KVPY 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $a, b, c$ अक्षरों का उपयोग करके चार अक्षरों वाला शब्द बनाने के लिए जिसमें तीनों अक्षर आएं,हमें एक अक्षर को दो बार चुनना होगा और बाकी दो अक्षरों को एक-एक बार।
चरण $1$: $\{a, b, c\}$ से दोहराए जाने वाले अक्षर को चुनने के तरीके $^3C_1 = 3$ हैं।
चरण $2$: चार अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
चरण $3$: कुल शब्दों की संख्या $3 \times 12 = 36$ है।

(B) दिया गया त्रिकोणमितीय संबंध:
$(\frac{1}{3} \sin \theta + \frac{2}{3} \cos \theta)^2 = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$\frac{1}{9} \sin^2 \theta + \frac{4}{9} \cos^2 \theta + \frac{4}{9} \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
$9$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 3 \sin^2 \theta + 6 \cos^2 \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 0$
$\sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1$
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,$\tan \theta = 1$ का अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$A \cap [0, \pi] = \{\frac{\pi}{4}\}$,जिसमें केवल एक बिंदु है।

(A) मान लीजिए वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $2a$ है। केंद्र $C$ को मूल बिंदु $(0,0)$ पर और $AB$ को $X$-अक्ष पर रखें। तब $B = (2a, 0)$,$A = (-2a, 0)$,$C = (0, 0)$,और $D = (-a, 0)$ है।
चूंकि $E$,$C_1$ पर है और $EC \perp AB$ है,$E$ के निर्देशांक $(0, 2a)$ हैं।
चूंकि $F$,$C_2$ पर है (व्यास $AC$,केंद्र $D(-a, 0)$,त्रिज्या $a$) और $DF \perp AB$ है,$F$ के निर्देशांक $(-a, -a)$ हैं।
हमें $\sin \angle FEC$ ज्ञात करना है। मान लीजिए $\angle FEC = \theta$ है।
सदिश $\vec{EC} = C - E = (0, 0) - (0, 2a) = (0, -2a)$ है।
सदिश $\vec{EF} = F - E = (-a, -a) - (0, 2a) = (-a, -3a)$ है।
$\vec{EC}$ और $\vec{EF}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{EC} \cdot \vec{EF}}{|\vec{EC}| |\vec{EF}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{EC} \cdot \vec{EF} = (0)(-a) + (-2a)(-3a) = 6a^2$ है।
$|\vec{EC}| = \sqrt{0^2 + (-2a)^2} = 2a$ है।
$|\vec{EF}| = \sqrt{(-a)^2 + (-3a)^2} = \sqrt{a^2 + 9a^2} = a\sqrt{10}$ है।
$\cos \theta = \frac{6a^2}{(2a)(a\sqrt{10})} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ है।
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ है।

(B) समुच्चय $S = \{(x, y) : |x| + 2|y| = 1\}$ कार्तीय समतल में एक समचतुर्भुज को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0), (-1, 0), (0, 1/2)$ और $(0, -1/2)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र वाला सबसे छोटा वृत्त जिसका $S$ के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है,वह इस समचतुर्भुज के भीतर स्थित अंतःवृत्त है।
इस अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से समचतुर्भुज की किसी भी भुजा की लंबवत दूरी है।
प्रथम चतुर्थांश में स्थित भुजा पर विचार करें,जो रेखा $x + 2y = 1$ या $x + 2y - 1 = 0$ द्वारा दी गई है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $r = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$A = 1, B = 2, C = -1$ और $(x_0, y_0) = (0, 0)$ रखने पर:
$r = \frac{|1(0) + 2(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin(9x) + \sin(3x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(6x) \cos(3x) = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin(6x) = 0$ या $\cos(3x) = 0$ है।
स्थिति $1$: $\sin(6x) = 0$ $\Rightarrow 6x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{6}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$n$ का मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ हो सकता है।
कुल $13$ मान प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $\cos(3x) = 0$ $\Rightarrow 3x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = (2k+1)\frac{\pi}{6}$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
ये मान पहले से ही स्थिति $1$ में शामिल हैं।
अतः,कुल हलों की संख्या $13$ है।

(C) माना समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = 10$ और $d_2 = 4$ हैं। विकर्णों के बीच का कोण $\theta$ है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \times \sin \theta = 20 \sin \theta$ है।
क्षेत्रफल अधिकतम तब होता है जब $\sin \theta = 1$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{2}$।
जब विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो वह समचतुर्भुज होता है।
समचतुर्भुज की भुजा $s = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}$ है।
परिमाप $P = 4s = 4\sqrt{29}$ है।
चूंकि $\sqrt{29} \approx 5.385$,इसलिए $P \approx 21.54$,जो $(21, 22]$ अंतराल में स्थित है।

(C) माना $\frac{2a-1}{b} = \alpha$ और $\frac{2b-1}{a} = \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
चूँकि $a, b \ge 1$,इसलिए $2a-1 \ge 1$ और $2b-1 \ge 1$,अतः $\alpha, \beta \ge 1$.
समीकरणों से,$2a-1 = \alpha b$ और $2b-1 = \beta a$.
दूसरे समीकरण में $b = \frac{2a-1}{\alpha}$ रखने पर: $2(\frac{2a-1}{\alpha}) - 1 = \beta a$.
$4a - 2 - \alpha = \alpha \beta a$,जिसका अर्थ है $a(4 - \alpha \beta) = \alpha + 2$.
चूँकि $a > 0$ और $\alpha + 2 > 0$,इसलिए $4 - \alpha \beta > 0$ होना चाहिए,अतः $\alpha \beta < 4$.
संभावित युग्म $(\alpha, \beta)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$.
स्थिति $1$: $(\alpha, \beta) = (1, 1) \implies 3a = 3 \implies a = 1$. अतः $b = 1$. युग्म: $(1, 1)$.
स्थिति $2$: $(\alpha, \beta) = (1, 2) \implies 2a = 3$,कोई पूर्णांक हल नहीं।
स्थिति $3$: $(\alpha, \beta) = (1, 3) \implies a = 3$. अतः $b = 5$. युग्म: $(3, 5)$.
स्थिति $4$: $(\alpha, \beta) = (2, 1) \implies 2a = 4 \implies a = 2$. अतः $b = 1.5$,जो पूर्णांक नहीं है।
स्थिति $5$: $(\alpha, \beta) = (3, 1) \implies a = 5$. अतः $b = 3$. युग्म: $(5, 3)$.
अतः,कुल $3$ क्रमित युग्म हैं।

(C) दिया गया है कि $z$ और $w$ इकाई वृत्त पर सम्मिश्र संख्याएँ हैं,इसलिए $|z|=1$ और $|w|=1$ है।
इसका अर्थ है $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ और $w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w}$।
दिया गया है $z^2+w^2=1$।
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें $\bar{z}^2+\bar{w}^2=1$ प्राप्त होता है।
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ और $\bar{w}=\frac{1}{w}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{w^2}=1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{z^2+w^2}{z^2w^2}=1$ हो जाता है।
चूंकि $z^2+w^2=1$ है,इसलिए $\frac{1}{z^2w^2}=1$,अतः $z^2w^2=1$,जिसका अर्थ है $(zw)^2=1$,यानी $zw=1$ या $zw=-1$।
स्थिति $1$: $zw=1$। तब $w=\frac{1}{z}$। $z^2+w^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$z^2+\frac{1}{z^2}=1 \Rightarrow z^4-z^2+1=0$ प्राप्त होता है। यह $z^2$ में एक द्विघात समीकरण है,जो $z^2 = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ देता है। इस प्रकार $z$ के $4$ मान प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $zw=-1$। तब $w=-\frac{1}{z}$। $z^2+w^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$z^2+\frac{1}{z^2}=1$ प्राप्त होता है,जो स्थिति $1$ के समान है। यह भी $z$ के $4$ मान देता है।
कुल क्रमित युग्मों $(z, w)$ की संख्या $4+4=8$ है।

(A) $26$ अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले चार अक्षरों वाले कुल शब्दों की संख्या $26^4 = 456976$ है।
केवल $V$ (स्वर) के अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $5^4 = 625$ है।
केवल $C$ (व्यंजन) के अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या $21^4 = 194481$ है।
कम से कम एक स्वर और कम से कम एक व्यंजन वाले शब्दों की संख्या कुल शब्दों में से केवल स्वरों वाले शब्दों और केवल व्यंजनों वाले शब्दों को घटाकर प्राप्त की जाती है।
शब्दों की संख्या $= 26^4 - 5^4 - 21^4$
$= 456976 - 625 - 194481$
$= 261870$.

(A) दिया गया समीकरण: $(1+a^2)(1+b^2) = 4ab$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $1 + b^2 + a^2 + a^2b^2 = 4ab$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 - 2ab + 1 = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a-b)^2 + (ab-1)^2 = 0$
चूंकि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं,वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$(a-b)^2 = 0 \implies a = b$
$(ab-1)^2 = 0 \implies ab = 1$
$b=a$ को $ab=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 1$ या $a = -1$।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $a > 0$ और $a \neq 1$ है। अतः,दी गई शर्तों के तहत $b$ का कोई मान नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करे।
इसलिए,समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(B) माना व्यास $AB = x$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए $\angle ACB = 90^\circ$ और $\angle ADB = 90^\circ$ है।
$\triangle ACB$ में,$BC = \sqrt{x^2 - 1}$।
$\triangle ADB$ में,$AD = \sqrt{x^2 - 9}$।
चक्रीय चतुर्भुज $ACDB$ पर टॉलेमी प्रमेय लागू करने पर:
$AB \cdot CD + AC \cdot DB = AD \cdot BC$
$x(2) + (1)(3) = \sqrt{x^2 - 9} \cdot \sqrt{x^2 - 1}$
$2x + 3 = \sqrt{(x^2 - 9)(x^2 - 1)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2x + 3)^2 = (x^2 - 9)(x^2 - 1)$
$4x^2 + 12x + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$
$x^4 - 14x^2 - 12x = 0$
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $x^3 - 14x - 12 = 0$ है।
माना $f(x) = x^3 - 14x - 12$ है।
$f(4) = -4$ है।
$f(4.1) = -0.479$ है।
$f(4.2) = 3.288$ है।
चूंकि $f(4.1) < 0$ और $f(4.2) > 0$ है,इसलिए मूल $[4.1, 4.2)$ अंतराल में स्थित है।

(A) मान लीजिए $\angle CAD = \theta_2$ और $\angle BAD = \theta_1$ है। हमें $\cot \theta_2 : \cot \theta_1 = 2 : 1$ दिया गया है,इसलिए $\cot \theta_2 = 2 \cot \theta_1$ है।
$\triangle ADC$ और $\triangle ADB$ में कोटि-ज्या नियम का उपयोग करने पर,जहाँ $AD$ एक उभयनिष्ठ भुजा है और $BD = DC = a/2$ है:
$\cot \theta_2 = \frac{AD^2 + b^2 - a^2/4}{2 \cdot \text{Area}(\triangle ADC)}$
चूंकि $\text{Area}(\triangle ADC) = \text{Area}(\triangle ADB)$ है,इसलिए $\cot \theta_2 = 2 \cot \theta_1$ की शर्त यह दर्शाती है:
$AD^2 + b^2 - a^2/4 = 2(AD^2 + c^2 - a^2/4)$
$AD^2 = b^2 - 2c^2 + a^2/4$
अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AD^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$10c^2 = 2b^2 + 2a^2 \Rightarrow b^2 + a^2 = 5c^2$ प्राप्त होता है।
$\triangle BGA$ में,कोसाइन नियम के अनुसार:
$\cos(\angle BGA) = \frac{AG^2 + BG^2 - AB^2}{2 \cdot AG \cdot BG} = 0$ है।
अतः,$\angle BGA = 90^{\circ}$।

(B) दिया गया है $f(x) = x^6 - 2x^5 + x^3 + x^2 - x - 1$ और $g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1$।
$f(x)$ को $g(x)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = (x^2 - x)g(x) + (2x^2 - 2x - 1)$।
चूंकि $a, b, c, d$,$g(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $g(a) = g(b) = g(c) = g(d) = 0$।
अतः,$f(a) = 2a^2 - 2a - 1$,$f(b) = 2b^2 - 2b - 1$,$f(c) = 2c^2 - 2c - 1$,और $f(d) = 2d^2 - 2d - 1$।
इनका योग करने पर,$\sum f(a) = 2\sum a^2 - 2\sum a - 4$।
$g(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1 = 0$ के लिए,विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\sum a = 1$ और $\sum ab = -1$।
हम जानते हैं कि $\sum a^2 = (\sum a)^2 - 2\sum ab = (1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\sum f(a) = 2(3) - 2(1) - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$।

(D) दिया गया समीकरण $\sin(\pi \sin^2 \theta) + \sin(\pi \cos^2 \theta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$ है।
सर्वसमिका $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{\pi(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)}{2}) \cos(\frac{\pi(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ और $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos 2\theta$,हमारे पास है:
$2 \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2} \cos 2\theta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
चूँकि $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ और $\cos(-x) = \cos x$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:
$\cos(\frac{\pi}{2} \cos 2\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$.
इसका अर्थ है $\frac{\pi}{2} \cos 2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{2} \cos \theta$,अतः $n \in Z$ के लिए $\cos 2\theta = 4n \pm \cos \theta$.
स्थिति $I$: $\cos 2\theta - \cos \theta = 4n$. $n=0$ के लिए,$2\cos^2 \theta - 1 - \cos \theta = 0$,अतः $(2\cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) = 0$. इस प्रकार $\cos \theta = 1$ या $\cos \theta = -1/2$. $[0, 2\pi]$ में हल $\theta = 0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3$ हैं।
स्थिति $II$: $\cos 2\theta + \cos \theta = 4n$. $n=0$ के लिए,$2\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$,अतः $(2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$. इस प्रकार $\cos \theta = 1/2$ या $\cos \theta = -1$. $[0, 2\pi]$ में हल $\theta = \pi, \pi/3, 5\pi/3$ हैं।
कुल हल ${0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3, \pi, \pi/3, 5\pi/3}$ हैं,जो कुल $7$ हल हैं।

(C) भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज $ABC$ के लिए,मान लीजिए $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है और $r$ अंतःवृत्त की त्रिज्या है।
एक समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin 60^{\circ}} = \frac{a}{2(\sqrt{3}/2)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2 \tan 60^{\circ}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})} = \frac{a}{\sqrt{3}} \times \frac{2\sqrt{3}}{a} = 2$.
चूंकि अनुपात $2$ है,जो $a$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह स्थिर रहता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + bx + \frac{1}{b} = 0$ है,जिसके दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,इसलिए विविक्तकर $D > 0$ होगा।
$D = b^2 - 4(2)(\frac{1}{b}) > 0$
$b^2 - \frac{8}{b} > 0 \Rightarrow \frac{b^3 - 8}{b} > 0$
गुणनखंड $b^3 - 8 = (b - 2)(b^2 + 2b + 4)$ का उपयोग करते हुए,और यह देखते हुए कि $b^2 + 2b + 4 = (b + 1)^2 + 3 > 0$ सभी वास्तविक $b$ के लिए है,असमिका सरल होकर निम्न हो जाती है:
$\frac{b - 2}{b} > 0$
यह तब सत्य है जब $b \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ हो।
अब,विकल्प $(c)$ की जाँच करें:
$b^2 - 3b > -2 \Rightarrow b^2 - 3b + 2 > 0$
$(b - 2)(b - 1) > 0$
यह तब सत्य है जब $b \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ हो।
चूँकि $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$,$(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ का उपसमुच्चय है,इसलिए मूल द्विघात समीकरण की शर्त को पूरा करने वाले सभी $b$ के लिए $b^2 - 3b > -2$ शर्त संतुष्ट होती है।

(B) दिया गया है कि $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $r_1$ और $r_2$ हैं। अतः,$p(x) = (x - r_1)(x - r_2)$.
तब $g(x) = p(x^3) = (x^3 - r_1)(x^3 - r_2)$.
किसी भी वास्तविक $r$ के लिए $x^3 - r = 0$ का ठीक एक वास्तविक मूल होता है,इसलिए $g(x)$ के मूल $x = \sqrt[3]{r_1}$ और $x = \sqrt[3]{r_2}$ हैं।
चूंकि $r_1 \neq r_2$,इसलिए $\sqrt[3]{r_1} \neq \sqrt[3]{r_2}$ है। अतः,$g(x)$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। कथन $I$ सत्य है और $II$ असत्य है।
कथन $III$ के लिए,$g(x) = (x^3)^2 + a(x^3) + b = x^6 + ax^3 + b$. जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to \infty$. चूंकि $g(x)$ सम घात $(6)$ का एक सतत बहुपद है,इसका एक वैश्विक न्यूनतम मान होगा। अतः,एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है। कथन $III$ सत्य है।
इसलिए,$I$ और $III$ दोनों सत्य हैं।

(A) प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 4$ वाली समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)4] = \frac{n}{2}[4 + 4n - 4] = 2n^2$.
प्रथम $n$ पदों का औसत $M_n = \frac{S_n}{n} = \frac{2n^2}{n} = 2n$ है।
हमें $\sum_{n=1}^{10} M_n = \sum_{n=1}^{10} 2n$ की गणना करनी है।
$= 2 \sum_{n=1}^{10} n = 2 \times \frac{10(11)}{2} = 110$.

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\angle BAC = 90^{\circ}$ और $AD$,$A$ से $BC$ पर लंब है।
चूंकि $AB = 15$ और $BC = 25$,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकाला जा सकता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$.
साथ ही,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 25 \times AD$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} \times 25 \times AD = 150 \implies AD = \frac{300}{25} = 12$.
चतुर्भुज $AEDF$ में,$\angle FAE = 90^{\circ}$,$\angle AFD = 90^{\circ}$,और $\angle AED = 90^{\circ}$ है। अतः,$AEDF$ एक आयत है।
आयत में,विकर्ण बराबर होते हैं। इसलिए,$EF = AD$.
चूंकि $AD = 12$,इसलिए $EF$ की लंबाई $12$ है।

(B) त्रिभुज की भुजाओं के लिए दिए गए संबंध हैं:
$c^2 = 2ab$ $(i)$
$a^2 + c^2 = 3b^2$ $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 + 2ab = 3b^2$
$a^2 + 2ab - 3b^2 = 0$
$(a + 3b)(a - b) = 0$
चूँकि $a$ और $b$ भुजा की लंबाई हैं,$a, b > 0$,इसलिए $a = b$.
$a = b$ को $(i)$ में रखने पर:
$c^2 = 2(b)(b) = 2b^2$
$c = \sqrt{2}b$
अब,हमारे पास भुजाएँ $a = b$,$b = b$,और $c = \sqrt{2}b$ हैं।
चूँकि $a^2 + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2 = c^2$,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण $C$ पर है (अर्थात $\angle C = 90^{\circ}$)।
चूँकि $a = b$,यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle A = \angle B = 45^{\circ}$।
$\angle BAC$ का माप $45^{\circ}$ है।

(A) मान लीजिए संख्या $N$ है। जब $N$ के बाद एक गैर-शून्य अंक $c$ जोड़ा जाता है,तो नई संख्या $10N + c$ होती है।
यह दिया गया है कि $10N + c$ सभी $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए $c$ से विभाज्य है।
इसका अर्थ है कि $10N$ को सभी $c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसलिए,$10N$ को अंकों $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ का गुणज होना चाहिए।
$LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
अतः,$10N$ को $2520$ का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $N$ को $252$ का गुणज होना चाहिए।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $N = 252$ है।
$N$ के अंकों का योग $2 + 5 + 2 = 9$ है।

(C) मान लीजिए कि $11$ भिन्न धनात्मक पूर्णांक बढ़ते क्रम में हैं: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9 < x_{10} < x_{11}$.
इन $11$ पूर्णांकों की माध्यिका $x_6$ है।
शेष $10$ पूर्णांक $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ हैं।
इन $10$ पूर्णांकों की माध्यिका $m = \frac{x_5 + x_6}{2}$ है।
चूंकि $x_5 < x_6$,इसलिए $x_5 < \frac{x_5 + x_6}{2} < x_6$,अर्थात $x_5 < m < x_6$.
सबसे बड़े पूर्णांक $x_{11}$ को $m$ से बदलने पर,नए $11$ पूर्णांकों का बढ़ता क्रम $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, m, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ होगा।
नई माध्यिका $6^{th}$ पद है,जो $m$ है।
चूंकि $m < x_6$,इसलिए माध्यिका घटती है।

(D) एक दो अंकों की संख्या $\overline{ab}$ ऑलमोस्ट प्राइम है यदि इसे अधिकतम एक अंक बदलकर अभाज्य संख्या में बदला जा सके।
कुल $90$ दो अंकों की संख्याएँ हैं ($10$ से $99$ तक)।
प्रत्येक अभाज्य संख्या स्वयं ऑलमोस्ट प्राइम है।
जाँच करने पर पता चलता है कि सभी $90$ दो अंकों की संख्याएँ इस शर्त को पूरा करती हैं।
अतः,कुल संख्या $90$ है।

(C) मान लीजिए $P$ एक उत्तल चतुर्भुज $ABCD$ का एक आंतरिक बिंदु है और $K, L, M, N$ क्रमशः $AB, BC, CD, DA$ के मध्य-बिंदु हैं।
त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को इस प्रकार मानिए:
$\text{Area}(\triangle AKP) = \text{Area}(\triangle BKP) = x$
$\text{Area}(\triangle BLP) = \text{Area}(\triangle CLP) = y$
$\text{Area}(\triangle CPM) = \text{Area}(\triangle DPM) = z$
$\text{Area}(\triangle DNP) = \text{Area}(\triangle ANP) = w$
दिया गया है:
$\text{Area}(PKAN) = x + w = 25$
$\text{Area}(PLBK) = x + y = 36$
$\text{Area}(PMDN) = z + w = 41$
हमें $\text{Area}(PLCM) = y + z$ ज्ञात करना है।
समीकरणों से:
$(x + y) + (z + w) = 36 + 41 = 77$
$(x + w) + (y + z) = 77$
$25 + (y + z) = 77$
$y + z = 77 - 25 = 52$
अतः,$\text{Area}(PLCM) = 52$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$6x + 4y + z = 200$ $(i)$
$x + y + z = 100$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$5x + 3y = 100$
चूंकि $x$ और $y$ अ-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए $y = \frac{5(20 - x)}{3}$.
$y$ को पूर्णांक होने के लिए,$(20 - x)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $20 - x = 3k$,जहाँ $k \ge 0$.
$k$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
इस प्रकार,कुल $7$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है कि $N_2 = 165 = 3 \times 5 \times 11$ और $N_1 = 2^{55} + 1$ है।
हम जानते हैं कि यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो $x^n + y^n$,$x + y$ से विभाज्य होता है।
चूंकि $55$ विषम है,$N_1 = 2^{55} + 1^{55}$,$2 + 1 = 3$ से विभाज्य है।
साथ ही,$N_1 = (2^5)^{11} + 1^{11} = 32^{11} + 1^{11}$,जो $32 + 1 = 33$ से विभाज्य है।
चूंकि $33 = 3 \times 11$,$N_1$,$3$ और $11$ दोनों से विभाज्य है।
$N_2 = 165 = 5 \times 33$ है।
अतः,$N_1$ और $N_2$ का $HCF$ $33$ है।

(A) वृत्त $C$ की परिधि $l$ दी गई है,इसलिए $2 \pi r = l$,जिसका अर्थ है $r = \frac{l}{2 \pi}$।
अतः,वृत्त $C$ का क्षेत्रफल $A_C = \pi r^2 = \frac{l^2}{4 \pi}$ है।
$l$ परिमाप वाले त्रिभुज $T$ के लिए,एक बहुत ही पतला त्रिभुज चुनकर क्षेत्रफल $A_T$ को शून्य के करीब लाया जा सकता है।
दिए गए $l$ के लिए $A_C$ निश्चित है और $A_T$ को शून्य के करीब लाया जा सकता है,इसलिए अनुपात $\frac{A_C}{A_T}$ को मनमाने ढंग से बड़ा बनाया जा सकता है।
इसलिए,किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $\alpha$ के लिए,हम $T$ को इस प्रकार चुन सकते हैं कि $\frac{\operatorname{Area}(C)}{\operatorname{Area}(T)} > \alpha$ हो।

(B) माना तीन अंकों की संख्या $\overline{abc}$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
$b$ और $c$ का समांतर माध्य $\frac{b+c}{2}$ है।
$b$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{bc}$ है। गुणोत्तर माध्य का वर्ग $bc$ है।
दिया गया है कि $\frac{b+c}{2} = bc$,जिसका अर्थ है $b+c = 2bc$.
स्थिति $1$: यदि $b=0$ है,तो $c=0$ होगा। $a$,$1$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए ऐसी $9$ संख्याएँ हैं $(100, 200, \dots, 900)$।
स्थिति $2$: यदि $b, c \neq 0$ है,तो $\frac{1}{c} + \frac{1}{b} = 2$ होगा। $b, c \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए,एकमात्र समाधान $b=1$ और $c=1$ है।
$a$,$1$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए ऐसी $9$ संख्याएँ हैं $(111, 211, \dots, 911)$।
ऐसी कुल तीन अंकों की संख्याएँ = $9 + 9 = 18$।

(C) दिया गया है कि $a, b$ समीकरण $x^2-5cx-6d=0$ के मूल हैं,अतः:
$a+b=5c$ $(1)$
$ab=-6d$ $(2)$
दिया गया है कि $c, d$ समीकरण $x^2-5ax-6b=0$ के मूल हैं,अतः:
$c+d=5a$ $(3)$
$cd=-6b$ $(4)$
$(1)$ में से $(3)$ घटाने पर:
$(a+b)-(c+d) = 5c-5a$
$(a-c)+(b-d) = -5(a-c)$
$b-d = 6(c-a)$ $(5)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(a+b)+(c+d) = 5c+5a$
$b+d = 4(a+c)$ $(6)$
$(2)$ और $(4)$ से,$ab-cd = -6d+6b = 6(b-d)$.
$(5)$ का मान रखने पर: $ab-cd = 36(c-a)$.
साथ ही,$ab-cd = c^2-a^2 = (c-a)(c+a)$.
चूंकि $a, b, c, d$ भिन्न हैं,$c-a \neq 0$,इसलिए $c+a = 36$.
$(6)$ में मान रखने पर: $b+d = 4(36) = 144$.

(A) द्विघात समीकरण $4x^2+bx+c=0$ के मूल समान होते हैं यदि इसका विविक्तकर $D = b^2 - 4(4)(c) = 0$ हो।
इसका अर्थ है $b^2 = 16c$,या $b^2 = (4\sqrt{c})^2$,जिसका अर्थ है $b = 4\sqrt{c}$।
चूंकि $b$ एक पूर्णांक होना चाहिए और $b \in S$,इसलिए $c$ को एक पूर्ण वर्ग संख्या होनी चाहिए ताकि $4\sqrt{c} \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ हो।
मान लीजिए $c = k^2$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। तो $b = 4k$।
चूंकि $1 \le b \le 100$,हमारे पास $1 \le 4k \le 100$ है,जिसका अर्थ है $1 \le k \le 25$।
साथ ही,$c = k^2$ को $S$ में होना चाहिए,इसलिए $1 \le k^2 \le 100$,जिसका अर्थ है $1 \le k \le 10$।
अतः,$k$ के लिए संभावित मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हैं।
ऐसी $10$ युग्म $(b, c)$ संभव हैं।
$S$ से $b$ और $c$ चुनने के कुल तरीके $100 \times 100 = 10000$ हैं।
प्रायिकता $\frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} = 0.001$ है।

(B) दिया गया है कि $p = p_1 + p_2 = p_3 - p_4$ जहाँ $p, p_1, p_2, p_3, p_4$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
स्थिति $I$: यदि $p_1, p_2, p_3, p_4$ सभी विषम हैं,तो $p_1 + p_2$ सम होगा,जिसका अर्थ है कि $p$ सम है। चूँकि $p$ अभाज्य है,$p = 2$ होगा। लेकिन $p_1 + p_2 = 2$ अभाज्य संख्याओं के लिए संभव नहीं है।
स्थिति $II$: $p_1, p_2$ में से कम से कम एक $2$ होना चाहिए। मान लीजिए $p_2 = 2$ है। तो $p = p_1 + 2$। चूँकि $p$ और $p_1$ अभाज्य हैं,$p_1$ विषम होना चाहिए। यदि $p_1$ विषम है,तो $p$ भी विषम होगा।
$p = p_3 - p_4$ से,$p_3 = p + p_4$। चूँकि $p$ विषम है,$p_3$ के अभाज्य होने के लिए $p_4 = 2$ होना आवश्यक है।
इस प्रकार,$p = p_1 + 2$ और $p = p_3 - 2$,जिसका अर्थ है $p_3 = p + 2$ और $p_1 = p - 2$।
हमें $p-2, p, p+2$ तीनों को अभाज्य होना चाहिए। इस प्रकार की एकमात्र अभाज्य त्रयी $(3, 5, 7)$ है।
अतः,$p = 5$ एकमात्र समाधान है।
विशेष अभाज्य संख्याओं की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$AB=BC$ और $\frac{AX}{XB} = \frac{AB}{AX} = k$ है।
चूंकि $AB = AX + XB$,हमारे पास $\frac{AB}{AX} = \frac{AX+XB}{AX} = 1 + \frac{XB}{AX} = 1 + \frac{1}{k}$ है।
अतः,$k = 1 + \frac{1}{k} \Rightarrow k^2 - k - 1 = 0$।
चूंकि $k > 0$,$k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$।
तब $\frac{AX}{AB} = \frac{1}{k} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$।
मान लीजिए $\angle ABC = \theta$। चूंकि $AB=BC$,$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ}-\theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$।
$\triangle AXC$ में,$AC=AX$,इसलिए $\angle AXC = \angle ACX = \angle BCA = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$।
तब $\angle XAC = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) = \theta$।
चूंकि $\angle BAC = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$,हमारे पास $\angle BAX = \angle BAC - \angle XAC = (90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) - \theta = 90^{\circ} - \frac{3\theta}{2}$ है।
$\triangle BAX$ में,ज्या नियम (Law of Sines) द्वारा: $\frac{AX}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin(90^{\circ}-\frac{\theta}{2})}$।
$\frac{AX}{AB} = \frac{\sin \theta}{\cos(\theta/2)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} = 2\sin(\theta/2)$।
$\frac{AX}{AB}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $2\sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow \sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \sin 18^{\circ}$।
इसलिए,$\frac{\theta}{2} = 18^{\circ} \Rightarrow \theta = 36^{\circ}$।

(B) दिए गए वक्र:
$x(y-e^x)=\sin x \implies y = \frac{\sin x}{x} + e^x$
$2xy = 2\sin x + x^3 \implies y = \frac{\sin x}{x} + \frac{x^2}{2}$
$x \in [1, 2]$ के लिए,$e^x > \frac{x^2}{2}$,अतः क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{1}^{2} \left( \left( \frac{\sin x}{x} + e^x \right) - \left( \frac{\sin x}{x} + \frac{x^2}{2} \right) \right) dx$
$A = \int_{1}^{2} \left( e^x - \frac{x^2}{2} \right) dx$
$A = \left[ e^x - \frac{x^3}{6} \right]_{1}^{2}$
$A = \left( e^2 - \frac{8}{6} \right) - \left( e^1 - \frac{1}{6} \right)$
$A = e^2 - e - \frac{7}{6}$

(B) दिया गया समीकरण: $-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$.
सबसे पहले,सारणिक $D = \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात करते हैं।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = 1(x^2 \cdot x^6 - x^4 \cdot x^3) - x(1 \cdot x^6 - x^4 \cdot 1) + x^2(1 \cdot x^3 - x^2 \cdot 1)$
$D = (x^8 - x^7) - x(x^6 - x^4) + x^2(x^3 - x^2)$
$D = x^8 - x^7 - x^7 + x^5 + x^5 - x^4 = x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$-3x^4 + x^8 - 2x^7 + 2x^5 - x^4 = 0$
$x^8 - 2x^7 + 2x^5 - 4x^4 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$x^4(x^4 - 2x^3 + 2x - 4) = 0$
$x^4(x^3(x - 2) + 2(x - 2)) = 0$
$x^4(x^3 + 2)(x - 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x^4 = 0 \implies x = 0$
$x^3 + 2 = 0 \implies x^3 = -2 \implies x = \sqrt[3]{-2}$ (जो पूर्णांक नहीं है)
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है,इसलिए संभावित मान $x = 0$ और $x = 2$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ पूर्णांक हैं।

(B) दिया गया है कि $P(x)$ एक शून्येतर बहुपद है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए $P(1+x)=P(1-x)$ और $P(1)=0$ को संतुष्ट करता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P'(1+x) = -P'(1-x)$.
$x=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P'(1) = -P'(1) \implies 2P'(1) = 0 \implies P'(1) = 0$.
चूंकि $P(1)=0$ और $P'(1)=0$,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-1)^2$ को $P(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए।
यह जांचने के लिए कि क्या $m$ बड़ा हो सकता है,$P(x) = (x-1)^2$ पर विचार करें। यह $P(1+x) = (1+x-1)^2 = x^2$ और $P(1-x) = (1-x-1)^2 = (-x)^2 = x^2$ को संतुष्ट करता है। अतः,$P(1+x)=P(1-x)$ सत्य है।
इसलिए,सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ताकि $(x-1)^m$ ऐसे सभी $P(x)$ को विभाजित करे,वह $2$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{जब } x \neq 0 \\ 1 & \text{जब } x = 0 \end{cases}$ है।
हम समुच्चय $A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = 1\}$ ज्ञात करना चाहते हैं।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = 1$ है। अतः,$0 \in A$ है।
स्थिति $2$: यदि $x \neq 0$ है,तो हम $x \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 1$ को हल करते हैं,जिसका अर्थ है $\sin \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$।
मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$ है। तो समीकरण $\sin(t) = t$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि सभी $t \neq 0$ के लिए,$|\sin(t)| < |t|$ होता है।
विशेष रूप से,यदि $t > 0$ है,तो $\sin(t) < t$,और यदि $t < 0$ है,तो $\sin(t) > t$ होता है।
इसलिए,समीकरण $\sin(t) = t$ का केवल एक ही हल $t = 0$ पर मिलता है।
हालाँकि,हमारा प्रतिस्थापन $t = \frac{1}{x}$ था,और $x \neq 0$ होने के कारण $t$ कभी $0$ नहीं हो सकता।
अतः,$x \neq 0$ के लिए कोई हल नहीं है।
परिणामस्वरूप,समुच्चय $A$ में केवल एक ही अवयव ${0}$ है।
इसलिए,$A$ में केवल एक अवयव है।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाले समतलों के समीकरण उनके अभिलंब सदिशों और स्थिति सदिश $(x, y, z)$ के अदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\sigma_1: x + y + z = 0$
$\sigma_2: ax + by + cz = 0$
$\sigma_3: a^2x + b^2y + c^2z = 0$
इन तीन समतलों का प्रतिच्छेदन एक एकल बिंदु (मूल बिंदु) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \neq 0$
यह एक मानक वेंडरमोंड सारणिक है। इसे स्तंभ संक्रियाओं द्वारा सरल किया जा सकता है:
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ a^2 & b+a & c+a \end{vmatrix}$
$C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ a^2 & b+a & c-b \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$
$\Delta \neq 0$ के लिए,$a \neq b, b \neq c$ और $c \neq a$ होना चाहिए। अतः,$a, b$ और $c$ तीन भिन्न धनात्मक मान होने चाहिए।

(A) प्रारंभ में,रवि के पास ${2R, 2B}$ और रश्मि के पास ${2R, 2B}$ हैं। प्रत्येक के पास कुल $4$ कार्ड हैं।
चरण $1$: रवि रश्मि से एक कार्ड चुनता है। रश्मि के पास अब $3$ कार्ड हैं। फिर रश्मि रवि से एक कार्ड चुनती है। रवि के पास अब फिर से $4$ कार्ड हैं।
सभी $4$ कार्ड एक ही रंग के होने के लिए,रवि के पास अंत में $4$ लाल कार्ड और रश्मि के पास $4$ काले कार्ड होने चाहिए,या इसके विपरीत।
स्थिति $1$: रवि के पास $4$ लाल कार्ड और रश्मि के पास $4$ काले कार्ड हों।
पहले आदान-प्रदान में,रवि को रश्मि से एक लाल कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{2}{4}$) और रश्मि को रवि से एक काला कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{2}{4}$)। इसके बाद,रवि के पास ${3R, 1B}$ और रश्मि के पास ${1R, 3B}$ होते हैं।
दूसरे आदान-प्रदान में,रवि को रश्मि से शेष लाल कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{1}{4}$) और रश्मि को रवि से शेष काला कार्ड चुनना होगा (प्रायिकता $\frac{1}{4}$)।
स्थिति $1$ की प्रायिकता = $(\frac{2}{4} \times \frac{2}{4}) \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) = \frac{4}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{4}{256} = \frac{1}{64}$.
स्थिति $2$: रवि के पास $4$ काले कार्ड और रश्मि के पास $4$ लाल कार्ड हों।
समरूपता द्वारा,यह प्रायिकता भी $\frac{1}{64}$ है।
कुल प्रायिकता $p = \frac{1}{64} + \frac{1}{64} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} = 0.03125 = 3.125 \%$.
चूंकि $3.125 \% \leq 5 \%$,सही विकल्प $A$ है।

(C) क्षेत्र $A_1$ को $x \geq 0, y \geq 0$ और $2x + 2y - x^2 - y^2 > 1 > x + y$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
असमिका $2x + 2y - x^2 - y^2 > 1$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 - 2x + y^2 - 2y < -1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(x-1)^2 + (y-1)^2 < 1$ हो जाता है। यह $(1, 1)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले वृत्त का आंतरिक भाग है। शर्त $x + y < 1$ प्रथम चतुर्थांश में रेखा $x + y = 1$ के नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है।
$A_2$ के लिए,क्षेत्र $x \geq 0, y \geq 0$ और $x + y > 1 > x^2 + y^2$ है। यह प्रथम चतुर्थांश में रेखा $x + y = 1$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के बीच का क्षेत्र है।
$A_3$ के लिए,क्षेत्र $x \geq 0, y \geq 0$ और $x + y > 1 > x^3 + y^3$ है। यह प्रथम चतुर्थांश में रेखा $x + y = 1$ और वक्र $x^3 + y^3 = 1$ के बीच का क्षेत्र है।
समरूपता और ज्यामितीय रूपांतरण द्वारा,$|A_1| = |A_2|$।
प्रथम चतुर्थांश में वक्रों $x^2 + y^2 = 1$ और $x^3 + y^3 = 1$ की तुलना करने पर,$0 < x < 1$ के लिए,$x^3 < x^2$ और $y^3 < y^2$ है,इसलिए $x^3 + y^3 < x^2 + y^2$ है। अतः,$x^3 + y^3 = 1$ और $x + y = 1$ द्वारा घिरा क्षेत्र,$x^2 + y^2 = 1$ और $x + y = 1$ द्वारा घिरे क्षेत्र से बड़ा है।
इसलिए,$|A_3| > |A_2| = |A_1|$।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x^2) = f(x^3)$ है।
किसी भी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $x = t^6$ है। तब $f(t^{12}) = f(t^{18})$ होगा।
अधिक सामान्यतः,किसी भी $x > 0$ के लिए,हम $x = t^{6^n}$ लिख सकते हैं।
प्रतिस्थापन को दोहराने पर,$f(x) = f(x^{2/3}) = f(x^{(2/3)^2}) = \dots = f(x^{(2/3)^n})$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $n \to \infty$,$(2/3)^n \to 0$ होता है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) = f(x^0) = f(1)$ होगा।
चूंकि $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(1)$ है।
$x < 0$ के लिए,मान लीजिए $x = -t$ जहाँ $t > 0$ है। तब $f((-t)^2) = f((-t)^3) \implies f(t^2) = f(-t^3)$ होगा।
चूंकि $f(t^2) = f(1)$,इसलिए $f(-t^3) = f(1)$ है।
जैसे-जैसे $t^3$ सभी धनात्मक मानों को कवर करता है,सभी $x < 0$ के लिए $f(x) = f(1)$ होगा।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = c$ (एक स्थिरांक) है।
एक अचर फलन एक सम फलन होता है क्योंकि $f(-x) = c = f(x)$ है।
एक अचर फलन हर जगह अवकलनीय भी होता है और $f'(x) = 0$ होता है।
इसलिए,$II$ और $III$ दोनों सत्य हैं।

(A) दिया गया है कि एक सतत फलन $f:[0, \infty) \rightarrow R$ समीकरण $f(x) = 2 \int_0^x t f(t) d t + 1, \forall x \geq 0$ को संतुष्ट करता है।
अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2x f(x)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int 2x dx$।
$\ln |f(x)| = x^2 + C$।
$f(x) = K e^{x^2}$,जहाँ $K = e^C$ है।
$K$ का मान ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण में $x=0$ रखने पर:
$f(0) = 2 \int_0^0 t f(t) dt + 1 = 0 + 1 = 1$।
$f(x) = K e^{x^2}$ में $x=0$ रखने पर,हमें $f(0) = K e^0 = K$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = 1$,जिससे हमें $f(x) = e^{x^2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$f(1) = e^{(1)^2} = e^1 = e$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x^2)}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 0 \cdot 1 = 0 = f(0)$.
चूंकि सीमा फलन के मान के बराबर है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है।
अब,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin(h^2)}{h} - 0}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h^2)}{h^2} = 1$.
चूंकि सीमा मौजूद है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 1$ है।
अब,$x \neq 0$ के लिए $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{x \cdot \cos(x^2) \cdot 2x - \sin(x^2) \cdot 1}{x^2} = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}$.
जाँच करें कि क्या $f'(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है:
$\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) = 2(1) - 1 = 1$.
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = f'(0) = 1$,इसलिए अवकलज $x=0$ पर सतत है।
अतः,$f$ अवकलनीय है और इसका अवकलज सतत है।

(A) समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ एक समतल $x + y + z = 5$ को दर्शाता है।
समीकरण $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ अंतरिक्ष में एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,बशर्ते कि समतल इन नाभियों को समाहित करता हो।
सबसे पहले,जांचें कि क्या $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समतल $x + y + z = 5$ पर स्थित हैं:
$\vec{b}(2, 2, 1)$ के लिए,$2 + 2 + 1 = 5$ (सत्य)।
$\vec{c}(5, 1, -1)$ के लिए,$5 + 1 - 1 = 5$ (सत्य)।
चूंकि दोनों नाभियाँ समतल पर स्थित हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन समतल में एक दीर्घवृत्त है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = |\vec{b} - \vec{c}| = |(2-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k}| = |-3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$।
अतः,$2ae = \sqrt{14} \Rightarrow 4e = \sqrt{14} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{14}}{4}$।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = 4(1 - \frac{14}{16}) = 4(\frac{2}{16}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab = \pi(2)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}\pi \approx 1.414 \times 3.14159 \approx 4.44$ है।
सबसे निकटतम पूर्णांक $4$ है।

(A) $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम कथनों का विश्लेषण करते हैं।
कथन $I$ के लिए:
चूंकि सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $1+x^8 < 2$ है,इसलिए हमारे पास $\frac{1}{1+x^8} > \frac{1}{2}$ है।
$x > 0$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{1+x^8} > \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{2} dx = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$.
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए:
$x \in (0, 1)$ के लिए $x^8 < x^4$ है,इसलिए $1+x^8 < 1+x^4$ होता है।
अतः $\frac{1}{1+x^8} > \frac{1}{1+x^4}$।
तब $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx$।
मान लीजिए $u = x^2$,$du = 2x dx$। तो $\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2} [\tan^{-1}(u)]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$।
चूंकि $J > \frac{\pi}{8}$,कथन $II$ असत्य है।
इसलिए,केवल $I$ सत्य है।

(D) दिए गए अवकल समीकरण $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ से,हमारे पास $(f^{\prime}(x))^2 = \pm 4f(x)$ है।
चूंकि $(f^{\prime}(x))^2 \geq 0$ है,इसलिए $4f(x) \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $f(x) \geq 0$।
अतः,$(f^{\prime}(x))^2 = 4f(x)$,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(x) = \pm 2\sqrt{f(x)}$।
यदि $f(x) > 0$ है,तो $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} = \pm 2$ होगा। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $2\sqrt{f(x)} = \pm 2x + C$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(0)=0$ है,इसलिए $C=0$ होगा,जिससे $\sqrt{f(x)} = \pm x$ प्राप्त होता है,जो $f(x) = x^2$ देता है।
हम $f(x) = x^2$ और $f(x) = 0$ का उपयोग करके टुकड़ों में फलन बना सकते हैं जो $x=0$ पर अवकलनीय बना रहे। चूँकि ऐसे अनंत संयोजन संभव हैं,इसलिए ऐसे फलनों की संख्या $4$ से अधिक है।

(A) दिया गया है $f(x) = |\sin x|$ और $g(x) = \int_0^x |\sin t| \, dt$ है।
$p(x) = g(x) - \frac{2}{\pi} x$ है।
हम $p(x + \pi) = g(x + \pi) - \frac{2}{\pi}(x + \pi)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$g(x + \pi) = \int_0^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi} |\sin t| \, dt + \int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt$ है।
चूंकि $|\sin t|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\int_{\pi}^{x + \pi} |\sin t| \, dt = \int_0^x |\sin t| \, dt = g(x)$ है।
साथ ही,$\int_0^{\pi} |\sin t| \, dt = 2 \int_0^{\pi/2} \sin t \, dt = 2[-\cos t]_0^{\pi/2} = 2(0 - (-1)) = 2$ है।
अतः,$g(x + \pi) = 2 + g(x)$ है।
इसे $p(x + \pi)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x + \pi) = (2 + g(x)) - \frac{2}{\pi} x - \frac{2}{\pi} \cdot \pi = 2 + g(x) - \frac{2}{\pi} x - 2 = g(x) - \frac{2}{\pi} x = p(x)$ है।
अतः,सभी $x$ के लिए $p(x + \pi) = p(x)$ सत्य है।

(B) दिया गया समीकरण: $\left(\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{8}\right)^2 = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $\frac{a_1^2}{4} + \frac{a_2^2}{16} + \frac{a_3^2}{64} + \frac{a_1 a_2}{4} + \frac{a_2 a_3}{16} + \frac{a_3 a_1}{8} = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
हर को हटाने के लिए $64$ से गुणा करने पर: $16a_1^2 + 4a_2^2 + a_3^2 + 16a_1 a_2 + 4a_2 a_3 + 8a_3 a_1 = 32a_1^2 + 16a_2^2 + 8a_3^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $16a_1^2 + 12a_2^2 + 7a_3^2 - 16a_1 a_2 - 4a_2 a_3 - 8a_3 a_1 = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $8(a_1 - a_2)^2 + (2a_2 - a_3)^2 + 2(a_3 - 2a_1)^2 + 4a_3^2 = 0$.
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए: $a_1 - a_2 = 0$,$2a_2 - a_3 = 0$,$a_3 - 2a_1 = 0$,और $a_3 = 0$.
यह दर्शाता है कि $a_1 = a_2 = a_3 = 0$.
अतः,समुच्चय $A$ में केवल एक अवयव है,जो शून्य सदिश $(0, 0, 0)$ है।

(A) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ एक सतत फलन है जो सभी $x \in [0,1]$ के लिए $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है कि $(f(x))^2 \leq 1-x^2$,इसलिए $f(x) \leq \sqrt{1-x^2}$ क्योंकि $f(x) \geq 0$ है।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_0^1 f(x) dx \leq \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ त्रिज्या $1$ वाले वृत्त के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल दर्शाता है,जो $\frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$ है।
चूंकि दिया गया है कि $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$,इसलिए समानता बनी रहनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ है।
अब,हम $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
यह $[\sin^{-1} x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ के बराबर है।

(A) माना $P(x)$ एक त्रिघात बहुपद है। हमें $x = 1, 2, 3, 4$ के लिए $P(x) = 2x$ दिया गया है।
एक नया बहुपद $Q(x) = P(x) - 2x$ परिभाषित करें।
चूंकि $P(x)$ एक त्रिघात बहुपद है,$Q(x)$ भी अधिकतम $3$ घात का बहुपद है।
दी गई शर्तों से,$Q(1) = 0, Q(2) = 0, Q(3) = 0, Q(4) = 0$ है।
अतः,$1, 2, 3, 4$ बहुपद $Q(x)$ के शून्यक हैं।
चूंकि $Q(x)$ अधिकतम $3$ घात का बहुपद है और इसके $4$ भिन्न शून्यक हैं,इसलिए $Q(x)$ को शून्य बहुपद होना चाहिए।
अतः,$P(x) - 2x = 0$,जिसका अर्थ है $P(x) = 2x$।
हालाँकि,$P(x) = 2x$ एक $1$ घात का बहुपद है,$3$ घात का नहीं।
अतः,ऐसा कोई त्रिघात बहुपद $P(x)$ संभव नहीं है जो दी गई शर्तों को पूरा करे।
इसलिए,ऐसे त्रिघात बहुपदों की संख्या $0$ है।

(A) सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $a = (n+1)^{1/3}$ और $b = n^{1/3}$ है।
तब $f_n = a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$ है।
चूंकि $n < n+1$,हमारे पास $n^{2/3} < (n+1)^{2/3}$ है।
अतः,$3n^{2/3} < (n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} < 3(n+1)^{2/3}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n < \frac{1}{3n^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
$n$ को $n+1$ से बदलने पर,हमें $\frac{1}{3(n+2)^{2/3}} < f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
इन असमिकाओं को मिलाने पर,हमारे पास सभी $n \in N$ के लिए $f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n$ है।
इसलिए,$A = N$ है।