NEET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) गेंद का व्यास निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: $\text{व्यास} = \text{MSR} + (\text{CSR} \times \text{LC}) - \text{शून्य त्रुटि}$.
दिया गया है: $\text{MSR} = 5 \, mm = 0.5 \, cm$,$\text{CSR} = 25$,$\text{LC} = 0.001 \, cm$,और $\text{शून्य त्रुटि} = -0.004 \, cm$.
मान रखने पर:
$\text{व्यास} = 0.5 \, cm + (25 \times 0.001 \, cm) - (-0.004 \, cm)$.
$\text{व्यास} = 0.5 \, cm + 0.025 \, cm + 0.004 \, cm$.
$\text{व्यास} = 0.529 \, cm$.

(C) $R$ त्रिज्या का ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु $A$ पर न्यूनतम गति $v_A = \sqrt{5gR}$ होनी चाहिए।
दिया गया है कि वृत्त का व्यास $D$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{D}{2}$ है।
वेग समीकरण में $R$ का मान रखने पर,हमें $v_A = \sqrt{5g \left(\frac{D}{2}\right)} = \sqrt{\frac{5gD}{2}}$ प्राप्त होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा बिंदु $A$ पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$
$gh = \frac{1}{2}v_A^2$
$v_A^2 = \frac{5gD}{2}$ का मान रखने पर:
$gh = \frac{1}{2} \left(\frac{5gD}{2}\right)$
$h = \frac{5D}{4}$

(C) ब्लॉक को वेज पर स्थिर रखने के लिए,हम वेज के नॉन-इनर्शियल फ्रेम में बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (सतह के लंबवत),और छद्म बल (pseudo force) $ma$ (बाईं ओर)।
$2$. बलों को झुकी हुई सतह के समानांतर और लंबवत घटकों में विभाजित करने पर:
- सतह के समानांतर: $ma \cos \theta = mg \sin \theta$।
$3$. समानांतर घटक के समीकरण से:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a \cos \theta = g \sin \theta$
$a = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$a = g \tan \theta$

(C) घर्षण गुणांक $(\mu)$ को संबंध $f = \mu N$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $f$ घर्षण बल है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\mu = \frac{f}{N}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ और $N$ दोनों बल हैं,इसलिए उनके मात्रक न्यूटन $(N)$ हैं। अतः,घर्षण गुणांक दो बलों का अनुपात है,जो इसे एक विमाहीन राशि बनाता है।
इस प्रकार,यह कथन कि सर्पी घर्षण गुणांक की विमा लंबाई की होती है,गलत है।

(D) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = \text{नियतांक}$.
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T$ है और अंतिम तापमान $T'$ है।
दिया गया है कि $\lambda_{\max, 1} = \lambda_0$ और $\lambda_{\max, 2} = \frac{3}{4}\lambda_0$.
नियम का उपयोग करने पर: $\lambda_0 T = \left(\frac{3}{4}\lambda_0\right) T' \Rightarrow T' = \frac{4}{3}T$.
$Stefan-Boltzmann$ नियम के अनुसार,कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ होती है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T^4$.
अतः,$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T'}{T}\right)^4$.
मान रखने पर: $n = \left(\frac{4/3 T}{T}\right)^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$.

(B) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_{\text{escape}} = 11200 \, m/s$ है।
ऑक्सीजन अणुओं के पलायन के लिए,उनकी $rms$ गति पलायन वेग के बराबर होनी चाहिए:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} = v_{\text{escape}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$11200 = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(11200)^2 = \frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = \frac{4.14 \times 10^{-23} \times T}{2.76 \times 10^{-26}}$
$1.2544 \times 10^8 = 1.5 \times 10^3 \times T$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{1.2544 \times 10^8}{1.5 \times 10^3} \approx 8.360 \times 10^4 \, K$.

(B) स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ है और रैखिक तथा कोणीय वेग के बीच संबंध $v = r\omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v}{r}$।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K_r = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left( \frac{5+2}{10} \right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
$K_t : (K_t + K_r)$ का अनुपात $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ है।

(C) बल आघूर्ण (टॉर्क) घूर्णन बिंदु के सापेक्ष स्थिति सदिश और बल सदिश का सदिश गुणनफल होता है:
$\overrightarrow{\tau} = (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0}) \times \overrightarrow{F}$
यहाँ,घूर्णन बिंदु $\overrightarrow{r_0} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है और बल का अनुप्रयोग बिंदु $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सबसे पहले,सापेक्ष स्थिति सदिश की गणना करें:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0} = (2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}) - (2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{\tau} = (0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}) \times (4\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k})$ की गणना करें:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & -6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(2(-6) - (-1)(5)) - \hat{j}(0(-6) - (-1)(4)) + \hat{k}(0(5) - 2(4))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-12 + 5) - \hat{j}(0 + 4) + \hat{k}(0 - 8)$
$\overrightarrow{\tau} = -7\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.

(A) किसी वस्तु को विराम अवस्था में लाने के लिए आवश्यक कार्य उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होता है: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि सभी वस्तुओं के लिए कोणीय चाल $\omega$ समान है,इसलिए किया गया कार्य जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) के सीधे आनुपातिक है: $W \propto I$.
उनकी सममिति अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार हैं:
$1$. ठोस गोला $(A)$: $I_A = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 MR^2$
$2$. पतली वृत्ताकार डिस्क $(B)$: $I_B = \frac{1}{2} MR^2 = 0.5 MR^2$
$3$. वृत्ताकार वलय $(C)$: $I_C = MR^2 = 1.0 MR^2$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $I_C > I_B > I_A$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक कार्य के लिए संबंध $W_C > W_B > W_A$ होगा।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इस मामले में,गोला मुक्त आकाश में स्वतंत्र रूप से घूम रहा है,जिसका अर्थ है कि उस पर कोई बाह्य टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है $({\tau_{ext}} = 0)$।
चूंकि ${\tau_{ext}} = \frac{dL}{dt} = 0$,इसलिए कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहना चाहिए।
जब गोले की त्रिज्या बढ़ती है,तो उसका जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{2}{5}MR^2)$ बढ़ जाता है। चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $(\omega)$ कम हो जाएगा और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K = \frac{L^2}{2I})$ भी बदल जाएगी। अतः,केवल कोणीय संवेग ही स्थिर रहता है।

(B) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग नियत रहता है। इसका अर्थ है कि ग्रह जब सूर्य के निकट होता है तो तेज गति करता है और जब दूर होता है तो धीमी गति करता है।
बिंदु $A$ उपसौर (perihelion - सूर्य के सबसे निकट) है,और बिंदु $C$ अपसौर (aphelion - सूर्य से सबसे दूर) है। बिंदु $B$ एक मध्यवर्ती दूरी पर है।
इसलिए,इन स्थितियों पर कक्षीय चाल का संबंध इस प्रकार है: $v_A > v_B > v_C$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,इसलिए यह चाल के वर्ग के समानुपाती होती है $(K \propto v^2)$।
अतः,इन स्थितियों पर गतिज ऊर्जाओं का संबंध इस प्रकार है: $K_A > K_B > K_C$।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्यान दें कि सूर्य का द्रव्यमान पृथ्वी की सतह पर $g$ के मान को प्रभावित नहीं करता है।
यदि सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$,$10G$ हो जाता है,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ होगा $g' = \frac{(10G)M}{R^2} = 10g$।
चूंकि $g' = 10g$ है,गुरुत्वीय त्वरण काफी बढ़ जाता है।
$1$. बारिश की बूंदें तेजी से गिरेंगी क्योंकि गुरुत्वीय त्वरण अधिक है।
$2$. जमीन पर चलना अधिक कठिन हो जाएगा क्योंकि व्यक्ति का प्रभावी वजन बढ़ जाता है।
$3$. सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है। जैसे-जैसे $g$ बढ़ता है,$T$ कम हो जाएगा।
$4$. कथन 'पृथ्वी पर $g$ नहीं बदलेगा' गलत है क्योंकि $g$ दस गुना बढ़ जाता है।

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{Fl}{A\Delta l}$ है।
चूंकि दोनों तारों का आयतन $V = A \times L$ समान है,और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A_1 = A$ और $A_2 = 3A$ हैं,इसलिए उनकी लंबाई क्रमशः $L_1 = 3l$ और $L_2 = l$ होगी।
पहले तार के लिए:
$\Delta l = \frac{F \cdot (3l)}{A \cdot Y} = \frac{3Fl}{AY} \quad ...(i)$
दूसरे तार के लिए,मान लीजिए आवश्यक बल $F'$ है। लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ समान है:
$\Delta l = \frac{F' \cdot l}{(3A) \cdot Y} = \frac{F'l}{3AY} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{3Fl}{AY} = \frac{F'l}{3AY}$
$3F = \frac{F'}{3}$
$F' = 9F$

(D) श्यान ड्रैग बल स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = 6\pi \eta rv$,जहाँ $v$ सीमांत वेग है।
ऊष्मा उत्पादन की दर श्यान बल द्वारा व्यय की गई शक्ति के बराबर होती है:
$P = F \cdot v = (6\pi \eta rv) \cdot v = 6\pi \eta r v^2$.
श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $v$ इस प्रकार है:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,जिसका अर्थ है $v \propto r^2$.
शक्ति समीकरण में $v \propto r^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P \propto r \cdot (r^2)^2 = r \cdot r^4 = r^5$.
अतः,ऊष्मा उत्पादन की दर $r^5$ के समानुपाती होती है।

(A) ग्राफ से,$V \propto T$,जो दर्शाता है कि प्रक्रिया समदाबी (constant pressure) है।
समदाबी प्रक्रिया के लिए,अवशोषित ऊष्मा $dQ = nC_p dT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_p$ स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है। अतः,$C_p = \frac{f+2}{2}R = \frac{3+2}{2}R = \frac{5}{2}R$।
इसलिए,$dQ = n \left( \frac{5}{2}R \right) dT$।
गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = PdV$ है। चूँकि $PV = nRT$,स्थिर दबाव प्रक्रिया के लिए,$PdV = nRdT$ होता है।
वांछित अनुपात $\frac{dW}{dQ} = \frac{nRdT}{n(\frac{5}{2}R)dT} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$ है।

(A) एक आदर्श (कार्नोट) ऊष्मा इंजन की दक्षता का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$।
यहाँ,$T_1$ स्रोत का तापमान (पानी का क्वथनांक) है और $T_2$ सिंक का तापमान (पानी का हिमांक) है।
पानी का हिमांक,$T_2 = 0^{\circ}C = 273\,K$।
पानी का क्वथनांक,$T_1 = 100^{\circ}C = (100 + 273)\,K = 373\,K$।
इन मानों को दक्षता के सूत्र में रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{273}{373} = \frac{373 - 273}{373} = \frac{100}{373}$।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए:
$\% \eta = \left( \frac{100}{373} \right) \times 100 \approx 26.8\%$।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
सबसे पहले,ऊष्मीय ऊर्जा को कैलोरी से जूल में बदलें: $\Delta Q = 54 \, cal \times 4.18 \, J/cal = 225.72 \, J$.
इसके बाद,विस्तार के दौरान किए गए कार्य की गणना करें: $\Delta W = P \Delta V$.
यहाँ $P = 1.013 \times 10^5 \, N/m^2$ और $\Delta V = 167.1 \, cc = 167.1 \times 10^{-6} \, m^3$ दिया गया है।
$\Delta W = 1.013 \times 10^5 \times 167.1 \times 10^{-6} \approx 16.93 \, J$.
अब,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात करें: $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$.
$\Delta U = 225.72 \, J - 16.93 \, J = 208.79 \, J$.
अतः,निकटतम विकल्प के अनुसार $\Delta U \approx 208.7 \, J$ प्राप्त होता है।

(B) $SHM$ कर रहे एक कण के त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 y$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $y$ माध्य स्थिति से विस्थापन है।
दिया गया है: $|a| = 20 \; m/s^2$ और $y = 5 \; m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $20 = \omega^2 (5)$.
$\omega^2 = 4 \Rightarrow \omega = 2 \; rad/s$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \; s$.

(A) $l'$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2l'}$ द्वारा दी जाती है।
$l$ लंबाई वाली बंद ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{4l}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 3, 5, \dots$ (विषम हार्मोनिक्स)।
बंद ऑर्गन पाइप का तीसरा हार्मोनिक $n = 3$ के अनुरूप है,इसलिए $f_{closed, 3} = \frac{3v}{4l}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$f_{open} = f_{closed, 3}$ है।
अतः,$\frac{v}{2l'} = \frac{3v}{4l}$ होता है।
$l'$ के लिए सरल करने पर,$l' = \frac{4l}{6} = \frac{2l}{3}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $l = 20 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $l' = \frac{2 \times 20}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \ cm$ होता है।

(B) अनुनाद नली के प्रयोग में,दो क्रमिक अनुनाद स्थितियों के बीच की दूरी ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2} = L_2 - L_1$.
यहाँ,$L_1 = 20\,cm = 0.20\,m$ और $L_2 = 73\,cm = 0.73\,m$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{\lambda}{2} = 0.73\,m - 0.20\,m = 0.53\,m$.
इसका अर्थ है कि $\lambda = 2 \times 0.53\,m = 1.06\,m$.
ध्वनि का वेग $v$ सूत्र $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति है।
यहाँ $f = 320\,Hz$ दिया गया है।
$v = 320 \times 1.06 = 339.2\,m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,ध्वनि का वेग $339\,m/s$ है।

(B) माना $4m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का अंतिम वेग $v'$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $= v$.
$4m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $= 0$.
$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का अंतिम वेग $= 0$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv + 4m(0) = m(0) + 4mv'$
$mv = 4mv'$
$v' = v/4$
प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और दृष्टिकोण के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$e = \frac{\text{पृथक्करण का सापेक्ष वेग}}{\text{दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग}}$
$e = \frac{v' - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = 0.25$

(A) एक विलगित समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
एक प्लेट द्वारा दूसरी प्लेट के स्थान पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma = \frac{Q}{A}$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
दूसरी प्लेट के विद्युत क्षेत्र के कारण एक प्लेट द्वारा अनुभव किया गया स्थिर-वैद्युत बल $F = Q \times E$ होता है।
$E$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = Q \times \frac{Q}{2A\varepsilon_0} = \frac{Q^2}{2A\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$,$A$ और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए बल $F$ प्लेटों के बीच की दूरी $d$ से स्वतंत्र है।

(A) एक स्थिर विद्युत बल के अंतर्गत विरामावस्था से शुरू होने वाले कण के लिए गति का समीकरण $h = \frac{1}{2} a t^2$ है,जहाँ $a = \frac{qE}{m}$ है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $h = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m} \right) t^2$ प्राप्त होता है।
अतः,गिरने का समय $t = \sqrt{\frac{2hm}{eE}}$ है।
चूँकि $h$,$e$,और $E$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $t \propto \sqrt{m}$ है।
चूँकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e \approx 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$ से बहुत कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन द्वारा लिया गया समय प्रोटॉन द्वारा लिए गए समय से कम होगा।

(B) त्वरण $a = \frac{v - u}{t} = \frac{6 - 0}{1} = 6\, m s^{-2}$ है।
समय अंतराल $t = 0$ से $t = 1\, s$ के लिए:
विस्थापन $S_1 = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 6 \times (1)^2 = 3\, m$.
$t = 1\, s$ पर,क्षेत्र की दिशा उलट दी जाती है,इसलिए नया त्वरण $a' = -6\, m s^{-2}$ है।
समय अंतराल $t = 1\, s$ से $t = 2\, s$ के लिए:
विस्थापन $S_2 = v_1 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 6 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = 6 - 3 = 3\, m$.
समय अंतराल $t = 2\, s$ से $t = 3\, s$ के लिए:
$t = 2\, s$ पर वेग $v_2 = v_1 + a' t = 6 + (-6) \times 1 = 0\, m s^{-1}$ है।
विस्थापन $S_3 = v_2 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = -3\, m$.
कुल विस्थापन $S = S_1 + S_2 + S_3 = 3 + 3 - 3 = 3\, m$.
औसत वेग = $\frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{3}{3} = 1\, m s^{-1}$.
कुल दूरी = $|S_1| + |S_2| + |S_3| = 3 + 3 + 3 = 9\, m$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{9}{3} = 3\, m s^{-1}$.

(A) जब $R$ प्रतिरोध के $n$ प्रतिरोधकों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $n R$ होता है। आंतरिक प्रतिरोध $R$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $(n R + R)$ होता है।
अतः,धारा $I = \frac{E}{n R + R} = \frac{E}{R(n + 1)}$ .....$(i)$
जब $n$ प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R/n$ होता है। परिपथ का कुल प्रतिरोध $(R/n + R)$ होता है।
अतः,नई धारा $10I = \frac{E}{R/n + R} = \frac{E}{R(\frac{1+n}{n})} = \frac{nE}{R(n+1)}$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10I}{I} = \frac{nE / R(n+1)}{E / R(n+1)}$
$10 = n$
अतः,$n$ का मान $10$ है.

(A) जब $n$ समान सेल,जिनमें से प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $\varepsilon$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो बैटरी का कुल विद्युत वाहक बल $n\varepsilon$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ होता है।
जब टर्मिनलों को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो परिपथ में प्रवाहित धारा $I$ ओम के नियम द्वारा इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{\text{कुल EMF}}{\text{कुल प्रतिरोध}} = \frac{n\varepsilon}{nr} = \frac{\varepsilon}{r}$
चूंकि $\varepsilon$ और $r$ दिए गए सेलों के लिए स्थिरांक हैं,इसलिए धारा $I$ सेलों की संख्या $n$ से स्वतंत्र है। अतः,$I$ बनाम $n$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(D) धारा सुग्राहिता $(I_s)$ को प्रति इकाई धारा पर विक्षेप के रूप में परिभाषित किया जाता है: $I_s = \frac{\theta}{I}$।
वोल्टेज सुग्राहिता $(V_s)$ को प्रति इकाई वोल्टेज पर विक्षेप के रूप में परिभाषित किया जाता है: $V_s = \frac{\theta}{V}$।
चूंकि $V = IR$,जहाँ $R$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $(R_G)$ है,इसलिए $V_s = \frac{\theta}{I R_G} = \frac{I_s}{R_G}$।
अतः,गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R_G = \frac{I_s}{V_s}$ होगा।
दिया गया है: $I_s = 5\,div/mA = 5\,div/(10^{-3}\,A) = 5000\,div/A$।
दिया गया है: $V_s = 20\,div/V$।
मान रखने पर: $R_G = \frac{5000}{20} = 250\,\Omega$।

(A) जब विद्युत चुंबक में धारा चालू की जाती है,तो यह एक असमान चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं और प्रबल चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्रों से दुर्बल चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्रों की ओर जाने की प्रवृत्ति रखते हैं। जैसे-जैसे छड़ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर की ओर धकेली जाती है,यह गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करती है। यह ऊर्जा उस बाहरी धारा स्रोत द्वारा प्रदान की जाती है जो विद्युत चुंबक में चुंबकीय क्षेत्र को बनाए रखता है।

(B) दर्पण सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ का उपयोग करते हुए।
अवतल दर्पण के लिए,$f = -15 \, cm$.
प्रारंभ में,वस्तु की दूरी $u_1 = -40 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{-40} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{40} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 8}{120} = \frac{-5}{120} = -\frac{1}{24}$.
अतः,$v_1 = -24 \, cm$ (प्रतिबिंब दर्पण के सामने $24 \, cm$ पर है)।
जब वस्तु को दर्पण की ओर $20 \, cm$ विस्थापित किया जाता है,तो नई वस्तु दूरी $u_2 = -(40 - 20) = -20 \, cm$.
$\frac{1}{-15} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{-20} \Rightarrow \frac{1}{v_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 4}{60} = -\frac{1}{60}$.
अतः,$v_2 = -60 \, cm$ (प्रतिबिंब दर्पण के सामने $60 \, cm$ पर है)।
प्रतिबिंब का विस्थापन $|v_2 - v_1| = |-60 - (-24)| = |-36| = 36 \, cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब की दूरी का परिमाण बढ़ गया है,इसलिए प्रतिबिंब दर्पण से $36 \, cm$ दूर विस्थापित होगा।

(B) प्रकाश किरण के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे सिल्वर वाली सतह पर लंबवत (सतह के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए।
मान लीजिए कि पहली सतह पर आपतन कोण $i$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है। प्रिज्म का कोण $A = 30^{\circ}$ है।
चूंकि किरण दूसरी सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ होगा।
प्रिज्म के सूत्र $A = r_1 + r_2$ से,हमें मिलता है $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$i = 45^{\circ}$।

(D) एक खगोलीय दूरदर्शी के लिए,कोणीय आवर्धन $M = \frac{f_o}{f_e}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका (eyepiece) की फोकस दूरी है।
उच्च कोणीय आवर्धन प्राप्त करने के लिए,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $f_o$ बड़ी होनी चाहिए।
दूरदर्शी का कोणीय विभेदन $\theta = \frac{1.22 \lambda}{D}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
उच्च कोणीय विभेदन प्राप्त करने के लिए,$\theta$ का मान छोटा होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अभिदृश्यक लेंस का व्यास $D$ बड़ा होना चाहिए।
अतः,एक खगोलीय अपवर्तक दूरदर्शी के लिए बड़ी फोकस दूरी और बड़े व्यास वाले अभिदृश्यक लेंस की आवश्यकता होती है।

(A) विद्युत क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E} = (-e)(-E_0 \hat{i}) = eE_0 \hat{i}$ है।
इलेक्ट्रॉन में उत्पन्न त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{eE_0}{m} \hat{i}$ है।
$t$ समय पर इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v}_t = \vec{v} + \vec{a}t = \left(V_0 + \frac{eE_0}{m}t\right) \hat{i}$ द्वारा दिया जाता है।
वेग का परिमाण $v_t = V_0 + \frac{eE_0}{m}t = V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)$ है।
$t$ समय पर डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_t = \frac{h}{mv_t}$ है।
$v_t$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda_t = \frac{h}{m V_0 \left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रारंभिक डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{h}{mV_0}$ है,इसलिए $\lambda_t = \frac{\lambda_0}{\left(1 + \frac{eE_0}{mV_0}t\right)}$ होगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = h\nu - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $W_0 = h\nu_0$ है।
$2\nu_0$ आवृत्ति के लिए:
$h(2\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$
$h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_1^2$ ..... $(i)$
$5\nu_0$ आवृत्ति के लिए:
$h(5\nu_0) = h\nu_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$4h\nu_0 = \frac{1}{2}mv_2^2$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{h\nu_0}{4h\nu_0} = \frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(C) $L$ प्रेरकत्व वाले प्रेरक में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
दिया गया है:
$U = 25\, mJ = 25 \times 10^{-3}\, J$
$I = 60\, mA = 60 \times 10^{-3}\, A = 6 \times 10^{-2}\, A$
सूत्र में मान रखने पर:
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (6 \times 10^{-2})^{2}$
$25 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times 36 \times 10^{-4}$
$25 \times 10^{-3} = L \times 18 \times 10^{-4}$
$L = \frac{25 \times 10^{-3}}{18 \times 10^{-4}}$
$L = \frac{250}{18} = 13.888...\, H \approx 13.89\, H$.

(C) नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg \sin 30^{\circ}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = IlB$ है,जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है। नत समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाला इस चुंबकीय बल का घटक $F_{m, \text{up}} = IlB \cos 30^{\circ}$ है।
छड़ को स्थिर रखने के लिए,नत समतल के अनुदिश बलों को संतुलित होना चाहिए:
$mg \sin 30^{\circ} = IlB \cos 30^{\circ}$
धारा $I$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$I = \frac{mg}{lB} \tan 30^{\circ}$
यहाँ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\frac{m}{l} = 0.5\; kg\; m^{-1}$,$B = 0.25\; T$,और $g = 9.8\; m/s^2$ दिया गया है:
$I = \frac{0.5 \times 9.8}{0.25} \times \tan 30^{\circ}$
$I = 2 \times 9.8 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$I = \frac{19.6}{1.732} \approx 11.32\; A$

(A) दिए गए मान $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,$C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F$,$R = 50 \, \Omega$,और $V = 10 \sin(314 \, t)$ हैं।
$V = V_0 \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $V_0 = 10 \, V$ और $\omega = 314 \, rad/s$ प्राप्त होता है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 314 \times 20 \times 10^{-3} = 6.28 \, \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.0314} \approx 31.85 \, \Omega$ है।
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{50^2 + (31.85 - 6.28)^2} = \sqrt{2500 + (25.57)^2} = \sqrt{2500 + 653.8} = \sqrt{3153.8} \approx 56.16 \, \Omega$ है।
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ है।
शक्ति क्षय $P_{av} = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{10}{\sqrt{2} \times 56.16}\right)^2 \times 50$ है।
$P_{av} = \left(\frac{10}{79.42}\right)^2 \times 50 = (0.1259)^2 \times 50 = 0.01585 \times 50 \approx 0.79 \, W$.

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग वेक्टर की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\vec{S} \propto \vec{E} \times \vec{B}$ है।
दिया गया है कि वेग $\vec{v}$,$+x$ अक्ष $(\hat{i})$ के अनुदिश है और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,$+y$ अक्ष $(\hat{j})$ के अनुदिश है।
हम जानते हैं कि $\vec{v} \parallel (\vec{E} \times \vec{B})$.
ज्ञात दिशाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\hat{i} = \hat{j} \times \vec{B}_{dir}$.
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ की दिशा $+z$ अक्ष $(\hat{k})$ के अनुदिश होनी चाहिए।
इस प्रकार,दोलनी चुंबकीय क्षेत्र $+z$ दिशा में है।

(B) जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण $i$ को ब्रूस्टर कोण $(i_B)$ कहा जाता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ को $\mu = \tan(i_B)$ द्वारा दिया जाता है।
इस स्थिति में,परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल-ध्रुवित होता है,और इसका विद्युत क्षेत्र सदिश आपतन तल के लंबवत होता है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta$ का सूत्र: $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है।
प्रारंभिक स्थितियों के अनुसार: $\theta_1 = 0.20^\circ$ और $d_1 = 2 \ mm$.
अतः,$0.20^\circ = \frac{\lambda}{2 \ mm}$ .... $(i)$.
नई स्थिति के लिए: $\theta_2 = 0.21^\circ$ और $d_2 = d$.
अतः,$0.21^\circ = \frac{\lambda}{d}$ .... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.20}{0.21} = \frac{d}{2 \ mm}$.
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{0.20 \times 2}{0.21} \ mm = \frac{0.40}{0.21} \ mm \approx 1.9047 \ mm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$d = 1.9 \ mm$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की बोहर कक्षा में,कुल ऊर्जा $E$ को $E = -K$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
यह संबंध इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है,$E = K + U$,और बोहर कक्षा के लिए,$U = -2K$ होता है।
अतः,$E = K + (-2K) = -K$।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $K/E = K/(-K) = 1:-1$ है।

(A) विघटन के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_{0} - N_{\text{disintegrated}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $N_{0} = 600$ और $N_{\text{disintegrated}} = 450$ दिया गया है,इसलिए शेष नाभिक $N = 600 - 450 = 150$ होंगे।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$\frac{N}{N_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$,जहाँ $T_{1/2} = 10$ मिनट है।
मान रखने पर: $\frac{150}{600} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$,इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{t}{10}$,जिससे $t = 20$ मिनट प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $V_{BE} = 0$,$V_{CE} = 0$,$V_i = 20\, V$,$R_B = 500\, k\Omega$,$R_C = 4\, k\Omega$.
आउटपुट परिपथ (कलेक्टर-एमिटर लूप) के लिए:
$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE}$
चूंकि $V_{CE} = 0$ है,इसलिए:
$20\, V = I_C \times (4 \times 10^3\,\Omega) + 0$
$I_C = \frac{20}{4 \times 10^3} = 5 \times 10^{-3}\, A = 5\, mA$.
इनपुट परिपथ (बेस-एमिटर लूप) के लिए:
$V_i = I_B R_B + V_{BE}$
चूंकि $V_{BE} = 0$ है,इसलिए:
$20\, V = I_B \times (500 \times 10^3\,\Omega) + 0$
$I_B = \frac{20}{500 \times 10^3} = 40 \times 10^{-6}\, A = 40\,\mu A$.
धारा लाभ (current gain) $\beta$ इस प्रकार है:
$\beta = \frac{I_C}{I_B} = \frac{5 \times 10^{-3}\, A}{40 \times 10^{-6}\, A} = \frac{5000}{40} = 125$.

(C) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड का तापमान बढ़ता है,तो तापीय ऊर्जा के कारण अधिक सहसंयोजक बंध (covalent bonds) टूट जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े की संख्या में वृद्धि होती है।
आवेश वाहकों (charge carriers) में यह वृद्धि अर्धचालक पदार्थ के प्रतिरोध में कमी लाती है।
परिणामस्वरूप,फॉरवर्ड करंट और रिवर्स सैचुरेशन करंट दोनों काफी प्रभावित होते हैं।
इसलिए,$p-n$ जंक्शन डायोड की समग्र $V-I$ विशेषताएं तापमान में परिवर्तन से बदल जाती हैं।

(B) दिए गए सर्किट में दो $AND$ गेट,दो $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट $A$ और $\overline{B}$ इनपुट प्राप्त करता है (क्योंकि $B$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है)। इसका आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
$2$. निचला $AND$ गेट $\overline{A}$ (क्योंकि $A$ एक $NOT$ गेट से होकर गुजरता है) और $B$ इनपुट प्राप्त करता है। इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
$3$. इन दोनों आउटपुट को एक $OR$ गेट में दिया जाता है। इसलिए,अंतिम आउटपुट $Y$ इन दो व्यंजकों का योग है: $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$.
यह एक $XOR$ (एक्सक्लूसिव-$OR$) गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।

(C) दिया गया प्रतिरोध $(47 \pm 4.7) \; k\Omega = 47 \times 10^3 \; \Omega \pm 10 \%$ है।
कार्बन प्रतिरोधक कलर कोड के अनुसार:
$1$. पहला अंक $4$ है, जो पीले रंग के अनुरूप है।
$2$. दूसरा अंक $7$ है, जो बैंगनी रंग के अनुरूप है।
$3$. गुणक $10^3$ है, जो नारंगी रंग के अनुरूप है।
$4$. टॉलरेंस $10 \%$ है, जो सिल्वर रंग के अनुरूप है।
अतः, रंग कोड का क्रम पीला - बैंगनी - नारंगी - सिल्वर है।