = n_2 \times 400$.
$n_2 = \frac{8 \times 600}{400} = \frac{4800}{400} = 12$.
इसलिए,छात्र $12$ फ्रिंज देखेगा।

(B) दी गई अभिक्रिया ${ }_{11}^{22} Na \rightarrow X + e ^{+} + \nu$ है।
यह $\beta^{+}$ क्षय (पॉज़िट्रॉन उत्सर्जन) को दर्शाता है।
$\beta^{+}$ क्षय में,परमाणु क्रमांक $Z$ में $1$ की कमी होती है जबकि द्रव्यमान संख्या $A$ स्थिर रहती है।
जनक नाभिक ${ }_{11}^{22} Na$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 11$ और द्रव्यमान संख्या $A = 22$ है।
पॉज़िट्रॉन $(e^{+})$ उत्सर्जित करने के बाद,नया परमाणु क्रमांक $Z' = 11 - 1 = 10$ हो जाता है।
द्रव्यमान संख्या $A' = 22$ रहती है।
परमाणु क्रमांक $10$ वाला तत्व नियॉन $(Ne)$ है।
अतः,अभिक्रिया ${ }_{11}^{22} Na \rightarrow { }_{10}^{22} Ne + e ^{+} + \nu$ है।
इस प्रकार,$X$ का मान ${ }_{10}^{22} Ne$ है।

(C) दिया गया है: लंबाई $L = 10 \, m$,त्रिज्या $r = \frac{10^{-2}}{\sqrt{\pi}} \, m$,प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$,विद्युत क्षेत्र $E = 10 \, V/m$।
सबसे पहले,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करें:
$A = \pi r^{2} = \pi \left( \frac{10^{-2}}{\sqrt{\pi}} \right)^{2} = \pi \cdot \frac{10^{-4}}{\pi} = 10^{-4} \, m^{2}$।
हम जानते हैं कि धारा घनत्व $J = \sigma E$,जहाँ $\sigma$ चालकता है।
चूंकि $\sigma = \frac{1}{\rho}$ और $R = \rho \frac{L}{A}$,इसलिए $\rho = \frac{RA}{L}$।
अतः,$\sigma = \frac{L}{RA}$।
इस मान को $J$ के समीकरण में रखने पर:
$J = \left( \frac{L}{RA} \right) E = \frac{E \cdot L}{R \cdot A}$।
मान रखने पर:
$J = \frac{10 \times 10}{10 \times 10^{-4}} = \frac{100}{10^{-3}} = 10^{5} \, A/m^{2}$।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$,उसकी सापेक्ष विद्युतशीलता $\varepsilon_{r}$ और सापेक्ष चुंबकशीलता $\mu_{r}$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है: $n = \sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}$.
चूंकि अपवर्तनांक को निर्वात में प्रकाश की चाल $c$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $v$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $n = \frac{c}{v}$ होता है।
इसे $v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{c}{n}$ प्राप्त होता है।
$n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}}$ प्राप्त होता है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या वाले और $I$ स्थिर धारा का वहन करने वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < R)$: चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$ होता है। अतः,$B \propto r$,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र केंद्र से दूरी $r$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
$2$. तार के बाहर $(r > R)$: चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है। अतः,$B \propto 1/r$,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र केंद्र से दूरी $r$ के साथ $1/r$ के अनुसार घटता है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र सीमा $(r = R)$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है और उसके बाद बाहरी क्षेत्र के लिए $1/r$ के अनुसार घटता है।

(A) दिया गया है: $L = 10\,H$,$C = 10 \times 10^{-6}\,F$,$R = 50\,\Omega$,और $V = 200 \sin(100t)$.
$V = V_{m} \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 100\,rad/s$ प्राप्त होती है।
$AC$ स्रोत की आवृत्ति $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi}\,Hz$ है।
$LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $\nu_{0}$ का सूत्र $\nu_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ है।
मान रखने पर: $\nu_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-2}} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi}\,Hz$.
अतः,$\nu_{0} = \nu = \frac{50}{\pi}\,Hz$।

(B) यह सर्किट दो $NAND$ गेट से बना है जिनके आउटपुट एक $AND$ गेट में जाते हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। ऊपरी $NAND$ गेट $A$ और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है। निचला $NAND$ गेट $\bar{A}$ ($NOT$ गेट से) और $B$ इनपुट प्राप्त करता है,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{\bar{A} \cdot B}$ है। अंतिम आउटपुट $C$ इन दो आउटपुट का $AND$ ऑपरेशन है: $C = (\overline{A \cdot B}) \cdot (\overline{\bar{A} \cdot B})$.
डी मॉर्गन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ और $\overline{\bar{A} \cdot B} = A + \bar{B}$.
अतः,$C = (\bar{A} + \bar{B}) \cdot (A + \bar{B})$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$C = \bar{A}A + \bar{A}\bar{B} + \bar{B}A + \bar{B}\bar{B}$.
चूंकि $\bar{A}A = 0$ और $\bar{B}\bar{B} = \bar{B}$,हमें प्राप्त होता है $C = 0 + \bar{B}(\bar{A} + A) + \bar{B} = \bar{B}(1) + \bar{B} = \bar{B} + \bar{B} = \bar{B}$.
इसलिए,आउटपुट $C$,$B$ का $NOT$ $(\bar{B})$ है।
| $A$ | $B$ | $C$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |

(B) द्रव्यमान संख्या वाले नाभिक की त्रिज्या $R$ का सूत्र है: $R = R_{0} A^{1/3}$, जहाँ $R_{0}$ एक नियतांक है।
$125$ और $64$ द्रव्यमान संख्या वाले दो संतति नाभिकों के लिए, उनकी त्रिज्याएँ $R_{1}$ और $R_{2}$ इस प्रकार हैं:
$R_{1} = R_{0} (125)^{1/3} = R_{0} \times 5$
$R_{2} = R_{0} (64)^{1/3} = R_{0} \times 4$
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात है:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} (125)^{1/3}}{R_{0} (64)^{1/3}} = \frac{5}{4}$
इस प्रकार, अनुपात $5: 4$ है।

(A) व्हीटस्टोन ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{X}{Y}$ द्वारा दी जाती है।
अज्ञात प्रतिरोध $X$ का सबसे सटीक मापन प्राप्त करने के लिए,ब्रिज की संवेदनशीलता अधिकतम होनी चाहिए।
व्हीटस्टोन ब्रिज की संवेदनशीलता तब अधिकतम होती है जब चारों प्रतिरोध एक ही परिमाण के हों।
विशेष रूप से,यदि $P$ और $Q$ लगभग बराबर और छोटे हैं,तो $X$ के मापन में सापेक्ष त्रुटि न्यूनतम हो जाती है,जिससे सबसे सटीक परिणाम प्राप्त होता है।

(B) $1$. पहले संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q = C V = 900 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V = 9 \times 10^{-8} \, C$.
$2$. जब इसे समान धारिता $C$ वाले अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों के बीच समान रूप से साझा हो जाता है क्योंकि वे समानांतर क्रम में हैं।
$3$. उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार है: $V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q}{C + C} = \frac{9 \times 10^{-8} \, C}{1800 \times 10^{-12} \, F} = 50 \, V$.
$4$. निकाय में संचित कुल स्थिर-वैद्युत ऊर्जा: $U = \frac{1}{2} (C + C) (V')^2 = \frac{1}{2} (1800 \times 10^{-12} \, F) (50 \, V)^2$.
$5$. $U = 900 \times 10^{-12} \times 2500 = 225 \times 10^{-8} \, J = 2.25 \times 10^{-6} \, J$.

(A) अपवर्तनांक $\mu$ माध्यम में प्रकाश की गति $v$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाने वाले प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण $i_c$ का सूत्र $\sin i_c = \frac{\mu_R}{\mu_D}$ है,जहाँ $\mu_R$ विरल माध्यम का अपवर्तनांक है और $\mu_D$ सघन माध्यम का अपवर्तनांक है।
चूंकि $\mu \propto \frac{1}{v}$,इसलिए $\frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{v_D}{v_R}$ होता है।
यहाँ $v_A = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ और $v_B = 2.0 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए माध्यम $A$ सघन माध्यम $(D)$ है और माध्यम $B$ विरल माध्यम $(R)$ है।
अतः,$\sin i_c = \frac{v_A}{v_B} = \frac{1.5 \times 10^8}{2.0 \times 10^8} = \frac{1.5}{2.0} = \frac{3}{4} = 0.750$.
इस प्रकार,$i_c = \sin^{-1}(0.750)$।

(A) दिया गया निकाय दो समान और विपरीत बिंदु आवेशों से बना है जो $L$ की अल्प दूरी पर स्थित हैं,जो एक विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) का निर्माण करते हैं।
एक विद्युत द्विध्रुव के लिए,द्विध्रुव के केंद्र से बड़ी दूरी $R$ $(R \gg L)$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सामान्य सूत्र है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{R^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ स्थिति सदिश और द्विध्रुव अक्ष के बीच का कोण है।
चूंकि $p = qL$ स्थिर है,हम देख सकते हैं कि $E \propto \frac{1}{R^3}$।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $1/R^3$ के अनुसार परिवर्तित होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में घूमती हुई कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NBA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरित $EMF$ $E = -\frac{d\phi}{dt} = NBA\omega \sin(\omega t)$ है।
अधिकतम $EMF$ $E_{\max} = NBA\omega$ है।
अधिकतम प्रेरित धारा $i_{\max} = \frac{E_{\max}}{R} = \frac{NBA\omega}{R}$ है।
दिया गया है: $N = 1000$,$B = 2 \times 10^{-5} \, T$,$r = 10 \, m$,$\omega = 2 \, rad \cdot s^{-1}$,$R = 12.56 \, \Omega$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi \, m^2$.
मान रखने पर:
$i_{\max} = \frac{1000 \times (2 \times 10^{-5}) \times (100\pi) \times 2}{12.56}$.
चूंकि $100\pi \approx 314$,$i_{\max} = \frac{1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 314 \times 2}{12.56} = \frac{12.56}{12.56} = 1 \, A$.

(D) दिया गया चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = B_0 \cos(kx + \omega t) \hat{j}$ है,जहाँ $B_0 = 3 \times 10^{-8} \text{ T}$ है।
विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ के बीच संबंध $E_0 = c B_0$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
$E_0 = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (3 \times 10^{-8} \text{ T}) = 9 \text{ V/m}$।
तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में संचरित हो रही है (क्योंकि तर्क $kx + \omega t$ है)।
संचरण की दिशा $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\hat{j}$ दिशा में है और तरंग $-\hat{i}$ दिशा में चलती है,इसलिए $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $\hat{k}$ दिशा में होना चाहिए।
इसलिए,$\overrightarrow{E} = 9 \cos (1.6 \times 10^3 x + 48 \times 10^{10} t) \hat{k} \text{ V/m}$।

(C) जेनर डायोड एक विशेष प्रकार का डायोड है जिसे रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में मज़बूती से काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
$1$. डोपिंग: जेनर डायोड में भारी डोपिंग की जाती है,जिसके परिणामस्वरूप अवक्षय परत (depletion region) बहुत पतली होती है।
$2$. अवक्षय परत: भारी डोपिंग के कारण,अवक्षय परत अत्यंत पतली (आमतौर पर $10^{-6} \ m$) होती है,जो कम रिवर्स वोल्टेज पर भी उच्च विद्युत क्षेत्र की अनुमति देती है।
$3$. संचालन: इसे विशेष रूप से रिवर्स बायस क्षेत्र में संचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
$4$. वोल्टेज: एक बार ब्रेकडाउन वोल्टेज तक पहुँचने के बाद,करंट में बदलाव के बावजूद जेनर वोल्टेज $(V_z)$ स्थिर रहता है।
इसलिए,यह कथन कि अवक्षय परत बहुत चौड़ी होती है,गलत है।

(A) दिया गया है:
$emf (E) = 4\,V$
आंतरिक प्रतिरोध $(r) = 0.5\,\Omega$
बाहरी प्रतिरोध $(R) = 7.5\,\Omega$
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके परिपथ में प्रवाहित धारा $(I)$ की गणना करें:
$I = \frac{E}{R + r} = \frac{4}{7.5 + 0.5} = \frac{4}{8} = 0.5\,A$
टर्मिनल विभवांतर $(V)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = E - Ir$
$V = 4 - (0.5 \times 0.5)$
$V = 4 - 0.25$
$V = 3.75\,V$
वैकल्पिक रूप से,$V = IR = 0.5 \times 7.5 = 3.75\,V$.

(C) कथन-$I$: एक शुद्ध धारिता वाले $AC$ परिपथ में,धारा वोल्टेज से $\pi/2$ रेडियन $(90^{\circ})$ के कलांतर से आगे होती है। अतः,कथन-$I$ सही है।
कथन-$II$: एक शुद्ध धारिता वाले $AC$ परिपथ में,धारा और वोल्टेज के बीच का कलांतर $\pi/2$ होता है,न कि $\pi$। अतः,कथन-$II$ गलत है।
इसलिए,कथन-$I$ सही है लेकिन कथन-$II$ गलत है।

(C) माना कि अनंत नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $x$ है।
चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए सामने एक और खंड जोड़ने से कुल प्रतिरोध नहीं बदलता है। इस प्रकार,नेटवर्क को $1\,\Omega$ के दो प्रतिरोधकों के श्रेणीक्रम और उसके साथ $1\,\Omega$ के प्रतिरोधक और तुल्य प्रतिरोध $x$ के समांतर संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।
तुल्य प्रतिरोध $x$ इस प्रकार है:
$x = 1 + \left( \frac{1 \times x}{1 + x} \right) + 1$
$x = 2 + \frac{x}{1 + x}$
$x - 2 = \frac{x}{1 + x}$
$(x - 2)(x + 1) = x$
$x^2 + x - 2x - 2 = x$
$x^2 - 2x - 2 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$x = (1 + \sqrt{3})\,\Omega$

(D) $N$ फेरों,$R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$
दी गई मान:
$N = 1000$
$I = 1\,A$
$R = 62.8\,cm = 0.628\,m = 62.8 \times 10^{-2}\,m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 1000 \times 1}{2 \times 62.8 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{125.6 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{1.256}$
$B = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\,T$
अतः,कुंडली के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $10^{-3}\,T$ है।

(C) $AC$ स्रोत के लिए,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $L = 2 \, mH = 2 \times 10^{-3} \, H$ और $f = 50 \, Hz$ दिया गया है।
$X_1 = 2 \times \pi \times 50 \times 2 \times 10^{-3} = 100 \pi \times 2 \times 10^{-3} = 0.2 \pi \, \Omega$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें $X_1 = 0.2 \times 3.14 = 0.628 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
$DC$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f = 0$ होती है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 0$ होती है।
प्रेरणिक प्रतिघात $X_2 = \omega L = 0 \times L = 0 \, \Omega$.
अतः,$X_1 = 0.628 \, \Omega$ और $X_2 = 0$ है।

(C) प्राथमिक इंद्रधनुष वर्षा की बूंदों के भीतर सूर्य के प्रकाश के एकल आंतरिक परावर्तन द्वारा बनता है,और यह $40^{\circ}$ से $42^{\circ}$ की कोणीय सीमा पर दिखाई देता है।
द्वितीयक इंद्रधनुष वर्षा की बूंदों के भीतर सूर्य के प्रकाश के दोहरे आंतरिक परावर्तन द्वारा बनता है,और यह $51^{\circ}$ से $54^{\circ}$ की कोणीय सीमा पर दिखाई देता है।
चूंकि द्वितीयक इंद्रधनुष की कोणीय त्रिज्या बड़ी होती है,इसलिए यह हमेशा प्राथमिक इंद्रधनुष के ऊपर बनता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$KE_{max} = h\nu - \phi$
जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है:
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(h\nu)$ = $4.2\,eV$
कार्य फलन $(\phi)$ = $2.2\,eV$
हम जानते हैं कि अधिकतम गतिज ऊर्जा निरोधी विभव $(V_0)$ से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:
$KE_{max} = eV_0$
मान रखने पर:
$eV_0 = 4.2\,eV - 2.2\,eV$
$eV_0 = 2.0\,eV$
अतः,निरोधी विभव $V_0 = 2\,V$ है।

(A) दिए गए परिपथ में,दो स्विच $LED$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। $LED$ तब जलता है जब इसमें से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,जो तब होता है जब कम से कम एक स्विच बंद $(1)$ हो। यदि दोनों स्विच खुले $(0)$ हैं,तो परिपथ अधूरा रहता है और $LED$ नहीं जलता है $(0)$।

$A$	$B$	$LED$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

यह सत्यता सारणी $OR$ गेट के अनुरूप है।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $d' = 2d$ और नया क्षेत्रफल $A' = A / 2$ है।
अंतिम धारिता $C'$ को $C' = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'}$ द्वारा दिया जाता है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C' = \frac{\varepsilon_0 (A / 2)}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{4d}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,हम लिख सकते हैं कि $C' = \frac{C}{4}$।

(C) मेलस के नियम के अनुसार,विश्लेषक (analyzer) से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$I_1 = I$ आपतित रैखिक रूप से ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है।
पोलराइज़र और विश्लेषक के संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_2 = I \cos^2(30^{\circ})$
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$I_2 = I \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3I}{4}$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में रैखिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब पर्दे को स्लिट के तल से दूर ले जाया जाता है,तो दूरी $D$ बढ़ जाती है।
चूंकि $\beta \propto D$,इसलिए $D$ में वृद्धि होने से रैखिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ बढ़ जाती है।
अतः,फ्रिंज का रैखिक पृथक्करण बढ़ जाता है।

(C) माना कि दो संधारित्रों की धारिता $C_1$ और $C_2$ है।
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी धारिता $\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 3\,\mu F$ होती है। (समीकरण $1$)
जब उन्हें समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी धारिता $C_1 + C_2 = 16\,\mu F$ होती है। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$C_1 C_2 = 3 \times 16 = 48$.
हमारे पास योग $C_1 + C_2 = 16$ और गुणनफल $C_1 C_2 = 48$ है। ये द्विघात समीकरण $x^2 - 16x + 48 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(x - 12)(x - 4) = 0$.
अतः,$x = 12$ या $x = 4$ है।
इसलिए,संधारित्रों की धारिता $12\,\mu F$ और $4\,\mu F$ है।

(D) प्रतिरोध के व्युत्क्रम को चालकत्व (conductance) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\text{Conductance} = \frac{1}{\text{Resistance}}$.
चालकत्व की $SI$ इकाई सीमेंस $(S)$ या $\Omega^{-1}$ होती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
दिया गया है कि देहली आवृत्ति $\nu_0$ है,इसलिए कार्य फलन $\phi_0 = h\nu_0$ है।
आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu = 4\nu_0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(KE)_{\max} = h(4\nu_0) - h\nu_0$
$(KE)_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0$
$(KE)_{\max} = 3h\nu_0$.
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $3h\nu_0$ होगी।

(B) मुक्त आकाश में एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ के परिमाण के बीच का संबंध $E_0 = c B_0$ है,जहाँ $c$ मुक्त आकाश में प्रकाश की गति है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र और विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का अनुपात $\frac{B_0}{E_0} = \frac{1}{c}$ है।
चूँकि मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ होती है,इसलिए इस अनुपात को $\frac{B_0}{E_0} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही अनुपात $\frac{1}{c}$ है।

(B) दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,जब किसी अनंत लंबाई के सीधे चालक से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं,और इन वृत्तों का तल चालक की लंबाई के लंबवत होता है।