બે અલગ અલગ દળ ધરાવતા કણોની સિસ્ટમના કિસ્સામાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ક્યાં આવેલું હોય છે?

ઘન પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના અંદાજ માટેની સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિ સમજાવો.

$L$ લંબાઈનો એક પાતળો સળિયો $X$-અક્ષ પર એવી રીતે ગોઠવેલો છે કે જેથી તેનો એક છેડો $x = 0$ પર અને બીજો છેડો $x = L$ પર હોય. તેની રેખીય દળ ઘનતા (દળ/લંબાઈ) $x$ સાથે $k(x/L)^n$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $n$ એ શૂન્ય અથવા કોઈ પણ ધન સંખ્યા છે. જો સળિયા માટે તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $x_{cm}$ વિરુદ્ધ $n$ નો આલેખ દોરવામાં આવે,તો નીચેનામાંથી કયો આલેખ સાચો છે?

$L$ લંબાઈના અસમાન સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર,જેની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{k x^3}{L^3}$ મુજબ બદલાય છે (જ્યાં $k$ અચળાંક છે અને $x$ એ સળિયા પરના કોઈપણ બિંદુનું એક છેડાથી અંતર છે),તે જ છેડાથી કેટલા અંતરે હશે?

સમાન દળ ધરાવતા કણોના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન જણાવો.

$1 \, g, 2 \, g$ અને $3 \, g$ દળ ધરાવતા કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે. જ્યારે $4 \, g$ દળ ધરાવતો અને $\alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ સ્થાનસદિશ ધરાવતો કણ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ મળે છે. જો $\alpha$ અચળ હોય,તો તેનું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ?