MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ છે. વાયુનું કુલ દળ $M = nm$ છે.
પાત્રની ગતિને કારણે વાયુની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} nm V^2$ છે.
જ્યારે પાત્રને અચાનક સ્થિર કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગતિઊર્જા વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જામાં થતા ઘટાડાને આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{1}{2} nm V^2 = \frac{3}{2} n R \Delta T$.
બંને બાજુથી $n$ અને $\frac{1}{2}$ ને દૂર કરતા:
$m V^2 = 3 R \Delta T$.
તેથી,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = \frac{mV^2}{3 R}$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલ પર લાગતું દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = F/A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્રની દીવાલનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,આપણને $P \propto F$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n$ મોલની સંખ્યા છે,$R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ તાપમાન છે અને $V$ કદ છે.
બંધ પાત્ર માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. તેથી,$P = (nR/V)T$,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T$.
આ બંને સંબંધો $F \propto P$ અને $P \propto T$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $F \propto T^1$ મળે છે.
તેથી,$F \propto T^x$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$,તેની કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $E$ અને કદ $V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$.
અહીં,$E = 7.5 \times 10^3 \text{ J}$ અને $V = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{7.5 \times 10^3}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 7.5 \times 10^5$
$P = 5 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.

(D) આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રમાં લાગતું દબાણ $P$ એ આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = N K_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે,$K_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $V$ એ કદ છે.
દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી,$P = F/A$ થાય.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(F/A) V = N K_B T$
$F = (N K_B T A) / V$
આપેલ પાત્ર અને વાયુના નમૂના માટે $N$,$K_B$,$A$ અને $V$ અચળ હોવાથી,બળ $F$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$F \propto T^1$
આને $F \propto T^x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
જ્યાં $\rho = \frac{M}{V}$ એ વાયુની ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે.
સમીકરણમાં $\rho$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{V} \right) v_{rms}^2$
જમણી બાજુને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \frac{M}{V} v_{rms}^2 \right)$
કુલ ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$ હોવાથી,એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $u = \frac{K.E.}{V} = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ થાય.
તેથી,$P = \frac{2}{3} u$.

(B) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે.
અચળ કદ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,$P \propto T$ થાય છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{T}{P} \propto \frac{T}{T} = \text{અચળ}$.
પરંતુ આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અહીં $\lambda \propto T$ સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
તેથી,$\lambda_2 = 1500 \ d \times \frac{373}{273}$.

(B) વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$T_{O_2} = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$.
ધારો કે $V_H$ એ હાઇડ્રોજનનો $r.m.s.$ વેગ છે અને $V_O$ એ ઓક્સિજનનો $r.m.s.$ વેગ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_H = 4.5 \times V_O$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = 4.5 \times \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT_H}{M_H} = (4.5)^2 \times \frac{3RT_O}{M_O}$.
બંને બાજુથી $3R$ દૂર કરતા: $\frac{T_H}{M_H} = 20.25 \times \frac{T_O}{M_O}$.
અહીં $M_H = 2$ અને $M_O = 32$ છે: $\frac{T_H}{2} = 20.25 \times \frac{320}{32}$.
$\frac{T_H}{2} = 20.25 \times 10 = 202.5$.
$T_H = 202.5 \times 2 = 405 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_H = 405 - 273 = 132^{\circ} C$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $V_{rms}^2 \propto T$.
જ્યારે r.m.s. વેગ બમણો થાય છે,ત્યારે નવો વેગ $V_{rms}' = 2V_{rms}$ થાય છે.
તેથી,$(2V_{rms})^2 \propto T_2 \Rightarrow 4(V_{rms}^2) \propto T_2$.
કારણ કે $V_{rms}^2 \propto T_1$,આપણને $T_2 = 4T_1$ મળે છે.
ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$V \propto T$.
આમ,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{V}{V_2} = \frac{T_1}{4T_1} = \frac{1}{4}$.
તેથી,નવું કદ $V_2 = 4V$ થશે.

(A) $S.T.P.$ પર,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \ K$ છે.
પ્રક્રિયા અચળ દબાણે થતી હોવાથી,ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ $V \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે કે $V_2 = 3V_1$,તેથી $\frac{3V_1}{V_1} = \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow T_2 = 3T_1$.
તેથી,$T_2 = 3 \times 273 = 819 \ K$.
$r.m.s.$ ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
આમ,$\frac{V_{rms}'}{V_{rms}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{3T_1}{T_1}} = \sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $V_{rms} = u$,તેથી નવી $r.m.s.$ ઝડપ $V_{rms}' = \sqrt{3} u \ m/s$ થશે.

(A) આપેલ છે:
તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = 61 \ m/s$.
વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
$v_{rms}$ માટેનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $M$ એ $kg/mol$ માં મોલર દળ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{61 \times 61}$.
$M = \frac{7479}{3721} \approx 2.01 \ kg/mol$.
મોલર દળ આશરે $2 \ kg/mol$ હોવાથી,આણ્વીય દળ $2 \ g/mol$ થાય.

(D) વાયુના અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં,વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M$ (મોલર દળ) પણ અચળ હોવાથી,$r.m.s.$ ઝડપ $v_{rms}$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
સમતાપી સંકોચન દરમિયાન તાપમાન બદલાતું ન હોવાથી,અણુઓની $r.m.s.$ ઝડપ અપરિવર્તિત રહેશે.

(C) પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -80^{\circ} C = -80 + 273 = 193 \ K$.
વાયુની r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ છે અને અંતિમ ઝડપ $v_2$ છે. પ્રશ્ન મુજબ ઝડપ $2$ ગણી વધારવાની છે,એટલે કે $v_2 = v_1 + 2v_1 = 3v_1$.
સંબંધ $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{3v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$3 = \sqrt{\frac{T_2}{193}} \implies 9 = \frac{T_2}{193}$.
$T_2 = 9 \times 193 = 1737 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 1737 - 273 = 1464^{\circ} C$.

(B) વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ (r.m.s.) વેગ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \sqrt{T}$.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ છે કે r.m.s. વેગ $2$ ના અવયવથી ઘટે છે,તેથી $v_2 = \frac{v_1}{2}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,જે આપણને $\frac{T_1}{T_2} = 4$ આપે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_1}{T_2}$ મળે છે.
$\gamma = 1.5$ અને $\frac{T_1}{T_2} = 4$ મૂકતા,આપણને $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1.5-1} = 4$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{0.5} = 4$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = 4^2 = 16$ મળે છે.
આમ,વાયુનું $16$ ગણું વિસ્તરણ કરવું જોઈએ.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગ વેગ $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ $A$ માટે,$x$-ઘટકનો સરેરાશ વર્ગ $\omega^2 = \langle v_x^2 \rangle$ છે. કારણ કે $\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle$ અને $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$,તેથી $\langle v^2 \rangle = 3\omega^2$ થાય.
આમ,$3\omega^2 = \frac{3kT}{m} \implies \omega^2 = \frac{kT}{m}$...$(i)$
વાયુ $B$ માટે,સરેરાશ વર્ગ વેગ $V^2 = \frac{3kT}{2m}$...(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{\omega^2}{V^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{kT}{m} \times \frac{2m}{3kT} = \frac{2}{3}$.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ તેના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા સાથે સંબંધિત છે.
પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે,$v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગનું વર્ગમૂળ છે,અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto v_{rms}^2$.
તેથી,નિરપેક્ષ તાપમાન એ અણુઓના સરેરાશ વર્ગિત વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) લિફ્ટ પર લાગતા બળો કેબલમાં તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
ઉપરની તરફના પ્રવેગ $a$ માટે,ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ થાય છે.
તણાવ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $T = m(g + a)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 200 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $a = 4 \ m/s^2$.
$T = 200 \times (10 + 4)$.
$T = 200 \times 14$.
$T = 2800 \ N$.

(D) ધારો કે દોરીઓમાં તણાવબળ $T$ છે. ગરગડીઓ ઘર્ષણરહિત અને દળરહિત હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ એ લટકતા દળ $M$ ના વજન જેટલું હોય છે,તેથી $T = Mg$.
કેન્દ્રમાં રહેલા $\sqrt{2}M$ દળને સંતુલનમાં રાખવા માટે,તણાવબળના ઉર્ધ્વ ઘટકોએ તેના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બંને દોરીઓમાં તણાવબળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $T \cos \theta$ છે.
તેથી,કુલ ઉર્ધ્વ બળ $2T \cos \theta$ થાય.
આ બળને કેન્દ્રના દળના વજન સાથે સરખાવતા:
$2T \cos \theta = (\sqrt{2}M)g$
$T = Mg$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(Mg) \cos \theta = \sqrt{2}Mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવબળ $T$ છે.
$(M+m)$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે (નીચેની તરફ ગતિ કરે છે):
$(M+m)g - T = (M+m)a$ --- $(1)$
$M$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે (ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે):
$T - Mg = Ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(M+m)g - Mg = (M+m+M)a$
$mg = (2M+m)a$
$a = \frac{mg}{2M+m}$

(C) આપેલ છે: $m_1 = 6 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ અને $F = 5 \ N$.
બ્લોક એકબીજાના સંપર્કમાં હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ $a$ સમાન હશે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 6 \ kg + 4 \ kg = 10 \ kg$ છે.
આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = M \times a$.
$5 \ N = 10 \ kg \times a \implies a = \frac{5}{10} = 0.5 \ m/s^2$.
હલકા બ્લોક $(m_2)$ પર લાગતું બળ એ $6 \ kg$ ના બ્લોક દ્વારા $4 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતું સંપર્ક બળ $F_{12}$ છે.
$4 \ kg$ ના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F_{12} = m_2 \times a$.
$F_{12} = 4 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 2 \ N$.

(C) જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ એ એવી ફ્રેમ છે જેમાં ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ સાચો ઠરે છે. આનો અર્થ એ છે કે જો કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો આ ફ્રેમમાં રહેલી વસ્તુ સ્થિર રહે છે અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
$1$. ટેક-ઓફ કરતું એરોપ્લેન પ્રવેગિત ગતિ કરે છે,તેથી તે અજડત્વીય ફ્રેમ છે.
$2$. મેરી-ગો-રાઉન્ડમાં રહેલું બાળક વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે,જેમાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય છે,તેથી તે અજડત્વીય ફ્રેમ છે.
$3$. અચળ વેગથી ગતિ કરતી બસમાં રહેલા ડ્રાઈવરનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી તે જડત્વીય ફ્રેમ છે.
$4$. ધીમી પડતી ટ્રેનમાં રહેલો માણસ પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે,તેથી તે અજડત્વીય ફ્રેમ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે માણસનું વજન $W_1 = mg$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ '$a$' જેટલા સમાન પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરતી હોય,ત્યારે માણસનું આભાસી વજન $W_2 = m(g - a)$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{3}{2}$ છે.
$W_1$ અને $W_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$
$\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2g = 3(g - a)$
$2g = 3g - 3a$
$3a = 3g - 2g$
$3a = g$
$a = \frac{g}{3}$

(C) સંપર્ક બળ એવું બળ છે જે બે પદાર્થો વચ્ચેના સંપર્ક બિંદુ પર કાર્ય કરે છે.
ઘર્ષણ બળ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ અને શ્યાનતા બળ એ બધા સંપર્ક બળના ઉદાહરણો છે કારણ કે તેમને પદાર્થો વચ્ચે ભૌતિક સંપર્કની જરૂર હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બિન-સંપર્ક બળ (અથવા ક્ષેત્ર બળ) છે કારણ કે તે પદાર્થો વચ્ચે કોઈપણ ભૌતિક સંપર્ક વિના,અંતરે હોવા છતાં પણ કાર્ય કરે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંપર્ક બળ નથી.

(B) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ $k$ તેની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{L}$.
ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ લંબાઈના બે ભાગોના સ્પ્રિંગ કોન્સ્ટન્ટ અનુક્રમે $k_1$ અને $k_2$ છે.
$L = L_1 + L_2$ અને $L_1 = N L_2$ હોવાથી,$L = N L_2 + L_2 = (N+1) L_2$ મળે.
$k \propto \frac{1}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા,$k_1 L_1 = k_2 L_2 = K L$ મળે.
$k_1 L_1 = K L$ પરથી,$k_1 = K \frac{L}{L_1}$ મળે.
$L = (N+1) L_2$ અને $L_1 = N L_2$ કિંમતો મૂકતા:
$k_1 = K \frac{(N+1) L_2}{N L_2} = K \frac{N+1}{N} = \frac{K}{N}(1+N)$.

(A) ધારો કે દડાનું કદ $V$ છે,દડાની ઘનતા $\rho_1$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_2$ છે. આપેલ છે કે $\rho_2 = 4\rho_1$.
અચળ વેગથી ગતિ કરતા દડા પર લાગતા બળો ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$,દડાનું વજન $(W)$ અને સ્નિગ્ધતાનું ઘર્ષણ બળ $(F_v)$ છે.
વેગ અચળ હોવાથી,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય: $F_B = W + F_v$.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $F_v = F_B - W$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_2 g = V(4\rho_1)g = 4V\rho_1 g$.
વજન $W = V \rho_1 g$.
આમ,$F_v = 4V\rho_1 g - V\rho_1 g = 3V\rho_1 g$.
ઘર્ષણ બળ અને વજનનો ગુણોત્તર $\frac{F_v}{W} = \frac{3V\rho_1 g}{V\rho_1 g} = \frac{3}{1} = 3:1$ છે.

(D) નળાકારની નીચેની સપાટી પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ એ નળાકાર દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીનું વજન અને નળાકારની ઉપરની સપાટી પર પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે લાગતા બળનો સરવાળો છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho V g$ છે.
નળાકારની ઉપરના પ્રવાહી સ્તંભને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_{top} = P_{top} \times A = (\rho g h) \times (\pi R^2)$ છે.
નળાકાર પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = F_B + F_{top} = \rho V g + \rho g h \pi R^2$ છે.
આમ,નળાકારના તળિયા પર લાગતું બળ $F_{bottom} = \rho g (V + \pi R^2 h)$ છે.

(A) દડો અચળ વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે. તેથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ધારો કે દડાની ઘનતા $\rho_b$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 3\rho_b$ છે.
દડાનું વજન $W = V \rho_b g$ છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
જેમ દડો ઉપર આવે છે,તેમ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને સ્નિગ્ધ બળ (ઘર્ષણ) $F_v$ વજન $W$ ની સાથે નીચેની તરફ લાગે છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_l g = V (3\rho_b) g = 3 V \rho_b g$ છે.
વેગ અચળ હોવાથી,પરિણામી બળ શૂન્ય છે:
$F_B = W + F_v$
$F_v = F_B - W = 3 V \rho_b g - V \rho_b g = 2 V \rho_b g$.
ઘર્ષણ બળ અને વજનનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_v}{W} = \frac{2 V \rho_b g}{V \rho_b g} = \frac{2}{1}$.

(A) આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 1.25 \times 10^3 \ kg/m^3$,$A_1 = 10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2$,$A_2 = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,$\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \ N/m^2$.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$
$3 = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 10^3 \times (v_2^2 - v_1^2)$
$v_2^2 - v_1^2 = \frac{6}{1.25 \times 10^3} = 4.8 \times 10^{-3} \dots (i)$
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$:
$10 \times 10^{-4} \times v_1 = 5 \times 10^{-4} \times v_2 \Rightarrow v_2 = 2v_1 \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$(2v_1)^2 - v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3}$
$3v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3} \Rightarrow v_1^2 = 1.6 \times 10^{-3}$
$v_1 = \sqrt{1.6 \times 10^{-3}} \approx 0.04 \ m/s$
વહનનો દર $Q = A_1 v_1 = 10 \times 10^{-4} \times 0.04 = 4 \times 10^{-5} \ m^3/s$.

(D) આડા પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
આપેલ છે: $P_1 = P$,$v_1 = v$,અને $v_2 = 3v$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho (3v)^2$
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - 4 \rho v^2$

(A) ધારો કે ડ્રમના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા પ્રવાહીના એક નાના ઘટકને ધ્યાનમાં લો જે $\omega$ કોણીય ઝડપે ફરે છે.
$dm$ દળના આ ઘટક માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dm) \omega^2 r$ છે.
આ બળ દબાણના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $dP \cdot A = (dm) \omega^2 r$,જ્યાં $dm = d \cdot A \cdot dr$ છે.
$dm$ ની કિંમત મૂકતા: $dP \cdot A = (d \cdot A \cdot dr) \omega^2 r$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $dP = d \cdot \omega^2 r \cdot dr$ મળે છે.
કેન્દ્ર પર કુલ દબાણનો વધારો શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\Delta P = \int_{0}^{R} d \cdot \omega^2 r \cdot dr = d \cdot \omega^2 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$.
$\Delta P = \frac{d \omega^2 R^2}{2}$.

(B) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ,સમગ્ર સિસ્ટમમાં પાણીનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
અહીં,$A_1 = \pi R^2$ એ પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_1 = v$ એ પાઇપમાં પાણીની ઝડપ છે.
સ્પ્રિંકલરમાં $n$ કાણાં છે,જેમાં દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે. કાણાંનું કુલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = n \pi r^2$ છે.
ધારો કે $v'$ એ સ્પ્રિંકલરમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\pi R^2 v = (n \pi r^2) v'$
$v'$ માટે ઉકેલતા:
$v' = \frac{\pi R^2 v}{n \pi r^2} = \frac{R^2 v}{n r^2}$

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, ટાંકીની સપાટી પરનો કદ પ્રવાહ દર અને નળ પાસેનો કદ પ્રવાહ દર સમાન હોવો જોઈએ: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં, $A_1 = 750 \,cm^2 = 750 \times 10^{-4} \,m^2$ અને $A_2 = 500 \,mm^2 = 500 \times 10^{-6} \,m^2$.
નળ પાસે પાણીની ઝડપ $v_2 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$ છે.
પાણીની સપાટી નીચે ઉતરવાની ઝડપ $v_1 = \frac{dh}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(750 \times 10^{-4}) \cdot \frac{dh}{dt} = (500 \times 10^{-6}) \times (0.3)$.
$\frac{dh}{dt} = \frac{500 \times 10^{-6} \times 0.3}{750 \times 10^{-4}} = \frac{150 \times 10^{-6}}{750 \times 10^{-4}} = 0.2 \times 10^{-2} \,m/s = 2 \times 10^{-3} \,m/s$.
આપેલ છે કે $\frac{dh}{dt} = x \times 10^{-3} \,m/s$, તેથી $x = 2$ મળે છે.

(C) સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 V_1 = A_2 V_2$:
$10 \,cm^2 \times V_1 = 5 \,cm^2 \times 60 \,cm/s$
$V_1 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$
$V_2 = 60 \,cm/s = 0.6 \,m/s$
ક્ષૈતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2)$:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$ લેતા:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.3)^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (0.36 - 0.09)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 0.27 = 135 \,N/m^2$

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{2(P - P_0)}{\rho}}$
જ્યાં $P$ એ તળિયે કુલ દબાણ છે,$P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,અને $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આપેલ છે:
$P = 4H$
$P_0 = H$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2(4H - H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{2(3H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{6H}{\rho}}$

(C) ગતિશીલ પ્રવાહી માટે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ,પ્રવાહ રેખા પર એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
ધારો કે પાઇપ આડી છે અને પાઇપની અંદરનો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ નગણ્ય છે $(v_1 \approx 0)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
કારણ કે $v_1 = 0$ છે,તેથી સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}$

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,મુક્ત સપાટીથી '$h$' ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની ઝડપ $(V)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{2gh}$
આકૃતિ પરથી,મુક્ત સપાટીથી છિદ્રો $O_1, O_2, O_3$ ની ઊંડાઈ અનુક્રમે $h_1, h_2, h_3$ છે.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $h_1 < h_2 < h_3$.
જેમ કે $V$ એ $\sqrt{h}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણને મળે છે:
$V_1 < V_2 < V_3$
આમ,જેમ છિદ્રની ઊંડાઈ વધે છે તેમ બહાર આવતા પાણીની ઝડપ વધે છે.

(B) બહારનું દબાણ $P_0 = 1 \text{ atm}$.
સાબુના પરપોટા $A$ ની અંદરનું દબાણ $P_A = 1.01 \text{ atm}$.
સાબુના પરપોટા $B$ ની અંદરનું દબાણ $P_B = 1.02 \text{ atm}$.
સાબુના પરપોટા માટે વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$.
પરપોટા $B$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$.
$\Delta P \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,$r \propto \frac{1}{\Delta P}$ મળે.
તેથી,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,$V \propto r^3$.
આમ,કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$ થાય.

(D) જ્યારે પ્રવાહીનું ટીપું ઊભી કાચની નળીના છેડેથી છૂટું પડવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે ટીપાંનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપરની તરફના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે નળીના પરિઘ પર કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \times \text{પરિઘ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળીનો પરિઘ $2 \pi r$ છે.
તેથી,ટીપાંનું વજન $W$ એ પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા બળ જેટલું હોય છે:
$W = 2 \pi r T$.

(A) બહારનું દબાણ $P_0 = 1 \,atm$.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે।
પરપોટા $A$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \,atm$.
પરપોટા $B$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \,atm$.
કારણ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, તેથી $r \propto \frac{1}{\Delta P}$.
તેથી, ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$ થાય.

(C) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું બળ (વજન) એ ઉપરની તરફ લાગતા પ્લાવક બળ અને સંપર્ક વર્તુળના પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ટીપાનું વજન = $W = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$
પ્લાવક બળ = $F_B = \text{ડૂબેલું કદ} \times d \times g = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) dg = \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
પૃષ્ઠતાણ બળ = $F_T = T \times 2\pi r$
બળોને સરખાવતા: $W = F_B + F_T$
$\frac{4}{3}\pi r^3 \rho g = \frac{2}{3}\pi r^3 dg + 2\pi rT$
પદોને ગોઠવતા: $2\pi rT = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g - \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
$2\pi rT = \frac{2}{3}\pi r^3 g (2\rho - d)$
$T = \frac{1}{3} r^2 g (2\rho - d)$
$r^2 = \frac{3T}{g(2\rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}}$
વ્યાસ $D = 2r = 2\sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}} = \sqrt{\frac{12T}{g(2\rho - d)}}$.

(C) બહારનું દબાણ $P_0 = 1 \text{ atm}$ છે.
પરપોટા $A$ ની અંદરનું દબાણ $P_A = 1.01 \text{ atm}$ છે.
પરપોટા $B$ ની અંદરનું દબાણ $P_B = 1.02 \text{ atm}$ છે.
સાબુના પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પરપોટા $A$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$.
પરપોટા $B$ માટે વધારાનું દબાણ: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$.
કારણ કે $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,તેથી $r \propto \frac{1}{\Delta P}$.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = 2$ થાય.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = (2)^3 = 8$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ટીપા $A$ માટે,$P_A = \frac{2T}{r_A}$.
ટીપા $B$ માટે,$P_B = \frac{2T}{r_B}$.
આપેલ છે કે $P_A = 4P_B$,તેથી $\frac{2T}{r_A} = 4 \left( \frac{2T}{r_B} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$,અથવા $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
ટીપાનું દળ $m = V \rho = \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પાણીના ટીપા હોવાથી,ઘનતા $\rho$ સમાન રહેશે.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ થાય.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા,$\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ મળે છે.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T$,$\theta$,$r$,અને $\rho$ અચળ હોવાથી,પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ ગુરુત્વપ્રવેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $h \propto \frac{1}{g}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર,ઊંચાઈ $X = \frac{k}{g}$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ખાણમાં '$d$' ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ થાય છે.
નવી ઊંચાઈ $Y = \frac{k}{g_d} = \frac{k}{g \left(1 - \frac{d}{R}\right)}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Y}{X} = \frac{k / [g(1 - d/R)]}{k/g} = \frac{1}{1 - d/R} = \left(1 - \frac{d}{R}\right)^{-1}$.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જો $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ અચળ હોય,તો આપણને મળે છે:
$h \propto \frac{1}{r}$
આ વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે,જે આલેખમાં લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $(ii)$ એ $h$ અને $r$ વચ્ચેનો આ વ્યસ્ત સંબંધ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) તારની લંબાઈ $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
તાર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d_1 = 0.5 \text{ cm} = 0.005 \text{ m}$ છે.
અંતરમાં થતો વધારો $\Delta d = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$ છે.
પાણીના પડને બે સપાટી હોય છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta d)$ છે.
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 0.001 \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $T = 72 \text{ mN/m} = 72 \times 10^{-3} \text{ N/m}$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ છે.
$W = (72 \times 10^{-3} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 144 \times 10^{-7} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે અને તળિયે પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
તળિયે દબાણ $P_1 = P_0 + h \rho g$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
આપેલ છે કે $P_0 = H \rho g$,તેથી $P_1 = H \rho g + h \rho g = (H + h) \rho g$.
તળિયે કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_0 = H \rho g$ છે અને ત્રિજ્યા $2r$ છે.
સપાટી પર કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_1 V_1 = P_2 V_2$:
$(H + h) \rho g \times \frac{4}{3} \pi r^3 = H \rho g \times 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા: $H + h = 8H$.
તેથી,$h = 7H$.

(B) આપેલ છે કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કુલ કદ સમાન રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$\therefore r^3 = \frac{R^3}{64} \implies r = \frac{R}{4}$
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = 4 \pi R^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = 64 \times (4 \pi r^2 T) = 64 \times 4 \pi \times (\frac{R}{4})^2 \times T = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} \times T = 16 \pi R^2 T$.
કરવામાં આવતું કાર્ય $W = E_2 - E_1 = 16 \pi R^2 T - 4 \pi R^2 T = 12 \pi R^2 T$.

(C) ધારો કે $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
તેથી,$R = n^{1/3} r$ ... $(i)$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા,$E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = nE$ (જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે).
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા,$E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 T = n^{2/3} (4 \pi r^2 T) = n^{2/3} E$.
મુક્ત થતી ઊર્જા = $E_1 - E_2 = nE - n^{2/3} E = E(n - n^{2/3})$.

(B) કેશિકા નળીમાં પાણીના સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ માટેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં,$T = 7 \times 10^{-2} \ N/m$,$r = 0.35 \ mm = 0.35 \times 10^{-3} \ m$,$\theta = 0^{\circ}$ (કાચ-પાણીના સંપર્ક માટે),$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{2 \times (7 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(0.35 \times 10^{-3}) \times 10^3 \times 10} = \frac{14 \times 10^{-2}}{3.5} = 4 \times 10^{-2} \ m = 0.04 \ m = 4 \ cm$.
જ્યારે કેશિકા શિરોલંબ સાથે $\phi = 60^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી હોય,ત્યારે કેશિકામાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $l = \frac{h}{\cos \phi}$ દ્વારા મળે છે.
$l = \frac{0.04}{\cos 60^{\circ}} = \frac{0.04}{0.5} = 0.08 \ m = 8 \ cm$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = P_i - P_0 = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(P_i - P_0) \propto \frac{1}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto \frac{1}{(P_i - P_0)}$.
બે પરપોટા માટે,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{(P_2 - P_0)}{(P_1 - P_0)}$ થાય છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે,તેથી $V \propto R^3$.
તેથી,તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થાય.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{P_2 - P_0}{P_1 - P_0} \right)^3$ મળે છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 2 \times (4 \pi r^2) \times T = 8 \pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
ઓરડાના તાપમાને $R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે,પૃષ્ઠતાણ $T_1$ હોય ત્યારે કાર્ય $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$ છે.
વધારે તાપમાને $2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે,પૃષ્ઠતાણ $T_2$ હોય ત્યારે કાર્ય $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{W_2}{W_1} = \frac{32 \pi R^2 T_2}{8 \pi R^2 T_1} = 4 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ મળે છે.
સાબુનું દ્રાવણ ગરમ કરવામાં આવતું હોવાથી,પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,એટલે કે $T_2 < T_1$,અથવા $\frac{T_2}{T_1} < 1$.
તેથી,$W_2 < 4 W_1$.

(D) રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
પાશ્ચન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 3$ અને $n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ શોધતા:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_1} \times \lambda_2 = \left( \frac{3R}{4} \right) \times \left( \frac{144}{7R} \right) = \frac{3 \times 36}{7} = \frac{108}{7}$.
આમ,$\lambda_2 : \lambda_1 = 108 : 7$.

(C) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ છે.
સંક્રમણ $1$ ($n_i = 3$ થી $n_f = 1$) માટે: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8}{9} R$.
સંક્રમણ $2$ ($n_i = 2$ થી $n_f = 1$) માટે: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} R$.
બંને તરંગલંબાઇઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{\frac{3}{4} R}{\frac{8}{9} R} = \frac{3}{4} \times \frac{9}{8} = \frac{27}{32}$.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{x}{32}$,તેથી $\frac{x}{32} = \frac{27}{32}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 27$.

(C) તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ (સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ) માટે,સંક્રમણ $m = \infty$ થી શ્રેણીના ધરા અવસ્થા $n$ માં થાય છે.
Lyman શ્રેણી માટે,$n = 1$ અને $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{L} = \frac{1}{R}$.
Balmer શ્રેણી માટે,$n = 2$ અને $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B} = \frac{4}{R}$.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ થાય છે.

(B) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ ધરાવતા સ્તર $n_1 = 1$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\max})$ માટે,સંક્રમણ નજીકના ઉર્જા સ્તર $n_2 = 2$ થી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R \implies \lambda_{\max} = \frac{4}{3R}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{\min})$ માટે,સંક્રમણ ઉચ્ચતમ ઉર્જા સ્તર $n_2 = \infty$ થી થાય છે:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R \implies \lambda_{\min} = \frac{1}{R}$.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{4/3R}{1/R} = \frac{4}{3}$.

(C) બામર શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{4}$.
તેથી,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
પાશ્ચન શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ આ મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{9}$.
તેથી,$\lambda_P = \frac{9}{R}$.
બામર શ્રેણીની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ અને પાશ્ચન શ્રેણીની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_B}{\lambda_P} = \frac{4/R}{9/R} = \frac{4}{9}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટમાં,લાયમેન શ્રેણી પારજાંબલી (ultraviolet) વિભાગમાં આવે છે.
બામર શ્રેણી દ્રશ્યમાન (visible) વિભાગમાં આવે છે.
પાશ્ચન,બ્રેકેટ અને ફંડ શ્રેણી ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં આવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ બામર શ્રેણી છે.

(A) બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં બામર શ્રેણી માટે $n_1 = 2$ છે.
શ્રેણી સીમા માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{4}{R}$ થાય.
આવૃત્તિ $v$ એ પ્રકાશના વેગ $C$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે $v = \frac{C}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $v = \frac{C}{4/R} = \frac{RC}{4}$.

(C) $n^{\text{th}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2 Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ ને $T = \frac{2 \pi r_n}{v_n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$r_n$ અને $v_n$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi (n^2 h^2 \varepsilon_0 / \pi m e^2 Z)}{(Z e^2 / 2 \varepsilon_0 n h)}$.
$T = \frac{2 n^2 h^2 \varepsilon_0}{m e^2 Z} \times \frac{2 \varepsilon_0 n h}{Z e^2} = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m Z^2 e^4}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
તેથી,$T = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m e^4}$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(m)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $m = -\frac{e}{2m_e} L$,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $L$ એ કોણીય વેગમાન છે.
ગાયરોમેગ્નેટિક રેશિયો $(R)$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$R = \left| \frac{m}{L} \right| = \frac{e}{2m_e}$.
તેથી,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(m)$,ગાયરોમેગ્નેટિક રેશિયો $(R)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$m = -RL$.

(B) બોહરના ક્વોન્ટાઇઝેશનના પૂર્વધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,વેગ $v = \frac{h}{2\pi mr}$ થાય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_c = \frac{(\frac{h}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$.
અહીં $4\pi^2$ અચળાંક હોવાથી,$a_c \propto \frac{h^2}{m^2 r^3}$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
આમ,$E \propto \frac{Z^2}{n^2}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z_H = 1)$ માટે ત્રીજી કક્ષા $(n_H = 3)$ માં ઉર્જા $E = k \frac{1^2}{3^2} = \frac{k}{9}$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
હિલિયમ આયન $(Z_{He} = 2)$ માટે પાંચમી કક્ષા $(n_{He} = 5)$ માં ઉર્જા $E_{He} = k \frac{2^2}{5^2} = \frac{4k}{25}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_{He}}{E} = \frac{4k/25}{k/9} = \frac{4}{25} \times 9 = \frac{36}{25}$.
તેથી,$E_{He} = \frac{36}{25} E$.

(A) બોહરના મોડેલ મુજબ, હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 r_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r_1$ એ સૌથી અંદરની કક્ષા (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ) ની ત્રિજ્યા છે।
આપેલ છે કે $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m = 0.53 \ Å$.
ચોથી કક્ષા માટે, $n = 4$.
તેથી, $r_4 = (4)^2 \times r_1 = 16 \times 0.53 \ Å$.
$r_4 = 8.48 \ Å$.

(D) બોહર મોડેલમાં,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $P.E. = -\frac{kZe^2}{r_n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $r_n \propto n^2$,તેથી $P.E. \propto -\frac{1}{n^2}$ થાય છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ ઋણ સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય ઘટે છે,એટલે કે તે ઓછું ઋણ બને છે (એટલે કે તે વધે છે).
$n=1$ માટે,$P.E. = -27.2 \text{ eV}$.
$n=2$ માટે,$P.E. = -6.8 \text{ eV}$.
કારણ કે $-6.8 \text{ eV} > -27.2 \text{ eV}$,તેથી $n=2$ કક્ષામાં સ્થિતિઊર્જા $n=1$ કક્ષા કરતા વધારે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલું વિધાન ખોટું છે.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
અહીં $n_1 = 1$ અને $n_2 = 5$ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{25} \right) = \frac{24}{25} R$ ... $(i)$
ઉત્સર્જિત ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$p = h \left( \frac{24}{25} R \right)$
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરમાણુનું વેગમાન ફોટોનના વેગમાન જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હશે (કારણ કે પરમાણુ શરૂઆતમાં સ્થિર હતો):
$p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}}$
$mv = \frac{24 Rh}{25}$
$v = \frac{24 Rh}{25 m}$

(D) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $L = I \omega$,તેથી $I \omega = \frac{nh}{2 \pi}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{nh}{2 \pi I}$.
પરિભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $E_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{nh}{2 \pi I}\right)^2$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 I^2}\right) = \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 I}$.

(C) $n^{\text{મી}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_0$ છે,જ્યાં $r_0$ એ પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $(n=1)$ છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા $(n=1)$ માટે,$r_1 = 1^2 r_0 = r_0$.
બીજી બોહર કક્ષા $(n=2)$ માટે,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$.
પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા અને બીજી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{r_0}{4 r_0} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ છે.
અહીં $K.E. \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર (ઉત્તેજિત અવસ્થા) માં જાય છે,તેમ ત્રિજ્યા $r$ વધે છે,જેના કારણે $K.E.$ ઘટે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ છે.
અહીં $P.E. \propto -\frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ $r$ વધે છે,તેમ ઋણ મૂલ્યનું માન ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $P.E.$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે (એટલે કે તે વધે છે).
તેથી,જ્યારે હાઇડ્રોજન પરમાણુને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે અને તેની ગતિ ઊર્જા ઘટે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h n}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વેગ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $V_n \propto \frac{1}{n}$.
તેથી,$p^{\text{th}}$ અને $n^{\text{th}}$ કક્ષા માટે,આપણને ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{V_p}{V_n} = \frac{1/p}{1/n} = \frac{n}{p}$.
આમ,$V_p : V_n$ નો ગુણોત્તર $n : p$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n_1 = 1$,તેથી $E_1 = -13.6 \ eV$.
તેના પછીના ઉચ્ચ સ્ટેટ (પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા) માટે,$n_2 = 2$,તેથી $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
પરમાણુને ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$.

(C) બોહર મોડેલમાં,ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સ્થિત વિદ્યુત કુલંબ આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સંતુલન માટેની શરત છે:
$\text{કેન્દ્રગામી બળ} = \text{કુલંબ બળ}$
$\frac{mv^2}{r_0} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r_0^2}$
$v^2$ માટે સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_0 m}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}} = \frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $\frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે (બીજાથી પ્રથમ સ્તર): $n_i = 2$ થી $n_f = 1$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$ છે.
બીજા સંક્રમણ માટે (અનંતથી બીજા સ્તર): $n_i = \infty$ થી $n_f = 2$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \text{ eV}$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{13.6 \times \frac{1}{4}} = \frac{3}{1}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
આ સૂચવે છે કે $L \propto n$.
ત્રીજી બોહર કક્ષા $(n_1 = 3)$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_1 = l$ છે.
ચોથી બોહર કક્ષા $(n_2 = 4)$ માટે,ધારો કે કોણીય વેગમાન $L_2 = L'$ છે.
પ્રમાણસરતા $L \propto n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{n_1}{n_2}$
$\frac{l}{L'} = \frac{3}{4}$
$L' = \frac{4}{3} l$

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ઝડપ $v_n \propto \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક અવસ્થા ધરા-સ્થિતિ $(n_1 = 1)$ છે જેની ઝડપ $v_1$ છે,અને અંતિમ ઝડપ $v_2 = \frac{v_1}{3}$ છે.
સંબંધ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{v_1}{v_1/3} = \frac{n_2}{1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n_2 = 3$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$.
આમ,ઉત્તેજિત અવસ્થામાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = 9 r_1$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A_n = \pi r_n^2$ હોવાથી,$A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ થાય.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે અને બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(A_3)$ અને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(A_2)$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_3}{A_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
અહીં $E \propto \frac{Z^2}{n^2}$ હોવાથી,આપણે બંને કિસ્સાઓ માટે ગુણોત્તર લખી શકીએ.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z_H = 1)$ માટે બીજી કક્ષા $(n_H = 2)$: $E_H = E \propto \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
હિલિયમ પરમાણુ $(Z_{He} = 2)$ માટે ત્રીજી કક્ષા $(n_{He} = 3)$: $E_{He} \propto \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_{He}}{E_H} = \frac{4/9}{1/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E_{He} = \frac{16}{9} E$.

(C) પ્રથમ કેપેસિટર માટે,કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A_1}{d} = \frac{\varepsilon_0 \pi r^2}{d}$ છે.
બીજા કેપેસિટર માટે,નવી ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{2}r$ અને નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (r')^2 = \pi (\sqrt{2}r)^2 = 2\pi r^2$ થશે.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (2\pi r^2)}{d/2} = \frac{4\varepsilon_0 \pi r^2}{d} = 4C_1$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{4C_1} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) $1$. જ્યારે કેપેસિટરને અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વીજભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$2$. સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,તેથી કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
$3$. પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. કારણ કે $Q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધવો જોઈએ.
$5$. તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઘટે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ છે: $L = \frac{3}{\pi^2} \ H$ અને $f = 50 \ Hz$.
જ્યારે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું થાય છે,તેથી $X_C = X_L$.
$\frac{1}{\omega C} = \omega L \implies C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{1}{4 \pi^2 \times (50)^2 \times \frac{3}{\pi^2}} = \frac{1}{4 \times 2500 \times 3} = \frac{1}{30000} \ F$.
$C = \frac{1}{3} \times 10^{-4} \ F \approx 0.33 \times 10^{-4} \ F$.

(A) વિદ્યુતભાર $Q$, કેપેસિટન્સ $C$ અને વોલ્ટેજ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેને $V = (1/C)Q$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા, જ્યાં $y = V$ અને $x = Q$ છે, આલેખનો ઢાળ $m = 1/C$ થાય છે.
તેથી, $C = 1/(\text{રેખાનો ઢાળ})$.
આલેખ પરથી, રેખા $A$ નો ઢાળ રેખા $B$ ના ઢાળ કરતા નાનો છે (કારણ કે સમાન વિદ્યુતભાર $Q$ માટે $V_A < V_B$ છે).
કેપેસિટન્સ એ ઢાળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી, નાનો ઢાળ મોટી કેપેસિટન્સ સૂચવે છે.
આમ, $A$ ની કેપેસિટન્સ $B$ ની કેપેસિટન્સ કરતા વધારે છે.

(C) આ સિસ્ટમને શ્રેણી જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે: એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે અને બીજું હવાના ગાળા સાથે.
$C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{t} = \frac{5 \varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 20 \varepsilon_0 \ F$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d-t} = \frac{\varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 4 \varepsilon_0 \ F$
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{20 \varepsilon_0} + \frac{1}{4 \varepsilon_0}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1 + 5}{20 \varepsilon_0} = \frac{6}{20 \varepsilon_0} = \frac{3}{10 \varepsilon_0}$
$C_{eq} = \frac{10}{3} \varepsilon_0 \ F$

(C) હવા ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે, કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9 \text{ pF}$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d_1$ અને $d_2$ જાડાઈના ડાયલેક્ટ્રિક્સ વડે ભરવામાં આવે છે, ત્યારે આ સિસ્ટમ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d_1} = \frac{3 A \varepsilon_0}{d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d_2} = \frac{6 A \varepsilon_0}{2d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ છે.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ એ $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા મળે છે.
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81}{2} = 40.5 \text{ pF}$.

(A) જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ધ્રુવીભવન (polarization) થાય છે. આ ધ્રુવીભવન એક આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે પ્લેટો પરના વીજભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે. પરિણામે,પ્લેટો વચ્ચેનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઘટે છે. પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $V = E \cdot d$ (જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે) દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો થવાથી આપેલ વીજભાર $Q$ માટે પ્લેટો વચ્ચેના પોટેન્શિયલ તફાવતમાં ઘટાડો થાય છે. પરિણામે,કેપેસિટન્સ $C = Q/V$ વધે છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ હવાના કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ બે અડધા ભાગમાં ($A/2$ અને $A/2$) વહેંચાયેલું છે,જ્યારે અંતર $d$ બંને માટે સમાન રહે છે. આ ગોઠવણી સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર દર્શાવે છે.
પ્રથમ ડાયલેક્ટ્રિક $(K_1 = 4)$ માટે:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \times \frac{1}{2} \times C = 4 \times 0.5 \times 1 \mu F = 2 \mu F$.
બીજા ડાયલેક્ટ્રિક $(K_2 = 2)$ માટે:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \times \frac{1}{2} \times C = 2 \times 0.5 \times 1 \mu F = 1 \mu F$.
કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,અસરકારક કેપેસિટન્સ:
$C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$ થાય છે.

(C) શરૂઆતમાં,$C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_1 = \frac{C}{2}$
એક કેપેસીટરને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસીટન્સ $KC$ થાય છે. નવું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{KC} = \frac{1}{C} \left(1 + \frac{1}{K}\right) = \frac{1}{C} \left(\frac{K+1}{K}\right) \implies C_2 = \frac{CK}{K+1}$
અસરકારક કેપેસીટન્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta C$:
$\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{CK}{K+1} - \frac{C}{2}$
$\Delta C = C \left[ \frac{2K - (K+1)}{2(K+1)} \right] = \frac{C}{2} \left[ \frac{K-1}{K+1} \right]$

(A) જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિકને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિકના અણુઓનું ધ્રુવીભવન (polarization) થાય છે.
આ ધ્રુવીભવનને કારણે ડાયઇલેક્ટ્રિકની અંદર એક પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_i$ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_i$ ની દિશા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ ની દિશાની વિરુદ્ધ હોય છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિકની અંદરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $E = E_0 - E_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E_i > 0$ હોવાથી,ડાયઇલેક્ટ્રિકની અંદરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ હંમેશા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ કરતા ઓછું હોય છે.

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે જ્યાં કેપેસિટન્સ $C_A = C$ અને $C_B = KC$ છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net} = \frac{C_A C_B}{C_A + C_B} = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K+1}$ છે.
શ્રેણીમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A = Q_B = C_{net}E = \frac{KCE}{K+1}$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી,$C_A = C$ અને $C_B = C$ થાય છે. નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net}^{\prime} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_A^{\prime} = Q_B^{\prime} = C_{net}^{\prime}E = \frac{CE}{2}$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{Q_B^{\prime}}{Q_B} = \frac{CE/2}{KCE/(K+1)} = \frac{K+1}{2K}$.

(D) હવાના કેપેસિટર માટે,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$.
જ્યારે બે ડાયલેક્ટ્રિક્સ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગોઠવણી શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_{a} = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_1 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_1 C_1$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_{b} = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_2 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_2 C_1$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b} = \frac{1}{2 K_1 C_1} + \frac{1}{2 K_2 C_1} = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
તેથી,$C_2 = \frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{\frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
સંબંધ $Q = CV$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે દરેક કેપેસિટર પરના સ્થિતિમાનના તફાવતને $V_i = \frac{Q}{C_i}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર માટે $Q$ અચળ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i$ એ કેપેસિટન્સ $C_i$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{Q}{C_1} : \frac{Q}{C_2} : \frac{Q}{C_3}$ થાય.
આમ,$V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} : \frac{1}{C_3}$ મળે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$ --- $(i)$
$A$ ક્ષેત્રફળ અને $t$ અંતર ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ છે:
$C = \frac{A \varepsilon_0}{t}$
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $A \varepsilon_0 = Ct$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $A \varepsilon_0$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$E = \frac{Q}{Ct}$
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $\frac{Q}{Ct}$ છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_i$ થી $V_f$ માં બદલવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = \Delta U = \frac{1}{2} C(V_f^2 - V_i^2)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$V_1 = 5 \ V$ થી $V_2 = 10 \ V$:
$W = \frac{1}{2} C(10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C(100 - 25) = \frac{75}{2} C$.
બીજા કિસ્સા માટે,$V_2 = 10 \ V$ થી $V_3 = 15 \ V$:
$W' = \frac{1}{2} C(15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C(225 - 100) = \frac{125}{2} C$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{W'}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
તેથી,$W' = 1.67 \ W$.

(B) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = C \times V = CV$
$Q_2 = 3C \times 3V = 9CV$
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,સિસ્ટમ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર:
$Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |9CV - CV| = 8CV$
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{eq} = C + 3C = 4C$
ગોઠવણીમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા:
$U = \frac{Q_{net}^2}{2C_{eq}}$
$U = \frac{(8CV)^2}{2(4C)}$
$U = \frac{64C^2V^2}{8C} = 8CV^2$

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
$4$ સમાન કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{C}{4}$ છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2} C_s V_s^2 = \frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2$ છે.
$4$ સમાન કેપેસિટરોના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 4C$ છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = \frac{1}{2} C_p V_p^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$ છે.
આપેલ છે કે સંગ્રહિત ઉર્જા સમાન છે,તેથી $U_s = U_p$:
$\frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$
$\frac{V_s^2}{4} = 4 V_p^2$
$\frac{V_s^2}{V_p^2} = 16$
$\frac{V_s}{V_p} = 4: 1$.

(D) જ્યારે $S_1$ બંધ હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ એ $V$ વોલ્ટેજ સુધી ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
જ્યારે $S_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર $L$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જે $LC$ ઓસિલેશન સર્કિટ બનાવે છે.
$t = 0$ સમયે ($S_2$ બંધ થાય તે ક્ષણે),ઉર્જા સંપૂર્ણપણે વિદ્યુત સ્વરૂપે (કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત) હોય છે.
જેમ કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થાય છે,તેમ ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વિદ્યુત ઉર્જા એ મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L} V^2$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
આમ,પરિપથમાં તત્કાલીન પ્રવાહ મહત્તમ $V \sqrt{\frac{C}{L}}$ મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે.

(D) તંત્રની પ્રારંભિક ઊર્જા,$U_i = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2)$.
જ્યારે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ થાય છે.
તંત્રની અંતિમ ઊર્જા,$U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
ઊર્જામાં ઘટાડો,$\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(A) ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,ત્યારે ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્રમાંથી ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $(I_0)$ ના સમયે,બધી ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે,જે $U = \frac{1}{2} LI_0^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_0^2$.
$I_0$ માટે ઉકેલતા: $I_0^2 = \frac{CV^2}{L}$.
આપેલ છે: $C = 1 \mu F = 10^{-6} \ F$,$V = 50 \ V$,$L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 10^{-2} \ H$.
કિંમતો મૂકતા: $I_0^2 = \frac{10^{-6} \times (50)^2}{10^{-2}} = \frac{10^{-6} \times 2500}{10^{-2}} = 2500 \times 10^{-4} = 0.25$.
તેથી,$I_0 = \sqrt{0.25} = 0.5 \ A$.

(D) $n_1$ કેપેસિટર્સના શ્રેણી જોડાણ માટે,દરેકનું કેપેસિટન્સ $C_1$ છે:
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{eq})_1 = \frac{C_1}{n_1}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન તફાવત $V_1 = 6 \ V$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} (C_{eq})_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{n_1} \right) (6)^2 = \frac{18 C_1}{n_1}$.
$n_2$ કેપેસિટર્સના સમાંતર જોડાણ માટે,દરેકનું કેપેસિટન્સ $C_2$ છે:
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{eq})_2 = n_2 C_2$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન તફાવત $V_2 = 2 \ V$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \frac{1}{2} (C_{eq})_2 V_2^2 = \frac{1}{2} (n_2 C_2) (2)^2 = 2 n_2 C_2$.
આપેલ છે કે કુલ ઉર્જા સમાન છે,$U_1 = U_2$:
$\frac{18 C_1}{n_1} = 2 n_2 C_2$.
$C_2$ માટે ઉકેલતા:
$C_2 = \frac{18 C_1}{2 n_1 n_2} = \frac{9 C_1}{n_1 n_2}$.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે. આપણે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{6}{13} \mu F$ મેળવવું છે.
જો આપણે $3$ કેપેસિટરોને સમાંતર જોડીએ,તો તેમનું કેપેસિટન્સ $C_p = 3C = 6 \mu F$ થાય.
હવે,આ જૂથને બાકીના $4$ કેપેસિટરો સાથે શ્રેણીમાં જોડતા,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C} + \frac{4}{C} = \frac{1 + 12}{3C} = \frac{13}{3C}$ મળે.
તેથી,$C_{eq} = \frac{3C}{13} = \frac{3 \times 2}{13} = \frac{6}{13} \mu F$.
આમ,સાચો જવાબ $3$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં અને $4$ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C + C + C = 3C$ થાય.
આ સંયોજનને $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બીજા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} = \frac{1+3}{3C} = \frac{4}{3C}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{3C}{4}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = 4.5 \mu F$,તેથી:
$4.5 = \frac{3C}{4}$
$C = \frac{4.5 \times 4}{3} = 1.5 \times 4 = 6 \mu F$.

(C) આ સર્કિટમાં $3 \mu F$ અને $5 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જેની સાથે $20 V$ અને $4 V$ ની બે બેટરી વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલી છે.
$1$. સમતુલ્ય વિદ્યુતચાલક બળ $(V_{eq})$ ની ગણતરી:
$V_{eq} = 20 V - 4 V = 16 V$
$2$. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{eq})$ ની ગણતરી:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{3 \times 5}{3 + 5} = \frac{15}{8} \mu F$
$3$. કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભાર $(Q)$ ની ગણતરી:
$Q = C_{eq} \times V_{eq} = \frac{15}{8} \mu F \times 16 V = 30 \mu C$
$4$. $3 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_3)$ ની ગણતરી:
$V_3 = \frac{Q}{C_1} = \frac{30 \mu C}{3 \mu F} = 10 V$

(D) પરિપથનું સાંકેતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$(p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim r \wedge \sim q \wedge p)$
$= (p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim (r \vee q) \wedge p)$ [ડી મોર્ગનનો નિયમ]
$= p \wedge ((q \vee r) \vee \sim (q \vee r))$ [વિભાજનનો નિયમ]
$= p \wedge T$ [પૂરકનો નિયમ]
$= p$ [તદેવતાનો નિયમ]
તેથી,સરળ પરિપથ એ લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં એક સ્વિચ $S_1$ છે.