NEET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) औसत चाल कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय का अनुपात होती है।
मान लीजिए $X$ और $Y$ के बीच की दूरी $d$ है।
$X$ से $Y$ तक जाने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{v_1}$ है।
$Y$ से $X$ तक वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{v_2}$ है।
कुल दूरी $= d + d = 2d$.
कुल समय $= t_1 + t_2 = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$.
औसत चाल $\bar v = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}$.
अंश और हर से $d$ को काटने पर,हमें $\bar v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{2}{\bar v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ प्राप्त होता है।

(C) नियत दाब पर अवस्था परिवर्तन के दौरान किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P = 10^5\,Pa$ (वायुमंडलीय दाब),$V_{liquid} = 1\,cm^3 = 10^{-6}\,m^3$,और $V_{vapour} = 1671\,cm^3 = 1671 \times 10^{-6}\,m^3$.
$W = 10^5 \times (1671 - 1) \times 10^{-6} = 167\,J$.
दी गई ऊष्मा $Q = mL = 1\,g \times 2256\,J/g = 2256\,J$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,इसलिए $\Delta U = Q - W$.
$\Delta U = 2256\,J - 167\,J = 2089\,J$.

(B) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,निकाय अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक (insulated) होता है।
इसलिए,निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है।
इसका अर्थ है कि निकाय द्वारा अवशोषित या मुक्त की गई ऊष्मा शून्य होती है।
गणितीय रूप से,इसे $\Delta Q = 0$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(KE)$ गैस के परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
यह संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{3}{2} k_B T$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
इसलिए,जैसे-जैसे गैस का तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा भी बढ़ती है।

(C) ब्लॉक को स्थिर रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$f_s = mg$
दीवार द्वारा प्रदान किया गया अभिलंब बल $N$ ब्लॉक की वृत्तीय गति के लिए अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है:
$N = mr\omega^2$
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल इस प्रकार है:
$f_{L} = \mu N = \mu mr\omega^2$
ब्लॉक को संतुलन में रखने के लिए,घर्षण बल को वजन के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए:
$f_{L} \geq mg$
$\mu mr\omega^2 \geq mg$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 \geq \frac{g}{\mu r}$
$\omega \geq \sqrt{\frac{g}{\mu r}}$
दिए गए मानों को रखने पर ($g = 10\; m/s^2$,$\mu = 0.1$,$r = 1\; m$):
$\omega_{\min} = \sqrt{\frac{10}{0.1 \times 1}} = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100} = 10\; rad/s$

(B) एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर के लिए जहाँ पिंड $B$ प्रारंभ में विराम अवस्था में है,पिंड $A$ का अंतिम वेग $v_1$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u$
$m_1 = 4m$ और $m_2 = 2m$ रखने पर:
$v_1 = \left( \frac{4m - 2m}{4m + 2m} \right) u = \left( \frac{2m}{6m} \right) u = \frac{u}{3}$
पिंड $A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}(4m)u^2 = 2mu^2$ है।
पिंड $A$ की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}(4m)v_1^2 = \frac{1}{2}(4m)\left(\frac{u}{3}\right)^2 = \frac{2mu^2}{9}$ है।
पिंड $A$ द्वारा खोई गई ऊर्जा $\Delta K = K_i - K_f = 2mu^2 - \frac{2mu^2}{9} = \frac{16mu^2}{9}$ है।
खोई गई ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{16mu^2 / 9}{2mu^2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$ है।

(A) माना स्थिर जल में तैराक की चाल $v = 20 \; m/s$ है और नदी की चाल $u = 10 \; m/s$ है।
नदी को सबसे छोटे रास्ते (नदी के प्रवाह के लंबवत) से पार करने के लिए,तैराक को उत्तर (तट के लंबवत) के सापेक्ष $\theta$ कोण पर तैरना चाहिए ताकि उसके वेग का क्षैतिज घटक नदी के वेग को संतुलित कर सके।
वेग सदिश त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$\sin \theta = \frac{u}{v}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \arcsin(1/2) = 30^{\circ}$।
इस प्रकार,तैराक को उत्तर से पश्चिम की ओर $30^{\circ}$ के कोण पर तैरना चाहिए।

(C) $R$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के लिए,निम्नतम बिंदु से किसी भी कोणीय स्थिति $\theta$ पर तार में तनाव $T$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$
$T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{R}$
निम्नतम बिंदु पर,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है। साथ ही,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार निम्नतम बिंदु पर वेग $v$ अधिकतम होता है।
चूंकि $\cos \theta$ और $v$ दोनों निम्नतम बिंदु पर अपने अधिकतम मान पर होते हैं,इसलिए इस स्थिति में तनाव $T$ अधिकतम होता है।
इसलिए,तार के टूटने की संभावना सबसे अधिक तब होती है जब द्रव्यमान निम्नतम बिंदु पर होता है।

(B) दिया गया समीकरण $y = A_{0} + A \sin \omega t + B \cos \omega t$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम समय-निर्भर भाग को $R \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
मान लीजिए $A = R \cos \phi$ और $B = R \sin \phi$ है।
तब $A^{2} + B^{2} = R^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = R^{2}$ होगा।
अतः,$R = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$।
समीकरण $y = A_{0} + \sqrt{A^{2} + B^{2}} \sin(\omega t + \phi)$ बन जाता है।
यहाँ,$A_{0}$ माध्य स्थिति में विस्थापन को दर्शाता है,और त्रिकोणमितीय पद का गुणांक,$\sqrt{A^{2} + B^{2}}$,दोलन का आयाम दर्शाता है।

(D) एक पूर्ण कंपन में,कण एक स्थिति से शुरू होता है,चरम बिंदु तक जाता है,वापस शुरुआती स्थिति पर आता है,दूसरे चरम बिंदु तक जाता है और अंततः वापस शुरुआती स्थिति पर लौट आता है।
इसलिए,एक पूर्ण दोलन में कण का कुल विस्थापन $0$ होता है।
चूंकि औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए हमारे पास है:
$\text{औसत वेग} = \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{0}{T} = 0$.

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_{0} + \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_{0}$ वायुमंडलीय दबाव है,$T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बुलबुले की त्रिज्या है।
पानी की मुक्त सतह के नीचे $Z_{0}$ गहराई पर दबाव $P = P_{0} + \rho g Z_{0}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों दबावों की तुलना करने पर: $P_{0} + \rho g Z_{0} = P_{0} + \frac{4T}{R}$.
सरल करने पर,हमें मिलता है $\rho g Z_{0} = \frac{4T}{R}$.
$Z_{0}$ के लिए हल करने पर: $Z_{0} = \frac{4T}{\rho g R}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T = 2.5 \times 10^{-2}\; N/m$,$R = 1\; mm = 10^{-3}\; m$,$\rho = 10^{3}\; kg/m^{3}$,और $g = 10\; m/s^{2}$.
$Z_{0} = \frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{10^{3} \times 10 \times 10^{-3}} = \frac{10^{-1}}{10} = 10^{-2}\; m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $Z_{0} = 10^{-2} \times 100\; cm = 1\; cm$.

(D) प्रश्न के अनुसार,दोनों छड़ों की लंबाई में वृद्धि तापमान में वृद्धि से स्वतंत्र है,जिसका अर्थ है कि तापमान में किसी भी परिवर्तन $(\Delta T)$ के लिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन $(\Delta \ell)$ समान होना चाहिए।
दिया गया है:
$\ell_{Cu} = 88\; cm$
$\alpha_{Cu} = 1.7 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
$\alpha_{Al} = 2.2 \times 10^{-5}\; K^{-1}$
ऊष्मीय प्रसार का सूत्र $\Delta \ell = \ell \alpha \Delta T$ है।
चूंकि $(\Delta \ell)_{Cu} = (\Delta \ell)_{Al}$,इसलिए:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T = \ell_{Al} \alpha_{Al} \Delta T$
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर:
$\ell_{Cu} \alpha_{Cu} = \ell_{Al} \alpha_{Al}$
मान रखने पर:
$88 \times 1.7 \times 10^{-5} = \ell_{Al} \times 2.2 \times 10^{-5}$
$\ell_{Al}$ के लिए हल करने पर:
$\ell_{Al} = \frac{88 \times 1.7}{2.2}$
$\ell_{Al} = 40 \times 1.7 = 68\; cm$.

(D) ऊष्मा प्रवाह की दर को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{dQ}{dt} = -K A \frac{dT}{dx}$.
यहाँ,$\frac{dQ}{dt}$ ऊष्मा प्रवाह की दर है जिसका मात्रक वाट ($W$ या $J/s$) है,$A$ क्षेत्रफल है जिसका मात्रक $m^2$ है,और $\frac{dT}{dx}$ ताप प्रवणता है जिसका मात्रक $K/m$ है।
ऊष्मीय चालकता $(K)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{(dQ/dt)}{A \cdot (dT/dx)}$
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{W}{m^2 \cdot (K/m)} = \frac{W}{m \cdot K} = W m^{-1} K^{-1}$.
अतः,ऊष्मीय चालकता का मात्रक $W m^{-1} K^{-1}$ है।

(C) एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} \times \text{बल} \times \text{विस्तार}$ होता है।
यहाँ,लगाया गया बल ब्लॉक का भार है,जो $F = Mg$ है।
तार में उत्पन्न विस्तार $l$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} (Mg) (l) = \frac{1}{2} Mgl$.
अतः,तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $\frac{1}{2} Mgl$ है।

(A) डिस्क को रोकने के लिए आवश्यक कार्य उसकी कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
लुढ़कती हुई डिस्क की कुल गतिज ऊर्जा $KE = KE_{translational} + KE_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
दिया गया है: $m = 100\; kg$,$v = 20\; cm/s = 0.2\; m/s$.
$KE = \frac{3}{4} \times 100 \times (0.2)^2 = 75 \times 0.04 = 3\; J$.
चूंकि वस्तु को रोकने के लिए किया गया कार्य $W = \Delta KE = 0 - KE_{initial} = -3\; J$ है,इसलिए आवश्यक कार्य का परिमाण $3\; J$ है।

(B) $X$ के लिए व्यंजक $X = \frac{A^2 B^{1/2}}{C^{1/3} D^3}$ दिया गया है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र: $\frac{\Delta X}{X} = 2 \frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2} \frac{\Delta B}{B} + \frac{1}{3} \frac{\Delta C}{C} + 3 \frac{\Delta D}{D}$ है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $(1\%, 2\%, 3\%, 4\%)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + \frac{1}{2}(2\%) + \frac{1}{3}(3\%) + 3(4\%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 2\% + 1\% + 1\% + 12\% = 16\%$.
अतः,$X$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $16\%$ है।

(D) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र: $g' = g(1 - d/R)$ है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ वस्तु केंद्र तक आधी गहराई पर है,इसलिए गहराई $d = R/2$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$ प्राप्त होता है।
चूँकि भार $W = mg$ होता है,इसलिए $d$ गहराई पर नया भार $W' = mg' = m(g/2) = W/2$ होगा।
सतह पर भार $W = 200 \; N$ दिया गया है,अतः $d = R/2$ गहराई पर भार $W' = 200/2 = 100 \; N$ होगा।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\; kg$,त्रिज्या $R = 4\; cm = 0.04\; m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 3\; rpm = \frac{3 \times 2\pi}{60} = \frac{\pi}{10}\; rad/s$.
कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2\pi \text{ चक्कर} = 2\pi \times 2\pi = 4\pi^2\; rad$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega = 0$.
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$0 = (\frac{\pi}{10})^2 - 2\alpha(4\pi^2)$
$8\alpha\pi^2 = \frac{\pi^2}{100} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{800}\; rad/s^2$.
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.04)^2 = 0.0016\; kg\cdot m^2$.
आवश्यक टॉर्क $\tau = I\alpha = 0.0016 \times \frac{1}{800} = 2 \times 10^{-6}\; Nm$.

(D) आकृति से,वृत्त की त्रिज्या $A = 3 \ m$ है और आवर्तकाल $T = 4 \ s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,कण $P$ धनात्मक $y$-अक्ष पर है,जिसका अर्थ है कि इसका स्थिति सदिश धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\phi = \frac{\pi}{2}$ का कोण बनाता है।
किसी भी समय $t$ पर कण का $y$-निर्देशांक $y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $y(t) = 3 \cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) $y$-अक्ष के अनुदिश कार्य करने वाले परिवर्ती बल $F$ द्वारा किया गया कार्य समाकलन द्वारा दिया जाता है: $W = \int_{y_1}^{y_2} F \, dy$.
यहाँ $F = 20 + 10y$,$y_1 = 0 \; m$ और $y_2 = 1 \; m$ दिया गया है,इसलिए:
$W = \int_{0}^{1} (20 + 10y) \, dy$.
पद दर पद समाकलन करने पर:
$W = [20y + 10 \cdot \frac{y^2}{2}]_{0}^{1}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$W = [20y + 5y^2]_{0}^{1}$.
सीमाओं (limits) को लागू करने पर:
$W = (20(1) + 5(1)^2) - (20(0) + 5(0)^2)$.
$W = 20 + 5 = 25 \; J$.

(D) एकसमान वृत्तीय गति में किसी कण की कोणीय चाल $\omega$ और उसके आवर्तकाल $T$ के बीच का संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि कणों $A$ और $B$ के आवर्तकाल समान हैं,अर्थात $T_A = T_B = T$ है।
इसलिए,कण $A$ की कोणीय चाल $\omega_A = \frac{2\pi}{T_A} = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
इसी प्रकार,कण $B$ की कोणीय चाल $\omega_B = \frac{2\pi}{T_B} = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
कोणीय चालों का अनुपात लेने पर,हमें $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2\pi/T}{2\pi/T} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A$ की कोणीय चाल और $B$ की कोणीय चाल का अनुपात $1: 1$ है।

(C) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^{2} = u^{2} - 2as$। उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
इसलिए,$0 = u^{2} - 2as$,जिससे हमें $s = \frac{u^{2}}{2a}$ प्राप्त होता है।
एक चिकने नत समतल पर वस्तु के लिए,त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
अतः,तय की गई दूरी $s = \frac{u^{2}}{2g \sin \theta}$ है।
चूंकि $u$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $s \propto \frac{1}{\sin \theta}$।
इसलिए,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{\sin \theta_{2}}{\sin \theta_{1}} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}$।
मान रखने पर,$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,अनुपात $x_{1}: x_{2}$ का मान $1: \sqrt{3}$ है।

(A) बहिःस्राव का वेग $v$,टोरिसेली के नियम द्वारा $v = \sqrt{2gh}$ दिया जाता है।
आयतन प्रवाह दर $Q$,$Q = A \times v = A \sqrt{2gh}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 2 \; mm^{2} = 2 \times 10^{-6} \; m^{2}$,ऊँचाई $h = 2 \; m$,और $g = 10 \; m/s^{2}$।
मान रखने पर:
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{2 \times 10 \times 2}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \sqrt{40}$
$Q = (2 \times 10^{-6}) \times 2\sqrt{10}$
$Q = 4 \sqrt{10} \times 10^{-6} \; m^{3}/s$।
चूँकि $\sqrt{10} \approx 3.162$,
$Q \approx 4 \times 3.162 \times 10^{-6} \; m^{3}/s = 12.648 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$।
अतः,प्रवाह की दर लगभग $12.6 \times 10^{-6} \; m^{3}/s$ है।

(C) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि तीन बलों को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाया जाता है,तो उनका परिणामी बल शून्य होता है।
दिए गए त्रिभुज $PQR$ में,बल $\overrightarrow{PQ}$,$\overrightarrow{QR}$ और $\overrightarrow{RP}$ हैं।
चूंकि वे एक ही क्रम में हैं,इसलिए कुल बल $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RP} = \overrightarrow{0}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\overrightarrow{F}_{net} = m\overrightarrow{a}$ होता है।
चूंकि $\overrightarrow{F}_{net} = \overrightarrow{0}$ है,इसलिए त्वरण $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ होगा।
अतः,कण का वेग $\overrightarrow{V}$ स्थिर रहेगा।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_i = -\frac{GMm}{R}$ है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{R+h}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
चूँकि $h = R$ दिया गया है,हम समीकरण में मान रखते हैं:
$W = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = GMm \left( \frac{1}{2R} \right) = \frac{GMm}{2R}$.
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ का मान $W$ के व्यंजक में रखने पर:
$W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{1}{2}mgR$.

(D) $SHM$ में,एक कण $+A$ और $-A$ चरम स्थितियों के बीच दोलन करता है।
माध्य स्थिति $(x=0)$ से शुरू होकर,कण $+A$ तक जाता है (दूरी $= A$)।
फिर यह $+A$ से $-A$ तक जाता है (दूरी $= 2A$)।
अंत में,यह $-A$ से वापस माध्य स्थिति $(x=0)$ पर आता है (दूरी $= A$)।
एक पूर्ण दोलन (एक आवर्तकाल) में तय की गई कुल दूरी $= A + 2A + A = 4A$ है।

(D) $h$ ऊँचाई से गिरने वाली वस्तु के लिए गिरने का समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$t \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ है।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{t}{T} = \frac{k_1 / \sqrt{g}}{k_2 / \sqrt{g}} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{t}{T}$ का अनुपात गुरुत्वीय त्वरण $g$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह संबंध किसी भी ग्रह पर समान रहता है।
यह दिया गया है कि पृथ्वी पर $t = 2T$ है,इसलिए दूसरे ग्रह पर $t' = 2T'$ होगा।

(C) एक सिरे पर बंद अनुनाद स्तंभ ट्यूब के लिए,अनुनाद लंबाई $l_1, l_2, l_3, \dots$ को $l_n = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दो क्रमिक अनुनाद लंबाई के बीच का अंतर $\Delta l = l_{n+1} - l_n = \frac{\lambda}{2}$ होता है।
यहाँ $l_1 = 9.75 \; cm$ और $l_2 = 31.25 \; cm$ दिया गया है,इसलिए अंतर $\Delta l = 31.25 \; cm - 9.75 \; cm = 21.50 \; cm = 0.215 \; m$ है।
अतः,$\frac{\lambda}{2} = 0.215 \; m$,जिसका अर्थ है $\lambda = 0.43 \; m$।
ध्वनि की गति $v$ को $v = f \lambda$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
मान $f = 800 \; Hz$ और $\lambda = 0.43 \; m$ रखने पर,हमें $v = 800 \times 0.43 = 344 \; m/s$ प्राप्त होता है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टूटने से पहले का कुल संवेग टूटने के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
माना कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2$ है। दिए गए अनुपात $m_1 : m_2 = 1 : 5$ से,हमारे पास $m_1 = \frac{M}{6}$ और $m_2 = \frac{5M}{6}$ है।
प्रारंभिक संवेग: $P_i = M \vec{v}_0 = M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k})$.
अंतिम संवेग: $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$.
$P_i = P_f$ को बराबर करने पर:
$M(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = \frac{M}{6}(100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + \frac{5M}{6} \vec{v}_2$
$M$ से भाग देने और $6$ से गुणा करने पर:
$6(20 \hat{i} + 25 \hat{j} - 12 \hat{k}) = (100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k}) + 5 \vec{v}_2$
$120 \hat{i} + 150 \hat{j} - 72 \hat{k} = 100 \hat{i} + 35 \hat{j} + 8 \hat{k} + 5 \vec{v}_2$
$5 \vec{v}_2 = (120 - 100) \hat{i} + (150 - 35) \hat{j} + (-72 - 8) \hat{k}$
$5 \vec{v}_2 = 20 \hat{i} + 115 \hat{j} - 80 \hat{k}$
$\vec{v}_2 = 4 \hat{i} + 23 \hat{j} - 16 \hat{k}$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
प्रथम अंतराल के लिए ($80^{\circ}C$ से $70^{\circ}C$):
$\frac{80 - 70}{12} = K \left( \frac{80 + 70}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{12} = K (75 - 25) = 50K \implies K = \frac{10}{12 \times 50} = \frac{1}{60} \ldots(1)$
द्वितीय अंतराल के लिए ($70^{\circ}C$ से $60^{\circ}C$):
$\frac{70 - 60}{t} = K \left( \frac{70 + 60}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{t} = K (65 - 25) = 40K \ldots(2)$
समीकरण $(2)$ में $K = \frac{1}{60}$ रखने पर:
$\frac{10}{t} = 40 \times \frac{1}{60} = \frac{2}{3}$
$t = \frac{10 \times 3}{2} = 15 \text{ मिनट}$.

(D) त्रिज्या $r$ और घनत्व $\sigma$ वाली एक गोलाकार गेंद का $\rho$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले माध्यम में टर्मिनल वेग $v_{T} = \frac{2 r^{2}(\sigma - \rho) g}{9 \eta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान समान है,$m_{1} = m_{2}$।
चूंकि द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \sigma$,इसलिए $\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \rho_{1} = \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} \rho_{2}$ होगा।
यहाँ $r_{1} = 1 \; mm$,$r_{2} = 2 \; mm$,और $\rho_{1} = 8 \rho_{2}$ है,अतः द्रव्यमान की शर्त संतुष्ट होती है: $1^{3} \times 8 \rho_{2} = 8 \rho_{2}$ और $2^{3} \times \rho_{2} = 8 \rho_{2}$।
टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \frac{(\rho_{1} - \rho_{medium})}{(\rho_{2} - \rho_{medium})}$ है।
यहाँ,$\rho_{medium} = 0.1 \rho_{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \frac{(8 \rho_{2} - 0.1 \rho_{2})}{(\rho_{2} - 0.1 \rho_{2})} = \frac{1}{4} \times \frac{7.9 \rho_{2}}{0.9 \rho_{2}} = \frac{1}{4} \times \frac{79}{9} = \frac{79}{36}$।

(C) कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_{0} = 0$ है।
$n$ चक्करों के बाद,कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2 \pi n$ है।
अंतिम रेखीय वेग $V_{0}$ है,इसलिए अंतिम कोणीय वेग $\omega = \frac{V_{0}}{r}$ है।
गति के समीकरण $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha \theta$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \theta} = \frac{(V_{0}/r)^{2} - 0}{2(2 \pi n)} = \frac{V_{0}^{2}/r^{2}}{4 \pi n} = \frac{V_{0}^{2}}{4 \pi n r^{2}} \; rad/s^{2}$.

(D) नियत त्वरण $a$ के अंतर्गत $h$ दूरी तय करने में वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो इसका त्वरण $0$ होता है,इसलिए फर्श के सापेक्ष सिक्के का प्रभावी त्वरण $g$ होता है।
जब लिफ्ट एकसमान वेग (नियत वेग) से गति कर रही होती है,तो इसका त्वरण भी $0$ होता है। इसलिए,फर्श के सापेक्ष सिक्के का प्रभावी त्वरण $g$ ही रहता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में प्रभावी त्वरण समान $(a_{real} = g)$ है,इसलिए सिक्के को फर्श तक पहुँचने में लगा समय समान होगा।
अतः,$t_{1} = t_{2}$।

(B) जब ट्रक $a$ त्वरण के साथ दाईं ओर त्वरित होता है,तो ट्रक के फ्रेम में बॉब पर विपरीत दिशा में (अर्थात बाईं ओर) एक छद्म बल (pseudo force) $F_{\text{pseudo}} = ma$ कार्य करता है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ बनाती है।
ट्रक के फ्रेम में बॉब की संतुलन स्थिति में,बॉब पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और बाईं ओर कार्य करने वाला छद्म बल $ma$ हैं।
बलों को वियोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T \sin \theta = ma$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a}{g}\right)$.
चूंकि छद्म बल बाईं ओर कार्य करता है,इसलिए लोलक बाईं ओर झुक जाएगा।

(B) एक निरंतर स्थिर तरल पदार्थ में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
मान लीजिए कि $U$-ट्यूब के तल पर दबाव $P$ है।
बाईं ओर पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P_{\text{left}} = P_0 + \rho_{\text{water}} g h_{\text{water}}$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
दाईं ओर तेल के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P_{\text{right}} = P_0 + \rho_{\text{oil}} g h_{\text{oil}}$ है।
चूंकि तल पर दबाव समान है,इसलिए हमारे पास है:
$\rho_{\text{water}} g h_{\text{water}} = \rho_{\text{oil}} g h_{\text{oil}}$
$\rho_{\text{oil}} = \frac{\rho_{\text{water}} h_{\text{water}}}{h_{\text{oil}}}$
दिया गया है $\rho_{\text{water}} = 1000 \; kg/m^3$,$h_{\text{water}} = 15 \; cm$,और $h_{\text{oil}} = 20 \; cm$:
$\rho_{\text{oil}} = \frac{1000 \times 15}{20} = 750 \; kg/m^3$.

(A) $x$ मोटाई वाली बर्फ की परत से $dt$ समय में प्रवाहित ऊष्मा $dQ = \frac{KA(T_2 - T_1)}{x} dt$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T_2 = 0^{\circ}C$ (पानी-बर्फ इंटरफ़ेस का तापमान) और $T_1 = -26^{\circ}C$ (बाहरी हवा का तापमान) है।
अतः,$dQ = \frac{KA(0 - (-26))}{x} dt = \frac{26KA}{x} dt$.
यह ऊष्मा $dx$ मोटाई के अतिरिक्त पानी को बर्फ में बदलने का कारण बनती है। इस नई बर्फ की परत का द्रव्यमान $dm = A \cdot dx \cdot \rho$ है।
इस अवस्था परिवर्तन के दौरान मुक्त ऊष्मा $dQ = dm \cdot L = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$ है।
$dQ$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{26KA}{x} dt = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$.
मोटाई में वृद्धि की दर $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{dx}{dt} = \frac{26K}{\rho x L}$.

(A) एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
$1$. हाइड्रोजन $(H_2)$ कमरे के तापमान पर एक द्वि-परमाणुक गैस है। इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है। अतः,$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.
$2$. हीलियम $(He)$ एक एक-परमाणुक गैस है। इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ ($3$ स्थानांतरण) है। अतः,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$3$. गैस $X$ एक द्वि-परमाणुक गैस है जिसमें एक अतिरिक्त कंपन मोड है। एक कंपन मोड $2$ स्वतंत्रता की कोटि जोड़ता है ($1$ गतिज + $1$ स्थितिज)। अतः,$f = 5 + 2 = 7$. इस प्रकार,$\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$.
इसलिए,मान $\frac{7}{5}, \frac{5}{3}$ और $\frac{9}{7}$ हैं।

(A) दो इमारतों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 100 \; m$ है। गोलियों को एक-दूसरे की ओर $v = 25 \; m/s$ के क्षैतिज वेग से दागा जाता है।
सापेक्ष क्षैतिज वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = 25 + 25 = 50 \; m/s$ है।
गोलियों के टकराने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{100}{50} = 2 \; s$ है।
इस समय में,दोनों गोलियाँ गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे गिरती हैं। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $s_y = -\frac{1}{2} gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $s_y = -\frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = -5 \times 4 = -20 \; m$।
जमीन से टकराने की ऊँचाई $H_{collision} = H_{initial} + s_y = 200 - 20 = 180 \; m$ है।
अतः,गोलियाँ $2 \; s$ बाद $180 \; m$ की ऊँचाई पर टकराएंगी।

(A) प्रतिबल-विकृति वक्र में,अंतिम सामर्थ्य बिंदु उस अधिकतम प्रतिबल को दर्शाता है जिसे एक पदार्थ सहन कर सकता है। भंजन बिंदु वह बिंदु है जहाँ पदार्थ टूट जाता है।
भंगुर पदार्थ के लिए,पदार्थ प्रत्यास्थ सीमा या अंतिम सामर्थ्य बिंदु के तुरंत बाद टूट जाता है,जिसका अर्थ है कि भंजन बिंदु अंतिम सामर्थ्य बिंदु के बहुत करीब होता है।
तन्य पदार्थ के लिए,पदार्थ अंतिम सामर्थ्य बिंदु के बाद महत्वपूर्ण प्लास्टिक विरूपण से गुजरता है और उसके बाद ही टूटता है,जिसका अर्थ है कि भंजन बिंदु अंतिम सामर्थ्य बिंदु से काफी दूर होता है।
चूंकि पदार्थ $X$ के लिए ये बिंदु एक-दूसरे के करीब हैं,इसलिए यह भंगुर है।
चूंकि पदार्थ $Y$ के लिए ये बिंदु एक-दूसरे से दूर हैं,इसलिए यह तन्य है।
अतः,$X$ और $Y$ क्रमशः भंगुर और तन्य हैं।

(C) वस्तु पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg$ है।
वस्तु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ एक स्थैतिक घर्षण बल है,जो लगाए गए क्षैतिज बल को संतुलित करता है। चूंकि वस्तु गति नहीं करती है,इसलिए $f \leq \mu N = \mu mg$ होता है।
अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का परिणामी बल $F$,सदिश योग $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{f}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $N$ और $f$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी का परिमाण $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{N^{2} + f^{2}}$ है।
$N = mg$ और $f \leq \mu mg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(mg)^{2} + f^{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{2} \leq (\mu mg)^{2}$,इसलिए $|\overrightarrow{F}| \leq \sqrt{(mg)^{2} + (\mu mg)^{2}} = mg \sqrt{1 + \mu^{2}}$ होता है।

(D) मान लीजिए कि $3m$ द्रव्यमान वाले तीसरे टुकड़े का वेग $\vec{v}'$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
$3m \vec{v}' + m v \hat{i} + m v \hat{j} = 0$
$3m \vec{v}' = -mv \hat{i} - mv \hat{j}$
$\vec{v}' = -\frac{v}{3} \hat{i} - \frac{v}{3} \hat{j}$
तीसरे टुकड़े के वेग का परिमाण $|\vec{v}'| = \sqrt{(-\frac{v}{3})^2 + (-\frac{v}{3})^2} = \sqrt{\frac{2v^2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3} v$ है।
मुक्त हुई ऊर्जा टुकड़ों की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (3m) |\vec{v}'|^2$
$K = m v^2 + \frac{3}{2} m (\frac{2v^2}{9}) = m v^2 + \frac{1}{3} m v^2 = \frac{4}{3} m v^2$.

(C) बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} m v^2$। यहाँ द्रव्यमान $m = 500 \; g = 0.5 \; kg$ है।
$1$. $X = 8 \; m$ तक किया गया कार्य:
$W_8 = (20 \; N \times 5 \; m) + (10 \; N \times 3 \; m) = 100 + 30 = 130 \; J$।
$W = \frac{1}{2} m v^2$ का उपयोग करने पर: $130 = \frac{1}{2} (0.5) v_8^2 \Rightarrow v_8^2 = 520 \Rightarrow v_8 = \sqrt{520} \approx 22.8 \; m/s \approx 23 \; m/s$।
$2$. $X = 12 \; m$ तक किया गया कार्य:
$W_{12} = W_8 + (8 \; m \text{ से } 10 \; m \text{ के बीच का क्षेत्रफल}) + (10 \; m \text{ से } 12 \; m \text{ के बीच का क्षेत्रफल})$।
$8 \; m$ से $10 \; m$ के बीच का क्षेत्रफल = $(2 \; m) \times (-25 \; N) = -50 \; J$।
$10 \; m$ से $12 \; m$ के बीच का क्षेत्रफल = $(2 \; m) \times (10 \; N) = 20 \; J$।
$W_{12} = 130 - 50 + 20 = 100 \; J$।
$W = \frac{1}{2} m v^2$ का उपयोग करने पर: $100 = \frac{1}{2} (0.5) v_{12}^2 \Rightarrow v_{12}^2 = 400 \Rightarrow v_{12} = 20 \; m/s \approx 20.6 \; m/s$ (निकटतम विकल्प)।
अतः, वेग लगभग $23 \; m/s$ और $20.6 \; m/s$ हैं।

(D) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$ होती है।
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = mgh$
$\frac{1}{2}v^2(\frac{3}{2}) = gh$
यहाँ $v = 4 \; m/s$ और $g = 10 \; m/s^2$ लेने पर:
$\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{3}{2} = 10h$
$12 = 10h \Rightarrow h = 1.2 \; m$.
नत समतल पर तय की गई दूरी $\ell$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध $h = \ell \sin 30^{\circ}$ है।
$\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \; m$.

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षा की त्रिज्या के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T \propto r^{3/2}$.
कक्षा की त्रिज्या $r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,जो $r = R_{E} + h$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ सतह से ऊँचाई है।
पहले उपग्रह के लिए: $r_1 = R_{E} + 6 R_{E} = 7 R_{E}$ और $T_1 = 24 \; h$.
दूसरे उपग्रह के लिए: $r_2 = R_{E} + 2.5 R_{E} = 3.5 R_{E}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2} = \left( \frac{3.5 R_{E}}{7 R_{E}} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
अतः,$T_2 = T_1 \times \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{24}{2 \sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6 \sqrt{2} \; h$.

(C) दिया गया है कि मुख्य पैमाने पर $cm$ प्रति $n$ भाग हैं,इसलिए $1 \text{ MSD}$ (मुख्य पैमाने का भाग) का मान $\frac{1}{n} \text{ cm}$ है।
प्रश्न के अनुसार,वर्नियर पैमाने के $n$ भाग $(n \text{ VSD})$ मुख्य पैमाने के $(n-1)$ भागों $(n-1 \text{ MSD})$ के साथ संपाती हैं।
इसलिए,$1 \text{ VSD} = \frac{n-1}{n} \text{ MSD}$ है।
वर्नियर कैलिपर का अल्पतमांक (Least Count) $1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD}$ के रूप में परिभाषित है।
अल्पतमांक $= 1 \text{ MSD} - \left( \frac{n-1}{n} \right) \text{ MSD} = \left( 1 - \frac{n-1}{n} \right) \text{ MSD} = \frac{1}{n} \text{ MSD}$।
$1 \text{ MSD} = \frac{1}{n} \text{ cm}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
अल्पतमांक $= \frac{1}{n} \times \frac{1}{n} \text{ cm} = \frac{1}{n^2} \text{ cm}$।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
केंद्र से प्रारंभिक दूरी $r_i = R$ है।
केंद्र से अंतिम दूरी $r_f = R + h$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{R+h} \right) - \left( -\frac{GMm}{R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{R+h-R}{R(R+h)} \right)$.
$\Delta U = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.

(C) पदार्थ का कार्य फलन $W_0 = 4.0 \,eV$ दिया गया है।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य है जो प्रकाशिक उत्सर्जन उत्पन्न कर सकती है।
इसका सूत्र है: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$।
$hc \approx 12400 \,eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda_0 = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{4.0 \,eV} = 3100 \,\mathring{A}$।
चूंकि $1 \,nm = 10 \,\mathring{A}$,इसलिए $\lambda_0 = 310 \,nm$ प्राप्त होता है।

(B) अर्ध-आयु $T_{1/2}$ और क्षय नियतांक $\lambda$ के बीच का संबंध $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_{1/2} = 2.2 \times 10^9 \; s$,जिससे $\lambda = \frac{0.693}{2.2 \times 10^9} \approx 3.15 \times 10^{-10} \; s^{-1}$ प्राप्त होता है।
विघटन की दर $R$ और रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या $N$ के बीच का संबंध $R = \lambda N$ है।
यहाँ $R = 10^{10} \; s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $N = \frac{R}{\lambda} = \frac{10^{10}}{3.15 \times 10^{-10}} \approx 3.17 \times 10^{19}$ परमाणु।

(C) परमाणु की कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(TE)$ $-3.4 \; eV$ दी गई है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए कुल ऊर्जा $(TE)$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$KE = -TE$
$PE = 2 \times TE$
यहाँ $TE = -3.4 \; eV$ का मान रखने पर:
$KE = -(-3.4 \; eV) = +3.4 \; eV$
$PE = 2 \times (-3.4 \; eV) = -6.8 \; eV$
अतः,गतिज ऊर्जा $3.4 \; eV$ है और स्थितिज ऊर्जा $-6.8 \; eV$ है।

(C) दिए गए परिपथ में,स्विच $A$ और $B$ ग्राउंड के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। जब स्विच $0$ स्थिति में होता है,तो यह खुला होता है,और जब यह $1$ स्थिति में होता है,तो यह बंद (ग्राउंड से जुड़ा हुआ) होता है।
$1$. यदि $A=0$ और $B=0$ है,तो दोनों स्विच खुले हैं। धारा $LED$ $(Y)$ से होकर बहती है,इसलिए $Y=1$ है।
$2$. यदि $A=0$ और $B=1$ है,तो स्विच $B$ बंद (ग्राउंडेड) है। धारा $LED$ $(Y)$ से होकर बहती है,इसलिए $Y=1$ है।
$3$. यदि $A=1$ और $B=0$ है,तो स्विच $A$ बंद (ग्राउंडेड) है। धारा $LED$ $(Y)$ से होकर बहती है,इसलिए $Y=1$ है।
$4$. यदि $A=1$ और $B=1$ है,तो दोनों स्विच बंद (ग्राउंडेड) हैं। धारा $LED$ को बायपास करके स्विच के माध्यम से ग्राउंड में चली जाती है,इसलिए $Y=0$ है।
सत्यता सारणी (Truth Table) इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

यह सत्यता सारणी $NAND$ गेट ऑपरेशन के अनुरूप है।

(D) दिया गया है: फेरों की संख्या $N = 800$,क्षेत्रफल $A = 0.05\; m^{2}$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times 10^{-5}\; T$,समय अंतराल $\Delta t = 0.1\; s$.
प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{1} = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
अंतिम चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{2} = N B A \cos(90^{\circ}) = 0$.
प्रेरित $emf$ $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_{2} - \phi_{1}}{\Delta t} = \frac{N B A}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 0.05}{0.1}$.
$e = \frac{800 \times 5 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{10^{-1}} = 800 \times 5 \times 5 \times 10^{-7} \times 10^{1} = 20000 \times 10^{-6} = 0.02\; V$.

(A) दृश्य स्पेक्ट्रम में बैंगनी से लाल रंग तक के रंग शामिल होते हैं।
विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अनुसार, जैसे-जैसे हम बैंगनी से लाल रंग की ओर बढ़ते हैं, तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बढ़ती जाती है।
इसलिए, लाल रंग के प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक, लगभग $700 \ nm$ होती है, जबकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सबसे कम, लगभग $400 \ nm$ होती है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) एक खोखले धातु के गोले के लिए,आवेश केवल बाहरी सतह पर रहता है।
गॉस के नियम के अनुसार,गोले के अंदर किसी भी बिंदु $(r < R)$ के लिए,परिबद्ध आवेश $q_{enc} = 0$ है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है।
गोले के बाहर किसी भी बिंदु $(r > R)$ के लिए,गोला केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है। विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{r^2}$।
जैसे-जैसे $r > R$ के लिए $r$ बढ़ता है,$E$ का मान घटता है।
अतः,$r < R$ के लिए विद्युत क्षेत्र शून्य है और $r > R$ के लिए $r$ बढ़ने पर यह घटता है।

(D) एड़ी करंट बदलते चुंबकीय क्षेत्र द्वारा चालकों के भीतर प्रेरित विद्युत धारा के लूप होते हैं। इनका उपयोग इंडक्शन फर्नेस में गर्म करने के लिए,ट्रेनों में मैग्नेटिक ब्रेकिंग सिस्टम में और स्पीडोमीटर में किया जाता है। हालाँकि,इलेक्ट्रिक हीटर जूल हीटिंग प्रभाव $(H = I^2Rt)$ के सिद्धांत पर कार्य करता है,जहाँ विद्युत धारा के प्रवाह के प्रति चालक के प्रतिरोध के कारण ऊष्मा उत्पन्न होती है,न कि एड़ी करंट द्वारा।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$ है।
स्थिति $(i)$: सभी छह बल्ब जल रहे हैं। अनुभाग $A$ में $3$ बल्ब समानांतर में हैं,और अनुभाग $B$ में $3$ बल्ब समानांतर में हैं। ये दोनों अनुभाग श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq_1} = (R/3) + (R/3) = 2R/3$ है। खपत की गई शक्ति $P_1 = E^2 / R_{eq_1} = 3E^2 / 2R$ है।
स्थिति $(ii)$: अनुभाग $A$ से दो बल्ब समानांतर में हैं (प्रतिरोध $R/2$) और अनुभाग $B$ से एक बल्ब इस संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq_2} = R/2 + R = 3R/2$ है। खपत की गई शक्ति $P_2 = E^2 / R_{eq_2} = 2E^2 / 3R$ है।
शक्ति खपत का अनुपात $P_1 : P_2 = (3E^2 / 2R) : (2E^2 / 3R) = 9 : 4$ है।

(C) नति कोण (या चुंबकीय झुकाव) वह कोण है जो पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी की सतह के साथ बनाता है।
परिपाटी के अनुसार, उत्तरी गोलार्ध में नति कोण को धनात्मक $(+ve)$ लिया जाता है, जहाँ चुंबकीय सुई का उत्तरी ध्रुव नीचे की ओर झुकता है।
इसके विपरीत, दक्षिणी गोलार्ध में नति कोण को ऋणात्मक $(-ve)$ लिया जाता है, जहाँ चुंबकीय सुई का उत्तरी ध्रुव ऊपर की ओर झुकता है।
चूंकि बिंदु $A$ पर धनात्मक नति $(\delta = +25^{\circ})$ है, इसलिए यह उत्तरी गोलार्ध में स्थित है।
चूंकि बिंदु $B$ पर ऋणात्मक नति $(\delta = -25^{\circ})$ है, इसलिए यह दक्षिणी गोलार्ध में स्थित है।

(C) इंद्रधनुष देखने के लिए सही स्थिति यह है कि प्रेक्षक की पीठ सूर्य की ओर होनी चाहिए। इसलिए,यह कथन कि एक प्रेक्षक इंद्रधनुष तब देख सकता है जब उसका मुख सूर्य की ओर हो,गलत है। अतः,विकल्प $C$ गलत उत्तर है।

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,$I$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के एक लंबे बेलनाकार चालक की अक्ष से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$d \leq R$ (चालक के अंदर) के लिए,$B = \frac{\mu_{0}Id}{2 \pi R^{2}}$,जो दर्शाता है कि $B \propto d$ (एक रैखिक संबंध)।
$d > R$ (चालक के बाहर) के लिए,$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d}$,जो दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{d}$ (एक अतिपरवलयिक संबंध)।
सतह पर $(d = R)$,चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है,$B_{max} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वह ग्राफ जो $d = R$ तक रैखिक वृद्धि और $d > R$ के लिए अतिपरवलयिक गिरावट दिखाता है,उसे चित्र $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के लिए,समतुल्य फोकस दूरी $F_{1}$ का मान $\frac{1}{F_{1}} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ होता है,जिसका अर्थ है $F_{1} = \frac{f}{2}$।
जब लेंसों के बीच के स्थान को कांच के समान अपवर्तनांक वाले द्रव से भर दिया जाता है,तो यह संयोजन कांच के एक ठोस टुकड़े की तरह कार्य करता है। चूंकि बाहरी सतहें उत्तल हैं और आंतरिक स्थान भर गया है,इसलिए यह प्रणाली मूल लेंसों के समान वक्रता त्रिज्या वाले एक एकल उत्तल लेंस की तरह व्यवहार करती है। द्रव का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है,जो कांच के बराबर है। अतः,पूरी प्रणाली $F_{2} = f$ फोकस दूरी वाले एक एकल लेंस की तरह व्यवहार करती है।
इसलिए,अनुपात $\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{f/2}{f} = \frac{1}{2}$ होगा।

(D) क्रांतिक कोण $(i_c)$ को सघन माध्यम में उस आपतन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए विरल माध्यम में अपवर्तन कोण $90^o$ होता है।
जब प्रकाश की किरण सघन माध्यम से विरल माध्यम में क्रांतिक कोण के बराबर आपतन कोण पर यात्रा करती है,तो अपवर्तित किरण दोनों माध्यमों के अंतरापृष्ठ (interface) को छूते हुए निकलती है।
इसलिए,अपवर्तन कोण $90^o$ होता है।

(C) अनंत रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दो रेखीय आवेश $1$ और $2$ हैं,जो $2R$ की दूरी पर स्थित हैं। मध्य-बिंदु $P$ दोनों रेखाओं से $R$ की दूरी पर है।
धनात्मक रेखीय आवेश के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}_1$ उससे दूर (ऋणात्मक रेखीय आवेश की ओर) इंगित करता है,इसलिए $E_1 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$ है।
ऋणात्मक रेखीय आवेश के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}_2$ उसकी ओर ($\overrightarrow{E}_1$ की दिशा में ही) इंगित करता है,इसलिए $E_2 = \frac{|-\lambda|}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R}$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 + E_2 = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} + \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0 R} = \frac{\lambda}{\pi\epsilon_0 R}\; N/C$ होगा।

(B) $p-$प्रकार के अर्धचालक में,आंतरिक अर्धचालक (जैसे $Si$ या $Ge$) को त्रिसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (जैसे $Boron$,$Aluminum$ या $Indium$) के साथ डोप किया जाता है।
ये त्रिसंयोजी परमाणु क्रिस्टल जालक में रिक्तियां बनाते हैं,जिन्हें होल कहा जाता है।
चूंकि ये होल तापीय रूप से उत्पन्न इलेक्ट्रॉनों की तुलना में बहुत अधिक सांद्रता में मौजूद होते हैं,इसलिए $p-$प्रकार के अर्धचालकों में होल बहुसंख्यक आवेश वाहक के रूप में कार्य करते हैं।

(D) फ्यूज एक सुरक्षा उपकरण है जिसका उपयोग विद्युत परिपथों में ओवरकरंट या शॉर्ट-सर्किट स्थितियों से सुरक्षा के लिए किया जाता है। जब धारा एक सुरक्षित सीमा से अधिक हो जाती है,तो विद्युत धारा के ऊष्मीय प्रभाव के कारण फ्यूज का तार पिघल जाता है,जिससे परिपथ टूट जाता है और उपकरणों को होने वाले नुकसान से बचाया जा सकता है।

(B) संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
संयोजी तारों में चालन धारा $i_c$ आवेश के परिवर्तन की दर है: $i_c = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dV}{dt}$.
यहाँ $C = 20 \; \mu F$ और $\frac{dV}{dt} = 3 \; V/s$ दिया गया है, इसलिए $i_c = 20 \; \mu F \times 3 \; V/s = 60 \; \mu A$.
एम्पीयर के नियम में मैक्सवेल के संशोधन के अनुसार, संधारित्र की प्लेटों के बीच विस्थापन धारा $i_d$ संयोजी तारों में बहने वाली चालन धारा के बराबर होती है।
अतः, $i_d = i_c = 60 \; \mu A$.
इस प्रकार, चालन धारा $60 \; \mu A$ है और विस्थापन धारा $60 \; \mu A$ है।

(C) परिपथ $1$ में, वोल्टमीटर $V_{1}$ को $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में जोड़ा गया है। चूंकि एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है, इसलिए यह कोई धारा नहीं लेता है। अतः, $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $10 \; V$ है, इसलिए $V_{1} = 10 \; V$। धारा $I_{1}$ का मान $I_{1} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$ है।
परिपथ $2$ में, वोल्टमीटर $V_{2}$ को $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है, और यह संयोजन मुख्य $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है, इसलिए वोल्टमीटर और $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इस शाखा के सिरों पर वोल्टेज अभी भी $10 \; V$ है। चूंकि वोल्टमीटर आदर्श है, इसलिए $10 \; V$ का पूरा विभवांतर वोल्टमीटर के सिरों पर ही दिखाई देता है, इसलिए $V_{2} = 10 \; V$। धारा $I_{2}$ केवल मुख्य $10 \; \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है, इसलिए $I_{2} = \frac{10 \; V}{10 \; \Omega} = 1 \; A$।
अतः, $V_{1} = V_{2} = 10 \; V$ और $I_{1} = I_{2} = 1 \; A$ है।

(A) $\alpha$-कण एक हीलियम नाभिक है,जिसे $\alpha = {}_2^4 \text{He}^{2+}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
यह $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन से बना होता है,जिसकी कुल द्रव्यमान संख्या $4$ और परमाणु क्रमांक $2$ होती है।

(B) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{V}} \; \mathring{A}$।
यहाँ $V = 10,000 \; V = 10^4 \; V$ दिया गया है।
सूत्र में $V$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{12.27}{\sqrt{10^4}} \; \mathring{A} = \frac{12.27}{100} \; \mathring{A} = 0.1227 \; \mathring{A}$।
चूंकि $1 \; \mathring{A} = 10^{-10} \; m$,इसलिए $\lambda = 0.1227 \times 10^{-10} \; m = 12.27 \times 10^{-12} \; m$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,यह मान लगभग $12.2 \times 10^{-12} \; m$ है।

(B) प्रारंभ में,आवेश $q_A = Q$ और $q_B = -Q$ हैं। $r$ दूरी पर उनके बीच कार्य करने वाला बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{k Q (-Q)}{r^2} = -\frac{k Q^2}{r^2}$
जब $A$ से $25 \%$ आवेश $B$ में स्थानांतरित किया जाता है,तो स्थानांतरित मात्रा $\Delta q = 0.25 Q = \frac{Q}{4}$ है।
नए आवेश हैं:
$q_A' = Q - \frac{Q}{4} = \frac{3Q}{4}$
$q_B' = -Q + \frac{Q}{4} = -\frac{3Q}{4}$
आवेशों के बीच नया बल $F'$ है:
$F' = \frac{k q_A' q_B'}{r^2} = \frac{k (\frac{3Q}{4})(-\frac{3Q}{4})}{r^2}$
$F' = -\frac{9}{16} \frac{k Q^2}{r^2}$
चूंकि $F = -\frac{k Q^2}{r^2}$,इसलिए $F'$ के व्यंजक में इसका मान रखने पर:
$F' = \frac{9}{16} F$

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ है,जहाँ $p$ संवेग है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
यह दिया गया है कि दोनों कणों के लिए संवेग $p$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए त्रिज्या आवेश के व्युत्क्रमानुपाती है: $r \propto \frac{1}{q}$।
आयनित हाइड्रोजन परमाणु (प्रोटॉन) के लिए,आवेश $q_{H} = +e$ है।
$\alpha$-कण (हीलियम नाभिक) के लिए,आवेश $q_{\alpha} = +2e$ है।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{H}}{r_{\alpha}} = \frac{q_{\alpha}}{q_{H}} = \frac{2e}{e} = \frac{2}{1}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $r_{H}: r_{\alpha}$ का मान $2:1$ है।

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई कोणीय चौड़ाई $\theta^{\prime} = \frac{\lambda^{\prime}}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ हो जाती है।
यहाँ $\theta = 0.2^{\circ}$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है,इसलिए $\theta^{\prime} = \frac{0.2^{\circ}}{4/3} = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$ होगा।

(D) गोलों पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = \sigma (4 \pi R^2)$ और $Q_2 = \sigma (4 \pi (2R)^2) = 16 \pi R^2 \sigma$ है।
कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 4 \pi R^2 \sigma + 16 \pi R^2 \sigma = 20 \pi R^2 \sigma$ है।
जब गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो कुल आवेश इस प्रकार पुनर्वितरित होता है कि वे समान विभव $V = \frac{k Q_1'}{R} = \frac{k Q_2'}{2R}$ प्राप्त कर लें।
इसका अर्थ है $Q_2' = 2 Q_1'$।
चूंकि $Q_1' + Q_2' = 20 \pi R^2 \sigma$,इसलिए $Q_1' + 2 Q_1' = 20 \pi R^2 \sigma$,जिससे $3 Q_1' = 20 \pi R^2 \sigma$ प्राप्त होता है,अतः $Q_1' = \frac{20}{3} \pi R^2 \sigma$।
तब $Q_2' = 2 \times \frac{20}{3} \pi R^2 \sigma = \frac{40}{3} \pi R^2 \sigma$।
नया पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_1' = \frac{Q_1'}{4 \pi R^2} = \frac{20/3 \pi R^2 \sigma}{4 \pi R^2} = \frac{5}{3} \sigma$ है।
और $\sigma_2' = \frac{Q_2'}{4 \pi (2R)^2} = \frac{40/3 \pi R^2 \sigma}{16 \pi R^2} = \frac{40}{48} \sigma = \frac{5}{6} \sigma$ होगा।

(B) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया ऊर्जा अंतराल $E_g = 1.9\; eV$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना $\lambda = \frac{hc}{E_g}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
$hc \approx 1240\; eV \cdot nm$ के सन्निकटन का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda = \frac{1240\; eV \cdot nm}{1.9\; eV} \approx 652.6\; nm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\lambda \approx 654\; nm$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परिपथ में,स्विच $A$ और $B$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। आउटपुट $Y$,$LED$ की स्थिति है।
जब दोनों स्विच $A$ और $B$ स्थिति $0$ पर होते हैं (ग्राउंड से जुड़े),तो $LED$ प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $+6V$ आपूर्ति से जुड़ा होता है,इसलिए $LED$ जलता है $(Y=1)$।
यदि स्विच $A$ या $B$ में से किसी एक को भी स्थिति $1$ पर ले जाया जाता है,तो परिपथ ग्राउंड के साथ शॉर्ट हो जाता है और $LED$ के सिरों पर विभवांतर शून्य हो जाता है,इसलिए $LED$ नहीं जलता है $(Y=0)$।
सत्यता सारणी इस प्रकार है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

यह सत्यता सारणी $NOR$ गेट के अनुरूप है।

(D) लेंस की शक्ति लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
जब लेंस को मुख्य अक्ष से गुजरने वाले तल द्वारा काटा जाता है,तो लेंस की सतहों की वक्रता त्रिज्या $R_1$ और $R_2$ अपरिवर्तित रहती है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ और वक्रता त्रिज्या $R_1$ और $R_2$ कटे हुए भाग के लिए समान रहते हैं,इसलिए फोकस दूरी $f$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
चूंकि शक्ति $P = \frac{1}{f}$ होती है,इसलिए प्रत्येक भाग की शक्ति $P$ ही रहेगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के लिए पथ अंतर की शर्त $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ निम्निष्ठ का क्रम है।
पांचवें निम्निष्ठ के लिए,हम सूत्र में $n = 5$ रखते हैं:
$\Delta x = (2(5) - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = (10 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = 9 \frac{\lambda}{2}$.

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दिया गया है: $f = 25\; cm$,$\mu = 1.5$. द्वि-उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -2R$ लेने पर।
मान रखने पर: $\frac{1}{25} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-2R} \right)$.
$\frac{1}{25} = 0.5 \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$4R = 25 \times 3 = 75$.
$R = \frac{75}{4} = 18.75\; cm$.
अतः,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = 18.75\; cm$ और $R_2 = 2R = 37.5\; cm$ हैं।

(A) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2 \pi r}$ है,जहाँ $N$ कुल फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $r$ औसत त्रिज्या है।
टोरॉइड $1$ के लिए दिया गया है: $N_1 = 200$,$r_1 = 40 \; cm$.
टोरॉइड $2$ के लिए दिया गया है: $N_2 = 100$,$r_2 = 20 \; cm$.
चूंकि दोनों के लिए धारा $i$ समान है,चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात होगा:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 N_1 i}{2 \pi r_1}}{\frac{\mu_0 N_2 i}{2 \pi r_2}} = \frac{N_1}{N_2} \times \frac{r_2}{r_1}$
मान रखने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{200}{100} \right) \times \left( \frac{20}{40} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(A) जंक्शन पर धारा $i$,$i_1$ और $i_2$ में विभाजित हो जाती है। चूंकि दोनों चाप समानांतर हैं,इसलिए उनके बीच विभवांतर समान है। अतः,$i_1 R_1 = i_2 R_2$,जहाँ $R_1$ और $R_2$ चापों के प्रतिरोध हैं। चूंकि $R \propto \text{लंबाई} \propto \theta$,इसलिए $i_1 \theta_1 = i_2 \theta_2$ है। $\theta_1 = 90^\circ = \pi/2$ और $\theta_2 = 270^\circ = 3\pi/2$ दिए गए हैं,जिससे $i_1(\pi/2) = i_2(3\pi/2)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $i_2 = 3i_1$। चूंकि $i_1 + i_2 = i$ है,इसलिए $i_1 + 3i_1 = i$,जिससे $i_1 = i/4$ और $i_2 = 3i/4$ प्राप्त होता है।
$ heta$ कोण वाले चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi R}$ होता है।
ऊपरी चाप के लिए (कोण $270^\circ = 3\pi/2$): $B_1 = \frac{\mu_0 i_1 (3\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{3 \mu_0 i_1}{8 R} = \frac{3 \mu_0 (i/4)}{8 R} = \frac{3 \mu_0 i}{32 R}$ (अंदर की ओर)।
निचले चाप के लिए (कोण $90^\circ = \pi/2$): $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 i_2}{8 R} = \frac{\mu_0 (3i/4)}{8 R} = \frac{3 \mu_0 i}{32 R}$ (बाहर की ओर)।
चूंकि $B_1$ और $B_2$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए केंद्र $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है।

(B) प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ को एक ऐसी धारा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समय के साथ अपनी दिशा को आवधिक रूप से बदलती है और अपना परिमाण भी बदलती है।
दिए गए ग्राफ में,चारों स्थितियों $(a), (b), (c)$ और $(d)$ में $EMF$ (और परिणामस्वरूप धारा) समय अक्ष को पार करती है,जिसका अर्थ है कि $EMF$ अपनी ध्रुवीयता (चिह्न) को आवधिक रूप से बदलता है।
चूंकि चारों ग्राफ में $EMF$ की ध्रुवीयता बदल रही है,इसलिए वे सभी प्रत्यावर्ती $EMF$ या $AC$ तरंगों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) बोहर त्रिज्या $r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{m}$।
दिया गया है $m_{\mu} = 207 m_e$, इसलिए नई त्रिज्या $r_{\mu} = \frac{r_e}{207} = \frac{0.53 \times 10^{-10} \; m}{207} \approx 2.56 \times 10^{-13} \; m$।
मूल अवस्था ऊर्जा $E = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $E \propto m$।
दिया गया है $m_{\mu} = 207 m_e$, इसलिए नई ऊर्जा $E_{\mu} = E_e \times 207 = -13.6 \; eV \times 207 = -2815.2 \; eV \approx -2.8 \; keV$।

(D) परिपथ में $2 \text{ V}$ की बैटरी के साथ दो समानांतर शाखाएं जुड़ी हुई हैं।
ऊपरी शाखा में,$20 \ \Omega$ और $30 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। जंक्शन $V_1$ पर विभव वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा प्राप्त होता है: $V_1 = 2 \text{ V} \times \frac{30 \ \Omega}{20 \ \Omega + 30 \ \Omega} = 2 \times \frac{30}{50} = 1.2 \text{ V}$.
निचली शाखा में,$30 \ \Omega$ और $20 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। जंक्शन $V_2$ पर विभव: $V_2 = 2 \text{ V} \times \frac{20 \ \Omega}{30 \ \Omega + 20 \ \Omega} = 2 \times \frac{20}{50} = 0.8 \text{ V}$.
आदर्श वोल्टमीटर का पाठ्यांक दोनों जंक्शनों के बीच का विभवांतर है: $V = |V_1 - V_2| = |1.2 \text{ V} - 0.8 \text{ V}| = 0.4 \text{ V}$.

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,संतुलन की स्थिति सेल और गैल्वेनोमीटर के स्थानों से स्वतंत्र होती है। इसे इलेक्ट्रिकल नेटवर्क में रेसिप्रोसिटी प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यदि गैल्वेनोमीटर और सेल को आपस में बदल दिया जाए,तो भी ब्रिज काम करेगा और संतुलन की स्थिति वही रहेगी,अर्थात $\frac{P}{Q} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$।

(B) पृथ्वी के कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{E}$ को दो आयताकार घटकों में वियोजित किया जा सकता है:
$1$. क्षैतिज घटक $H$,जो क्षैतिज दिशा में कार्य करता है,$H = B_{E} \cos \delta$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. ऊर्ध्वाधर घटक $V$,जो ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है,$V = B_{E} \sin \delta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\delta$ नति कोण (dip angle) है।

(A) $A.C.$ स्रोत के लिए,प्रतिबाधा $Z = \frac{V}{I_{AC}} = \frac{12 \; V}{0.2 \; A} = 60 \; \Omega$ है।
$D.C.$ स्रोत के लिए,प्रतिरोध $R = \frac{V}{I_{DC}} = \frac{12 \; V}{0.4 \; A} = 30 \; \Omega$ है।
चूंकि $Z > R$,परिपथ में प्रतिरोध $(R)$ के साथ एक प्रेरक $(L)$ होना चाहिए।
$D.C.$ परिपथ में,एक आदर्श संधारित्र अनंत प्रतिरोध प्रदान करता है,लेकिन चूंकि $D.C.$ स्थिति में धारा प्रवाहित हो रही है,इसलिए परिपथ में संधारित्र नहीं हो सकता है। अतः,यह परिपथ एक श्रेणी $LR$ परिपथ है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाली $R$ लंबाई की छड़ (या पहिये की तीली) में प्रेरित गतिकीय $EMF$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} B \omega R^2$
दी गई मान:
$B = 0.1 \; T$
$\omega = 10 \; rad/s$
$R = 0.5 \; m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 10 \times (0.5)^2$
$E = 0.5 \times 0.25$
$E = 0.125 \; V$
अतः,केंद्र और रिम के बीच उत्पन्न $EMF$ $0.125 \; V$ है।

(A) माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\mu = \mu_{r} \mu_{0}$ और $\epsilon = \epsilon_{r} \epsilon_{0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r} \mu_{0} \epsilon_{0}}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि निर्वात में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} = 3 \times 10^{8} \;m/s$ है,इसलिए सूत्र $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$ बन जाता है।
यहाँ $\mu_{r} = 1.0$ और $\epsilon_{r} = 1.44$ दिया गया है,अतः $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.0 \times 1.44}}$.
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.44}} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.2}$.
$v = 2.5 \times 10^{8} \;m/s$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों, $+q$ और $-q$ से बना होता है।
यहाँ, आवेश $+3 \times 10^{-6} \; C$ और $-3 \times 10^{-6} \; C$ हैं।
गोले द्वारा घेरा गया कुल आवेश $q_{\text{enclosed}} = (+3 \times 10^{-6}) + (-3 \times 10^{-6}) = 0 \; C$ है।
इसलिए, कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0 \; \text{N m}^2 / \text{C}$ होगा।

(C) प्रारंभ में,संधारित्र $C_{1}$ को बैटरी द्वारा $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है। $C_{1}$ में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_{i} = \frac{1}{2} C V^{2}$ है।
जब बैटरी को डिस्कनेक्ट किया जाता है और $C_{1}$ को एक अनावेशित संधारित्र $C_{2}$ (जहाँ $C_{1} = C_{2} = C$) के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो आवेश का पुनर्वितरण होता है।
जुड़ने के बाद सामान्य विभव $V'$ का मान $V' = \frac{C_{1}V + C_{2}(0)}{C_{1} + C_{2}} = \frac{CV}{2C} = \frac{V}{2}$ होता है।
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा $U_{f} = \frac{1}{2} (C_{1} + C_{2}) (V')^{2} = \frac{1}{2} (2C) (\frac{V}{2})^{2} = C \cdot \frac{V^{2}}{4} = \frac{1}{4} C V^{2}$ है।
ऊर्जा में हानि $\Delta U = U_{i} - U_{f} = \frac{1}{2} C V^{2} - \frac{1}{4} C V^{2} = \frac{1}{4} C V^{2}$ है।
ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta U}{U_{i}} \times 100 = \frac{\frac{1}{4} C V^{2}}{\frac{1}{2} C V^{2}} \times 100 = 50 \%$ है।

(B) Fraunhofer विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है और $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूँकि $\theta \propto \lambda$,हमारे पास अनुपात $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ है।
यह दिया गया है कि कोणीय चौड़ाई $30 \% $ कम हो जाती है,इसलिए नई कोणीय चौड़ाई $\theta_2 = \theta_0 - 0.30\theta_0 = 0.70\theta_0$ है।
मान रखने पर: $\frac{0.70\theta_0}{\theta_0} = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$0.70 = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$\lambda_2 = 0.70 \times 6000 \; \mathring{A} = 4200 \; \mathring{A}$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $E_k$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि दोनों कणों की गतिज ऊर्जा $E_k$ समान है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होगा।
अतः,$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha}}{m_p}}$.
हम जानते हैं कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है,अर्थात $m_{\alpha} = 4m_p$.
इस मान को रखने पर,हमें $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\lambda_p : \lambda_{\alpha}$ का अनुपात $2:1$ है।