KVPY 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ है।
चार धनात्मक संख्याओं $x^4, y^4, z^4, 1$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार:
$\frac{x^4+y^4+z^4+1}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 y^4 z^4 \cdot 1}$
दिए गए समीकरण का मान रखने पर:
$\frac{4xyz}{4} \geq |xyz|$
$xyz \geq |xyz|$
यह असमिका तभी संभव है जब $xyz \geq 0$ हो। $AM \geq GM$ में समानता के लिए,सभी पद समान होने चाहिए:
$x^4 = y^4 = z^4 = 1$
इसका अर्थ है कि $|x| = 1, |y| = 1, |z| = 1$। अतः,$x, y, z \in \{1, -1\}$।
मूल समीकरण में ये मान रखने पर:
$1+1+1+1 = 4xyz$ $\Rightarrow 4 = 4xyz$ $\Rightarrow xyz = 1$।
जिनका गुणनफल $1$ हो,ऐसी संभावित त्रिक $(x, y, z)$ हैं:
$(1, 1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1)$।
अतः,कुल $4$ त्रिक प्राप्त होते हैं।

(D) समुच्चय को $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$A_1$ के लिए, $e^{i \pi n} = (e^{i \pi})^n = (-1)^n$। चूँकि $n \in \mathbb{N}$, समुच्चय $\{-1, 1\}$ है, जो परिमित है।
$A_{0.3}$ के लिए, $e^{i \pi (0.3) n} = e^{i \pi (3/10) n}$। यह समुच्चय परिमित है क्योंकि $e^{i \pi (3/10) n}$ का मान $n$ के प्रत्येक $20$ मानों के बाद दोहराता है।
$A_{1/\pi}$ के लिए, $e^{i \pi (1/\pi) n} = e^{i n} = \cos(n) + i \sin(n)$। चूँकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है और $1$, $\pi$ का परिमेय गुणज नहीं है, इसलिए $e^{in}$ के मान प्रत्येक $n \in \mathbb{N}$ के लिए अलग-अलग हैं, जिससे यह समुच्चय अनंत हो जाता है।
अतः, $A_{0.3}$ परिमित है और $A_{1/\pi}$ अनंत है।
इसलिए, विकल्प $(d)$ सही है।

(B) माना $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$ है। माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। चूंकि $x^2$ का गुणांक $0$ है,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 0$ है। यदि दो मूल भिन्न पूर्णांक हैं,तो तीसरा मूल भी एक पूर्णांक होगा।
माना मूल $x_1, x_2, x_3$ हैं। तब $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ और $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -27$ है।
$x_3 = -(x_1 + x_2)$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 = -27$,जो सरल होकर $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 27$ हो जाता है।
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। हम पूर्णांक हल $(x_1, x_2)$ ज्ञात करते हैं।
यदि $x_1 = 3$ है,तो $x_2^2 + 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2+6)(x_2-3) = 0$। अतः $x_2 = 3$ या $x_2 = -6$। इस स्थिति में $k = 54$ है।
यदि $x_1 = -3$ है,तो $x_2^2 - 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2-6)(x_2+3) = 0$। अतः $x_2 = 6$ या $x_2 = -3$। इस स्थिति में $k = -54$ है।
अतः,$k$ के $2$ संभावित मान हैं।

(C) परवलय का समीकरण $y = x^2 + px + q$ है।
चूंकि परवलय बिंदु $(0, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 3$ रखने पर:
$3 = (0)^2 + p(0) + q \implies q = 3$.
अब,स्पर्श रेखा का ढाल ज्ञात करने के लिए $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2x + p$.
बिंदु $(0, 3)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $x = 0$ रखकर प्राप्त किया जा सकता है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 2(0) + p = p$.
दिया गया है कि स्पर्श रेखा का ढाल $-1$ है,इसलिए $p = -1$.
अंत में,$p + q$ का मान:
$p + q = -1 + 3 = 2$.

(D) मान लीजिए $B = (0, a)$ है। $\triangle OAB$ में $\angle OBA = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(60^{\circ}) = \frac{OA}{OB} = \frac{OA}{a}$। अतः,$OA = a\sqrt{3}$। तो $A = (a\sqrt{3}, 0)$ है।
चूँकि $\triangle OAD$ एक समबाहु त्रिभुज है,शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ होंगे।
बिंदु $D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ और $B(0, a)$ से गुजरने वाली रेखा $DB$ की ढाल:
$m = \frac{\frac{3a}{2} - a}{\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $(y-1)^2 = 4x+1$ है। शीर्ष $A = (-1/4, 1)$,नाभिलंब का अंतिम बिंदु $D = (3/4, 3)$,और $P = (0, 1)$ है। ढाल की गणना करने पर $\tan^{-1}(2/19)$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O(0,0)$ है। $A = (1, 0)$,$B = (\cos \theta, \sin \theta)$,और $P = (\cos(\theta/2), \sin(\theta/2))$ है।
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sin \theta$ है।
$\triangle APB$ का क्षेत्रफल $= \sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))$ है।
दिया गया है कि $\frac{\frac{1}{2} \sin \theta}{\sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))} = \sqrt{5} + 2$ है।
अतः,$\frac{\cos(\theta/2)}{1 - \cos(\theta/2)} = \sqrt{5} + 2$ है।
हल करने पर,$\cos(\theta/2) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$2\theta$ के लिए अनुपात $\frac{\cos \theta}{1 - \cos \theta}$ है।
$\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2) - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $= \frac{(\sqrt{5} - 1)/4}{1 - (\sqrt{5} - 1)/4} = \frac{1}{\sqrt{5}}$।

(A) दिया गया समीकरण $\cos(\sin x) = \sin(\cos x)$ है।
हम जानते हैं कि $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
अतः,$\cos(\sin x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \cos x)$.
इसका अर्थ है कि $\sin x = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \cos x)$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
स्थिति $1$: $\sin x + \cos x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$\sin x + \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ है।
$n=0$ के लिए,$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,जो परिसर के बाहर है।
स्थिति $2$: $\sin x - \cos x = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$.
$\sin x - \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ है।
$n=0$ के लिए,$-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$,जो परिसर के बाहर है।
चूँकि किसी भी $n$ के लिए समीकरण का कोई हल नहीं है,इसलिए $X$ में अवयवों की संख्या $0$ है।

(C) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और गोले की त्रिज्या $r$ है। बिंदु $P$ गोले का निचला हिस्सा है,इसलिए जमीन से $P$ की ऊँचाई $h$ है। बिंदु $Q$ केंद्र $O$ के स्तर पर है,इसलिए जमीन से $Q$ की ऊँचाई $h+r$ है। प्रेक्षक $B$ से खंभे की क्षैतिज दूरी $AB = 50 \ m$ है।
$\triangle APB$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AP}{AB} = \frac{h}{50}$.
$\Rightarrow h = 50 \tan 30^{\circ} = \frac{50}{\sqrt{3}}$.
प्रेक्षक,बिंदु $Q$ और बिंदु $R$ (जहाँ $R$ जमीन पर $Q$ का प्रक्षेप है) द्वारा निर्मित त्रिभुज में,क्षैतिज दूरी $BR = AB - r = 50 - r$ है और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $RQ = h+r$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{RQ}{BR} = \frac{h+r}{50-r}$.
$\Rightarrow \sqrt{3}(50-r) = h+r$.
$h = \frac{50}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$\sqrt{3}(50-r) = \frac{50}{\sqrt{3}} + r$.
$50\sqrt{3} - r\sqrt{3} = \frac{50}{\sqrt{3}} + r$.
$50\sqrt{3} - \frac{50}{\sqrt{3}} = r(1+\sqrt{3})$.
$50 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = r(1+\sqrt{3})$.
$r = \frac{50 \times 2}{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})} = 50 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(A) हमारे पास है,$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \int _{0}^{x} e^{t^3-x^3} dt = \lim _{x \rightarrow \infty} x^2 e^{-x^3} \int _{0}^{x} e^{t^3} dt = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 \int _{0}^{x} e^{t^3} dt}{e^{x^3}}$.
चूंकि यह $\frac{\infty}{\infty}$ रूप है,हम $L'Hospital$ नियम का उपयोग करते हैं:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{d}{dx} (x^2 \int _{0}^{x} e^{t^3} dt)}{\frac{d}{dx} (e^{x^3})} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2x \int _{0}^{x} e^{t^3} dt + x^2 e^{x^3}}{3x^2 e^{x^3}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \frac{2 \int _{0}^{x} e^{t^3} dt}{3x e^{x^3}} + \frac{1}{3} \right)$.
पहले पद के लिए फिर से $L'Hospital$ नियम लागू करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{x^3}}{3(e^{x^3} + x \cdot 3x^2 e^{x^3})} + \frac{1}{3} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{x^3}}{3 e^{x^3}(1 + 3x^3)} + \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) माना भुजाओं की लंबाई का समुच्चय $S = \{10, 11, \ldots, 22\}$ है। $S$ में अवयवों की संख्या $n = 13$ है।
त्रिभुज की भुजाओं $a, b, c \in S$ के लिए,त्रिभुज असमिका के अनुसार $a+b > c$,$a+c > b$,और $b+c > a$ होना चाहिए। यदि $a \le b \le c$ लें,तो यह $a+b > c$ के समतुल्य है।
कुल त्रिभुजों की संख्या:
$1$. समबाहु त्रिभुज $(a=b=c)$: $13$ विकल्प हैं।
$2$. समद्विबाहु त्रिभुज: $152$ त्रिभुज प्राप्त होते हैं।
$3$. विषमबाहु त्रिभुज: $283$ त्रिभुज प्राप्त होते हैं।
कुल त्रिभुजों की संख्या $= 283 + 152 + 13 = 448$.

(B) $n$ भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज समतल को तभी ढक सकता है जब उसका आंतरिक कोण $360^{\circ}$ का विभाजक हो।
एक नियमित $n$-भुज का आंतरिक कोण $\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1)$ समबाहु त्रिभुज $(n=3)$ के लिए: आंतरिक कोण = $60^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 60^{\circ} = 6$,यह समतल को ढक सकता है।
$(2)$ वर्ग $(n=4)$ के लिए: आंतरिक कोण = $90^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$,यह समतल को ढक सकता है।
$(3)$ नियमित पंचभुज $(n=5)$ के लिए: आंतरिक कोण = $108^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 108^{\circ} = 3.33$ (पूर्णांक नहीं है),यह समतल को नहीं ढक सकता।
$(4)$ नियमित षट्भुज $(n=6)$ के लिए: आंतरिक कोण = $120^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 120^{\circ} = 3$,यह समतल को ढक सकता है।
अतः,समतल को ढकने वाले आकार समबाहु त्रिभुज,वर्ग और नियमित षट्भुज हैं। ऐसे ठीक तीन आकार हैं।

(D) माना $P(x) = 1+x^2+x^4+\ldots+x^{22} = \frac{x^{24}-1}{x^2-1}$ और $Q(x) = 1+x+x^2+\ldots+x^{11} = \frac{x^{12}-1}{x-1}$.
$P(x) = \frac{(x^{12}-1)(x^{12}+1)}{(x-1)(x+1)} = Q(x) \cdot \frac{x^{12}+1}{x+1}$.
$\frac{x^{12}+1}{x+1} = \frac{x^{12}-1+2}{x+1} = (x^{11}-x^{10}+x^9-\ldots-1) + \frac{2}{x+1}$.
$P(x) = Q(x) \cdot (x^{11}-x^{10}+x^9-\ldots-1) + \frac{2 Q(x)}{x+1}$.
चूंकि $Q(x) = (1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10})$,इसलिए शेषफल $2(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10})$ होगा।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर $k$-वीं चींटी की स्थिति $x_k(t)$ है।
दिया गया है $x_k(0) = k^2$ और $x_k(1) = (11-k)^2$।
चूँकि गति समान है,वेग $v_k = x_k(1) - x_k(0) = (11-k)^2 - k^2 = 121 - 22k + k^2 - k^2 = 121 - 22k$ है।
अतः,$x_k(t) = k^2 + (121 - 22k)t$।
दो चींटियाँ $i$ और $j$ (जहाँ $i < j$) एक ही स्थान पर होती हैं यदि $x_i(t) = x_j(t)$ हो।
$i^2 + (121 - 22i)t = j^2 + (121 - 22j)t$
$i^2 - j^2 = (121 - 22j - 121 + 22i)t$
$(i-j)(i+j) = 22(i-j)t$
चूँकि $i \neq j$,हम $(i-j)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$t = \frac{i+j}{22}$।
चूँकि $1 \le i < j \le 10$,$i+j$ के लिए संभावित मान $1+2=3$ से $9+10=19$ तक हैं।
अतः,$t \in \{\frac{3}{22}, \frac{4}{22}, \dots, \frac{19}{22}\}$।
अलग-अलग मानों की संख्या $19 - 3 + 1 = 17$ है।

(A) मान लीजिए कि फर्श $x$-अक्ष है और कोण का शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ है। दीवार फर्श के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए इसका समीकरण $y = -x$ है।
मान लीजिए सीढ़ी के अंतिम बिंदु फर्श पर $P(x_1, 0)$ और दीवार पर $Q(x_2, y_2)$ हैं। चूँकि $Q$,$y = -x$ पर है,इसलिए $Q$ बिंदु $(x_2, -x_2)$ है।
सीढ़ी की लंबाई $l$ है,इसलिए $(x_1 - x_2)^2 + (0 - (-x_2))^2 = l^2$,जो सरल होकर $(x_1 - x_2)^2 + x_2^2 = l^2$ हो जाता है।
सीढ़ी का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{0-x_2}{2}\right) = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, -\frac{x_2}{2}\right)$।
इससे,$x_2 = -2k$ और $x_1+x_2 = 2h$,इसलिए $x_1 = 2h + 2k$।
लंबाई के समीकरण में मान रखने पर: $(2h+2k - (-2k))^2 + (-2k)^2 = l^2$,जो $(2h+4k)^2 + 4k^2 = l^2$ है।
विस्तार करने पर $4h^2 + 16hk + 20k^2 = l^2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{2\pi F}{\sqrt{4AC - B^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A=4, B=16, C=20, F=l^2$ है। हर $\sqrt{4(4)(20) - (16)^2} = 8$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{2\pi l^2}{8} = \frac{\pi l^2}{4}$।

(D) दिया गया है कि $\angle AOB = \theta$ और त्रिज्या $OF = OA = OB = d$ है।
$\triangle ODB$ में,$BD = OB \sin \theta = d \sin \theta$ है।
चूंकि $E$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $ED = \frac{1}{2} BD = \frac{d}{2} \sin \theta$ है।
मान लीजिए $F$,चाप $AB$ पर एक बिंदु है ताकि $EF \parallel OA$ हो। मान लीजिए $FM \perp OA$ जहाँ $M$,$OA$ पर है। तब $FM = ED = \frac{d}{2} \sin \theta$ है।
$\triangle OFM$ में,$\sin \alpha = \frac{FM}{OF} = \frac{\frac{d}{2} \sin \theta}{d} = \frac{1}{2} \sin \theta$,जहाँ $\alpha = \angle AOF$ है।
अतः,$\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)$ प्राप्त होता है।
चाप $AF$ की लंबाई $d \alpha$ है और चाप $AB$ की लंबाई $d \theta$ है।
चाप $AF$ की लंबाई और चाप $AB$ की लंबाई का अनुपात $\frac{d \alpha}{d \theta} = \frac{\alpha}{\theta} = \frac{\sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)}{\theta}$ है।

(C) माध्य मान प्रमेय का उपयोग करते हुए,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c) \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})|$ किसी $c \in (\sqrt{n}, \sqrt{n+1})$ के लिए।
चूंकि $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$,हमारे पास $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c)| \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ है।
जैसे $n \to \infty$,$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0$।
चूंकि $|\cos(c)| \le 1$,व्यंजक $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})|$ जैसे $n \to \infty$ होता है,$0$ की ओर अग्रसर होता है।
किसी भी $\lambda > 0$ के लिए,एक $N$ मौजूद है ताकि सभी $n > N$ के लिए,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| < \lambda$ हो।
अतः,$A_\lambda$ में $N$ से बड़ी सभी प्राकृतिक संख्याएँ शामिल हैं,जो $A_\lambda$ को एक अनंत समुच्चय बनाती हैं।
परिणामस्वरूप,पूरक $A_\lambda^c$ में केवल परिमित संख्या में तत्व होते हैं (वे $n \le N$ जो असमिका को संतुष्ट नहीं करते हैं)।
इसलिए,$A_{1/2}^c, A_{1/3}^c, A_{2/5}^c$ सभी परिमित समुच्चय हैं।

(C) तीनों स्कूलों से छात्रों की संख्या $2, 4$ और $6$ है। चूंकि प्रत्येक कमरे में एक ही स्कूल के $2$ छात्र होने चाहिए,इसलिए हम छात्रों को $2$ के समूहों में विभाजित करते हैं:
स्कूल $1$ में $2$ छात्रों का $1$ समूह है।
स्कूल $2$ में $2$ छात्रों के $2$ समूह हैं।
स्कूल $3$ में $2$ छात्रों के $3$ समूह हैं।
कुल समूहों की संख्या $= 1 + 2 + 3 = 6$ समूह।
सबसे पहले,हम इन $6$ समूहों को $6$ अलग-अलग कमरों में व्यवस्थित करते हैं,जिसे $6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इसके बाद,हम स्कूलों के भीतर छात्रों की आंतरिक व्यवस्था पर विचार करते हैं:
स्कूल $2$ के लिए,$4$ छात्रों को $2$ के $2$ समूहों में विभाजित किया जाता है। ऐसा करने के तरीके $\frac{4!}{2! \times 2! \times 2!} = 3$ हैं।
स्कूल $3$ के लिए,$6$ छात्रों को $2$ के $3$ समूहों में विभाजित किया जाता है। ऐसा करने के तरीके $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2! \times 3!} = 15$ हैं।
कुल तरीके $= 6! \times 3 \times 15 = 720 \times 45 = 32400$।

(C) हमें $|\alpha| < 1$ के साथ $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$ दिया गया है।
$|z| < 1$ स्थिति पर विचार करें।
हम $|w|^2 = w\bar{w}$ का मान जाँचते हैं।
$|w|^2 = \frac{|z|^2 - z\bar{\alpha} - \bar{z}\alpha + |\alpha|^2}{1 - \bar{z}\alpha - z\bar{\alpha} + |\alpha|^2|z|^2}$.
$|w|^2 - 1 = \frac{-(1 - |z|^2)(1 - |\alpha|^2)}{|1 - \bar{\alpha}z|^2}$.
चूँकि $|z| < 1$ और $|\alpha| < 1$,इसलिए $(1 - |z|^2) > 0$ और $(1 - |\alpha|^2) > 0$ है।
अतः,$|w|^2 - 1 < 0$,जो दर्शाता है कि सभी $|z| < 1$ के लिए $|w| < 1$ है।

(C) दिया गया है $p(x)=ax^2+bx+c$ जहाँ $a, b, c > 0$ और $2b=a+c$ है,अर्थात $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
$\alpha, \beta$ समीकरण $p(x)=0$ के पूर्णांक मूल हैं। अतः $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$।
चूंकि $b = \frac{a+c}{2}$,इसलिए $\alpha+\beta = -\frac{a+c}{2a} = -\frac{1}{2} - \frac{c}{2a}$।
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha+\beta = -\frac{1}{2} - \frac{\alpha\beta}{2} \Rightarrow \alpha\beta + 2\alpha + 2\beta = -1$।
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर: $(\alpha+2)(\beta+2) = 3$।
पूर्णांक हलों के लिए $(\alpha+2, \beta+2)$ के संभावित जोड़े $(-1, -3)$ हैं,जिससे $\alpha=-3, \beta=-5$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha+\beta+\alpha\beta = -3-5+15 = 7$।

(C) हमारे पास है,
$16^5 \times 5^{16} = (2^4)^5 \times 5^{16}$
$= 2^{20} \times 5^{16}$
$= 2^4 \times 2^{16} \times 5^{16}$
$= 16 \times (2 \times 5)^{16}$
$= 16 \times 10^{16}$
$= 160000000000000000$
इस संख्या में $2$ अंक ($1$ और $6$) हैं जिसके बाद $16$ शून्य हैं।
अतः,अंकों की कुल संख्या $2 + 16 = 18$ है।

(B) दिया गया है $t^2 = at + b$,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
$t$ से गुणा करने पर,$t^3 = at^2 + bt$ प्राप्त होता है।
$t^2 = at + b$ का मान रखने पर:
$t^3 = a(at + b) + bt = a^2t + ab + bt = (a^2 + b)t + ab$.
प्रत्येक विकल्प की तुलना $(a^2 + b)t + ab$ के रूप से करने पर:
$(A)$ $4t + 3$: $a^2 + b = 4$ और $ab = 3$. यदि $a = 1$,तो $b = 3$,जो $1^2 + 3 = 4$ को संतुष्ट करता है। संभव है।
$(B)$ $8t + 5$: $a^2 + b = 8$ और $ab = 5$. यदि $a = 1$,$b = 5$,तो $a^2 + b = 6 \neq 8$. यदि $a = 5$,$b = 1$,तो $a^2 + b = 26 \neq 8$. कोई धनात्मक पूर्णांक हल संभव नहीं है।
$(C)$ $10t + 3$: $a^2 + b = 10$ और $ab = 3$. यदि $a = 3$,$b = 1$,तो $a^2 + b = 9 + 1 = 10$. संभव है।
$(D)$ $6t + 5$: $a^2 + b = 6$ और $ab = 5$. यदि $a = 1$,$b = 5$,तो $a^2 + b = 1 + 5 = 6$. संभव है।
अतः,$t^3$ कभी भी $8t + 5$ के बराबर नहीं हो सकता।

(D) दिया गया समीकरण: $(1+a+b)^2=3(1+a^2+b^2)$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $1+a^2+b^2+2a+2b+2ab = 3+3a^2+3b^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
$2$ से विभाजित करने पर: $a^2+b^2-a-b-ab+1=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पुनः $2$ से गुणा करने पर: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2=0$
चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$a-1=0, b-1=0, a-b=0$
इसका अर्थ है $a=1$ और $b=1$ है।
अतः,ठीक एक हल युग्म $(a, b) = (1, 1)$ है।

(B) दिया गया है कि $ABCD$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें $AB \parallel CD$ है।
$AB=11, BC=4, CD=6, DA=3$ है।
$CE \parallel DA$ खींचें ताकि $E, AB$ पर स्थित हो। तब $AECD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$AE=CD=6$ और $CE=DA=3$ है।
चूंकि $AB=11$ और $AE=6$ है,इसलिए $EB = AB - AE = 11 - 6 = 5$ है।
$\triangle CEB$ में,भुजाएँ $CE=3, BC=4, EB=5$ हैं।
चूंकि $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ है,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle CEB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle ECB = 90^\circ$ है।
$\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times CE \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ है।
साथ ही,$\triangle CEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times EB \times h$,जहाँ $h, C$ से $EB$ पर लंब है (जो $AB$ और $CD$ के बीच की दूरी है)।
$6 = \frac{1}{2} \times 5 \times h \Rightarrow h = \frac{12}{5} = 2.4$ है।
अतः,$AB$ और $CD$ के बीच की दूरी $2.4$ है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C, D, E$ वृत्त पर स्थित बिंदु हैं।
चक्रीय चतुर्भुज $ABCDE$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$ है।
चक्रीय चतुर्भुज $ACDE$ में,सम्मुख कोणों का योग $\angle CDE + \angle CAE = 180^{\circ}$ होता है।
अतः,$\angle CAE = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ है।
चित्र के अनुसार,$\angle ACE = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) माना वृत्तों के केंद्र $A, B$ और $C$ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1 = 3, r_2 = 2$ और $r_3 = 1$ हैं।
चूँकि वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग होगी:
$AB = r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$
$BC = r_2 + r_3 = 2 + 1 = 3$
$AC = r_1 + r_3 = 3 + 1 = 4$
$\triangle ABC$ में,हम देखते हैं कि $AB^2 = 5^2 = 25$ और $BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ है।
चूँकि $AB^2 = BC^2 + AC^2$,अतः $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $AB = 5$ है।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R$,उसके कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ इकाई।

(C) $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ का परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्यबिंदु $M$ है।
परावर्तन के गुणों के अनुसार,$AB$,$PP_1$ का लंब समद्विभाजक है और $BC$,$PP_2$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि $AB \perp BC$ है,इसलिए बिंदु $B$,$P, P_1,$ और $P_2$ से समान दूरी पर है,क्योंकि $BP = BP_1$ और $BP = BP_2$ है।
अतः,$B$,$\triangle P_1PP_2$ का परिकेंद्र है।
$\triangle ABC$ में,$M$,$AC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $BM = AM = MC = \frac{AC}{2}$ (समकोण त्रिभुज में कर्ण पर माध्यिका का गुणधर्म)।
इसलिए,परिकेंद्रों $B$ और $M$ के बीच की दूरी $BM = \frac{AC}{2}$ है।

(B) दिया गया है $a, b > 0$ और $a+2b \leq 1$ है।
वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $ab^3$ और वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $b^2$ है।
क्षेत्रफल $A_1 = \pi(ab^3)^2 = \pi a^2b^6$ है।
क्षेत्रफल $A_2 = \pi(b^2)^2 = \pi b^4$ है।
अतः,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi a^2b^6}{\pi b^4} = a^2b^2 = (ab)^2$ है।
$a$ और $2b$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a+2b}{2} \geq \sqrt{a \cdot 2b} = \sqrt{2ab}$ है।
चूंकि $a+2b \leq 1$ है,इसलिए $\frac{1}{2} \geq \sqrt{2ab}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} \geq 2ab$,जिसका अर्थ है $ab \leq \frac{1}{8}$ है।
इसलिए,$(ab)^2 \leq (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$ है।
$\frac{A_1}{A_2}$ का अधिकतम मान $\frac{1}{64}$ है।

(D) माना दोनों मोमबत्तियों की प्रारंभिक लंबाई $L$ है।
पहली मोमबत्ती के जलने की दर प्रति घंटा $\frac{L}{5}$ है और दूसरी मोमबत्ती की दर प्रति घंटा $\frac{L}{3}$ है।
माना $t$ घंटे बाद पहली मोमबत्ती की लंबाई दूसरी मोमबत्ती की लंबाई से $3$ गुना हो जाती है।
$t$ समय के बाद शेष लंबाई $L_1 = L - \frac{L}{5}t$ और $L_2 = L - \frac{L}{3}t$ है।
प्रश्न के अनुसार,$L_1 = 3L_2$.
मान रखने पर: $L - \frac{L}{5}t = 3(L - \frac{L}{3}t)$.
$L$ से विभाजित करने पर: $1 - \frac{t}{5} = 3 - t$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $t - \frac{t}{5} = 3 - 1$.
$\frac{4t}{5} = 2$.
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \, hr$.
मिनट में बदलने पर: $2.5 \times 60 = 150 \, min$.

(C) मान लीजिए वर्गाकार आधार की भुजा की लंबाई $x$ है और घनाभ की ऊँचाई $y$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
घनाभ की सभी भुजाओं का योग $4x + 4x + 4y = 8x + 4y$ है।
सभी छह सतहों के क्षेत्रफल का योग $2x^2 + 4xy$ है।
प्रश्न के अनुसार,भुजाओं का योग = क्षेत्रफल का योग:
$8x + 4y = 2x^2 + 4xy$
$2$ से भाग देने पर:
$4x + 2y = x^2 + 2xy$
$y$ के लिए हल करने पर:
$2y - 2xy = x^2 - 4x$
$2y(1 - x) = x(x - 4)$
$y = \frac{x(4 - x)}{2(x - 1)}$
चूँकि $y > 0$,इसलिए $1 < x < 4$ होना चाहिए। अतः,$x$ का मान $2$ या $3$ हो सकता है।
यदि $x = 2$,तो $y = \frac{2(4 - 2)}{2(2 - 1)} = 2$.
भुजाओं का योग $= 8(2) + 4(2) = 24$.
यदि $x = 3$,तो $y = \frac{3}{4}$,जो पूर्णांक नहीं है।
अतः,एकमात्र पूर्णांक हल $x = 2, y = 2$ है और भुजाओं का योग $24$ है।

(A) मान लीजिए $|A_i| = n_i$ जहाँ $i = 1, 2, \ldots, m$ है। चूँकि समुच्चय युग्मवार असंयुक्त हैं और $100$ तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय हैं,उनके आकारों का योग निम्नलिखित होना चाहिए:
$\sum_{i=1}^{m} |A_i| \leq 100$.
चूँकि $|A_i|$ भिन्न धनात्मक पूर्णांक हैं,$m$ को अधिकतम करने के लिए,हम $|A_i|$ के लिए सबसे छोटे संभव भिन्न धनात्मक पूर्णांक चुनते हैं।
अतः,$1 + 2 + 3 + \ldots + m \leq 100$ होना चाहिए।
प्रथम $m$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{m(m+1)}{2}$ है।
इसलिए,$\frac{m(m+1)}{2} \leq 100$,जिसका अर्थ है $m(m+1) \leq 200$।
$m = 13$ के लिए,$13 \times 14 = 182 \leq 200$ (सत्य)।
$m = 14$ के लिए,$14 \times 15 = 210 > 200$ (असत्य)।
अतः,$m$ का अधिकतम मान $13$ है।

(C) माना $2$-अंकीय संख्या $n = 10a + b$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
दिया है,$n = a^2 + b^3$.
अतः,$10a + b = a^2 + b^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a^2 - 10a + b^3 - b = 0$,जिसे $a(10 - a) = b(b - 1)(b + 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$b$ के मानों की जाँच करने पर:
यदि $b = 3$ है,तो $a(10 - a) = 3(2)(4) = 24$। समीकरण $a^2 - 10a + 24 = 0$ को हल करने पर,$(a - 4)(a - 6) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 4$ या $a = 6$ है। अतः संख्याएँ $43$ और $63$ हैं।
अन्य मानों के लिए कोई पूर्णांक हल प्राप्त नहीं होता है।
अतः,ऐसी $2$ संख्याएँ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ है।
विविक्तकर $D = (7\sqrt{n})^2 - 4(n)(n) = 49n - 4n^2 = n(49 - 4n)$ है।
मूलों के भिन्न होने के लिए,$D \neq 0$ होना चाहिए। चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$49 - 4n = 0$ का अर्थ है $n = 12.25$,जो एक पूर्णांक नहीं है। अतः,सभी $n \in \mathbb{Z}^+$ के लिए $D \neq 0$ है। इसलिए,कथन $I$ सही है।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,$D \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n(49 - 4n) \geq 0$। चूँकि $n > 0$,इसलिए $49 - 4n \geq 0$ अर्थात $n \leq 12.25$। $n$ के लिए संभावित मान $\{1, 2, 3, \dots, 12\}$ हैं। यह एक सीमित समुच्चय है,इसलिए कथन $II$ गलत है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है। यहाँ,गुणनफल $\frac{n}{n} = 1$ है,जो एक पूर्णांक है। इसलिए,कथन $III$ सही है।
अतः,कथन $I$ और $III$ सही हैं।

(C) $\triangle OAC$ में,$OA = 1$ और $AC:CO = 2:1$,इसलिए $AC = \frac{2}{3}$ और $OC = \frac{1}{3}$ है।
$\triangle OCD$ में,$OD = 1$ (त्रिज्या) और $OC = \frac{1}{3}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$CD = \sqrt{OD^2 - OC^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
$\triangle ACD$ में,$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करते हुए: $O(0,0)$,$A(-1,0)$,$C(-\frac{1}{3}, 0)$,$D(-\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3})$ है।
रेखा $AD$ की ढाल $m = \sqrt{2}$ है। $AD$ का समीकरण: $y = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$ है।
$OE$,$AD$ पर लंब है और $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$OE$ का समीकरण: $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x$ है।
$CD$ $(x = -\frac{1}{3})$ और $OE$ $(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $H$ है: $y_H = \frac{1}{3\sqrt{2}}$ है।
$D$ का $y$-निर्देशांक $y_D = \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$ है।
$DH = y_D - y_H = \frac{4}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(A) मान लीजिए सबसे बड़े वर्ग की भुजा $a$ है।
निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले वर्गों की भुजाओं की लंबाई $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots$ है।
उनके क्षेत्रफलों का योग $S_1 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{4})^2 + \dots = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16} + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = a^2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$S_1 = \frac{a^2}{1 - 1/4} = \frac{a^2}{3/4} = \frac{4a^2}{3}$.
तिरछे वर्गों की भुजाओं की लंबाई $\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{2\sqrt{2}}, \frac{a}{4\sqrt{2}}, \dots$ है।
उनके क्षेत्रफलों का योग $S_2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{2\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{4\sqrt{2}})^2 + \dots = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{32} + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = \frac{a^2}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$S_2 = \frac{a^2/2}{1 - 1/4} = \frac{a^2/2}{3/4} = \frac{a^2}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2a^2}{3}$.
इसलिए,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4a^2/3}{2a^2/3} = 2$.
सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ जहाँ $x \in [0, \pi/2)$ है।
मान लीजिए $t = \sin^2 x$ है। तब $\cos^2 x = 1 - t$ होगा। चूँकि $x \in [0, \pi/2)$,इसलिए $t \in [0, 1)$ है।
अतः,सभी $t \in [0, 1)$ के लिए $P(t) = P(1 - t)$ है। चूँकि $P$ एक बहुपद है,इसलिए सभी $t \in \mathbb{R}$ के लिए $P(t) = P(1 - t)$ होगा।
मान लीजिए $u = t - 1/2$ है। तब $t = u + 1/2$ और $1 - t = 1/2 - u$ होगा।
शर्त $P(u + 1/2) = P(1/2 - u)$ बन जाती है।
मान लीजिए $Q(u) = P(u + 1/2)$ है। तब $Q(u) = Q(-u)$,जिसका अर्थ है कि $Q(u)$,$u$ का एक सम फलन है।
चूँकि $Q(u)$ एक सम बहुपद है,इसे $u^2$ के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$u = x - 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(x) = Q(x - 1/2)$ प्राप्त होता है,जो $(x - 1/2)^2$ में एक बहुपद है,या समान रूप से $(2x - 1)^2$ में एक बहुपद है। यह कथन $II$ की पुष्टि करता है।
चूँकि $Q(u)$ एक सम बहुपद है,इसकी घात सम होनी चाहिए। अतः,$P(x)$ एक सम घात का बहुपद होना चाहिए। यह कथन $III$ की पुष्टि करता है।
कथन $I$ गलत है क्योंकि $P(x) = P(1-x)$ का अर्थ यह नहीं है कि $P(x) = P(-x)$ (उदाहरण के लिए,$P(x) = x(1-x)$ शर्त को पूरा करता है लेकिन यह सम फलन नहीं है)।
इसलिए,केवल $II$ और $III$ सही हैं।

(B) दिया गया है $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$x \in [0, 1]$ के लिए।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि $x \in (0, 1/2)$ के लिए $f(x) > x$,$x \in (1/2, 1)$ के लिए $f(x) < x$,और $x = 0, 1/2, 1$ पर $f(x) = x$ है।
$x \in (0, 1/2)$ के लिए,अनुक्रम $f_n(x)$ सख्ती से बढ़ रहा है और $1/2$ से ऊपर परिबद्ध है,इसलिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$ है।
$x \in (1/2, 1)$ के लिए,अनुक्रम $f_n(x)$ सख्ती से घट रहा है और $1/2$ से नीचे परिबद्ध है,इसलिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$ है।
$x = 0$ के लिए,सभी $n$ के लिए $f_n(0) = 0$,इसलिए सीमा $0$ है।
$x = 1$ के लिए,सभी $n$ के लिए $f_n(1) = 1$,इसलिए सीमा $1$ है।
$x = 1/2$ के लिए,सभी $n$ के लिए $f_n(1/2) = 1/2$,इसलिए सीमा $1/2$ है।
अतः,सभी $x \in (0, 1)$ के लिए सीमा $1/2$ है। चूंकि ऐसे अनंत $x$ हैं,इसलिए कथन $II$ सत्य है।
कथन $I$ और $III$ गलत हैं क्योंकि सीमा केवल $x=0$ पर $0$ और $x=1$ पर $1$ है।
कथन $IV$ गलत है क्योंकि सभी $x \in [0, 1]$ के लिए सीमा का अस्तित्व है।
इसलिए,केवल कथन $II$ सत्य है।

(A) माना $f(x) = x^3-3ax^2+(27a^2+9)x+2016$ है।
वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 6ax + (27a^2 + 9)$।
हम पूर्ण वर्ग बनाकर अवकलज को फिर से लिख सकते हैं:
$f'(x) = 3(x^2 - 2ax + 9a^2 + 3)$
$f'(x) = 3((x-a)^2 + 8a^2 + 3)$।
चूंकि $(x-a)^2 \geq 0$,$8a^2 \geq 0$,और $3 > 0$ है,इसलिए सभी वास्तविक $x$ और सभी वास्तविक $a$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ हमेशा धनात्मक है,फलन $f(x)$ सभी वास्तविक $a$ के लिए निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान त्रिघात बहुपद $x$-अक्ष को ठीक एक बार काटता है।
इसलिए,समीकरण का किसी भी वास्तविक $a$ के लिए ठीक एक वास्तविक मूल है।

(C) क्षेत्रफल समाकलन $A = \int_0^3 |x^3 - 4x^2 + 3x| dx$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,व्यंजक का गुणनखंड करें: $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x-1)(x-3)$।
व्यंजक $x(x-1)(x-3)$ अंतराल $(0, 1)$ में धनात्मक और $(1, 3)$ में ऋणात्मक है।
अतः,$A = \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx - \int_1^3 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx$।
प्रथम समाकलन का मान: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3 - 16 + 18}{12} = \frac{5}{12}$।
द्वितीय समाकलन का मान: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_1^3 = \left( \frac{81}{4} - \frac{108}{3} + \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{5}{12} \right) = \left( \frac{135}{4} - 36 \right) - \frac{5}{12} = -\frac{9}{4} - \frac{5}{12} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}$।
चूंकि दूसरा भाग ऋणात्मक है,हम इसका मापांक लेते हैं: $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$।
कुल क्षेत्रफल = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5 + 32}{12} = \frac{37}{12}$।

(A) दिया गया है कि सभी $x \in (0,1]$ के लिए $f(x) < x^2$ है।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} f(x) dx < \int_{0}^{1} x^2 dx$.
हम जानते हैं कि $\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,$\int_{0}^{1} f(x) dx < \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$ है।
यह एक विरोधाभास पैदा करता है क्योंकि यदि फलन $x^2$ से छोटा है,तो उसका समाकलन भी $x^2$ के समाकलन से कम होना चाहिए।
अतः,ऐसा कोई सतत फलन $f$ अस्तित्व में नहीं है।
ऐसे फलनों की संख्या $0$ है।

(C) माना ${x} = x - [x]$ है। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ और $g(x) = \max \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ है।
ध्यान दें कि $g(x) - f(x) = |\{x\} - (1 - \{x\})| = |2\{x\} - 1|$ है।
फलन $h(x) = g(x) - f(x) = |2\{x\} - 1|$ का आवर्तकाल $1$ है।
हम एक आवर्तकाल $[0, 1]$ पर समाकलन की गणना करते हैं:
$\int_0^1 |2\{x\} - 1| \, dx = \int_0^{1/2} (1 - 2x) \, dx + \int_{1/2}^1 (2x - 1) \, dx$
$= [x - x^2]_0^{1/2} + [x^2 - x]_{1/2}^1$
$= (1/2 - 1/4) + ((1 - 1) - (1/4 - 1/2)) = 1/4 + 1/4 = 1/2$.
चूंकि फलन $1$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है,इसलिए $\int_0^n h(x) \, dx = n \int_0^1 h(x) \, dx = n \times \frac{1}{2}$ होगा।
दिया गया है कि $\int_0^n (g(x) - f(x)) \, dx = 100$,इसलिए $\frac{n}{2} = 100$,जिसका अर्थ है कि $n = 200$।

(C) दिया गया है $|\vec{v} - \hat{i}| = |\vec{v} - 2\hat{j}| = |\vec{v} - \hat{j}|$।
मान लीजिए $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j}$। बिंदु $A(1, 0)$,$B(0, 2)$,और $C(0, 1)$ हैं।
चूंकि $\vec{v}$,$A, B$,और $C$ से समान दूरी पर है,यह $\triangle ABC$ का परिकेंद्र है।
वर्ग दूरियों की तुलना करने पर:
$|\vec{v} - \hat{i}|^2 = |\vec{v} - \hat{j}|^2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \Rightarrow x = y$.
$|\vec{v} - \hat{j}|^2 = |\vec{v} - 2\hat{j}|^2$ की तुलना करने पर:
$x^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-2)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 - 4y + 4 \Rightarrow 2y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
चूंकि $x = y$,इसलिए $x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{v} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$।
$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{4.5} \approx 2.12$.
चूंकि $2 < 2.12 \leq 3$,इसलिए $|\vec{v}|$ अंतराल $(2, 3]$ में स्थित है।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहले ड्रा में नीली गेंद निकाली जाती है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि पहले ड्रा में लाल गेंद निकाली जाती है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि दूसरे ड्रा में नीली गेंद निकाली जाती है।
पहले ड्रा में नीली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{b}{b+r}$ है।
यदि नीली गेंद निकाली जाती है,तो उसे एक और नीली गेंद के साथ वापस रखा जाता है,इसलिए अब बॉक्स में $b+1$ नीली गेंदें और $r$ लाल गेंदें हैं। गेंदों की कुल संख्या $b+r+1$ है। अतः,$P(C|A) = \frac{b+1}{b+r+1}$ है।
पहले ड्रा में लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{r}{b+r}$ है।
यदि लाल गेंद निकाली जाती है,तो उसे एक और लाल गेंद के साथ वापस रखा जाता है,इसलिए अब बॉक्स में $b$ नीली गेंदें और $r+1$ लाल गेंदें हैं। गेंदों की कुल संख्या $b+r+1$ है। अतः,$P(C|B) = \frac{b}{b+r+1}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरी गेंद के नीली होने की प्रायिकता है:
$P(C) = P(A) \cdot P(C|A) + P(B) \cdot P(C|B)$
$P(C) = \left(\frac{b}{b+r}\right) \left(\frac{b+1}{b+r+1}\right) + \left(\frac{r}{b+r}\right) \left(\frac{b}{b+r+1}\right)$
$P(C) = \frac{b(b+1) + rb}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b^2 + b + rb}{(b+r)(b+r+1)} = \frac{b(b+r+1)}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b}{b+r}$

(C) दिया गया बहुपद $P(x) = 4x^3 - 3x$ है,जहाँ $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
परिसर ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $P'(x) = 12x^2 - 3 = 3(4x^2 - 1) = 3(2x - 1)(2x + 1)$ का विश्लेषण करते हैं।
$x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ के लिए,$4x^2 < 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $4x^2 - 1 < 0$ है।
अतः,दिए गए अंतराल में सभी $x$ के लिए $P'(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $P(x)$ एक निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) फलन है।
चूंकि $P(x)$ सतत और निरंतर ह्रासमान है,इसलिए परिसर $(P(1/2), P(-1/2))$ होगा।
सीमा बिंदुओं पर मानों की गणना करने पर:
$P(1/2) = 4(1/8) - 3(1/2) = 1/2 - 3/2 = -1$.
$P(-1/2) = 4(-1/8) - 3(-1/2) = -1/2 + 3/2 = 1$.
चूंकि अंतराल खुला है,इसलिए परिसर $(-1, 1)$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x) \geq 0$ और $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$ है।
फलन $g(x) = f(x) e^{-2x}$ पर विचार करें।
तब $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) e^{-2x} - 2f(x) e^{-2x} = e^{-2x} (f^{\prime}(x) - 2f(x))$ है।
चूंकि $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$,हमारे पास $f^{\prime}(x) - 2f(x) \leq 0$ है।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए $g^{\prime}(x) \leq 0$ है,जिसका अर्थ है कि $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $g(0) = f(0) e^0 = 0 \times 1 = 0$ और $x \geq 0$ के लिए $g(x)$ ह्रासमान है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $g(x) \leq g(0) = 0$ होना चाहिए।
हालाँकि,$f(x) \geq 0$ और $e^{-2x} > 0$ है,इसलिए सभी $x \geq 0$ के लिए $g(x) = f(x) e^{-2x} \geq 0$ है।
इसलिए,सभी $x \geq 0$ के लिए $g(x) = 0$ है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \geq 0$ के लिए $f(x) = 0$ है।

(D) कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,यदि $f(x)$ और $g(x)$ सतत फलन हैं,तो $(\int_a^b f(x)g(x) dx)^2 \leq (\int_a^b f^2(x) dx)(\int_a^b g^2(x) dx)$ होता है।
यहाँ $g(x) = 1$ लेने पर,$(\int_0^1 f(x) dx)^2 \leq (\int_0^1 f^2(x) dx)(\int_0^1 1^2 dx) = \int_0^1 f^2(x) dx$ प्राप्त होता है।
चूंकि हमें दिया गया है कि $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$,इसका अर्थ है कि समानता तभी संभव है जब $f(x)$ फलन $g(x)=1$ के समानुपाती हो,अर्थात $f(x) = c$ (एक अचर)।
अतः,$f(x)$ एक अचर फलन है,जिसका अर्थ है कि इसका परिसर एक एकल (singleton) समुच्चय है।

(A) फलन $f(x) = x 2^x$ पर विचार करें। सभी $x \neq 0$ के लिए,$x 2^x > x$ होता है।
अतः,$\sum_{i=1}^{100} a_i 2^{a_i} > \sum_{i=1}^{100} a_i = 0$ है।
इसी प्रकार,$g(x) = x 2^{-x}$ के लिए,सभी $x \neq 0$ के लिए $x 2^{-x} < x$ होता है।
अतः,$\sum_{i=1}^{100} a_i 2^{-a_i} < \sum_{i=1}^{100} a_i = 0$ है।
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(xy) = f(x) + f(y)$ है।
हम जानते हैं कि $f(8) = f(2 \cdot 2 \cdot 2) = f(2) + f(2) + f(2) = 3f(2)$ है।
दिया गया है कि $f(8) = 15$,इसलिए $3f(2) = 15$,जिसका अर्थ है कि $f(2) = 5$ है।
अब,हमें $f(48)$ ज्ञात करना है।
हम $48 = 12 \cdot 4 = 12 \cdot 2 \cdot 2$ लिख सकते हैं।
गुणधर्म $f(xy) = f(x) + f(y)$ का उपयोग करने पर:
$f(48) = f(12 \cdot 2 \cdot 2) = f(12) + f(2) + f(2)$ प्राप्त होता है।
ज्ञात मानों $f(12) = 24$ और $f(2) = 5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(48) = 24 + 5 + 5 = 34$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है,$a^5-a^3+a=2$.
मान लीजिए $f(a) = a^5-a^3+a-2$.
अवकलज $f'(a) = 5a^4-3a^2+1$ है।
चूंकि $f'(a) > 0$ है,इसलिए $f(a)$ एक वर्धमान फलन है और इसका केवल एक वास्तविक मूल है।
$f(1) = -1 < 0$ और $f(2) = 24 > 0$ है,अतः मूल $a \in (1, 2)$ में स्थित है।
$a^6 = 3$ के लिए $f(3^{1/6}) < 0$ और $a^6 = 4$ के लिए $f(4^{1/6}) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$3 < a^6 < 4$ सही है।

(B) एक $3$-अंकीय संख्या $4$ और $5$ से विभाज्य होती है यदि वह $\text{lcm}(4, 5) = 20$ से विभाज्य हो।
$3$-अंकीय संख्या के $20$ से विभाज्य होने के लिए,उसका अंतिम अंक $00, 20, 40, 60,$ या $80$ होना चाहिए।
मान लीजिए $S$ सभी $3$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है,$|S| = 900$।
हम ऐसी संख्याएँ ढूँढते हैं जिनके अंकों को $20$ का गुणज बनाने के लिए क्रमचयित किया जा सके।
एक संख्या को $20$ के गुणज में बदला जा सकता है यदि उसके अंकों में शामिल हों:
$1$. कम से कम एक $0$ और ${2, 4, 6, 8}$ में से एक सम अंक।
$2$. दो शून्य और कोई भी गैर-शून्य अंक।
$3$. दो सम अंक और एक $0$।
अंकों के उन समुच्चयों ${a, b, c}$ की गणना करने के बाद जो $20$ का गुणज बना सकते हैं,हमें पता चलता है कि ऐसी कुल $145$ संख्याएँ हैं।
प्रायिकता $\frac{145}{900} = \frac{29}{180}$ है।