समीकरण x^4+y^4+z^4+1=4xyz को संतुष्ट करने वाल | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ है।चार धनात्मक संख्याओं $x^4, y^4, z^4, 1$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार

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$4$

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(B) दिया गया समीकरण $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ है।चार धनात्मक संख्याओं $x^4, y^4, z^4, 1$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका के अनुसार:$\frac{x^4+y^4+z^4+1}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 y^4 z^4 \cdot 1}$दिए गए समीकरण का मान रखने पर:$\frac{4xyz}{4} \geq |xyz|$$xyz \geq |xyz|$यह असमिका तभी संभव है जब $xyz \geq 0$ हो। $AM \geq GM$ में समानता के लिए,सभी पद समान होने चाहिए:$x^4 = y^4 = z^4 = 1$इसका अर्थ है कि $|x| = 1, |y| = 1, |z| = 1$। अतः,$x, y, z \in \{1, -1\}$।मूल समीकरण में ये मान रखने पर:$1+1+1+1 = 4xyz$ $\Rightarrow 4 = 4xyz$ $\Rightarrow xyz = 1$।जिनका गुणनफल $1$ हो,ऐसी संभावित त्रिक $(x, y, z)$ हैं:$(1, 1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1)$।अतः,कुल $4$ त्रिक प्राप्त होते हैं।

समीकरण $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ को संतुष्ट करने वाली वास्तविक संख्याओं के त्रिक $(x, y, z)$ की संख्या क्या है?

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