KVPY 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए $r_n$ वृत्त $C_n$ की त्रिज्या है। दिया गया है $r_0 = 1$,इसलिए $\text{Area}(C_0) = \pi r_0^2 = \pi$.
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित वर्ग का विकर्ण उसके व्यास $2r$ के बराबर होता है। यदि वर्ग की भुजा $a$ है,तो $a^2 + a^2 = (2r)^2$,जिसका अर्थ है $2a^2 = 4r^2$,इसलिए $a^2 = 2r^2$.
$C_{n-1}$ में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल $2r_{n-1}^2$ है। परिभाषा के अनुसार,$\text{Area}(C_n) = \pi r_n^2 = 2r_{n-1}^2$.
अतः,$r_n^2 = \frac{2}{\pi} r_{n-1}^2$। यह क्षेत्रफलों $A_n = \text{Area}(C_n)$ के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $A_0 = \pi$ और सार्व अनुपात $k = \frac{2}{\pi}$ है।
क्षेत्रफलों का योग $\sum_{i=0}^{\infty} A_i = A_0 + A_0 k + A_0 k^2 + \dots = \frac{A_0}{1-k}$ है।
मान रखने पर: $\sum_{i=0}^{\infty} \text{Area}(C_i) = \frac{\pi}{1 - \frac{2}{\pi}} = \frac{\pi}{\frac{\pi-2}{\pi}} = \frac{\pi^2}{\pi-2}$।

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
$(a)$ $[x+y] \leq [x] + [y]$: मान लीजिए $x = 0.6, y = 0.5$। तब $[0.6+0.5] = [1.1] = 1$,जबकि $[0.6] + [0.5] = 0 + 0 = 0$। चूँकि $1 \not\leq 0$,यह गलत है।
$(b)$ $[xy] \leq [x][y]$: मान लीजिए $x = 1.5, y = 1.6$। तब $[1.5 \times 1.6] = [2.4] = 2$,जबकि $[1.5][1.6] = 1 \times 1 = 1$। चूँकि $2 \not\leq 1$,यह गलत है।
$(c)$ $[2^x] \leq 2^{[x]}$: मान लीजिए $x = 2.5$। तब $[2^{2.5}] = [4\sqrt{2}] \approx [5.65] = 5$,जबकि $2^{[2.5]} = 2^2 = 4$। चूँकि $5 \not\leq 4$,यह गलत है।
$(d)$ $[x/y] \leq [x]/[y]$: $x, y \geq 1$ के लिए,यदि $x < y$ है,तो $[x/y] = 0$,और चूँकि $[x] \geq 1$ और $[y] \geq 1$,इसलिए $[x]/[y] \geq 0$,अतः $0 \leq [x]/[y]$ सत्य है। यदि $x \geq y$ है,तो $x, y \geq 1$ के लिए $[x/y] \leq [x]/[y]$ गुणधर्म सत्य रहता है।

(C) हमारे पास $A_n = \max \left\{ \binom{n}{r} \mid 0 \leq r \leq n \right\}$ है।
स्थिति $I$: जब $n$ सम है,$A_n = \binom{n}{n/2}$।
अतः $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{\binom{n}{n/2}}{\binom{n-1}{(n-2)/2}} = 2$।
चूँकि $1.9 \leq 2 \leq 2$,$n$ के सभी सम मान शर्त को पूरा करते हैं। ऐसे $10$ मान हैं $(n = 2, 4, \ldots, 20)$।
स्थिति $II$: जब $n$ विषम है,$A_n = \binom{n}{(n-1)/2}$।
अतः $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{2n}{n+1}$।
शर्त $1.9 \leq \frac{2n}{n+1} \leq 2$ के लिए,$n \geq 19$ प्राप्त होता है।
$n \in \{1, 3, \ldots, 19\}$ में से,केवल $n = 19$ इस शर्त को पूरा करता है।
कुल मान $10 + 1 = 11$ हैं।

(B) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(r, \theta)$ हैं। कार्तीय निर्देशांक में,$P = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ है।
रेखा $OP$ मूलबिंदु से होकर गुजरती है और इसका समीकरण $y = x \tan \theta$ है।
रेखा $r \sin \theta = b$ कार्तीय निर्देशांक में $y = b$ के बराबर है।
मान लीजिए $Q$ रेखा $OP$ और रेखा $y = b$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
चूंकि $Q$,$y = b$ पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $b$ है। चूंकि $Q$,$OP$ पर स्थित है,इसलिए मूलबिंदु से इसकी ध्रुवीय दूरी $OQ$ समीकरण $OQ \sin \theta = b$ को संतुष्ट करती है,अतः $OQ = \frac{b}{\sin \theta}$ है।
$PQ = d$ दिया गया है,इसलिए दूरी $OP = OQ \pm d = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$ है।
अतः,$r = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$ है।
$\sin \theta$ से गुणा करने पर,हमें $r \sin \theta = b \pm d \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $(r \mp d) \sin \theta = b$ मिलता है।
चूंकि $d$ एक स्थिरांक है,इसलिए बिंदुपथ $(r \pm d) \sin \theta = b$ है।

(B) वृत्त $C$ का समीकरण $x^2+y^2=1$ है।
रेखा $L_t$,$(0,1)$ और $(t,0)$ से गुजरती है। इसका समीकरण $\frac{x}{t} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $y = 1 - \frac{x}{t}$ में सरल होता है।
वृत्त के समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $x^2 + (1 - \frac{x}{t})^2 = 1$.
$x^2 + 1 - \frac{2x}{t} + \frac{x^2}{t^2} = 1$.
$x^2(1 + \frac{1}{t^2}) = \frac{2x}{t}$.
$x^2(\frac{t^2+1}{t^2}) = \frac{2x}{t} \implies x = 0$ या $x = \frac{2t}{1+t^2}$.
बिंदु $(0,1)$,$x=0$ के अनुरूप है। दूसरे बिंदु $Q_t$ के लिए $x = \frac{2t}{1+t^2}$ है।
तब $y = 1 - \frac{2}{1+t^2} = \frac{t^2-1}{t^2+1}$.
मान लीजिए $t = \tan \theta$. तो $x = \sin 2\theta$ और $y = -\cos 2\theta$.
$t \in [1, 1+\sqrt{2}]$ के लिए,$\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}]$.
कोण $2\theta$,$\frac{\pi}{2}$ से $\frac{3\pi}{4}$ तक बदलता है।
मूल बिंदु पर अंतरित कोण: $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
दीर्घ अक्ष के सिरे $A'(-a, 0)$ और $A(a, 0)$ हैं।
नाभियाँ $S'(-ae, 0)$ और $S(ae, 0)$ हैं।
दिया गया है कि नाभियाँ और दीर्घ अक्ष के सिरे समान दूरी पर हैं,इसलिए $A'S'$,$S'S$,और $SA$ की लंबाई समान है।
$A'S' = S'S = SA = k$ (माना)।
दीर्घ अक्ष की कुल लंबाई $A'A = 2a$ है।
अतः,$k + k + k = 2a \implies 3k = 2a \implies k = \frac{2a}{3}$।
नाभियों के बीच की दूरी $S'S = 2ae = k = \frac{2a}{3}$ है।
इसलिए,$e = \frac{1}{3}$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$।
यहाँ $b = 2\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $b^2 = 8$।
$8 = a^2(1 - (\frac{1}{3})^2) = a^2(1 - \frac{1}{9}) = a^2(\frac{8}{9})$।
$8 = \frac{8a^2}{9} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$।
अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $3$ है।

(C) मान लीजिए $BC = 4x$ है। चूँकि $BX = 3XC$ और $BC = BX + XC$,इसलिए $BX = 3x$ और $XC = x$ है।
दिया है $AB = BC$,इसलिए $AB = 4x$ है।
चूँकि $F$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BF = AF = 2x$ है।
$\triangle BFX$ में,$\angle BFX = 90^\circ$ है। अतः,$\cos B = \frac{BF}{BX} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$ है।
$\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2(AB)(BC)}$
$\frac{2}{3} = \frac{(4x)^2 + (4x)^2 - AC^2}{2(4x)(4x)}$
$\frac{2}{3} = \frac{32x^2 - AC^2}{32x^2}$
$64x^2 = 3(32x^2 - AC^2)$
$64x^2 = 96x^2 - 3AC^2$
$3AC^2 = 32x^2$
$AC^2 = \frac{32x^2}{3}$
$AC = \sqrt{\frac{32}{3}}x = 4x \sqrt{\frac{2}{3}}$
अतः,$\frac{BC}{AC} = \frac{4x}{4x \sqrt{\frac{2}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^4 x + \frac{1}{\cos^2 x} = \sin^4 x + \frac{1}{\sin^2 x}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर: $(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,हमें प्राप्त होता है: $\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
अतः $(\cos^2 x - \sin^2 x) \left(1 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\right) = 0$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cos 2x \left(1 - \frac{4}{\sin^2 2x}\right) = 0$
इससे $\cos 2x = 0$ या $\sin^2 2x = 4$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sin^2 2x$ का मान $4$ नहीं हो सकता,इसलिए $\cos 2x = 0$ होगा।
अतः,$2x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = (2n+1)\frac{\pi}{4}$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ के लिए,हल $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इसलिए,कुल हलों की संख्या $4$ है।

(B) दिया गया है कि माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ है।
नई सूची के लिए,माध्य $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (y_1 + y_2 + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} (\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_1+x_2}{2} + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \mu$ है।
अब,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ और $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ पर विचार करें।
चूंकि $\hat{\mu} = \mu$ है,हम $\sum x_i^2$ और $\sum y_i^2$ की तुलना करते हैं।
$\sum x_i^2 - \sum y_i^2 = (x_1^2 + x_2^2) - (y_1^2 + y_2^2) = x_1^2 + x_2^2 - 2(\frac{x_1+x_2}{2})^2 = \frac{(x_1-x_2)^2}{2} \geq 0$ है।
अतः,$\sum x_i^2 \geq \sum y_i^2$,जिसका अर्थ है कि $\sigma^2 \geq \hat{\sigma}^2$,इसलिए $\sigma \geq \hat{\sigma}$ है।

(B) हमें $S = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 18\}$ दिया गया है।
हमें $(x, y) \in S$ के ऐसे युग्मों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $3x + 4y + 5 \equiv 0 \pmod{19}$ हो।
यह $3x + 4y \equiv 14 \pmod{19}$ के बराबर है।
प्रत्येक $x \in \{0, 1, \dots, 18\}$ के लिए,$4y \equiv 14 - 3x \pmod{19}$ होता है।
चूंकि $\gcd(4, 19) = 1$,प्रत्येक $x$ के लिए $y$ का एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है।
$4$ का $19$ के सापेक्ष प्रतिलोम $5$ है,इसलिए $y \equiv 5(14 - 3x) \equiv 13 + 4x \pmod{19}$।
$x$ के $19$ संभावित मानों के लिए,$y$ के भी $19$ संभावित मान प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $19$ युग्म संभव हैं।

(D) मान लीजिए $n = [a]$ है। तब $a = n + f$,जहाँ $0 < f < 1$ है।
हमें $[a^k] > [a]^k$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $[(n+f)^k] > n^k$।
द्विपद विस्तार द्वारा,$(n+f)^k = n^k + k n^{k-1} f + \binom{k}{2} n^{k-2} f^2 + \dots + f^k$।
शर्त $[a^k] > n^k$ के सत्य होने के लिए,$(n+f)^k \geq n^k + 1$ होना चाहिए।
विस्तार के पहले दो पदों का उपयोग करते हुए,$n^k + k n^{k-1} f > n^k$,जो दर्शाता है कि $k n^{k-1} f > 1$ है।
चूंकि $n \geq 1$,इसलिए $n^{k-1} \geq 1$,अतः $k f > 1$ इस असमिका के लिए एक आवश्यक शर्त है।
इस प्रकार,$k > \frac{1}{f} = \frac{1}{a-[a]}$।
सबसे छोटा ऐसा पूर्णांक $k$,$k \leq \frac{1}{a-[a]} + 1$ को संतुष्ट करता है।

(D) मान लीजिए $n = 5$ है। प्रत्येक तत्व $x \in X$ के लिए चार संभावनाएं हैं। कुल युग्म $4^5 = 1024$ हैं। समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) सिद्धांत का उपयोग करने पर,$d = 781$ प्राप्त होता है। अतः,$d > 201$ होने के कारण विकल्प $(D)$ सही है।

(A) बहुपद $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1 = 0$ के लिए,विएटा के सूत्रों के अनुसार मूलों का योग $S_\sigma = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$ होता है।
कुल योग $S$,$(1, 2, \ldots, n)$ के सभी $n!$ क्रमचयों पर $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ के मानों का योग है।
समरूपता द्वारा,किन्हीं दो भिन्न सूचकांकों $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ के लिए,उन क्रमचयों की संख्या जिनमें $a_n = i$ और $a_{n-1} = j$ है,$(n-2)!$ है।
अतः,$S = \sum_{\sigma} -\frac{a_{n-1}}{a_n} = -(n-2)! \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \frac{j}{i}$।
आंतरिक योग को $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} ((\sum_{k=1}^n k) - i) = \frac{n(n+1)}{2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} - n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $n \geq 3$,इसलिए $S < -n!$ सत्य है।

(C) हमारे पास व्यंजक $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k = (1+\omega)^n$ है।
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$ है।
अतः,घातांक $(-\omega^2)^n = (-1)^n \omega^{2n}$ है।
हमें $\left|e^{(-1)^n \omega^{2n}}\right|$ का मान ज्ञात करना है।
माना $z = (-1)^n \omega^{2n}$ है। तब $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$ होगा।
$n$ के विभिन्न मानों के लिए,वास्तविक भाग $\text{Re}(z)$ के मान $1, -1, 1/2, -1/2$ प्राप्त होते हैं।
इस प्रकार,संभावित मान $e^1, e^{-1}, e^{1/2}, e^{-1/2}$ हैं।
कुल $4$ संभावित मान हैं।

(B) परवलय का समीकरण $y=ax^2+bx+c$ है।
चूंकि शीर्ष $(2,-2)$ है और परवलय ऊपर की ओर खुलता है (क्योंकि इसके दो $x$-अंतःखंड हैं और शीर्ष $x$-अक्ष के नीचे है),इसलिए $a > 0$ है।
शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-\frac{b}{2a} = 2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $a > 0$ है,हमारे पास $-b = 4a$ है,जिसका अर्थ है $b = -4a$। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $b < 0$ होगा।
$y$-अंतःखंड $x=0$ पर है,जो $y=c$ है। ग्राफ से,$y$-अंतःखंड $x$-अक्ष के नीचे है,इसलिए $c < 0$ है।
अब,गुणनफल $bc$ पर विचार करें। चूंकि $b < 0$ और $c < 0$ है,इसलिए उनका गुणनफल $bc$ धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $bc > 0$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) $X$-अक्ष और रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ के बीच का कोण $2 \theta$ मानिए। रेखा की ढाल $m = \tan(2 \theta) = 2 \sqrt{2}$ है।
$\tan(2 \theta) = \frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = 2 \sqrt{2}$,जो सरल होकर $\sqrt{2} \tan^2 \theta + \tan \theta - \sqrt{2} = 0$ हो जाता है।
$\tan \theta$ के लिए हल करने पर,$(\sqrt{2} \tan \theta - 1)(\tan \theta + \sqrt{2}) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $\theta$ न्यूनकोण है,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
मान लीजिए $P$ दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $r_i$ त्रिज्या और $O_i$ केंद्र वाले किसी भी वृत्त $C_i$ के लिए,$P$ से $O_i$ की दूरी $d_i = \frac{r_i}{\sin \theta} = \sqrt{3} r_i$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों $O_i$ और $O_{i+1}$ के बीच की दूरी $r_i + r_{i+1}$ है। साथ ही,$d_{i+1} = d_i + r_i + r_{i+1}$।
$d_i = \sqrt{3} r_i$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{3} r_{i+1} = \sqrt{3} r_i + r_i + r_{i+1}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r_{i+1}(\sqrt{3}-1) = r_i(\sqrt{3}+1)$ हो जाता है।
इस प्रकार,$\frac{r_{i+1}}{r_i} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4+2 \sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$।
अतः,त्रिज्याएँ $2+\sqrt{3}$ सार्व अनुपात वाली एक गुणोत्तर श्रेणी बनाती हैं।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1$ है।
अर्धवृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण से $x^2 = a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2})$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2}) + y^2 = r^2$
इस समीकरण को हल करने और स्पर्श रेखा की शर्त $D=0$ लागू करने पर,हमें $b^2 = a^2(1 - \frac{a^2}{r^2})$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi a^2 \sqrt{1 - \frac{a^2}{r^2}}$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{da} = 0$ लेने पर,$a^2 = \frac{2r^2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $b^2 = \frac{2r^2}{9}$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2r^2/9}{2r^2/3}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(A) $(0,0)$ और $(a,b)$ से गुजरने वाली रेखा में $S$ का केवल एक अन्य बिंदु होता है यदि और केवल यदि $\gcd(a, b) = 1$ हो।
हम उन युग्मों $(a, b)$ की संख्या ज्ञात कर रहे हैं जहाँ $0 \leq a, b \leq 18$,$(a, b) \neq (0,0)$,और $\gcd(a, b) = 1$ हो।
दिए गए विकल्पों और समाधान पद्धति के अनुसार,सही उत्तर $34$ है।

(C) दिया गया है कि $r$ समीकरण $x^2+2x+6=0$ का एक मूल है,इसलिए $r^2+2r+6=0$,जिसका अर्थ है $r^2+2r = -6$.
हमें $(r+2)(r+3)(r+4)(r+5)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने पर:
$E = (r^2+5r+6)(r^2+9r+20)$
$r^2 = -2r-6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (-2r-6+5r+6)(-2r-6+9r+20)$
$E = (3r)(7r+14)$
$E = 21(r^2+2r)$
चूंकि $r^2+2r = -6$ है,इसलिए:
$E = 21 \times (-6) = -126$.

(A) दिया गया व्यंजक $S = \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।
सूत्रों $\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$ और $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6n(2n+1)}{n+1} = 12n - 6 + \frac{6}{n+1}$.
$S$ के पूर्णांक होने के लिए,$n+1$ को $6$ का भाजक होना चाहिए।
$6$ के भाजक $1, 2, 3, 6$ हैं।
अतः $n+1 \in \{1, 2, 3, 6\}$,जिससे $n \in \{0, 1, 2, 5\}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $n \in \{1, 2, 5\}$।
इन मानों का योग $1+2+5 = 8$ है।

(D) मान लीजिए $x = 10a + b$ और $y = 10b + a$,जहाँ $a$ और $b$ अंक हैं $(a, b \in \{1, 2, \dots, 9\})$।
दिया गया है $x^2 - y^2 = m^2$,अतः $(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = m^2$।
सर्वसमिका $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ का उपयोग करने पर,$(10a + b + 10b + a)(10a + b - 10b - a) = m^2$।
$(11a + 11b)(9a - 9b) = m^2$।
$99(a^2 - b^2) = m^2$।
$9 \times 11(a^2 - b^2) = m^2$।
इसे पूर्ण वर्ग होने के लिए,$(a^2 - b^2)$ को $11k^2$ के रूप में होना चाहिए। चूँकि $a, b$ अंक हैं,$a^2 - b^2$ अधिकतम $81$ हो सकता है। अतः,$a^2 - b^2 = 11 \times 1^2 = 11$।
$(a-b)(a+b) = 11$। चूँकि $11$ अभाज्य है,$a-b = 1$ और $a+b = 11$ होगा।
जोड़ने पर,$2a = 12 \Rightarrow a = 6$। अतः $b = 5$।
इस प्रकार,$x = 65$ और $y = 56$।
$m^2 = 65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56) = 9 \times 121 = 1089 = 33^2$,अतः $m = 33$।
$x + y + m = 65 + 56 + 33 = 154$।

(D) दिया गया है $p(x) = x^2 - 5x + a$ और $q(x) = x^2 - 3x + b$।
चूँकि $(x - 1)$ $\text{HCF}$ है,$p(1) = 0$ और $q(1) = 0$ होगा।
$p(1) = 1 - 5 + a = 0 \implies a = 4$।
$q(1) = 1 - 3 + b = 0 \implies b = 2$।
अतः,$p(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ और $q(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।
$k(x) = \text{LCM}(p(x), q(x)) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$।
हमें $(x - 1) + k(x) = 0$ के मूलों का योग ज्ञात करना है।
$(x - 1) + (x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0$।
$(x - 1)[1 + (x - 2)(x - 4)] = 0$।
$(x - 1)[1 + x^2 - 6x + 8] = 0$।
$(x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0$।
$(x - 1)(x - 3)^2 = 0$।
मूल $1, 3, 3$ हैं।
मूलों का योग $1 + 3 + 3 = 7$ है।

(C) दिया है: चतुर्भुज $ABCD$ में,$\angle DAB = \angle ABC = 60^{\circ}$ और $\angle CAB = \angle CBD$ है।
रचना: $AD$ और $BC$ को बिंदु $E$ पर मिलने के लिए आगे बढ़ाएं ताकि $\triangle AEB$ एक समबाहु त्रिभुज बन जाए।
चूंकि $\triangle AEB$ समबाहु है,$AB = BE = AE$ है।
$\triangle BED$ और $\triangle ABC$ में:
$\angle E = 60^{\circ}$ (क्योंकि $\triangle AEB$ समबाहु है)।
$\angle ABC = 60^{\circ}$ (दिया है)।
अतः,$\angle E = \angle ABC$ है।
साथ ही,$\angle DBE = \angle CAB$ (दिया है)।
इसलिए,$AA$ समरूपता द्वारा,$\triangle BED \sim \triangle ABC$ है।
समरूपता से,हमें संगत भुजाओं का अनुपात मिलता है:
$\frac{BE}{AB} = \frac{ED}{BC} = \frac{BD}{AC}$ है।
चूंकि $AB = BE$ है,अनुपात $\frac{BE}{AB} = 1$ है।
इसलिए,$\frac{ED}{BC} = 1$,जिसका अर्थ है कि $ED = BC$ है।
रचना से,$AE = AD + ED$ है।
चूंकि $AE = AB$ और $ED = BC$ है,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$AB = AD + BC$ प्राप्त होता है।

(B) छोटे अर्धवृत्त का व्यास $1$ इकाई है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = \frac{1}{2}$ इकाई है। इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{8}$ है।
बड़े अर्धवृत्त का व्यास $2$ इकाई है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = 1$ इकाई है। $1$ इकाई लंबाई की जीवा $AB$ बड़े अर्धवृत्त के केंद्र $O$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज $OAB$ बनाती है,जहाँ $OA = OB = AB = 1$ है। अतः,$\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
बड़े वृत्त के वृत्तखंड $AEB$ का क्षेत्रफल,त्रिज्यखंड $OAB$ के क्षेत्रफल में से समबाहु त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है।
त्रिज्यखंड $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{6}$ है।
समबाहु त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} (\text{भुजा})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।
वृत्तखंड $AEB$ का क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ है।
ल्यून का क्षेत्रफल छोटे अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में से बड़े अर्धवृत्त के वृत्तखंड $AEB$ का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है:
ल्यून का क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{8} - (\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{24}$।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,कोण समद्विभाजकों $BD$ और $CE$ को अंतःकेंद्र $I$ द्वारा क्रमशः $3:2$ और $2:1$ के अनुपात में विभाजित किया जाता है।
$\frac{BI}{ID} = \frac{3}{2}$ और $\frac{CI}{IE} = \frac{2}{1}$.
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ के अंतःकेंद्र $I$ के लिए,जहाँ भुजाएँ $a, b, c$ क्रमशः शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख हैं,कोण समद्विभाजकों का विभाजन इस प्रकार होता है:
$\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a}$,$\frac{BI}{ID} = \frac{a+c}{b}$,और $\frac{CI}{IE} = \frac{a+b}{c}$.
दिया गया है $\frac{a+c}{b} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2a + 2c = 3b \quad \dots(i)$
दिया गया है $\frac{a+b}{c} = \frac{2}{1} \Rightarrow a + b = 2c \quad \dots(ii)$
$(ii)$ से,$c = \frac{a+b}{2}$. इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a + 2(\frac{a+b}{2}) = 3b$
$2a + a + b = 3b$
$3a = 2b \Rightarrow b = \frac{3}{2}a$
अब,$b = \frac{3}{2}a$ को $(ii)$ में रखने पर:
$a + \frac{3}{2}a = 2c$
$\frac{5}{2}a = 2c \Rightarrow c = \frac{5}{4}a$
अंत में,अनुपात $\frac{AI}{IF} = \frac{b+c}{a} = \frac{\frac{3}{2}a + \frac{5}{4}a}{a} = \frac{6+5}{4} = \frac{11}{4}$.
अतः,अनुपात $11:4$ है।

(C) मान लीजिए $R$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $AB$ पर एक बिंदु है और $S$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $CD$ पर एक बिंदु है। तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $PQ$,$AB$ को $R$ पर और $CD$ को $S$ पर काटती है।
बिंदु $R$ से,वृत्त $S_2$ की स्पर्श रेखाएँ $RA$ और $RQ$ हैं। चूँकि वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए $RA = RQ$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $S$ से,वृत्त $S_2$ की स्पर्श रेखाएँ $SP$ और $SD$ हैं। अतः,$SP = SD$ है।
साथ ही,बिंदु $R$ से,वृत्त $S_1$ की स्पर्श रेखाएँ $RA$ और $RP$ हैं। अतः,$RA = RP$ है।
बिंदु $S$ से,वृत्त $S_1$ की स्पर्श रेखाएँ $SC$ और $SP$ हैं। अतः,$SC = SP$ है।
हम जानते हैं कि $AB$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई है। चूँकि $R$,$AB$ पर स्थित है,$AB = AR + RB$ है। चूँकि $RA = RQ$ है,इसलिए $AB = RQ + RB$ प्राप्त होता है।
तिर्यक स्पर्श रेखा खंड $RS$ के लिए,दो सीधी स्पर्श रेखाओं के बीच तिर्यक स्पर्श रेखा खंड की लंबाई सीधी स्पर्श रेखा खंड $AB$ (या $CD$) की लंबाई के बराबर होती है।
अतः,$RS = AB = 10$।

(B) दिया गया है कि $OA = OB = OF$ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। $BC$ बिंदु $B$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा है,इसलिए $\angle OBC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle OAB$ में,हमारे पास $OA = OB = AB$ है,इसलिए $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$\angle AOB = 60^{\circ}$ और $\angle OAB = 60^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ में,$AB = BC$ है। चूंकि $\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ}$ है,और $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AB = BC$ है,आधार कोण $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 150^{\circ}) / 2 = 15^{\circ}$ हैं।
अब,$\triangle OAC$ पर विचार करें। $\triangle OAB$ में,$\angle OAB = 60^{\circ}$ है। $\triangle ABC$ में,$\angle BAC = 15^{\circ}$ है। इसलिए,$\angle OAC = \angle OAB + \angle BAC = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है।
चूंकि $OA = OF$ है,$\triangle OAF$ समद्विबाहु है,इसलिए $\angle OFA = \angle OAF = 75^{\circ}$ है।
तब $\angle AOF = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ}) = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle AOB = 60^{\circ}$ है,हमारे पास $\angle BOF = \angle AOB - \angle AOF = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$\triangle OBC$ में,$\angle BOC = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \angle OCB) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 15^{\circ}) = 45^{\circ}$ है।
इसलिए,अनुपात $\frac{\angle BOF}{\angle BOC} = \frac{30^{\circ}}{45^{\circ}} = \frac{2}{3}$ है।

(D) मान लीजिए कि कुल सीटों की संख्या $x$ है।
प्रति सीट टिकट की कीमत $= ₹ 200$ है।
पहले दिन,$60 \%$ सीटें भरी थीं,इसलिए दर्शकों की संख्या $= 0.6x$ है।
पहले दिन का कुल राजस्व $= 0.6x \times 200 = 120x$ है।
दूसरे दिन,कीमत में $20 \%$ की कमी की गई,इसलिए नई कीमत $= 200 - (0.20 \times 200) = ₹ 160$ है।
दर्शकों की संख्या में $50 \%$ की वृद्धि हुई,इसलिए दर्शकों की नई संख्या $= 0.6x + (0.50 \times 0.6x) = 0.6x + 0.3x = 0.9x$ है।
दूसरे दिन का कुल राजस्व $= 0.9x \times 160 = 144x$ है।
राजस्व में प्रतिशत वृद्धि $= \frac{144x - 120x}{120x} \times 100 = \frac{24x}{120x} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$ है।

(B) मान लीजिए वर्ष $n$ में जनसंख्या $P_n$ है। समस्या के अनुसार,$P_{n+2} - P_n = k P_{n+1}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दी गई जनसंख्या:
$P_{2010} = 39$
$P_{2011} = 60$
$P_{2013} = 123$
मान लीजिए $P_{2012} = x$ है।
$n = 2010$ के लिए:
$P_{2012} - P_{2010} = k P_{2011}$ $\Rightarrow x - 39 = k(60)$ $\Rightarrow k = \frac{x - 39}{60} \quad (i)$
$n = 2011$ के लिए:
$P_{2013} - P_{2011} = k P_{2012}$ $\Rightarrow 123 - 60 = k(x)$ $\Rightarrow 63 = kx$ $\Rightarrow k = \frac{63}{x} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{x - 39}{60} = \frac{63}{x}$
$x^2 - 39x - 3780 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{39 \pm 129}{2}$
चूंकि जनसंख्या धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $x = 84$।
अतः,वर्ष $2012$ में जनसंख्या $84$ थी।

(C) $6$-अंकीय संख्या $ababab$ रूप की है।
$ababab = 10^5 a + 10^4 b + 10^3 a + 10^2 b + 10a + b$
$= 10101(10a + b)$
$= (3 \times 7 \times 13 \times 37)(10a + b)$
संख्या के ठीक $6$ भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होने के लिए,$(10a + b)$ को $2$ भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होना चाहिए और वे अभाज्य संख्याएँ $\{3, 7, 13, 37\}$ में नहीं होनी चाहिए।
ऐसी संभावनाओं की जाँच करने पर कुल $13$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

(C) मान लीजिए घरों की संख्या $x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10, \dots$ है,जहाँ $x$ पहले घर की संख्या है।
चूँकि $a$ छठा घर है,$a = x + 10$,जिसका अर्थ है $x = a - 10$.
घर की संख्याएँ धनात्मक सम पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $x \geq 2$,यानी $a - 10 \geq 2 \Rightarrow a \geq 12$.
$n$ घरों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2x + (n-1)2] = n(x + n - 1) = 170$ है।
$x = a - 10$ प्रतिस्थापित करने पर,$n(a - 10 + n - 1) = 170$,या $n(a + n - 11) = 170$.
चूँकि $n \geq 6$,$170$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर $(1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170)$।
यदि $n=10$ है,तो $10(a + 10 - 11) = 170$ $\Rightarrow a - 1 = 17$ $\Rightarrow a = 18$.
चूँकि $a \geq 12$,$18$ को समाहित करने वाली सीमा $14 \leq a \leq 20$ है।

(B) दिया गया है $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$.
दोनों पक्षों को $7! = 5040$ से गुणा करने पर:
$3600 = 2520 a_2 + 840 a_3 + 210 a_4 + 42 a_5 + 7 a_6 + a_7$.
$a_j$ के मान ज्ञात करने पर:
$a_2 = 1, a_3 = 1, a_4 = 1, a_5 = 0, a_6 = 4, a_7 = 2$.
योग $= 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9$.

(B) दिया गया है $a+b+c=0$।
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$।
अतः,$q + 2(ab+bc+ca) = 0$,जिसका अर्थ है $ab+bc+ca = -\frac{q}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(ab+bc+ca)^2 = \frac{q^2}{4}$।
साथ ही,$(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 2abc(a+b+c) = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 0 = \frac{q^2}{4}$।
अब,$q^2 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ पर विचार करें।
$r = a^4+b^4+c^4$ और $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = \frac{q^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$q^2 = r + 2(\frac{q^2}{4}) = r + \frac{q^2}{2}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$q^2 - \frac{q^2}{2} = r$,जो सरल होकर $\frac{q^2}{2} = r$ या $q^2 = 2r$ हो जाता है।

(C) दिए गए समीकरण:
$x+y=a$ $(1)$
$\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को सरल करने पर,$(a-2)(xy - (a-2)) = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $a=2$ है,तो अनंत हल प्राप्त होते हैं।
यदि $a \neq 2$ है,तो $xy = a-2$ प्राप्त होता है। $x$ और $y$ समीकरण $t^2 - at + (a-2) = 0$ के मूल हैं।
विविक्तकर $D = a^2 - 4a + 8 = (a-2)^2 + 4 > 0$ है,इसलिए प्रत्येक $a$ के लिए दो वास्तविक हल मिलते हैं।
अतः,$a=2$ को छोड़कर सभी $2013$ पूर्णांकों के लिए सीमित हल प्राप्त होते हैं।

(A) दिया है,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle A = 90^{\circ}$ है।
$AC = \sqrt{5}$,$AB = \sqrt{7}$।
$\triangle ABC$ में,$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 7 + 5 = 12$,अतः $BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
माना $PA = 3x$ और $PB = 4x$ है। $\triangle ABP$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) से:
$PA^2 = AB^2 + PB^2 - 2(AB)(PB)\cos B$
$(3x)^2 = (\sqrt{7})^2 + (4x)^2 - 2(\sqrt{7})(4x)\cos B$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7}\cos B$
चूँकि $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$,इसलिए:
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7} \left(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\right)$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}}$
$7x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}} + 7 = 0$
$\sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$
$(x - \sqrt{3})(\sqrt{3}x - 1) = 0$
चूँकि $P$,$BC$ पर स्थित है,$PB < BC$,अतः $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$PB = 4x = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
$PC = BC - PB = 2\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः,$BP:PC = \frac{4}{\sqrt{3}} : \frac{2}{\sqrt{3}} = 2:1$।

(D) दिया गया समीकरण: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c = 29$.
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $(abc) + (ab) + (bc) + (ca) + a + b + c + 1 = 30$.
यह व्यंजक इस प्रकार गुणनखंडित होता है: $(a+1)(b+1)(c+1) = 30$.
चूंकि $abc$ एक $3$-अंकीय संख्या है,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
अतः,$(a+1) \in \{2, 3, \dots, 10\}$ और $(b+1), (c+1) \in \{1, 2, \dots, 10\}$.
हमें $(a+1, b+1, c+1)$ के ऐसे त्रिक ज्ञात करने हैं जिनका गुणनफल $30$ हो।
$30$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 3 \times 5$ है।
संभावित विकल्प:
$1) (2, 3, 5) \rightarrow 3! = 6$ क्रमचय।
$2) (1, 3, 10) \rightarrow 3! = 6$ क्रमचय।
$3) (1, 5, 6) \rightarrow 3! = 6$ क्रमचय।
कुल हल = $6 + 6 + 6 = 18$।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{x+5}{x-2}, & x \neq 2 \\ 1, & x=2 \end{cases}$।
सबसे पहले,$f(x)$,$x=2$ पर असंतत है। इसलिए,$f(f(x))$,$x=2$ पर असंतत है।
इसके बाद,हम उन बिंदुओं को ज्ञात करते हैं जहाँ $f(f(x))$ असंतत हो सकता है,उन बिंदुओं पर विचार करके जहाँ $f(x)$ असंतत है या जहाँ $f(x)$ का मान $2$ है (क्योंकि $f(x)$,$2$ पर असंतत है)।
$x \neq 2$ के लिए,$f(x) = \frac{x+5}{x-2}$ है।
असंततता के अन्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हम $f(x) = 2$ रखते हैं:
$\frac{x+5}{x-2} = 2$
$x+5 = 2(x-2)$
$x+5 = 2x-4$
$x = 9$।
इस प्रकार,$f(f(x))$,$x=2$ और $x=9$ पर असंतत है।
अतः,$f(f(x))$,$x$ के ठीक दो मानों पर असंतत है।

(D) दिया गया है $f(x) = [x] \sin(\pi x)$।
$1$. अवकलनीयता: $f(x)$ एक स्टेप फंक्शन और त्रिकोणमितीय फलन का गुणनफल है। यह सभी पूर्णांकों $n \in \mathbb{Z}$ (सिवाय $n=0$) पर असतत है। चूंकि अवकलनीयता के लिए निरंतरता आवश्यक है,इसलिए $f(x)$,$\mathbb{R}$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. सममिति: $f(-x) = [-x] \sin(-\pi x) = -[-x] \sin(\pi x)$। चूंकि $x \notin \mathbb{Z}$ के लिए $[-x] = -[x] - 1$,इसलिए $f(-x) = ([x] + 1) \sin(\pi x) \neq f(x)$। अतः,यह $x=0$ के सापेक्ष सममित नहीं है।
$3$. समाकलन: $\int_{-3}^{3} [x] \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} \int_{k}^{k+1} k \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} k \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{k}^{k+1} = \sum_{k=-3}^{2} \frac{k}{\pi} ((-1)^k - (-1)^{k+1}) = \sum_{k=-3}^{2} \frac{2k(-1)^k}{\pi} = \frac{2}{\pi} [3 - 2 + 1 - 0 - 1 + 2] = \frac{6}{\pi} \neq 0$।
$4$. मूल: किसी भी $\alpha$ के लिए,फलन $f(x)$ उन मानों के बीच दोलन करता है जो $[x]$ द्वारा निर्धारित होते हैं। चूंकि $\sin(\pi x)$ आवर्ती है और $[x]$ पूर्णांक मान लेता है,इसलिए फलन $f(x)$ अनंत बार $\alpha$ मान प्राप्त करेगा। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) एक फलन $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \\ h(x), & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ उन बिंदुओं पर सतत होता है जहाँ $g(x) = h(x)$ होता है।
यहाँ,$g(x) = \tan^2 x$ और $h(x) = \sin x$ है।
हमें $[0, \pi]$ में ऐसे बिंदु $x$ खोजने हैं जहाँ $\tan^2 x = \sin x$ हो।
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin x$
$\sin^2 x = \sin x \cos^2 x = \sin x (1 - \sin^2 x)$
$\sin^2 x = \sin x - \sin^3 x \implies \sin^3 x + \sin^2 x - \sin x = 0$
$\sin x (\sin^2 x + \sin x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi$।
स्थिति $2$: $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$। मान लीजिए $u = \sin x$। $u^2 + u - 1 = 0 \implies u = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूँकि $u = \sin x \in [0, 1]$,हम $u = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ लेते हैं।
इससे $[0, \pi]$ में $x$ के दो मान प्राप्त होते हैं: $x_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ और $x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$।
कुल बिंदु $0, \pi, x_1, x_2$ हैं,अर्थात कुल $4$ बिंदु हैं।

(D) दिया गया है कि $f(x) \geq 0$ और $\int_0^1 f(x) dx = 10$ है।
विकल्प $A$ के लिए: चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $0 < e^{-x} \leq 1$,इसलिए $\int_0^1 e^{-x} f(x) dx \leq \int_0^1 1 \cdot f(x) dx = 10$ है। यह सत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: चूंकि $f(x) \geq 0$ और $(1+x)^2 > 0$,इसलिए समाकलन $\int_0^1 -\frac{f(x)}{(1+x)^2} dx \leq 0$ है। चूंकि $0 \leq 10$,यह सत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: चूंकि $|\sin(100x)| \leq 1$,इसलिए $|\int_0^1 \sin(100x) f(x) dx| \leq \int_0^1 |\sin(100x)| f(x) dx \leq \int_0^1 f(x) dx = 10$ है। अतः,$-10 \leq \int_0^1 \sin(100x) f(x) dx \leq 10$ है। यह सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए: यदि हम ऐसा फलन लें जो एक छोटे अंतराल में बहुत बड़ा हो,तो $f(x)^2$ का समाकलन स्वेच्छ रूप से बड़ा हो सकता है। उदाहरण के लिए,$f(x) = 10(n+1)x^n$ लेने पर,$\int_0^1 f(x)^2 dx = 100 \frac{(n+1)^2}{2n+1}$ प्राप्त होता है,जो $n \to \infty$ होने पर $\infty$ की ओर जाता है। अतः,यह कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके और $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 1 + f(x)$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $f'(x) - f(x) = 1$.
समाकलन गुणक $e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक से गुणा करने पर: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x}$.
$e^{-x} f(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.
$f(x) = -1 + C e^x$.
चूंकि $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) \, dt = 0$,इसलिए $0 = -1 + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$.
अतः,$f(x) = e^x - 1$.
अब,$f(x) + f(y) + f(x)f(y) = (e^x - 1) + (e^y - 1) + (e^x - 1)(e^y - 1)$ पर विचार करें।
$= e^x - 1 + e^y - 1 + e^{x+y} - e^x - e^y + 1$.
$= e^{x+y} - 1 = f(x+y)$.
इसलिए,$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$।

(B) माना $I = \int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$.
चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} \cos(2 \pi k (x-k)) dx$.
$k=0$ के लिए,समाकलन $\int_0^1 \cos(0) dx = \int_0^1 1 dx = 1$ है।
$k \geq 1$ के लिए,$u = x-k$ रखने पर,$du = dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $\int_0^1 \cos(2 \pi k u) du$ बन जाता है।
इसका मान $\left[ \frac{\sin(2 \pi k u)}{2 \pi k} \right]_0^1 = \frac{\sin(2 \pi k) - \sin(0)}{2 \pi k} = \frac{0-0}{2 \pi k} = 0$ है।
अतः,$I = 1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1$।

(B) माना $X_n$ पासे का $n$-वां परिणाम है। $A$ $n=1, 3, 5, \dots$ पर और $B$ $n=2, 4, 6, \dots$ पर पासा फेंकता है।
$B$ तब जीतता है यदि:
$1. X_2 \neq X_1$ (प्रायिकता = $\frac{5}{6}$)
$2. X_2 = X_1, X_3 = X_2$ और $X_4 \neq X_3$ (प्रायिकता = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}$)
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{5}{6}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{36}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{5/6}{1 - 1/36} = \frac{6}{7}$.

(C) माना नियमित चतुष्फलक की भुजा की लंबाई $a$ है।
माना $G$ नियमित चतुष्फलक का केंद्र (केंद्रक) है और $A, B, C$ शीर्ष हैं।
$a$ भुजा वाले नियमित चतुष्फलक के केंद्र $G$ से किसी भी शीर्ष की दूरी $R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ होती है।
केंद्र $G$ और $a$ लंबाई की एक कोर के दो शीर्षों $A$ और $B$ द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें।
$\triangle GAB$ में,भुजाएँ $GA = GB = R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$ और $AB = a$ हैं।
कोण $\theta = \angle AGB$ के लिए $\triangle GAB$ में कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{GA^2 + GB^2 - AB^2}{2 \cdot GA \cdot GB}$
$\cos \theta = \frac{(\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 + (\frac{\sqrt{6}}{4}a)^2 - a^2}{2 \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a) \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4}a)}$
$\cos \theta = \frac{\frac{6}{16}a^2 + \frac{6}{16}a^2 - a^2}{2 \cdot \frac{6}{16}a^2}$
$\cos \theta = \frac{\frac{12}{16}a^2 - a^2}{\frac{12}{16}a^2} = \frac{\frac{3}{4}a^2 - a^2}{\frac{3}{4}a^2}$
$\cos \theta = \frac{-\frac{1}{4}a^2}{\frac{3}{4}a^2} = -\frac{1}{3}$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$।

(C) माना $f(x) = 3x^3 - 25x + n$.
त्रिघात समीकरण के तीन वास्तविक मूल होने के लिए,स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मानों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
$f'(x) = 9x^2 - 25$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$x^2 = \frac{25}{9}$,अतः $x = \pm \frac{5}{3}$.
$x_1 = -\frac{5}{3}$ और $x_2 = \frac{5}{3}$ लेने पर.
$f(x_1) = n + \frac{250}{9}$ और $f(x_2) = n - \frac{250}{9}$.
तीन वास्तविक मूलों के लिए,$f(x_1) \cdot f(x_2) < 0$,अतः $(n + \frac{250}{9})(n - \frac{250}{9}) < 0$.
इसका अर्थ है $-\frac{250}{9} < n < \frac{250}{9}$.
चूंकि $\frac{250}{9} \approx 27.77$,इसलिए $n$ का मान $-27$ से $27$ तक है।
ऐसे पूर्णांकों की कुल संख्या $27 - (-27) + 1 = 55$ है।

(A) हमारे पास $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$I_n = [x^n \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} n x^{n-1} \sin x \, dx$.
$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n \int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int_0^{\pi / 2} x^{n-1} \sin x \, dx = [x^{n-1} (-\cos x)]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} (n-1) x^{n-2} (-\cos x) \, dx = 0 + (n-1) I_{n-2}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$I_n = (\frac{\pi}{2})^n - n(n-1) I_{n-2}$.
अतः,$I_n + n(n-1) I_{n-2} = (\frac{\pi}{2})^n$.
$n!$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} = \frac{(\pi/2)^n}{n!}$ प्राप्त होता है।
$n=2$ से $\infty$ तक योग करने पर,$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!} = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\pi/2)^n}{n!}) - \frac{(\pi/2)^0}{0!} - \frac{(\pi/2)^1}{1!} = e^{\pi / 2} - 1 - \frac{\pi}{2}$.

(B) माना $I = \int_{1}^{n} [x][\sqrt{x}] \, dx$.
हम समाकलन को $[k, k+1)$ अंतरालों में विभाजित करके हल करते हैं जहाँ $[x]$ स्थिर है।
$x \in [k, k+1)$ के लिए,$[x] = k$.
अतः,$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} k [\sqrt{x}] \, dx$.
प्रत्येक अंतराल के लिए मानों की गणना करने पर:
$k=1, x \in [1, 2)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{1}^{2} 1 \cdot 1 \, dx = 1$.
$k=2, x \in [2, 3)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{2}^{3} 2 \cdot 1 \, dx = 2$.
$k=3, x \in [3, 4)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 1 \implies \int_{3}^{4} 3 \cdot 1 \, dx = 3$.
$k=4, x \in [4, 5)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{4}^{5} 4 \cdot 2 \, dx = 8$.
$k=5, x \in [5, 6)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{5}^{6} 5 \cdot 2 \, dx = 10$.
$k=6, x \in [6, 7)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{6}^{7} 6 \cdot 2 \, dx = 12$.
$k=7, x \in [7, 8)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{7}^{8} 7 \cdot 2 \, dx = 14$.
$k=8, x \in [8, 9)$ के लिए,$[\sqrt{x}] = 2 \implies \int_{8}^{9} 8 \cdot 2 \, dx = 16$.
इन मानों का योग करने पर: $1 + 2 + 3 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 66$.
चूँकि $66 > 60$,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $n = 9$ है।

(D) माना $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ और प्रारंभिक दिन $d \in \{1, 2, \ldots, 7\}$ है।
$n$ लगातार दिनों में रविवारों की संख्या $S(n, d)$ और सोमवारों की संख्या $M(n, d)$ है।
हमें $S(n, d) \neq M(n, d)$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
किसी भी $n$ के लिए,$n = 7q + r$ लिखा जा सकता है,जहाँ $0 \leq r < 7$ है।
$7q$ दिनों के किसी भी क्रम में,रविवार और सोमवार की संख्या समान $(q)$ होती है।
अतः,$S(n, d) \neq M(n, d)$ तभी होता है जब $S(r, d) \neq M(r, d)$ हो।
प्रत्येक $r \in \{1, 2, \ldots, 6\}$ के लिए,$7$ में से $2$ प्रारंभिक दिन ऐसे होते हैं जिनमें रविवार और सोमवार की संख्या भिन्न होती है।
अतः,जब $n$,$7$ का गुणज नहीं है,तो प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।
जब $n$,$7$ का गुणज है,तो प्रायिकता $0$ है।
$1$ से $100$ के बीच $7$ के $14$ गुणज हैं।
कुल प्रायिकता $= \frac{86}{100} \times \frac{2}{7} + \frac{14}{100} \times 0 = \frac{43}{175}$.

(C) दिया गया समीकरण $f(x) + (x + \frac{1}{2}) f(1 - x) = 1$ है $(i)$
$(i)$ में $x$ को $1 - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(1 - x) + (1 - x + \frac{1}{2}) f(x) = 1$
$f(1 - x) + (\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$ $(ii)$
$(ii)$ से,$f(1 - x) = 1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)$.
इस मान को $(i)$ में रखने पर:
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) [1 - (\frac{3}{2} - x) f(x)] = 1$
$f(x) + (x + \frac{1}{2}) - (x + \frac{1}{2})(\frac{3}{2} - x) f(x) = 1$
$f(x) [1 - (\frac{3}{2}x - x^2 + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}x)] = 1 - (x + \frac{1}{2})$
$f(x) [1 - (-x^2 + x + \frac{3}{4})] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) [x^2 - x + \frac{1}{4}] = \frac{1}{2} - x$
$f(x) (x - \frac{1}{2})^2 = - (x - \frac{1}{2})$
$x \neq \frac{1}{2}$ के लिए,$f(x) = \frac{-(x - \frac{1}{2})}{(x - \frac{1}{2})^2} = \frac{-1}{x - \frac{1}{2}} = \frac{2}{1 - 2x}$.
अब,$f(0) = \frac{2}{1 - 0} = 2$ और $f(1) = \frac{2}{1 - 2} = -2$.
अतः,$2 f(0) + 3 f(1) = 2(2) + 3(-2) = 4 - 6 = -2$.

(A) माना $S = \sum \limits_{n=0}^{1947} f(n)$ जहाँ $f(n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}}$ है।
योग में पदों की संख्या $1947 - 0 + 1 = 1948$ है।
पदों के योग $f(n) + f(1947-n)$ पर विचार करें:
$f(n) + f(1947-n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{2^{1947-n} + \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{\frac{2^{1947}}{2^n} + \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{2^{1947} + 2^n \sqrt{2^{1947}}}$
$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{\sqrt{2^{1947}}(\sqrt{2^{1947}} + 2^n)}$
$= \frac{\sqrt{2^{1947}} + 2^n}{\sqrt{2^{1947}}(2^n + \sqrt{2^{1947}})} = \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}}$
चूंकि इसमें $1948$ पद हैं,हम उन्हें $1948/2 = 974$ जोड़ों में विभाजित कर सकते हैं।
अतः,$S = 974 \times \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}} = \frac{974}{2^{1947/2}} = \frac{2 \times 487}{2^{1947/2}} = \frac{487}{2^{1947/2 - 1}} = \frac{487}{2^{1945/2}} = \frac{487}{\sqrt{2^{1945}}}$
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।