यदि y = left(frac{x^{2}}{x+1}right)^{x} और fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)^{x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log y = x \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) = x

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$\frac{x+2}{x+1}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $y = \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)^{x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log y = x \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) = x [\log(x^{2}) - \log(x+1)] = x [2 \log x - \log(x+1)]$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [x (2 \log x - \log(x+1))]$.गुणन नियम का उपयोग करने पर:$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot [2 \log x - \log(x+1)] + x \left[ \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} \right]$.$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + x \left[ \frac{2(x+1) - x}{x(x+1)} \right]$.$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + x \left[ \frac{2x + 2 - x}{x(x+1)} \right] = \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) + \frac{x+2}{x+1}$.अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{x+2}{x+1} + \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right) \right]$.इसे दिए गए रूप $\frac{dy}{dx} = y [g(x) + \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)]$ से तुलना करने पर,हमें $g(x) = \frac{x+2}{x+1}$ प्राप्त होता है।

यदि $y = \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)^{x}$ और $\frac{dy}{dx} = y \left[g(x) + \log \left(\frac{x^{2}}{x+1}\right)\right]$ है,तो $g(x) =$

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यदि $y=x^{\log x}+(\log x)^x, x>1$ है,तो $\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=e}=$

यदि $x^py^q=(x+y)^{p+q}$ है,तो $\frac{dy}{dx}=$

$x^{\sin x}$ का $(\sin x)^{x}$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

यदि $y=\sqrt{\frac{1-\sin ^{-1}(x)}{1+\sin ^{-1}(x)}}$ है,तो $x=0$ और $y=1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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