समय $t$ पर चूहों की एक निश्चित प्रजाति की जनसंख्या $P(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dP(t)}{dt} = 0.5 P(t) - 450$ को संतुष्ट करती है। यदि $P(0) = 850$ है,तो वह समय जिस पर जनसंख्या शून्य हो जाती है,है

बैक्टीरिया की संख्या में वृद्धि की दर उपस्थित बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती है। यदि मूल संख्या $N$,$8$ घंटों में दोगुनी हो जाती है,तो $24$ घंटों में बैक्टीरिया की संख्या कितनी होगी ($N$ में)?

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$,$x \geq 1$,जहाँ $y(1) = 0$ का हल है। यदि रेखाओं $x = 1$,$x = e^{\pi}$,$y = 0$ और वक्र $y = y(x)$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $\alpha e^{2\pi} + \beta$ है,तो $10(\alpha + \beta)$ का मान ....... है।

यदि अवकल समीकरण $y' = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ का व्यापक हल,किसी फलन $\phi$ के लिए,$y \ln |cx| = x$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है,तो $\phi(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक वस्तु न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार $15$ मिनट में $100^{\circ} C$ से $60^{\circ} C$ तक ठंडी हो जाती है। यदि परिवेश का तापमान $20^{\circ} C$ है,तो एक घंटे तक ठंडी होने के बाद वस्तु का तापमान क्या होगा ($^{\circ} C$ में)?

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(x) > 0$ और $f(x)+\int \limits_0^x f(t) \sqrt{1-\left(\log _e f(t)\right)^2} d t=e, \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तब $\left(6 \log _{ e } f \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2$ का मान $.............$ है।