NEET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 \ell}$ है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100\% = \left( \frac{0.002}{0.4} + 2 \times \frac{0.001}{0.3} + \frac{0.02}{5} \right) \times 100\%$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{0.002}{0.4} \times 100\% = 0.5\%$.
$2 \times \frac{0.001}{0.3} \times 100\% = \frac{2}{3}\% \approx 0.67\%$.
$\frac{0.02}{5} \times 100\% = 0.4\%$.
इन त्रुटियों का योग करने पर:
$0.5\% + 0.67\% + 0.4\% = 1.57\% \approx 1.6\%$.

(C) अनुदैर्ध्य प्रतिबल को प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर लगने वाले आंतरिक प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस स्थिति में,तार के मुक्त सिरे पर लटकाया गया भार $W$ नीचे की ओर एक बल लगाता है,जो तार के किसी भी अनुप्रस्थ काट पर समान और विपरीत आंतरिक प्रत्यानयन बल $F = W$ द्वारा संतुलित होता है।
इसलिए,अनुदैर्ध्य प्रतिबल इस प्रकार है:
$\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{W}{A}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) गैस की $rms$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = -50 + 273 = 223\,K$ है और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ है।
गति में $3$ गुना की वृद्धि होती है,इसलिए अंतिम गति $v_2 = v + 3v = 4v$ हो जाती है।
संबंध $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{v}{4v} = \sqrt{\frac{223}{T_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{16} = \frac{223}{T_2}$।
अतः,$T_2 = 223 \times 16 = 3568\,K$।
सेल्सियस में बदलने पर,$T_2 = 3568 - 273 = 3295^{\circ}C$।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{V}_i = V(-\hat{j})$ (दक्षिण की ओर) है।
मान लीजिए अंतिम वेग $\vec{V}_f = V(\hat{i})$ (पूर्व की ओर) है।
वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{V} = \vec{V}_f - \vec{V}_i$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\Delta\vec{V} = V\hat{i} - (-V\hat{j}) = V\hat{i} + V\hat{j}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बल $\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{\Delta\vec{V}}{\Delta t}$ होता है,इसलिए बल की दिशा वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{V}$ की दिशा के समान होती है।
सदिश $V\hat{i} + V\hat{j}$ उत्तर-पूर्व दिशा की ओर इंगित करता है।
अतः,बल उत्तर-पूर्व दिशा में कार्य करता है।

(C) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{open}} = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है।
$L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{closed}} = \frac{V}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप और बंद पाइप की मूल आवृत्तियों का अनुपात:
$\frac{n_{\text{open}}}{n_{\text{closed}}} = \frac{\frac{V}{2L}}{\frac{V}{4L}} = \frac{4L}{2L} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(A) कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$ को समय के सापेक्ष कोणीय वेग $(\vec{\omega})$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्ताकार पथ में गति करने वाले पिंड के लिए कोणीय वेग सदिश $(\vec{\omega})$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है, इसलिए इस सदिश के परिवर्तन की दर, जो कि कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$ है, भी उसी घूर्णन अक्ष के अनुदिश कार्य करती है।

(A) प्रायोगिक स्थितियों में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव,जैसे कि तापमान,वोल्टेज आपूर्ति या यांत्रिक कंपन के कारण उत्पन्न होने वाली त्रुटियों को यादृच्छिक त्रुटियां (Random errors) कहा जाता है। ये त्रुटियां अनियमित रूप से होती हैं और प्रकृति में यादृच्छिक होती हैं,जिसका अर्थ है कि वे धनात्मक या ऋणात्मक दोनों हो सकती हैं।

(D) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $(H_{\max})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $(u)$ = $280\,m/s$
प्रक्षेप्य कोण $(\theta)$ = $30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$H_{\max} = \frac{(280)^2 \times (\sin 30^{\circ})^2}{2 \times 9.8}$
$H_{\max} = \frac{78400 \times (0.5)^2}{19.6}$
$H_{\max} = \frac{78400 \times 0.25}{19.6}$
$H_{\max} = \frac{19600}{19.6}$
$H_{\max} = 1000\,m$

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता का सूत्र इस प्रकार है:
$\eta = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{T_{\text{source}}}$
दी गई दक्षता $\eta = 50\% = 0.5$ है।
स्रोत का तापमान $T_{\text{source}} = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600\,K$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$0.5 = 1 - \frac{T_{\text{sink}}}{600}$
$\frac{T_{\text{sink}}}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$
$T_{\text{sink}} = 0.5 \times 600 = 300\,K$.
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए:
$T_{\text{sink}}(^{\circ}C) = 300 - 273 = 27^{\circ}C$.

(D) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ होता है।
बुलबुला बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा पृष्ठ ऊर्जा के बराबर होती है,जो $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है: $T = 0.03\,N\,m^{-1}$,$R = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$.
मान रखने पर:
$E = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-2})^2$
$E = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times 4 \times 10^{-4}$
$E = 3.0144 \times 10^{-4}\,J$
निकटतम मान लेने पर,$E \approx 3.01 \times 10^{-4}\,J$ प्राप्त होता है।

(A) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रारंभिक खिंचाव $x_1 = 2\,cm$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ है।
अंतिम खिंचाव $x_2 = 8\,cm$ के लिए,नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{1}{2} k (8)^2 = 32k$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{U'}{U} = \frac{\frac{1}{2} k (8)^2}{\frac{1}{2} k (2)^2} = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = (4)^2 = 16$.
अतः,$U' = 16\,U$.

(D) माना कुल दूरी $S$ है।
वाहन पहली आधी दूरी $(S/2)$ $v_1 = v$ चाल से तय करता है।
पहली आधी दूरी के लिए लगा समय $t_1 = \frac{S/2}{v} = \frac{S}{2v}$ है।
वाहन शेष आधी दूरी $(S/2)$ $v_2 = 2v$ चाल से तय करता है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लगा समय $t_2 = \frac{S/2}{2v} = \frac{S}{4v}$ है।
औसत चाल कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$V_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{S}{t_1 + t_2}$
$V_{avg} = \frac{S}{\frac{S}{2v} + \frac{S}{4v}} = \frac{S}{\frac{2S + S}{4v}} = \frac{S}{\frac{3S}{4v}}$
$V_{avg} = \frac{4v}{3}$

(B) घूर्णन त्रिज्या $K$ का सूत्र $K = \sqrt{\frac{I}{M}}$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ द्रव्यमान है।
ठोस गोले के लिए,अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{solid}} = \frac{2}{5}MR^2$ है। अतः,$K_{\text{solid}} = \sqrt{\frac{2/5 MR^2}{M}} = R\sqrt{\frac{2}{5}}$.
पतले खोखले गोले के लिए,अपनी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{hollow}} = \frac{2}{3}MR^2$ है। अतः,$K_{\text{hollow}} = \sqrt{\frac{2/3 MR^2}{M}} = R\sqrt{\frac{2}{3}}$.
अनुपात $\frac{K_{\text{solid}}}{K_{\text{hollow}}} = \frac{R\sqrt{2/5}}{R\sqrt{2/3}} = \sqrt{\frac{2}{5} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3} : \sqrt{5}$ है।

(D) मान लीजिए कि बिंदु $P$ तटस्थ बिंदु है जहाँ गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है। मान लीजिए $r_1$ द्रव्यमान $m$ से दूरी है और $r_2$ द्रव्यमान $9m$ से दूरी है।
शून्य गुरुत्वीय क्षेत्र के लिए शर्त है:
$\frac{G m}{r_1^2} = \frac{G (9m)}{r_2^2}$
$\frac{1}{r_1^2} = \frac{9}{r_2^2} \implies \frac{r_2}{r_1} = 3 \implies r_2 = 3 r_1$
चूंकि $r_1 + r_2 = R$,इसलिए $r_1 + 3 r_1 = R \implies 4 r_1 = R \implies r_1 = \frac{R}{4}$ और $r_2 = \frac{3R}{4}$.
बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय विभव $V$ दोनों द्रव्यमानों के कारण विभव का योग है:
$V = -\frac{G m}{r_1} - \frac{G (9m)}{r_2}$
$V = -\frac{G m}{R/4} - \frac{9 G m}{3R/4}$
$V = -\frac{4 G m}{R} - \frac{36 G m}{3R} = -\frac{4 G m}{R} - \frac{12 G m}{R}$
$V = -\frac{16 G m}{R}$

(C) वेंचुरी-मीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग पाइप के माध्यम से बहने वाले तरल पदार्थ की प्रवाह दर को मापने के लिए किया जाता है।
यह बर्नौली के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि एक असंपीड्य,गैर-श्यान और स्थिर तरल प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारा के साथ स्थिर रहता है।
जैसे ही तरल वेंचुरी-मीटर के संकुचित भाग (गले) से गुजरता है,उसका वेग बढ़ जाता है,जिससे बर्नौली के समीकरण के अनुसार दबाव में कमी आती है।
चौड़े भाग और गले के बीच दबाव के अंतर को मापकर,प्रवाह दर की गणना की जा सकती है।

(D) वस्तु को कार के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,वस्तु पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) को स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
मान लीजिए $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $a_{\max}$ कार का अधिकतम त्वरण है।
वस्तु पर कार्य करने वाला छद्म बल $F_p = m a_{\max}$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{L} = \mu N = \mu mg$ है,जहाँ $\mu = 0.15$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है।
वस्तु के स्थिर रहने के लिए,छद्म बल को अधिकतम स्थैतिक घर्षण से अधिक नहीं होना चाहिए:
$m a_{\max} \leq \mu mg$
$a_{\max} \leq \mu g$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{\max} = 0.15 \times 10 = 1.5 \, m s^{-2}$.

(A) ग्राफ से,आयाम $A = 1 \ m$ और आवर्तकाल $T = 8 \ s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ है।
गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t) = 1 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)$ है।
त्वरण $a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x = -\omega^2 A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 2 \ s$ पर मान रखने पर:
$a = -\left(\frac{\pi}{4}\right)^2 \times 1 \times \sin\left(\frac{\pi}{4} \times 2\right)$
$a = -\frac{\pi^2}{16} \times \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,इसलिए:
$a = -\frac{\pi^2}{16} \ m/s^2$.

(B) पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
पृथ्वी के द्रव्यमान को उसके घनत्व $d$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$g$ के व्यंजक में $M$ का मान रखने पर,हमें $g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 d)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R d$ प्राप्त होता है।
अब,$g$ का मान आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3} \pi G R d}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G d}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G d}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G d}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = \frac{3 \pi}{G d}$ प्राप्त होता है।

(B) माना लकड़ी के ब्लॉक द्वारा उत्पन्न मंदन $a$ है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
प्रथम $24\,cm$ $(s_1 = 24\,cm)$ के लिए:
$(\frac{u}{3})^2 = u^2 - 2a(24)$
$\frac{u^2}{9} = u^2 - 48a$
$48a = u^2 - \frac{u^2}{9} = \frac{8u^2}{9}$
$a = \frac{8u^2}{9 \times 48} = \frac{u^2}{54}.........(1)$
अब,माना ब्लॉक की कुल लंबाई $L$ है। गोली के रुकने तक की पूरी गति के लिए $(v=0)$:
$0^2 = u^2 - 2aL$
$2aL = u^2$
$L = \frac{u^2}{2a}.........(2)$
समीकरण $(1)$ से $a$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$L = \frac{u^2}{2 \times (u^2/54)} = \frac{54}{2} = 27\,cm$.

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 4\,m s^{-1}$ (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर)।
समय $t = 4\,s$.
त्वरण $a = -g = -10\,m s^{-2}$ (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर)।
माना पुल की ऊँचाई $H$ है। जब गेंद पानी की सतह से टकराती है तो उसका विस्थापन $S = -H$ होता है (क्योंकि यह प्रारंभिक बिंदु से नीचे की ओर है)।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$-H = (4)(4) + \frac{1}{2}(-10)(4)^2$
$-H = 16 - 5 \times 16$
$-H = 16 - 80$
$-H = -64$
$H = 64\,m$
अतः,पानी की सतह से पुल की ऊँचाई $64\,m$ है।

(B) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए शर्त यह है कि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ धातु की सतह के कार्य फलन $(\Phi_0)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
दी गई आपतित ऊर्जा $E = 2.20\,eV$ है।
कार्य फलन इस प्रकार हैं:
$Cs$ के लिए: $\Phi_0 = 2.14\,eV$
$K$ के लिए: $\Phi_0 = 2.30\,eV$
$Na$ के लिए: $\Phi_0 = 2.75\,eV$
$E$ की तुलना $\Phi_0$ से करने पर:
$Cs$ के लिए: $2.20\,eV > 2.14\,eV$ (उत्सर्जन होगा)
$K$ के लिए: $2.20\,eV < 2.30\,eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
$Na$ के लिए: $2.20\,eV < 2.75\,eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
अतः, केवल $Cs$ ही फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेगा।

(B) चुंबकत्व के लिए गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स उस सतह पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के सतह समाकल (surface integral) द्वारा दिया जाता है।
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0$
यह परिणाम इसलिए प्राप्त होता है क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा बंद लूप बनाती हैं,जिसका अर्थ है कि एक बंद सतह में प्रवेश करने वाली प्रत्येक क्षेत्र रेखा को उससे बाहर भी निकलना पड़ता है।
इसलिए,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा $0$ होता है।

(D) चूंकि गैल्वेनोमीटर $G$ कोई विक्षेप नहीं दर्शाता है,इसलिए इसमें से प्रवाहित धारा शून्य है $(i_g = 0)$।
इसका अर्थ है कि $400 \,\Omega$ के प्रतिरोध और प्रतिरोध $R$ के बीच के जंक्शन पर विभव $2 \, V$ की बैटरी के विभव के बराबर होना चाहिए।
माना जंक्शन पर विभव $V_j = 2 \, V$ है।
$400 \,\Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $i = \frac{10 \, V - 2 \, V}{400 \,\Omega} = \frac{8 \, V}{400 \,\Omega} = 0.02 \, A$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए यही धारा $i$ प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होनी चाहिए।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_j = i \times R$।
मान रखने पर,$2 \, V = 0.02 \, A \times R$।
अतः,$R = \frac{2}{0.02} \,\Omega = 100 \,\Omega$।

(B) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, इनपुट पावर आउटपुट पावर के बराबर होती है।
$P_{in} = P_{out}$
चूंकि $P_{out} = 60\,W$ (लैंप की शक्ति) और $P_{in} = V_P \times I_P$ है, जहां $V_P = 220\,V$ प्राइमरी वोल्टेज है।
$220 \times I_P = 60$
$I_P = \frac{60}{220}$
$I_P \approx 0.27\,A$
अतः, प्राइमरी वाइंडिंग में प्रवाहित धारा $0.27\,A$ है।

(D) रेक्टिफायर सर्किट में,आउटपुट में $AC$ रिपल्स (उतार-चढ़ाव) होते हैं।
एक स्मूथ $DC$ आउटपुट प्राप्त करने के लिए,एक फिल्टर सर्किट का उपयोग किया जाता है।
कैपेसिटर को लोड रेजिस्टेंस के समानांतर जोड़कर फिल्टर के रूप में उपयोग किया जाता है।
जब आउटपुट वोल्टेज बढ़ता है तो कैपेसिटर चार्ज होता है और जब आउटपुट वोल्टेज घटता है तो यह लोड के माध्यम से डिस्चार्ज होता है,जिससे रिपल्स कम हो जाते हैं।
इसलिए,कैपेसिटर वह घटक है जो रेक्टिफाइड आउटपुट से $AC$ रिपल्स को हटाता है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $(B_0)$ के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $C = \frac{E_0}{B_0}$.
$B_0$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B_0 = \frac{E_0}{C}$.
दिए गए मान $E_0 = 48 \text{ V m}^{-1}$ और $C = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $B_0 = \frac{48}{3 \times 10^8}$.
परिणाम की गणना करने पर: $B_0 = 16 \times 10^{-8} \text{ T} = 1.6 \times 10^{-7} \text{ T}$.

(A) हवा में प्रकाश की गति $V_1 = \frac{x}{t_1}$ है।
सघन माध्यम में प्रकाश की गति $V_2 = \frac{10x}{t_2}$ है।
हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $n = \frac{V_1}{V_2} = \frac{x/t_1}{10x/t_2} = \frac{t_2}{10 t_1}$ द्वारा दिया जाता है।
क्रांतिक कोण $\theta_c$ को $\sin \theta_c = \frac{1}{n}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $\sin \theta_c = \frac{1}{t_2 / (10 t_1)} = \frac{10 t_1}{t_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{10 t_1}{t_2}\right)$ है।

(A) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बलाघूर्ण $\tau$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = pE \sin \theta$,जहाँ $p = q \times \ell$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
दिया गया है:
$\tau = 4\,N m$
$E = 2 \times 10^5\,N C^{-1}$
$\theta = 30^{\circ}$
$\ell = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$4 = q \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^5) \times \sin 30^{\circ}$
$4 = q \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^5) \times 0.5$
$4 = q \times 2 \times 10^3$
$q = \frac{4}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-3}\,C$
$q = 2\,mC$.

(C) बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य तब प्राप्त होती है जब इलेक्ट्रॉन $n = \infty$ से $n = 2$ में संक्रमण करता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R}{4} \implies \lambda = \frac{4}{R}$.
ब्रैकेट श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य तब प्राप्त होती है जब इलेक्ट्रॉन $n = \infty$ से $n = 4$ में संक्रमण करता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\lambda'} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R}{16} \implies \lambda' = \frac{16}{R}$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{16/R}{4/R} = \frac{16}{4} = 4$.
अतः,$\lambda' = 4\lambda$.

(B) कथन $I$ सही है: एक फोटोवोल्टिक उपकरण (जैसे सौर सेल) फोटोवोल्टिक प्रभाव के माध्यम से ऑप्टिकल विकिरण (प्रकाश ऊर्जा) को सीधे बिजली (विद्युत धारा) में परिवर्तित करता है।
कथन $II$ सही है: एक ज़ेनर डायोड को विशेष रूप से बिना क्षतिग्रस्त हुए रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में संचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। जब रिवर्स बायस वोल्टेज ज़ेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज से अधिक हो जाता है,तो डायोड के आर-पार वोल्टेज स्थिर रहता है,जिससे यह वोल्टेज रेगुलेटर या स्टेबलाइजर के रूप में कार्य कर सकता है।

(B) दिया गया व्यंजक $\oint_s \vec{E} \cdot \overrightarrow{d S} = 0$ एक बंद सतह से गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ को दर्शाता है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता के अनुपात के बराबर होता है,$\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$।
चूंकि कुल फ्लक्स शून्य है,इसलिए सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश शून्य होना चाहिए $(q_{\text{enclosed}} = 0)$।
इसका अर्थ यह है कि सतह में प्रवेश करने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या सतह से बाहर निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के बिल्कुल बराबर है,जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध फ्लक्स शून्य हो जाता है।

(D) दिया गया प्रतिरोध $R = (22000 \pm 5 \%) \, \Omega$ है।
इसे $R = (22 \times 10^3 \pm 5 \%) \, \Omega$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कार्बन प्रतिरोधों के लिए कलर कोड प्रणाली में, पहले दो बैंड सार्थक अंकों को दर्शाते हैं और तीसरा बैंड दशमलव गुणक ($10$ की घात) को दर्शाता है।
यहाँ, गुणक $10^3$ है।
अंक $3$ के लिए कलर कोड नारंगी (Orange) है ($B$-$B$-$R$-$O$-$Y$-$G$-$B$-$V$-$G$-$W$: $0-1-2-3-4-5-6-7-8-9$)।
अतः, तीसरे बैंड का रंग नारंगी है।

(A) एक प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L i^2$ है।
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 4\,\mu H = 4 \times 10^{-6}\,H$
धारा $i = 2\,A$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (2)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 4$
$U = 8 \times 10^{-6}\,J$
चूंकि $10^{-6}\,J = 1\,\mu J$,इसलिए ऊर्जा $8\,\mu J$ है।

(A) दिया गया है:
$L = 10\,mH = 10 \times 10^{-3}\,H$
$C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$
$R = 100\,\Omega$
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है,$X_L = X_C$.
इसका अर्थ है $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,जहाँ $\omega = 2\pi f$.
अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{10 \times 10^{-3} \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{10^{-8}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times 10^{-4}}$
$f = \frac{10^4}{6.28} \approx 1592.36\,Hz$
$f \approx 1.59\,kHz$

(C) इस परिपथ में $10\,V$ और $5\,V$ के दो सेल विपरीत दिशा में जुड़े हुए हैं। परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 10\,V - 5\,V = 5\,V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 2\,\Omega + 1\,\Omega + 7\,\Omega = 10\,\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{5\,V}{10\,\Omega} = 0.5\,A$ है।
चूंकि $10\,V$ की बैटरी $5\,V$ की बैटरी से अधिक शक्तिशाली है,इसलिए धारा $10\,V$ की बैटरी द्वारा निर्धारित दिशा में प्रवाहित होगी,जो कि $A$ से $B$ की ओर $E$ के माध्यम से है।

(C) $V$ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
जब यह इलेक्ट्रॉन लक्ष्य (target) से टकराता है,तो उत्सर्जित $X$-किरण फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है,अर्थात $E_{\max} = h\nu_{\max} = eV$।
चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda}$ होती है,इसलिए न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min}$ अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है:
$\lambda_{\min} = \frac{hc}{E_{\max}} = \frac{hc}{eV}$।
चूंकि $h$,$c$,और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंजों की कोणीय चौड़ाई (कोणीय पृथक्करण) का सूत्र $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
कथन $I:$ चूंकि $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$,कोणीय चौड़ाई पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी $D$ से स्वतंत्र है। इसलिए,यदि पर्दे को दूर ले जाया जाता है,तो कोणीय पृथक्करण स्थिर रहता है। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II:$ चूंकि $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$,कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है। यदि तरंगदैर्घ्य बढ़ाई जाती है,तो कोणीय पृथक्करण $\theta_w$ बढ़ेगा,घटेगा नहीं। अतः,कथन $II$ गलत है।
निष्कर्ष: कथन $I$ सही है लेकिन कथन $II$ गलत है।

(A) दिया गया है: अर्ध-आयु $T = 20 \text{ min}$.
समय $t$ पर रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\frac{R}{R_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$,जहाँ $n = \frac{t}{T}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
हमें दिया गया है कि सक्रियता अपने प्रारंभिक मान की $\frac{1}{16}$ हो जाती है,इसलिए $\frac{R}{R_0} = \frac{1}{16}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
चूंकि $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,इसलिए:
$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$4 = \frac{t}{20}$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = 4 \times 20 = 80 \text{ मिनट}$.

(B) दिए गए परिपथ में,दो $3\,\mu F$ के संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p$ इस प्रकार है:
$C_p = 3\,\mu F + 3\,\mu F = 6\,\mu F$
अब,यह $C_p$ एक अन्य $3\,\mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है।
कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = \frac{C_p \times 3\,\mu F}{C_p + 3\,\mu F} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2\,\mu F$

(D) धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ घटती है,धारितीय प्रतिघात $X_C$ बढ़ता है।
संधारित्र में विस्थापन धारा $i_D$,चालन धारा $i_C$ के बराबर होती है,जो $i_D = i_C = \frac{V}{X_C} = V \cdot (2\pi f C)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $i_D \propto f$,इसलिए आवृत्ति $f$ में कमी होने से विस्थापन धारा $i_D$ में कमी आती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_1 \times n^2$ है,जहाँ $r_1$ पहली कक्षा की त्रिज्या (बोर त्रिज्या) है।
दिया गया है कि $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m = 0.53 \ \mathring{A}$।
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
अतः,$r_3 = r_1 \times (3)^2$।
$r_3 = 0.53 \ \mathring{A} \times 9 = 4.77 \ \mathring{A}$।

(D) तापमान $T$ पर चालक का प्रतिरोध सूत्र $R_T = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_T$ तापमान $T$ पर प्रतिरोध है,$R_0$ संदर्भ तापमान $T_0$ पर प्रतिरोध है,और $\alpha$ प्रतिरोध का ताप गुणांक है।
दिया गया है: $R_0 = 2\,\Omega$ तापमान $T_0 = 0^{\circ}C$ पर,और $R_T = 6.8\,\Omega$ तापमान $T = 80^{\circ}C$ पर।
सूत्र में मान रखने पर:
$6.8 = 2[1 + \alpha(80 - 0)]$
$6.8 = 2 + 160\alpha$
$4.8 = 160\alpha$
$\alpha = \frac{4.8}{160} = \frac{48}{1600} = \frac{3}{100} = 0.03\,^{\circ}C^{-1}$.
अतः,$\alpha = 3 \times 10^{-2}\,^{\circ}C^{-1}$.

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = \frac{50}{\pi} \text{ mH} = \frac{50}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,धारिता $C = \frac{10^3}{\pi} \text{ }\mu\text{F} = \frac{10^3}{\pi} \times 10^{-6} \text{ F}$,प्रतिरोध $R = 10 \,\Omega$,आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{50}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 100 \times 50 \times 10^{-3} = 5 \,\Omega$।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times \left( \frac{10^3}{\pi} \times 10^{-6} \right)} = \frac{1}{100 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \,\Omega$।
$LCR$ श्रेणी परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{10^2 + (5 - 10)^2}$
$Z = \sqrt{100 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125}$
$Z = 5 \sqrt{5} \,\Omega$।

(C) दिए गए सर्किट में दो $NOT$ गेट हैं जिसके बाद एक $NAND$ गेट जुड़ा हुआ है।
मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$NOT$ गेट के आउटपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ प्राप्त होते हैं।
ये $NAND$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करते हैं।
इसलिए,आउटपुट $Y = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}}$ होगा।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$ प्राप्त होता है।
यह $OR$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।
$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी नीचे दी गई है:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

(C) श्रेणीक्रम संयोजन में,कुल प्रतिरोध $R_S = 10R$ है। धारा $I_S$ का मान $I_S = \frac{E}{10R}$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_P = \frac{R}{10}$ है। धारा $I_P$ का मान $I_P = \frac{E}{R/10} = \frac{10E}{R}$ है।
प्रश्न के अनुसार,धारा $n$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए $I_P = n \times I_S$ है।
मान रखने पर: $\frac{10E}{R} = n \times \frac{E}{10R}$।
$n$ के लिए हल करने पर: $n = \frac{10E}{R} \times \frac{10R}{E} = 100$।
अतः,$n$ का मान $100$ है।

(D) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो अर्ध-अनंत सीधे तारों और अर्धवृत्ताकार चाप के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
$1$. $R$ दूरी पर प्रत्येक अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R}$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दोनों तार पृष्ठ के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
$2$. $R$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 i}{4 R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,यह क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर है।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{arc} - 2 \times B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 R} - 2 \left( \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} \right) = \frac{\mu_0 i}{4 R} \left( 1 - \frac{2}{\pi} \right)$ है।
चूंकि $1 > \frac{2}{\pi}$,इसलिए कुल क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर (पृष्ठ से दूर) होगा।

(D) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right]$ का उपयोग करते हुए।
पहले लेंस के लिए $(f_1)$: $\frac{1}{f_1} = (1.6 - 1) \left[\frac{1}{\infty} - \frac{1}{20}\right] = 0.6 \times (-\frac{1}{20}) = -\frac{3}{100}$.
दूसरे लेंस के लिए $(f_2)$: $\frac{1}{f_2} = (1.5 - 1) \left[\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}\right] = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$.
तीसरे लेंस के लिए $(f_3)$: $\frac{1}{f_3} = (1.6 - 1) \left[\frac{1}{20} - \frac{1}{\infty}\right] = 0.6 \times \frac{1}{20} = \frac{3}{100}$.
तुल्य फोकस दूरी के लिए: $\frac{1}{f_{\text{eq}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} = -\frac{3}{100} + \frac{1}{20} - \frac{3}{100} = -\frac{1}{100}$.
अतः,$f_{\text{eq}} = -100 \ cm$.

(A) संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $(f_{eq})$ का सूत्र है: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$।
उत्तल लेंस के लिए फोकस दूरी धनात्मक $(+f)$ होती है और अवतल लेंस के लिए फोकस दूरी ऋणात्मक $(-f)$ होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f} + \left(-\frac{1}{f}\right) = 0$।
अतः,$\frac{1}{f_{eq}} = 0$,जिसका अर्थ है कि $f_{eq} = \infty$ (अनंत)।

(D) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = I(\vec{L} \times \overrightarrow{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए इसका लंबाई सदिश $\vec{L} = L\hat{i}$ है।
दिया गया है $\overrightarrow{B} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) \text{ T}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\overrightarrow{F} = I [ (L\hat{i}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) ]$
$\overrightarrow{F} = IL [ (\hat{i} \times 2\hat{i}) + (\hat{i} \times 3\hat{j}) + (\hat{i} \times -4\hat{k}) ]$
सदिश गुणन नियमों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\overrightarrow{F} = IL [ 0 + 3\hat{k} - 4(-\hat{j}) ]$
$\overrightarrow{F} = IL (4\hat{j} + 3\hat{k})$.
बल का परिमाण $|\overrightarrow{F}| = IL \sqrt{4^2 + 3^2} = IL \sqrt{16 + 9} = IL \sqrt{25} = 5IL$.
अतः,बल का परिमाण $5IL$ है।

(B) आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$,व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग होता है।
चित्र से,$+q$ आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $r_1 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ है।
$-q$ आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $r_2 = 3 \ cm + 3 \ cm + 2 \ cm = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$ है।
बिंदु $P$ पर विभव इस प्रकार दिया जाता है:
$V = V_{+q} + V_{-q} = \frac{Kq}{r_1} + \frac{K(-q)}{r_2}$
$V = Kq \left( \frac{1}{2 \times 10^{-2}} - \frac{1}{8 \times 10^{-2}} \right)$
$V = Kq \left( \frac{4 - 1}{8 \times 10^{-2}} \right) = Kq \left( \frac{3}{8 \times 10^{-2}} \right)$
$V = Kq \left( \frac{3}{8} \right) \times 10^2 \ V$.
अतः,$10^2 \ V$ की इकाइयों में विभव $\left( \frac{3}{8} \right) qK$ है।