KVPY 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिए गए समीकरण:
$x+y^2=12 \quad \dots(i)$
$x^2+y=12 \quad \dots(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(x^2-x) + (y-y^2) = 0$
$(x^2-y^2) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y-1) = 0$
इसका अर्थ है $x=y$ या $x+y=1$.
स्थिति $1$: यदि $x=y$,तो $x^2+x=12$ $\Rightarrow x^2+x-12=0$ $\Rightarrow (x+4)(x-3)=0$. अतः,$x=3, y=3$ और $x=-4, y=-4$. यह $2$ हल देता है।
स्थिति $2$: यदि $x+y=1$,तो $y=1-x$. $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2+(1-x)=12 \Rightarrow x^2-x-11=0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(-11) = 1+44 = 45 > 0$. इस द्विघात समीकरण के $x$ के लिए $2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं,जिनमें से प्रत्येक के लिए $y$ का एक वास्तविक मान प्राप्त होता है। यह $2$ और हल देता है।
क्रमित युग्मों $(x, y)$ की कुल संख्या $2+2=4$ है।

(A) दिया गया है $|z^3+z^{-3}| \leq 2$.
मान लीजिए $z = re^{i\theta}$. तब $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3\theta} + r^{-3}e^{-i3\theta}| \leq 2$.
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$.
हालाँकि,हम जानते हैं कि $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$r^3 + r^{-3} \geq 2$.
चूंकि $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ और $r^3+r^{-3} \geq 2$,इसलिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए $|z|=1$ होना आवश्यक है।
यदि $|z|=1$,तो $z = e^{i\theta}$,अतः $|z+z^{-1}| = |e^{i\theta} + e^{-i\theta}| = |2\cos\theta|$.
$|2\cos\theta|$ का अधिकतम मान $2$ है जब $\cos\theta = \pm 1$ हो।

(C) माना $S = 2014^3 - 2013^3 + 2012^3 - 2011^3 + \ldots + 2^3 - 1^3$.
पदों को युग्मों में व्यवस्थित करने पर: $(2014^3 - 2013^3) + (2012^3 - 2011^3) + \ldots + (2^3 - 1^3)$.
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रत्येक युग्म के लिए $a - b = 1$ है:
$S = (2014^2 + 2014 \times 2013 + 2013^2) + (2012^2 + 2012 \times 2011 + 2011^2) + \ldots + (2^2 + 2 \times 1 + 1^2)$.
ऐसे कुल $1007$ युग्म हैं।
गणना करने पर $S = 1007^2 \times 4031$ प्राप्त होता है।
अतः,$S$ को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या $1007^2$ है।

(A) दिया गया है कि $BOAC$ $XY$-समतल में एक आयत है जहाँ $O(0,0)$ मूलबिंदु है और बिंदु $A, B$ परवलय $y=x^2$ पर स्थित हैं।
मान लीजिए $A = (t_1, t_1^2)$ और $B = (t_2, t_2^2)$ हैं।
चूंकि $BOAC$ एक आयत है,विकर्ण $OA$ और $BC$ एक ही मध्यबिंदु पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,और भुजाएं $OA$ और $OB$ लंबवत हैं।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{t_1^2 - 0}{t_1 - 0} = t_1$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{t_2^2 - 0}{t_2 - 0} = t_2$ है।
चूंकि $OA \perp OB$,हमारे पास $m_1 \cdot m_2 = -1$ है,जिसका अर्थ है $t_1 t_2 = -1$।
मान लीजिए $C = (h, k)$ है। चूंकि $BOAC$ एक आयत है,सदिश $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ है।
अतः,$h = t_1 + t_2$ और $k = t_1^2 + t_2^2$ है।
हम $k$ को $h$ के पदों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$k = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2$
$k = h^2 - 2(-1)$
$k = h^2 + 2$।
इसलिए,$C(h, k)$ का बिंदुपथ $y = x^2 + 2$ है।

(B) माना $O$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $O'$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $x$-अक्ष मानिए।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $R-r$ है।
माना $M$,$P$ का $OO'$ रेखा पर प्रक्षेप है। चूंकि $l$,$C_1$ को $P$ पर स्पर्श करती है,$PM \perp OO'$,इसलिए $PM = r$ है।
माना $N$,$B$ का $OO'$ रेखा पर प्रक्षेप है। चूंकि $l$,$OO'$ के समानांतर है,$BN = PM = r$ है।
$\triangle O'NB$ में,$O'B = R$ और $BN = r$ है।
दिया गया है $R^2 = 2r^2$,इसलिए $R = \sqrt{2}r$ है।
तब $O'N = \sqrt{O'B^2 - BN^2} = \sqrt{2r^2 - r^2} = r$ है।
चूंकि $O'N = BN = r$ है,$\triangle O'NB$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle BO'N = 45^{\circ}$ है।
इसी प्रकार,$\angle AO'M = 45^{\circ}$ है।
अतः,$\angle AO'B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$ है।
जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $O'$ पर बनाया गया कोण $90^{\circ}$ है।
उसी जीवा $AB$ द्वारा वृत्त $C_2$ की परिधि पर किसी भी बिंदु $O$ पर बनाया गया कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है।
इसलिए,$\angle AOB = \frac{1}{2} \angle AO'B = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{\sin (\lambda \alpha) \cos (\lambda \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \lambda - 1$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{\sin (2 \lambda \alpha)}{\sin (2 \alpha)} = \lambda - 1$
$\Rightarrow \sin (2 \lambda \alpha) = (\lambda - 1) \sin (2 \alpha)$.
यह समीकरण $\lambda = 1$ और $\lambda = 2$ के लिए सत्य है।
अतः,$\lambda$ के दो मान संभव हैं।

(B) मान लीजिए $r$ वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त का केंद्र $1$ और $2$ लंबाई की जीवाओं द्वारा केंद्र पर कोण बनाता है।
मान लीजिए $2\theta$ केंद्र पर $1$ लंबाई की जीवा द्वारा बनाया गया कोण है,और $2\alpha$ केंद्र पर $2$ लंबाई की जीवा द्वारा बनाया गया कोण है।
अतः,$\sin \theta = \frac{1/2}{r} = \frac{1}{2r}$ और $\sin \alpha = \frac{1}{r}$ है।
केंद्र के चारों ओर कोणों का योग $3(2\theta) + 3(2\alpha) = 360^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $\theta + \alpha = 60^{\circ}$।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos(\theta + \alpha) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$।
सूत्र $\cos(\theta + \alpha) = \cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए।
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{2r}$,$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{1}{4r^2}} = \frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r}$ है।
चूंकि $\sin \alpha = \frac{1}{r}$,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{r^2}} = \frac{\sqrt{r^2-1}}{r}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r} \cdot \frac{\sqrt{r^2-1}}{r} - \frac{1}{2r} \cdot \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$।
$\frac{\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)}}{2r^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2r^2} = \frac{r^2+1}{2r^2}$।
$\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)} = r^2+1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4r^2-1)(r^2-1) = (r^2+1)^2$।
$4r^4 - 5r^2 + 1 = r^4 + 2r^2 + 1$।
$3r^4 = 7r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{7}{3}$।
अतः,$r = \sqrt{\frac{7}{3}}$।

(A) माना $p = \lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^{6/x^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \ln \left(\frac{x}{\sin x}\right)$.
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$\frac{x}{\sin x} = \frac{x}{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)^{-1} = 1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)$.
अब,$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \ln \left(1 + \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right)$.
$u = \frac{x^2}{6}$ के लिए $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \dots$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$\ln p = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{6}{x^2} \left(\frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + O(x^2)) = 1$.
चूंकि $\ln p = 1$,इसलिए $p = e^1 = e$.

(B) दिया गया समीकरण: $\log _{(3x-1)}(x-2) = \log _{(9x^2-6x+1)}(2x^2-10x-2)$ है।
यहाँ $9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$ है।
गुणधर्म $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ का उपयोग करने पर:
$\log _{(3x-1)}(x-2) = \frac{1}{2} \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$।
अतः,$\log _{(3x-1)}(x-2)^2 = \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$।
घातों की तुलना करने पर: $(x-2)^2 = 2x^2-10x-2$।
$x^2-4x+4 = 2x^2-10x-2$।
$x^2-6x-6 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = 3 \pm \sqrt{15}$ प्राप्त होता है।
लघुगणक को परिभाषित होने के लिए,$x-2 > 0$ होना चाहिए।
यदि $x = 3-\sqrt{15}$ लेते हैं,तो $x-2 < 0$ होता है,जो अमान्य है।
यदि $x = 3+\sqrt{15}$ लेते हैं,तो यह शर्तों को पूरा करता है।
अतः,$x = 3+\sqrt{15}$।

(C) दिया गया समीकरण $2^a + 2^{2b} + 2^{3c} = 328$ है।
यहाँ $328 = 2^6 + 2^8 + 2^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि हम $c=1$ लेते हैं,तो $2^a + 2^{2b} = 328 - 8 = 320$ होगा।
चूँकि $320 = 2^6 \times 5$,इसलिए $a=6$ और $1 + 2^{2b-6} = 5$ प्राप्त होता है।
अतः $2^{2b-6} = 4 = 2^2$,जिसका अर्थ है $2b-6=2$,जिससे $b=4$ मिलता है।
इस प्रकार,$(a, b, c) = (6, 4, 1)$ है।
अब,$\frac{a + 2b + 3c}{abc} = \frac{6 + 2(4) + 3(1)}{6 \times 4 \times 1} = \frac{17}{24}$।

(D) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $c$ कर्ण है। समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{a+b-c}{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया है कि एक भुजा $12$ है। माना $a = 12$ है।
तब $r = \frac{12+b-c}{2}$ $\Rightarrow 2r = 12+b-c$ $\Rightarrow c-b = 12-2r$.
साथ ही,$a^2 = c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$.
$144 = (12-2r)(c+b) \Rightarrow c+b = \frac{144}{2(6-r)} = \frac{72}{6-r}$.
चूँकि $c+b$ और $c-b$ पूर्णांक होने चाहिए,$6-r$ को $72$ का विभाजक होना चाहिए।
$r$ को अधिकतम करने के लिए,हम संभावित मानों की जाँच करते हैं।
यदि $a=12$ कर्ण है,तो $12^2 = b^2+c^2$. गैर-शून्य भुजाओं के लिए यह संभव नहीं है।
यदि $a=12$ एक भुजा है,तो $r = \frac{12+b-c}{2}$.
पूर्णांक भुजाओं $(12, 35, 37)$ के लिए $r = \frac{12+35-37}{2} = 5$.
पूर्णांक भुजाओं $(12, 16, 20)$ के लिए $r = \frac{12+16-20}{2} = 4$.
पूर्णांक भुजाओं $(12, 9, 15)$ के लिए $r = \frac{12+9-15}{2} = 3$.
अतः,अधिकतम त्रिज्या $5$ है।

(A) दिया गया है,$x = (\sqrt{50} + 7)^{1/3} - (\sqrt{50} - 7)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हम सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ का उपयोग करते हैं:
$x^3 = (\sqrt{50} + 7) - (\sqrt{50} - 7) - 3[(\sqrt{50} + 7)(\sqrt{50} - 7)]^{1/3} \cdot x$
पदों को सरल करने पर:
$x^3 = 14 - 3(50 - 49)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3(1)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3x$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x^3 + 3x - 14 = 0$
मानों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $x = 2$ एक मूल है क्योंकि $2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.
बहुपद का गुणनखंड करने पर:
$(x - 2)(x^2 + 2x + 7) = 0$
द्विघात गुणनखंड $x^2 + 2x + 7$ का विविक्तकर $D = 2^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0$ है,इसलिए इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,एकमात्र वास्तविक समाधान $x = 2$ है।

(D) मान लीजिए $f(x) = (1+x+x^2)^{2014} = \sum_{r=0}^{4028} a_r x^r$.
इकाई का सम्मिश्र घनमूल $\omega$ लें,ताकि $1+\omega+\omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$.
रूट्स ऑफ यूनिटी फिल्टर का उपयोग करके,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $|A| = |C| < |B|$.

(C) अतिपरवलय का समीकरण $xy=1$ है,जिसे $y = \frac{1}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 1/2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 1/2)} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ है।
$(2, 1/2)$ पर अभिलंब की ढाल $n = -\frac{1}{(-1/4)} = 4$ है।
मान लीजिए आपतित प्रकाश किरण की ढाल $m$ है। परावर्तित किरण $Y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $\infty$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण,परावर्तित किरण और अभिलंब के बीच के कोण के बराबर होता है। दो रेखाओं जिनकी ढाल $m_1$ और $m_2$ है,उनके बीच के कोण का सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ का उपयोग करने पर:
$\left|\frac{4 - m}{1 + 4m}\right| = \left|\frac{\infty - 4}{1 + 4(\infty)}\right| = \left|\frac{1}{4}\right|$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = \frac{1}{4}$ को हल करने पर:
$16 - 4m = 1 + 4m$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.
$\frac{4 - m}{1 + 4m} = -\frac{1}{4}$ को हल करने पर:
$16 - 4m = -1 - 4m$
$16 = -1$,जो असंभव है।
अतः,आपतित किरण की ढाल $\frac{15}{8}$ है।

(D) दिया गया है $C(\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\theta)}{n!}$.
$C(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$.
$C(\pi) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}$.
$(A)$ $C(0) \cdot C(\pi) = e \cdot e^{-1} = 1$ (सत्य).
$(B)$ $C(0) + C(\pi) = e + \frac{1}{e} > 2$ (सत्य).
$(C)$ $C(\theta) = e^{\cos \theta} \cos(\sin \theta) > 0$ (सत्य).
$(D)$ $C^{\prime}(\theta) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\theta)}{(n-1)!}$. $\theta = 0$ पर $C^{\prime}(0) = 0$ होता है,इसलिए यह कथन असत्य है.

(D) मान लीजिए $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^x+a^{3-x}-\left(a^2+a\right)}{a^{3-x}-a^{x / 2}}$ है।
चूंकि सीमा $x = 2$ पर $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}(a^x+a^{3-x}-a^2-a)}{\frac{d}{dx}(a^{3-x}-a^{x/2})}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^x \ln a - a^{3-x} \ln a}{-a^{3-x} \ln a - \frac{1}{2} a^{x/2} \ln a}$
अंश और हर से $\ln a$ को हटाने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{a^x - a^{3-x}}{-a^{3-x} - \frac{1}{2} a^{x/2}}$
$x = 2$ रखने पर:
$L = \frac{a^2 - a^1}{-a^1 - \frac{1}{2} a^1} = \frac{a^2 - a}{-\frac{3}{2} a}$
$L = \frac{a(a-1)}{-\frac{3}{2} a} = -\frac{2}{3}(a-1) = \frac{2}{3}(1-a)$.

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $f(x)=0$ और $g(x)=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + a\alpha + 2 = 0$ और $\alpha^2 + 2\alpha + a = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(a-2)\alpha + (2-a) = 0$।
$(a-2)(\alpha - 1) = 0$।
चूंकि बहुपद भिन्न हैं,इसलिए $a \neq 2$। अतः,$\alpha = 1$।
$f(x)=0$ में $\alpha = 1$ रखने पर: $1^2 + a(1) + 2 = 0 \Rightarrow a = -3$।
समीकरण $f(x)+g(x)=0$ का रूप $(x^2-3x+2) + (x^2+2x-3) = 0$ हो जाता है।
$2x^2 - x - 1 = 0$।
मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = n + 2n + 3n + \ldots + 99n$ है।
इसे $S = n(1 + 2 + 3 + \ldots + 99)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम $k$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$S = n \times \frac{99 \times 100}{2} = n \times 99 \times 50 = n \times 4950$.
$4950$ का अभाज्य गुणनखंड $4950 = 2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11$ है।
$S$ को पूर्ण वर्ग होने के लिए $n \times 2 \times 3^2 \times 5^2 \times 11$ को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
इसके लिए $n$ को $2 \times 11 \times k^2 = 22k^2$ के रूप में होना चाहिए।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ प्राप्त करने के लिए $k=1$ रखने पर,$n = 22$ प्राप्त होता है।
अतः $n^2 = 22^2 = 484$.
$484$ में $3$ अंक हैं।

(B) $x, y, z > 0$ के लिए,हम प्रत्येक स्थिति का विश्लेषण करते हैं:
$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. चूँकि $x+y+z > 0$,यह $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$ का तात्पर्य रखता है,अतः $x=y=z$.
$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$. $xyz$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 3$ प्राप्त होता है। $AM$-$GM$ असमिका द्वारा,$\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{yz} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{x}} = 3(1) = 3$. समानता तभी होती है जब $\frac{x^2}{yz} = \frac{y}{x} = \frac{z}{x}$ हो,जो $x=y=z$ का तात्पर्य रखता है।
$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$. यदि $x=1, y=2, z=0.5$ लें,तो $3.25 \neq 3$ प्राप्त होता है। यह स्थिति हमेशा $x=y=z$ का तात्पर्य नहीं रखती है।
$IV.$ $AM$-$GM$ द्वारा,$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$. अतः $(x+y+z)^3 \ge 27xyz$. समानता तभी होती है जब $x=y=z$ हो।
अतः,$I, II,$ और $IV$ का तात्पर्य $x=y=z$ है।

(C) माना प्रत्येक छोटे सर्वांगसम आयत की विमाएँ $x$ और $y$ हैं।
आकृति से,बड़े आयत की कुल चौड़ाई $4x$ और $3y$ है। अतः,$4x = 3y$,जिसका अर्थ है $y = \frac{4}{3}x$।
बड़े आयत का परिमाप $2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 76$ द्वारा दिया गया है।
बड़े आयत की लंबाई $4x$ (या $3y$) है और ऊँचाई $x + y$ है।
अतः,$2(4x + x + y) = 76$,जो सरल होकर $5x + y = 38$ हो जाता है।
समीकरण में $y = \frac{4}{3}x$ रखने पर: $5x + \frac{4}{3}x = 38$।
$\frac{15x + 4x}{3} = 38 \implies 19x = 114 \implies x = 6$।
तब $y = \frac{4}{3}(6) = 8$।
प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप $2(x + y) = 2(6 + 8) = 2(14) = 28 \text{ इकाई}$ है।

(B) वह सबसे बड़ा $k$ ज्ञात करने के लिए जिसके लिए $24^k$,$13!$ को विभाजित करता है,हम पहले $13!$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7 \times 11 \times 13$.
हमारे पास $24^k = (2^3 \times 3)^k = 2^{3k} \times 3^k$ है।
$24^k$ को $13!$ से विभाजित होने के लिए,हमारे पास $3k \le 10$ और $k \le 5$ होना चाहिए।
$3k \le 10$ से,हमें $k \le \frac{10}{3} \approx 3.33$ प्राप्त होता है।
$k \le 5$ से,हमें $k \le 5$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों को पूरा करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $k = 3$ है।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
$I$. चूँकि $\triangle BCX$ और $\triangle BCY$ एक ही आधार $BC$ पर स्थित हैं और समांतर रेखाओं $XY$ और $BC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए उनके क्षेत्रफल समान हैं। अतः,$[BCX] = [BCY]$ सत्य है।
$II$. क्षेत्रफल सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin C$ का उपयोग करने पर:
$[ACX] = \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A$
$[ABY] = \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A$
$[ACX] \cdot [ABY] = \left( \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A \right)$
$= \left( \frac{1}{2} (AX)(AY) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AB)(AC) \sin A \right)$
$= [AXY] \cdot [ABC]$
अतः,$II$ भी सत्य है।
इसलिए,$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(C) मान लीजिए $\angle PAB = \theta$ और $\angle PAC = \phi$ है।
चूंकि $Q$,$AB$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $AQ = AP$ और $\angle QAB = \angle PAB = \theta$ है।
चूंकि $R$,$AC$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $AR = AP$ और $\angle RAC = \angle PAC = \phi$ है।
दिया गया है कि $Q, A, R$ संरेख हैं,इसलिए $\angle QAR = 180^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle QAR = \angle QAB + \angle BAC + \angle RAC = \theta + (\theta + \phi) + \phi = 2(\theta + \phi) = 180^{\circ}$ है।
अतः,$\theta + \phi = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle BAC = \theta + \phi$ है,इसलिए $\angle BAC = 90^{\circ}$ है।

(D) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $1$ है। मान लीजिए $O$ वृत्त $\Gamma$ का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
मान लीजिए $M$,$BC$ का मध्य बिंदु है। चूंकि $BC$ वृत्त की एक जीवा है,केंद्र $O$ से $BC$ पर डाला गया लंब $M$ से होकर गुजरता है।
अतः,$OM \perp BC$। चूंकि $BC$ ऊर्ध्वाधर है और $AD$ के समानांतर है,$OM$ क्षैतिज है।
मान लीजिए $N$,$AD$ पर स्पर्श बिंदु है। अतः $ON \perp AD$। चूंकि $AD$ ऊर्ध्वाधर है,$ON$ क्षैतिज है।
चूंकि $AD$ और $BC$ समानांतर हैं और उनके बीच की दूरी $1$ है,$AD$ और $BC$ के बीच की कुल क्षैतिज दूरी $1$ है।
मान लीजिए $O$,$N$ से $r$ की दूरी पर है। $O$ से $M$ की दूरी $1-r$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OMC$ में,$OC = r$,$CM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}$,और $OM = 1-r$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $OC^2 = OM^2 + CM^2$.
$r^2 = (1-r)^2 + (\frac{1}{2})^2$.
$r^2 = 1 - 2r + r^2 + \frac{1}{4}$.
$2r = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
$r = \frac{5}{8}$.

(B) मान लीजिए वर्ग के शीर्ष $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,और $D(0,1)$ हैं।
चूंकि $P, Q, R, S$ क्रमशः $AD, BC, AB, CD$ पर स्थित हैं,हम उनके निर्देशांकों को $P(0, p)$,$Q(1, q)$,$R(r, 0)$,और $S(s, 1)$ के रूप में ले सकते हैं,जहाँ $0 < p, q, r, s < 1$ है।
$PQ$ की ढाल $m_1 = \frac{q-p}{1-0} = q-p$ है।
$RS$ की ढाल $m_2 = \frac{1-0}{s-r} = \frac{1}{s-r}$ है।
चूंकि $PQ \perp RS$,$m_1 \cdot m_2 = -1$,इसलिए $(q-p) \cdot \frac{1}{s-r} = -1$,जिसका अर्थ है $q-p = r-s$ है।
लंबाई $PQ = \sqrt{(1-0)^2 + (q-p)^2} = \sqrt{1 + (q-p)^2}$ है।
दिया गया है कि $PQ = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,इसलिए $\frac{27}{16} = 1 + (q-p)^2$,जिसका अर्थ है $(q-p)^2 = \frac{11}{16}$ है।
लंबाई $RS = \sqrt{(s-r)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(r-s)^2 + 1}$ है।
चूंकि $(r-s)^2 = (q-p)^2 = \frac{11}{16}$,इसलिए $RS = \sqrt{\frac{11}{16} + 1} = \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ है।

(C) माना ट्रेन की लंबाई $x\,m$ है।
ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में लिया गया समय $9\,s$ है।
इसलिए,ट्रेन की गति $v = \frac{x}{9}\,m/s$ है।
ट्रेन द्वारा प्लेटफॉर्म को पार करने में लिया गया समय $21\,s$ है।
प्लेटफॉर्म को पार करते समय,तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है,जो $(x + 88)\,m$ है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$x + 88 = v \times 21$
$v = \frac{x}{9}$ रखने पर:
$x + 88 = \frac{x}{9} \times 21$
$x + 88 = \frac{7x}{3}$
$3(x + 88) = 7x$
$3x + 264 = 7x$
$4x = 264$
$x = 66\,m$.
अतः,ट्रेन की लंबाई $66\,m$ है।

(C) माना $f(n) = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ है।
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}} < \frac{1}{12}$ चाहिए,जिसका अर्थ है $(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} > 12$।
$n=7$ के लिए: $\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{7} = 2 - 1.9129 = 0.0871$,जो $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ से बड़ा है।
$n=8$ के लिए: $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{8} = 2.08008 - 2 = 0.08008$,जो $\frac{1}{12} \approx 0.0833$ से छोटा है।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $8$ है।

(B) हम $n$ को $3$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल का विश्लेषण करते हैं। मान लीजिए $n \equiv r \pmod{3}$,जहाँ $r \in \{0, 1, 2\}$ है।
स्थिति $1$: यदि $n \equiv 0 \pmod{3}$ है,तो $n$ स्वयं $3$ का गुणज है। अतः,$n^{19}$ भी $3$ का गुणज होगा।
स्थिति $2$: यदि $n \equiv 1 \pmod{3}$ है,तो $n^{38} \equiv 1^{38} \equiv 1 \pmod{3}$ होगा। अतः,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है कि $n^{38} - 1$ का एक गुणज $3$ है।
स्थिति $3$: यदि $n \equiv 2 \pmod{3}$ है,तो $n^{38} \equiv 2^{38} \equiv (-1)^{38} \equiv 1 \pmod{3}$ होगा। अतः,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,जिसका अर्थ है कि $n^{38} - 1$ का एक गुणज $3$ है।
सभी स्थितियों में,$\{n^{19}, n^{38}-1\}$ समूह में कम से कम एक संख्या $3$ का गुणज है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $12! + 13! + 14!$
$12!$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $12!(1 + 13 + 13 \times 14)$
कोष्ठक के अंदर की व्यंजक का सरलीकरण: $12!(1 + 13 + 182) = 12! \times 196$
$196$ का अभाज्य गुणनखंडन: $196 = 14^2 = (2 \times 7)^2 = 2^2 \times 7^2$
$12!$ का अभाज्य गुणनखंडन: $12! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$
दोनों को संयोजित करने पर,$12! \times 196 = 2^{12} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^3 \times 11^1$
भिन्न अभाज्य गुणनखंड $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
अतः,भिन्न अभाज्य गुणनखंडों की संख्या $5$ है.

(A) $EDUCATION$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $5$ स्वर $(E, U, A, I, O)$ और $4$ व्यंजन $(D, C, T, N)$.
सबसे पहले,$5$ स्वरों को दिए गए क्रम में व्यवस्थित करें: $E, U, A, I, O$. यह $1$ तरीके से किया जा सकता है।
यह शर्त पूरी करने के लिए कि कोई भी दो व्यंजन एक-दूसरे के बगल में न हों,हम व्यंजनों को स्वरों द्वारा बनाई गई रिक्तियों में रखते हैं। स्वरों की व्यवस्था $6$ संभावित रिक्तियां बनाती है (सिरों सहित):
$ \_ V \_ 1 \_  V \_ 2   \_  V \_ 3  \_  V \_ 4  \_  V \_ 5 \_ $
हमें $4$ व्यंजनों को रखने के लिए उपलब्ध $6$ रिक्तियों में से $4$ रिक्तियों का चयन करना होगा।
चूंकि व्यंजन निश्चित क्रम $(D, C, T, N)$ में होने चाहिए,इसलिए एक बार $4$ रिक्तियां चुन लेने के बाद उन्हें व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
$6$ में से $4$ रिक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $\binom{6}{4}$ द्वारा दी जाती है।
$\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
अतः,ऐसी $15$ व्यवस्थाएं हैं।

(D) आकृति से,आयत के आयाम $12 \times 9$ हैं। आयत का क्षेत्रफल $12 \times 9 = 108 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
आयत से काटे गए त्रिकोणीय कोने की भुजाओं की लंबाई $3$ और $4$ है,और कर्ण की लंबाई $5$ है।
इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
परिणामी पंचभुज का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है: $108 - 6 = 102 \text{ वर्ग इकाई}$।
पंचभुज के क्षेत्रफल का आयत के क्षेत्रफल से अनुपात $\frac{102}{108}$ है।
अंश और हर दोनों को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{17}{18}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $[x]\{x\} = 5$ है,जहाँ $x \in [0, 2015]$.
माना $n = [x]$ और $f = \{x\}$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $0 \leq f < 1$.
समीकरण $n \cdot f = 5$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $f = \frac{5}{n}$.
चूँकि $0 \leq f < 1$,इसलिए $0 \leq \frac{5}{n} < 1$.
इसका अर्थ है $n > 5$.
साथ ही,$x = n + f = n + \frac{5}{n}$.
$x \leq 2015$ होने के कारण,$n + \frac{5}{n} \leq 2015$.
चूँकि $n$ एक पूर्णांक है और $n > 5$,इसलिए $n$ के संभावित मान $6, 7, \dots, 2014$ हैं।
प्रत्येक $n$ के लिए,$x = n + \frac{5}{n}$ एक हल है।
कुल हलों की संख्या $2014 - 6 + 1 = 2009$ है।

(B) मान लीजिए $ABCD$ समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $h$ है।
$AP \perp BC$ और $DQ \perp BC$ लें। अतः,$AP = DQ = h$.
चूँकि $AB = AM$,$\triangle ABM$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। $\triangle ABM$ में,$AP$ आधार $BM$ पर लंब है,इसलिए $P$,$BM$ का मध्यबिंदु है,अर्थात $BP = PM$.
$\triangle ABM$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BM \times h = \frac{1}{2} \times (2PM) \times h = PM \times h$.
इसी प्रकार,चूँकि $DC = DM$,$\triangle DCM$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। $\triangle DCM$ में,$DQ$ आधार $MC$ पर लंब है,इसलिए $Q$,$MC$ का मध्यबिंदु है,अर्थात $MQ = QC$.
$\triangle DCM$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times MC \times h = \frac{1}{2} \times (2MQ) \times h = MQ \times h$.
$\triangle AMD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AD \times h$.
चूँकि $AD$,$BC$ के समांतर है,$AD = PQ = PM + MQ$.
$\triangle AMD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (PM + MQ) \times h = \frac{1}{2} \times PM \times h + \frac{1}{2} \times MQ \times h$.
समलंब चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $= \text{Area}(\triangle ABM) + \text{Area}(\triangle AMD) + \text{Area}(\triangle DCM) = PM \times h + \frac{1}{2}(PM + MQ)h + MQ \times h = \frac{3}{2}(PM + MQ)h$.
अनुपात $= \frac{\text{Area}(ABCD)}{\text{Area}(\triangle AMD)} = \frac{\frac{3}{2}(PM + MQ)h}{\frac{1}{2}(PM + MQ)h} = 3$.

(C) मान लीजिए कि दोनों गाँवों में लोगों की संख्या क्रमशः $x$ और $y$ है।
दिया गया है कि $x$ लोगों की औसत आय $P$ है और $y$ लोगों की औसत आय $Q$ है।
इसलिए,दोनों गाँवों में लोगों की कुल आय क्रमशः $Px$ और $Qy$ है।
$I$ आय वाला एक व्यक्ति पहले गाँव से दूसरे गाँव में जाता है।
तब,पहले गाँव में लोगों की संख्या $x-1$ और दूसरे गाँव में $y+1$ हो जाती है।
नई औसत आय $P^{\prime} = \frac{Px - I}{x-1}$ और $Q^{\prime} = \frac{Qy + I}{y+1}$ है।
यदि $P^{\prime} = P$ है,तो $Px - I = P(x-1) = Px - P$,जिसका अर्थ है $I = P$ है।
यदि $Q^{\prime} = Q$ है,तो $Qy + I = Q(y+1) = Qy + Q$,जिसका अर्थ है $I = Q$ है।
चूंकि $P \neq Q$ है,इसलिए व्यक्ति की आय $I$ ऐसी नहीं हो सकती कि $P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ दोनों एक साथ हों।
अतः,$P^{\prime} = P$ और $Q^{\prime} = Q$ की स्थिति असंभव है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) दिए गए गोले का समीकरण $(x-2)^2+(y-3)^2+(z-6)^2=1$ है।
यह एक ऐसा गोला है जिसका केंद्र $C = (2, 3, 6)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से केंद्र $C(2, 3, 6)$ तक की दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
गोले पर स्थित किसी बिंदु की मूल बिंदु से न्यूनतम दूरी,मूल बिंदु से केंद्र की दूरी में से गोले की त्रिज्या को घटाने पर प्राप्त होती है।
न्यूनतम दूरी $= d - r = 7 - 1 = 6$.

(A) दिया गया है $p(x) - p'(x) = x^n$.
बहुपद के गुणांकों की तुलना करने पर,$p(x) = x^n + n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2} + \dots + n!$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 0$ रखने पर $p(0) = n!$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा अंतरित कोण $\theta$ (रेडियन में) है।
चाप की लंबाई $l = r\theta$ है।
त्रिज्यखंड की परिधि $P = 2r + l = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ है।
इससे,हम त्रिज्या को $r = \frac{P}{2 + \theta}$ के रूप में लिख सकते हैं।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ है।
$P$ और $\theta$ के पदों में $r$ का मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} \left(\frac{P}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} = 0$.
इसे सरल करने पर:
$(2 + \theta)^2 - 2\theta(2 + \theta) = 0$.
$(2 + \theta)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(2 + \theta)(2 + \theta - 2\theta) = 0$.
$(2 + \theta)(2 - \theta) = 0$.
चूंकि $\theta > 0$,इसलिए $\theta = 2$ रेडियन प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए केंद्र पर बना कोण $2$ रेडियन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \max \{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$.
हमें $\int_0^{2n} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
अंतराल $[0, 2n]$ के लिए,समुच्चय $\{|x|, |x-1|, \ldots, |x-2n|\}$ का अधिकतम मान अंतराल के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित होता है।
विशेष रूप से,$f(x) = \max \{|x|, |x-2n|\}$ है।
हम समाकलन को $x = n$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n f(x) dx + \int_n^{2n} f(x) dx$
$x \in [0, n]$ के लिए,$|x-2n| \geq |x|$,इसलिए $f(x) = |x-2n| = 2n-x$ है।
$x \in [n, 2n]$ के लिए,$|x| \geq |x-2n|$,इसलिए $f(x) = |x| = x$ है।
अतः,$\int_0^{2n} f(x) dx = \int_0^n (2n-x) dx + \int_n^{2n} x dx$ है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\int_0^n (2n-x) dx = [2nx - \frac{x^2}{2}]_0^n = 2n^2 - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$ है।
$\int_n^{2n} x dx = [\frac{x^2}{2}]_n^{2n} = \frac{4n^2}{2} - \frac{n^2}{2} = \frac{3n^2}{2}$ है।
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{3n^2}{2} + \frac{3n^2}{2} = 3n^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
दिया है $p(0) = 2$,अतः $d = 2$ है।
दिया है $p(1) = a + b + c + d = 3 \Rightarrow a + b + c = 1$ $(i)$ है।
दिया है $p(-1) = -a + b - c + d = 4 \Rightarrow -a + b - c = 2$ $(ii)$ है।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,हमें $2b = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = \frac{3}{2}$ है।
हमें $I = \int_{-1}^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d) dx$ का मूल्यांकन करना है।
चूंकि $ax^3$ और $cx$ विषम फलन हैं,इसलिए $[-1, 1]$ पर इनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = \int_{-1}^1 (bx^2 + d) dx = 2 \int_0^1 (bx^2 + d) dx$ है।
$I = 2 \left[ \frac{bx^3}{3} + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{3} + d \right)$ है।
$b = \frac{3}{2}$ और $d = 2$ रखने पर:
$I = 2 \left( \frac{3/2}{3} + 2 \right) = 2 \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = 2 \left( \frac{5}{2} \right) = 5$ है।

(A) मान लीजिए $I = \int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$. चूंकि $x > 0$,हम समाकलन को $t = x$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t + \int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t$
पहले समाकलन के लिए,खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए:
$\int \limits_0^x e^{-t}(x-t) d t = [-(x-t)e^{-t}]_0^x - \int \limits_0^x e^{-t} d t = (0 - (-x)) - [-e^{-t}]_0^x = x - (1 - e^{-x}) = x - 1 + e^{-x}$
दूसरे समाकलन के लिए:
$\int \limits_x^{\infty} e^{-t}(t-x) d t = [-(t-x)e^{-t}]_x^{\infty} + \int \limits_x^{\infty} e^{-t} d t = (0 - 0) + [-e^{-t}]_x^{\infty} = 0 - (0 - e^{-x}) = e^{-x}$
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$I = (x - 1 + e^{-x}) + e^{-x} = x + 2e^{-x} - 1$.

(B) मान लीजिए लाल,सफेद,नीले और हरे कंचों की संख्या क्रमशः $r, w, b, g$ है और $r + w + b + g = n$ है।
दिया गया है कि घटनाएं समान रूप से संभावित हैं,इसलिए:
$\frac{{}^rC_4}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^rC_3}{{}^nC_4} = \frac{{}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2}{{}^nC_4} = \frac{{}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1}{{}^nC_4}$
प्रथम समानता से: ${}^rC_4 = {}^wC_1 \cdot {}^rC_3 \Rightarrow r = 4w + 3$.
दूसरी समानता से: ${}^wC_1 \cdot {}^rC_3 = {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 \Rightarrow r = 3b + 2$.
तीसरी समानता से: ${}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^rC_2 = {}^rC_1 \cdot {}^wC_1 \cdot {}^bC_1 \cdot {}^gC_1 \Rightarrow r = 2g + 1$.
$r$ के लिए समीकरणों की तुलना करने पर: $r = 4w + 3 = 3b + 2 = 2g + 1$.
$r$ का न्यूनतम मान $11$ प्राप्त होता है।
अतः $w = 2, b = 3, g = 5$.
कुल कंचे $n = 11 + 2 + 3 + 5 = 21$।

(D) मान लीजिए $X_i$ $i$-वें प्रयास में बक्से $B_1$ में डाली गई गेंदों की संख्या है।
प्रत्येक प्रयास में,$D_1$ पर $j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $D_2$ पर $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ आता है।
यदि $k=1$ है तो बक्से $B_1$ में $j$ गेंदें डाली जाती हैं,और यदि $k \neq 1$ है तो $0$ गेंदें डाली जाती हैं।
$n$ प्रयासों के बाद $B_1$ में अधिकतम एक गेंद होने के लिए,या तो सभी $n$ प्रयासों में शून्य गेंदें डाली जाएं,या एक प्रयास में ठीक एक गेंद और शेष $n-1$ प्रयासों में शून्य गेंदें डाली जाएं।
स्थिति $1$: सभी $n$ प्रयासों में शून्य गेंदें डाली जाएं। यह तब होता है जब प्रत्येक प्रयास में $k \neq 1$ हो। प्रायिकता $(\frac{5}{6})^n$ है।
स्थिति $2$: एक प्रयास में ठीक एक गेंद और शेष में शून्य गेंदें डाली जाएं। यह तब होता है जब एक प्रयास में $j=1$ और $k=1$ हो (प्रायिकता $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$),और शेष $n-1$ प्रयासों में $k \neq 1$ हो (प्रायिकता $(\frac{5}{6})^{n-1}$)।
चूंकि जिस प्रयास में गेंद डाली जाती है उसके लिए $n$ विकल्प हैं,प्रायिकता $n \times \frac{1}{36} \times (\frac{5}{6})^{n-1} = n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$ है।
कुल प्रायिकता = $(\frac{5}{6})^n + n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$।

(B) दिया गया है $\vec{a} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ और $\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।
चूँकि $\vec{b}$,$\vec{d}$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\vec{b} = \lambda \vec{d} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
दिया गया है $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$,इसलिए $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (6 - \lambda) \hat{i} - (3 + \lambda) \hat{j} - (6 + \lambda) \hat{k}$।
चूँकि $\vec{c}$,$\vec{d}$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।
$(6 - \lambda)(1) + (-3 - \lambda)(1) + (-6 - \lambda)(1) = 0$।
$6 - \lambda - 3 - \lambda - 6 - \lambda = 0$।
$-3 - 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$।
$\lambda = -1$ को $\vec{c}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\vec{c} = (6 - (-1)) \hat{i} - (3 + (-1)) \hat{j} - (6 + (-1)) \hat{k} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$।

(D) दिया गया है $f(x) = \alpha x^2 - 2 + \frac{1}{x} = \frac{\alpha x^3 - 2x + 1}{x}$.
सभी $x > 0$ के लिए $f(x) \geq 0$ होने के लिए,$g(x) = \alpha x^3 - 2x + 1 \geq 0$ होना चाहिए।
$g(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$g'(x) = 3\alpha x^2 - 2$ प्राप्त करते हैं।
$g'(x) = 0$ रखने पर,$x^2 = \frac{2}{3\alpha}$,इसलिए $x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ (चूंकि $x > 0$ है)।
द्वितीय अवकलज $g''(x) = 6\alpha x > 0$ है,जो पुष्टि करता है कि यह बिंदु न्यूनतम है।
$x = \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$ को $g(x)$ में रखने पर:
$g\left(\sqrt{\frac{2}{3\alpha}}\right) = \alpha \left(\frac{2}{3\alpha}\right) \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} - 2\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} + 1 \geq 0$.
$\sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \left( \frac{2}{3} - 2 \right) + 1 \geq 0$.
$1 - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \geq 0 \Rightarrow 1 \geq \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2}{3\alpha}}$.
$\frac{3}{4} \geq \sqrt{\frac{2}{3\alpha}} \Rightarrow \frac{9}{16} \geq \frac{2}{3\alpha}$.
$27\alpha \geq 32 \Rightarrow \alpha \geq \frac{32}{27} = \frac{2^5}{3^3}$.
अतः,न्यूनतम मान $\frac{2^5}{3^3}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $f(x) + \int_{0}^{x} t f(t) dt + x^2 = 0$।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f'(x) + x f(x) + 2x = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$f'(x) = -x(f(x) + 2)$।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। चरों को अलग करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x) + 2} = -x$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|f(x) + 2| = -\frac{x^2}{2} + C$।
अतः,$f(x) + 2 = A e^{-x^2/2}$,या $f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$।
मूल समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$f(0) + \int_{0}^{0} t f(t) dt + 0^2 = 0 \Rightarrow f(0) = 0$।
$f(x) = A e^{-x^2/2} - 2$ में $x = 0$ रखने पर:
$0 = A(1) - 2 \Rightarrow A = 2$।
इसलिए,$f(x) = 2 e^{-x^2/2} - 2$।
अब,सीमाओं का मान ज्ञात करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$।
$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} (2 e^{-x^2/2} - 2) = 0 - 2 = -2$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) दिया गया वक्र $y=2x-4x^3$ है। मान लीजिए $2x-4x^3=c$ के मूल $a, b$ और $\alpha$ हैं।
चूंकि $4x^3-2x+c=0$,इसलिए $a+b+\alpha=0$,$ab+a\alpha+b\alpha=-\frac{1}{2}$,और $ab\alpha=-\frac{c}{4}$ है।
आकृति से,क्षेत्र $I$ का क्षेत्रफल $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx$ है और क्षेत्र $II$ का क्षेत्रफल $c(b-a)$ है।
दिया गया है कि $\int_a^b (2x-4x^3-c) dx = c(b-a)$,इसलिए $\int_a^b (2x-4x^3) dx = 2c(b-a)$।
समाकलन करने पर: $[x^2-x^4]_a^b = 2c(b-a) \Rightarrow (b^2-a^2)-(b^4-a^4) = 2c(b-a)$।
$(b-a)$ से विभाजित करने पर,$(b+a)(1-(b^2+a^2)) = 2c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a+b=-\alpha$,इसलिए $-\alpha(1-(a^2+b^2)) = 2c$ प्राप्त होता है।
$a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = \alpha^2-2(\alpha^2-\frac{1}{2}) = 1-\alpha^2$ का उपयोग करने पर,$-\alpha(1-(1-\alpha^2)) = 2c \Rightarrow -\alpha^3 = 2c$ प्राप्त होता है।
साथ ही $ab\alpha = -c/4 \Rightarrow c = -4ab\alpha = -4\alpha(\alpha^2-1/2) = -4\alpha^3+2\alpha$।
$2c = -2\alpha^3$ और $2c = -8\alpha^3+4\alpha$ की तुलना करने पर,$6\alpha^3=4\alpha$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $\alpha^2 = 2/3$। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{2}{\sqrt{7}}$ है।

(C) मान लीजिए $S_n$ उन उपसमुच्चयों $A \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$ की संख्या है जिनमें किन्हीं दो तत्वों का अंतर कम से कम $3$ है। मान लीजिए $a_n$ ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या है।
$n=10$ के लिए,हम कुल वैध उपसमुच्चयों की संख्या $N$ की गणना करते हैं।
मान लीजिए $f(n)$ $X_n$ के लिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या है। पुनरावृत्ति संबंध $f(n) = f(n-1) + f(n-3) + 1$ है (जहाँ $1$ रिक्त समुच्चय के लिए है)।
मानों की गणना करने पर: $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=6, f(5)=9, f(6)=13, f(7)=19, f(8)=28, f(9)=41, f(10)=60$.
कुल उपसमुच्चय $N = 60$.
$1$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या: यदि $1 \in A$,तो $2, 3 \notin A$. हमें $\{4, 5, \ldots, 10\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने की आवश्यकता है ताकि तत्वों का अंतर कम से कम $3$ हो। यह समान शर्त के साथ $\{1, 2, \ldots, 7\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने के बराबर है। अतः,$N(1 \in A) = f(7) = 19$.
इसलिए,$p = \frac{19}{60}$.
$2$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या: यदि $2 \in A$,तो $1, 3, 4 \notin A$. हमें $\{5, 6, \ldots, 10\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने की आवश्यकता है ताकि तत्वों का अंतर कम से कम $3$ हो। यह समान शर्त के साथ $\{1, 2, \ldots, 6\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने के बराबर है। अतः,$N(2 \in A) = f(6) = 13$.
इसलिए,$q = \frac{13}{60}$.
अतः,$p > q$ और $p - q = \frac{19-13}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.

(D) जब सारणिक $D$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम प्रविष्टियों का $5$ के मापांक (modulo) में मूल्यांकन करते हैं।
$2014 \equiv -1 \pmod{5}$,$2015 \equiv 0 \pmod{5}$,$2016 \equiv 1 \pmod{5}$,$2017 \equiv 2 \pmod{5}$,$2018 \equiv 3 \equiv -2 \pmod{5}$,$2019 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$,$2020 \equiv 0 \pmod{5}$,$2021 \equiv 1 \pmod{5}$,$2022 \equiv 2 \pmod{5}$.
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} (-1)^{2014} & 0^{2015} & 1^{2016} \\ 2^{2017} & (-2)^{2018} & (-1)^{2019} \\ 0^{2020} & 1^{2021} & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
$D \equiv \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2^{2017} & 2^{2018} & -1 \\ 0 & 1 & 2^{2022} \end{array}\right| \pmod{5}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D \equiv 1(2^{2018} \cdot 2^{2022} - (-1)(1)) - 0 + 1(2^{2017} \cdot 1 - 0) \pmod{5}$
$D \equiv 2^{4040} + 1 + 2^{2017} \pmod{5}$
फर्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार,$a^4 \equiv 1 \pmod{5}$:
$2^{4040} = (2^4)^{1010} \equiv 1^{1010} \equiv 1 \pmod{5}$
$2^{2017} = (2^4)^{504} \cdot 2^1 \equiv 1^{504} \cdot 2 \equiv 2 \pmod{5}$
अतः,$D \equiv 1 + 1 + 2 = 4 \pmod{5}$.
शेषफल $4$ है।

(B) पहली आकृति का क्षेत्रफल $= 2xy + \frac{1}{2}(2y+y)x = 3.5xy$.
दूसरी आकृति का क्षेत्रफल $= 2xy + y^2$ के रूप में गणना की जाती है।
दोनों को बराबर करने पर: $3.5xy = 2xy + y^2$ $\Rightarrow 1.5xy = y^2$ $\Rightarrow 1.5x = y$ $\Rightarrow 3x = 2y$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही संबंध $x=2y$ है।