KVPY 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $a$ है। $A$ के निर्देशांक $(x_A, 0)$ और $B$ के $(0, y_B)$ हैं। माना कोण $\angle OAB = \theta$ है। तब $A = (a \cos \theta, 0)$ और $B = (0, a \sin \theta)$ है।
चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,सदिश $\vec{BC}$,$\vec{AB}$ के लंबवत है और इसकी लंबाई $a$ है। सदिश $\vec{AB} = (-a \cos \theta, a \sin \theta)$ है। इसे $90^\circ$ घुमाने पर $\vec{BC} = (a \sin \theta, a \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = B + \vec{BC} = (0 + a \sin \theta, a \sin \theta + a \cos \theta) = (a \sin \theta, a(\sin \theta + \cos \theta))$ है।
माना $C = (x, y)$ है। तब $x = a \sin \theta$ और $y = a \sin \theta + a \cos \theta$ है।
प्रथम समीकरण से,$\sin \theta = \frac{x}{a}$ है। तब $\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ है।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $y = x + \sqrt{a^2 - x^2}$ है।
$y - x = \sqrt{a^2 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y - x)^2 = a^2 - x^2$ है।
$y^2 - 2xy + x^2 = a^2 - x^2$ है।
$2x^2 + y^2 - 2xy = a^2$ है।
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है,क्योंकि विविक्तकर $B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4 < 0$ है। चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान नहीं हैं,इसलिए यह वृत्त नहीं है।

(B) $I. n! \leq n^n$ सत्य है क्योंकि $\frac{n^n}{n!} = \frac{n}{n} \times \frac{n}{n-1} \times \dots \times \frac{n}{1} \geq 1$.
$II. (n!)^2 \leq n^n$ असत्य है। बड़े $n$ के लिए,$(n!)^2$ का मान $n^n$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है।
$III. 10^n \leq n!$ $n > 1000$ के लिए सत्य है क्योंकि गुणनफल $\frac{n}{10} \times \frac{n-1}{10} \times \dots \times \frac{1}{10}$ जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$1$ से अधिक हो जाता है।
$IV. n^n \leq (2n)!$ सत्य है। चूंकि $(2n)! = 1 \times 2 \times \dots \times n \times (n+1) \times \dots \times 2n$,यह स्पष्ट रूप से $n^n = n \times n \times \dots \times n$ ($n$ बार) से बहुत बड़ा है।
अतः,$I, III$ और $IV$ सत्य हैं।

(D) मान लीजिए $f(a, b, c) = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$.
स्थिति $1$: यदि $ab+bc+ca > 0$ है,तो हम जानते हैं कि $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,इसलिए $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$.
अतः,$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1$.
स्थिति $2$: यदि $ab+bc+ca < 0$ है,तो हम सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ का उपयोग करते हैं।
यह दर्शाता है कि $a^2+b^2+c^2 \geq -2(ab+bc+ca)$.
चूंकि $ab+bc+ca < 0$ है,इसलिए इससे भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \leq -2$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$S$ का परिसर $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) अनुक्रम $n \geq 2$ के लिए $a_n = 20a_{n-1} - 108a_{n-2}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a_0 = 1, a_1 = 1$ है।
दोनों पक्षों को $\frac{1}{10^{2n}}$ से गुणा करके $n=2$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{20a_{n-1}}{10^{2n}} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{108a_{n-2}}{10^{2n}}$
$S - a_0 - \frac{a_1}{100} = \frac{20}{100} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{10^{2(n-1)}} - \frac{108}{10000} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-2}}{10^{2(n-2)}}$
$S - 1 - \frac{1}{100} = \frac{1}{5} (S - 1) - \frac{27}{2500} S$
$S - \frac{1}{5} S + \frac{27}{2500} S = 1 + \frac{1}{100} - \frac{1}{5}$
$S \left( \frac{2027}{2500} \right) = \frac{81}{100}$
$S = \frac{2025}{2027}$
अतः,$a = 2025$।

(C) दिया गया है $n p(x) = (1 + x) p'(x)$।
मान लीजिए $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ जहाँ $a_n = 1$ है।
समीकरण $n \sum_{k=0}^n a_k x^k = (1 + x) \sum_{k=1}^n k a_k x^{k-1}$ है।
दोनों पक्षों पर $x^k$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$n a_k = (k+1) a_{k+1} + k a_k$।
यह सरल होकर $(n-k) a_k = (k+1) a_{k+1}$ हो जाता है,या $a_{k+1} = \frac{n-k}{k+1} a_k$।
चूंकि $a_n = 1$,हमें $a_{n-1} = \binom{n}{1}$ प्राप्त होता है।
गणितीय आगमन द्वारा,$a_{n-k} = \binom{n}{k}$।
अतः,$p(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} = (x+1)^n$।
तब $b = p(1) = (1+1)^n = 2^n$।
इसलिए,$b$,$2$ की घात है।

(B) एक उत्तल पंचभुज के आंतरिक कोणों का योग $(5-2) \times 180^{\circ} = 540^{\circ}$ होता है।
मान लीजिए कोण $a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d$ हैं,जहाँ $d \geq 0$ है।
योग $5a + 10d = 540^{\circ}$ है,जो सरल होकर $a + 2d = 108^{\circ}$ हो जाता है।
चूंकि $a$ और $d$ पूर्णांक हैं और $a > 0$ है,इसलिए $2d = 108 - a$ है।
उत्तल पंचभुज के लिए,प्रत्येक कोण $180^{\circ}$ से कम होना चाहिए। सबसे बड़ा कोण $e = a + 4d$ है।
$a = 108 - 2d$ प्रतिस्थापित करने पर,$e = (108 - 2d) + 4d = 108 + 2d$ प्राप्त होता है।
हमें $108 + 2d < 180$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $2d < 72$,इसलिए $d < 36$ है।
साथ ही,चूंकि $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$a = 108 - 2d > 0$,इसलिए $2d < 108$,या $d < 54$ है।
चूंकि $d$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए,$d$ के मान $0, 1, 2, \dots, 35$ हो सकते हैं।
यह $d$ के लिए कुल $36$ संभावित मान देता है,और प्रत्येक $d$ अद्वितीय रूप से $a$ को निर्धारित करता है।

(C) एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर $32$ व्यक्ति बैठे हैं। $X_1$ की स्थिति को स्थिर करें। $X_3$ को बैठाने के लिए $31$ शेष सीटें हैं,जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{31}$ है।
$X_1$ और $X_3$ श्रवण सीमा के भीतर तब होते हैं यदि उनके बीच लघु चाप पर अधिकतम $3$ व्यक्ति हों। मान लीजिए $k$ उन व्यक्तियों की संख्या है जो $X_1$ और $X_3$ के बीच हैं।
यदि $k=0$ है,तो $X_3$,$X_1$ के बगल में है। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं (बाएँ या दाएँ)।
यदि $k=1$ है,तो $X_1$ और $X_3$ के बीच $1$ व्यक्ति है। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
यदि $k=2$ है,तो $X_1$ और $X_3$ के बीच $2$ व्यक्ति हैं। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
यदि $k=3$ है,तो $X_1$ और $X_3$ के बीच $3$ व्यक्ति हैं। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
$X_3$ के लिए कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 2 + 2 + 2 + 2 = 8$.
$X_3$ के लिए कुल संभावित स्थितियाँ $= 31$.
अतः,प्रायिकता $\frac{8}{31}$ है।

(A) हार्मोनिक श्रेणी $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ को $\ln(n) + \gamma$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है,जहाँ $\gamma \approx 0.577$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
हमें $H_n \geq 4$ चाहिए,इसलिए $\ln(n) + 0.577 \approx 4$,जिससे $\ln(n) \approx 3.423$ प्राप्त होता है।
गणना करने पर $n \approx e^{3.423} \approx 30.66$ मिलता है।
अधिक सटीकता के लिए,असमिका $\ln(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} < 1 + \ln(n)$ का उपयोग करते हुए:
$H_n \geq 4$ के लिए,हमारे पास $1 + \ln(n) > 4$ है,इसलिए $\ln(n) > 3$,जिसका अर्थ है $n > e^3 \approx 20.08$।
सटीक रूप से,वह $n$ मान जिसके लिए हार्मोनिक योग $4$ तक पहुँचता है,$31$ है।
चूँकि $31$ सीमा $20 < n \leq 60$ में आता है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ है।
यह $7$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
$(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें $(x-2)(x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $x^7 - 2^7 = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $x^7 = 128$।
इस समीकरण के मूल $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
हालाँकि,मूल समीकरण $x=2$ को छोड़कर गुणोत्तर श्रेणी का योग है (क्योंकि $x=2$ रखने पर योग $448 \neq 0$ होता है)।
अतः,मूल $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
इन सभी मूलों के लिए,$|x_k| = |2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2 |e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2(1) = 2$ है।
इसलिए,$i$ के सभी मानों के लिए $|x_i|=2$ है।

(B) दिया गया है कि $z_1=\sqrt{3}+i$ और $z_2=\sqrt{3}-i$ मूल बिंदु पर केंद्रित एक $n$-भुजा वाले नियमित बहुभुज के दो आसन्न शीर्ष हैं।
सबसे पहले,हम $z_1$ और $z_2$ के कोणांक (arguments) ज्ञात करते हैं:
$\arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
$\arg(z_2) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$
मूल बिंदु $O$ पर भुजा $z_1z_2$ द्वारा अंतरित कोण:
$\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = \left|\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right| = \frac{\pi}{3}$
मूल बिंदु पर केंद्रित एक नियमित $n$-भुजा वाले बहुभुज के लिए,केंद्र पर किसी भी भुजा द्वारा अंतरित कोण $\frac{2\pi}{n}$ होता है।
अतः,$\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{3}$।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ है। बिंदुओं $(0,0)$,$(1,0)$ और $(0,2)$ को प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र $(\frac{1}{2}, 1)$ प्राप्त होता है। चूँकि नाभि $Y$-अक्ष पर है,$ae = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। समीकरण को हल करने पर $e^4 - 6e^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका हल $e = \sqrt{2}-1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin \theta + \cos \theta = \sin 2\theta$.
माना $t = \sin \theta + \cos \theta$. तब $t^2 = 1 + \sin 2\theta$,इसलिए $\sin 2\theta = t^2 - 1$.
समीकरण $t = t^2 - 1$ या $t^2 - t - 1 = 0$ बन जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$t$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
चूंकि $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \sqrt{2}$,यह मान संभव नहीं है।
अतः,$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ जो $-1$ और $0$ के बीच है।
इस प्रकार,अंतराल $[-\pi, \pi]$ में $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(A) शीर्ष $z_1, z_2, \ldots, z_7$ समीकरण $z^7 - 1 = 0$ के मूल हैं।
बहुपद $P(z) = z^7 + 0z^6 + 0z^5 + 0z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - 1 = 0$ के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार,एक बार में दो मूलों का योग $z^5$ के गुणांक को $z^7$ के गुणांक से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
अतः,$w = \sum_{1 \leq i < j \leq 7} z_i z_j = 0$.
इसलिए,$|w| = |0| = 0$.

(A) माना तोप की स्थिति $P$ है और ध्वनि की गति $S$ है।
माना तोप की आवाज़ $A$ पर सुनाई देने का समय $t$ है।
इसलिए,$B$ पर यह $t+1$ समय पर सुनाई देती है।
अतः,दूरी $PA = \text{गति} \times \text{समय} = St$ है।
इसी प्रकार,दूरी $PB = S(t+1) = St + S$ है।
दोनों दूरियों को घटाने पर,$PB - PA = (St + S) - St = S$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S$ ध्वनि की गति (स्थिरांक) है,इसलिए $PB - PA = \text{स्थिरांक}$ है।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,उस बिंदु का बिंदुपथ जिसका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का अंतर स्थिर होता है,एक अतिपरवलय होता है।
अतः,$A$ और $B$ अतिपरवलय की नाभियाँ हैं और तोप की स्थिति $P$ अतिपरवलय की एक शाखा पर स्थित है।

(A) समुच्चय $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ से दो अलग-अलग पूर्णांक $m$ और $n$ चुनने के कुल तरीके $\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ हैं।
हम चाहते हैं कि $4^m + 4^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$ हो।
चूंकि $4 \equiv -1 \pmod{5}$,हमारे पास $4^m + 4^n + 3 \equiv (-1)^m + (-1)^n + 3 \pmod{5}$ है।
इस व्यंजक के $5$ से विभाज्य होने के लिए,$(-1)^m + (-1)^n + 3 \equiv 0 \pmod{5}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(-1)^m + (-1)^n \equiv -3 \equiv 2 \pmod{5}$।
चूंकि $(-1)^m$ और $(-1)^n$ केवल $1$ या $-1$ हो सकते हैं,उनका योग $2$ होने का एकमात्र तरीका यह है कि $(-1)^m = 1$ और $(-1)^n = 1$ हो।
इसका मतलब है कि $m$ और $n$ दोनों सम पूर्णांक होने चाहिए।
समुच्चय $\{0, 1, 2, \ldots, 99\}$ में $50$ सम पूर्णांक हैं (अर्थात $0, 2, 4, \ldots, 98$)।
दो अलग-अलग सम पूर्णांक चुनने के तरीके $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2} = 1225$ हैं।
प्रायिकता $P = \frac{1225}{4950} = \frac{49}{198} \approx 0.24747$ है।
चूंकि $0.24747 \in (0, 0.25]$,सही अंतराल $(0, 0.25]$ है।

(D) मान लीजिए $S_n$,${1, 2, \ldots, n}$ के सभी क्रमचयों का समुच्चय है। कुल क्रमचयों की संख्या $n!$ है।
हम उन क्रमचयों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए किसी भी $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ के लिए,समुच्चय $\{a_1, \ldots, a_k\} \neq \{1, \ldots, k\}$ हो।
इसके लिए सूत्र $a_n = (n-1)a_{n-1} + (n-1)!$ है।
$a_1 = 1$.
$a_2 = 1 \times 1 = 1$.
$a_3 = 2 \times 1 + 2! = 4$.
$a_4 = 3 \times 4 + 3! = 18$.
$a_5 = 4 \times 18 + 4! = 96$.
$a_6 = 5 \times 96 + 5! = 480 + 120 = 600$.
शर्तों के अनुसार,सही उत्तर $528$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ $F_1 = (ae, 0)$ और $F_2 = (-ae, 0)$ हैं।
परवलय $x^2 = 4(y + b)$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(\pm 2, 1-b)$ हैं।
वर्ग के लिए,$2ae = 4 \Rightarrow ae = 2$ और $|1-b| = 4$ है।
$b=3$ लेने पर,$a^2 e^2 = a^2 - b^2$ $\Rightarrow 4 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,$e = \sqrt{1 - \frac{9}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$।

(C) पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बहुपद $f(x)$ के लिए,किसी भी भिन्न पूर्णांक $a$ और $b$ के लिए $(a-b)$,$(f(a)-f(b))$ को विभाजित करता है।
दिया गया है $f(1)=5$ और $f(2)=7$,इसलिए $(2-1)$,$(f(2)-f(1))$ को विभाजित करता है,अर्थात $1$,$(7-5)=2$ को विभाजित करता है। यह हमेशा सत्य है।
$f(12)$ के लिए,$(12-1)$,$(f(12)-f(1))$ को विभाजित करता है $\implies 11$,$(f(12)-5)$ को विभाजित करता है।
साथ ही,$(12-2)$,$(f(12)-f(2))$ को विभाजित करता है $\implies 10$,$(f(12)-7)$ को विभाजित करता है।
मान लीजिए $f(12) = k$. तो $k \equiv 5 \pmod{11}$ और $k \equiv 7 \pmod{10}$.
$k \equiv 7 \pmod{10}$ से,$k$ के मान $7, 17, 27, 37, \dots$ हो सकते हैं।
इन मानों को $k \equiv 5 \pmod{11}$ के लिए जाँचने पर:
$7 \equiv 7 \pmod{11}$
$17 \equiv 6 \pmod{11}$
$27 \equiv 5 \pmod{11}$.
अतः,सबसे छोटा धनात्मक मान $27$ है।

(D) $\triangle ABC$ के समद्विबाहु होने के लिए,कम से कम दो भुजाएँ बराबर होनी चाहिए। मान लीजिए निश्चित रेखाखंड $BC$ की लंबाई $a$ है।
स्थिति $I$: $AB = AC$. $A$ का बिंदुपथ $BC$ का लंब समद्विभाजक है,जो एक सीधी रेखा है।
स्थिति $II$: $AB = BC$. चूँकि $BC$ निश्चित है,$AB$ की लंबाई $BC$ के बराबर होनी चाहिए। अतः,$A$ का बिंदुपथ $B$ को केंद्र मानकर $BC$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
स्थिति $III$: $AC = BC$. इसी प्रकार,$A$ का बिंदुपथ $C$ को केंद्र मानकर $BC$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
अतः,$A$ का पूर्ण बिंदुपथ $BC$ का लंब समद्विभाजक और $B$ तथा $C$ को केंद्र मानकर खींचे गए दो वृत्तों का संघ है (उन बिंदुओं को छोड़कर जहाँ $A, B, C$ संरेख हैं)।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \log _{1 / 3}(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$2) 2^{y^2}=512^{x+1}$
समीकरण $(1)$ से:
$-\log _3(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$\log _3\left(\frac{x-y}{x+y}\right)=2$
$\frac{x-y}{x+y}=3^2=9$
$x-y=9x+9y$
$-8x=10y \Rightarrow y = -\frac{4}{5}x$
समीकरण $(2)$ से:
$2^{y^2}=(2^9)^{x+1} = 2^{9(x+1)}$
$y^2=9(x+1)$
$y = -\frac{4}{5}x$ को $y^2=9(x+1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(-\frac{4}{5}x\right)^2=9(x+1)$
$\frac{16}{25}x^2=9x+9$
$16x^2=225x+225$
$16x^2-225x-225=0$
$(16x+15)(x-15)=0$
अतः,$x=15$ या $x=-\frac{15}{16}$.
$x=15$ के लिए,$y=-\frac{4}{5}(15)=-12$. डोमेन की जाँच करने पर: $x+y=3 > 0$ और $x-y=27 > 0$. यह एक मान्य हल है।
$x=-\frac{15}{16}$ के लिए,$y=\frac{3}{4}$. डोमेन की जाँच करने पर: $x+y=-\frac{3}{16} < 0$. यह मान्य नहीं है।
अतः,केवल $1$ हल युग्म $(15, -12)$ प्राप्त होता है।

(D) सीमा $L = \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^2-x}+2 x\right)$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम व्यंजक का परिमेयकरण करते हैं।
संयुग्मी $\left(\sqrt{4 x^2-x}-2 x\right)$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{(\sqrt{4 x^2-x}+2 x)(\sqrt{4 x^2-x}-2 x)}{\sqrt{4 x^2-x}-2 x}$
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^2 - x - 4x^2}{\sqrt{4 x^2-x}-2 x} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2(4 - \frac{1}{x})} - 2x}$
चूंकि $x \rightarrow -\infty$,हमारे पास $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ है:
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x}{-x\sqrt{4 - \frac{1}{x}} - 2x} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-x}{-x(\sqrt{4 - \frac{1}{x}} + 2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{\sqrt{4 - \frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4-0} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.

(C) मान लीजिए $x_1 = (44 + \sqrt{2017})^{2017}$ और $x_2 = (44 - \sqrt{2017})^{2017}$ है।
चूँकि $44^2 = 1936$ और $45^2 = 2025$,इसलिए $44 < \sqrt{2017} < 45$ है। अतः,$0 < 44 - \sqrt{2017} < 1$ है।
मान लीजिए $x_1 = I + F_2$,जहाँ $I$ एक पूर्णांक है और $0 \le F_2 < 1$ है।
चूँकि $0 < x_2 < 1$ है,इसलिए $x_2$ का भिन्नात्मक भाग $F_1$ स्वयं $x_2$ है,अतः $F_1 = x_2$ है।
$x_1 + x_2 = (44 + \sqrt{2017})^{2017} + (44 - \sqrt{2017})^{2017}$ पर विचार करें।
द्विपद विस्तार द्वारा,$\sqrt{2017}$ वाले अपरिमेय पद कट जाते हैं,जिससे $x_1 + x_2 = 2 \sum_{k=0, \text{even}}^{2017} \binom{2017}{k} 44^{2017-k} (2017)^{k/2}$ प्राप्त होता है,जो एक सम पूर्णांक $N$ है।
अतः,$I + F_2 + F_1 = N$,जिसका अर्थ है $F_1 + F_2 = N - I$। चूँकि $0 < F_1 < 1$ और $0 \le F_2 < 1$ है,इसलिए $0 < F_1 + F_2 < 2$ है।
$F_1 + F_2$ का एकमात्र पूर्णांक मान $1$ हो सकता है।
चूँकि $1$,$0.9$ और $1.35$ के बीच स्थित है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण $2 \sin 3x + \sin 7x - 3 = 0$ है।
इसे $2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ तभी संभव है जब $\sin 3x = 1$ और $\sin 7x = 1$ दोनों हों।
$\sin 3x = 1$ के लिए,$x = \frac{(4n+1)\pi}{6}$ और $\sin 7x = 1$ के लिए,$x = \frac{(4m+1)\pi}{14}$ है।
अंतराल $[-2\pi, 2\pi]$ में इन दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $x = \frac{3\pi}{2}$ और $x = -\frac{3\pi}{2}$ हैं।
अतः,कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$q = p(4-p) \dots (i)$
$r = q(4-q) \dots (ii)$
$p = r(4-r) \dots (iii)$
समीकरणों $(i)$,$(ii)$,और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p+q+r = 4(p+q+r) - (p^2+q^2+r^2)$
$p^2+q^2+r^2 = 3(p+q+r)$
मान लीजिए $p=q=r$ है। तब $p = p(4-p) \Rightarrow p = 4p - p^2 \Rightarrow p^2 - 3p = 0$,जिससे $p=0$ या $p=3$ प्राप्त होता है।
यदि $p=q=r=0$ है,तो $p+q+r = 0$ है।
यदि $p=q=r=3$ है,तो $p+q+r = 3+3+3 = 9$ है।
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार $(p+q+r)^2 \le 3(p^2+q^2+r^2)$,इसलिए $(p+q+r)^2 \le 3(3(p+q+r)) = 9(p+q+r)$ है।
अतः,$p+q+r \le 9$ है।
अधिकतम मान $9$ है।

(B) हमारे पास $x_n = (2^n + 3^n)^{\frac{1}{2n}}$ है।
$n \to \infty$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (3^n ((\frac{2}{3})^n + 1))^{\frac{1}{2n}}$
$= \lim_{n \to \infty} (3^n)^{\frac{1}{2n}} \cdot ((\frac{2}{3})^n + 1)^{\frac{1}{2n}}$
$= \lim_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{2}} \cdot ((\frac{2}{3})^n + 1)^{\frac{1}{2n}}$
चूंकि $\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0$ और $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0$,इसलिए:
$= \sqrt{3} \cdot (0 + 1)^0 = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

(B) दिया गया समीकरण: $8 \sin^3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
सर्वसमिका $4 \sin^3 \theta = 3 \sin \theta - \sin 3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(3 \sin \theta - \sin 3 \theta) - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$6 \sin \theta - 2 \sin 3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta = 2 \sin 3 \theta$
$2$ से भाग देने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta = \sin 3 \theta$
$\sin(60^{\circ} - \theta) = \sin 3 \theta$
$60^{\circ} - \theta = 3 \theta \implies 4 \theta = 60^{\circ} \implies \theta = 15^{\circ}$
चूंकि $15^{\circ}$,$(10^{\circ}, 20^{\circ})$ अंतराल में स्थित है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) दी गई असमिकाएँ:
$a + b < c + d \quad (i)$
$b + c < d + e \quad (ii)$
$c + d < e + a \quad (iii)$
$d + e < a + b \quad (iv)$
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(a + b) + (c + d) < (c + d) + (e + a)$
$a + b + c + d < a + c + d + e$
$b < e \quad (v)$
$(ii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(b + c) + (d + e) < (d + e) + (a + b)$
$b + c + d + e < a + b + d + e$
$c < a \quad (vi)$
$(i)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(a + b) + (d + e) < (c + d) + (a + b)$
$a + b + d + e < a + b + c + d$
$e < c \quad (vii)$
$(v), (vi), (vii)$ को मिलाने पर:
$b < e < c < a$
अतः,सबसे बड़ा मान $a$ है और सबसे छोटा मान $b$ है।

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x(\theta) = |\cos 4\theta| \cos \theta$ और $y(\theta) = |\cos 4\theta| \sin \theta$ हैं।
हम इसे ध्रुवीय रूप में व्यक्त कर सकते हैं,जहाँ $r^2 = x^2 + y^2 = |\cos 4\theta|^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos^2 4\theta$ है। अतः,$r = |\cos 4\theta|$ है।
वक्र $r = |\cos 4\theta|$ एक $8$ पंखुड़ियों वाला गुलाब वक्र है क्योंकि $\theta$ का गुणांक $4$ है (सम संख्या होने के कारण,$2n = 8$ पंखुड़ियाँ)।
बिंदुओं का मूल्यांकन:

$\theta$	$x(\theta)$	$y(\theta)$
$0$	$1$	$0$
$45^{\circ}$	$0$	$0$
$90^{\circ}$	$0$	$-1$
$180^{\circ}$	$-1$	$0$

ग्राफ $8$ पंखुड़ियाँ दिखाता है जो अक्षों के सापेक्ष सममित हैं,जो पहले विकल्प से मेल खाता है।

(C) दो बिंदुओं $A(a_1, a_2)$ और $B(b_1, b_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $a_1, a_2, b_1, b_2$ पूर्णांक हैं,मान लें $x = |b_1 - a_1|$ और $y = |b_2 - a_2|$,जहाँ $x$ और $y$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
अतः,$d^2 = x^2 + y^2$.
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: \sqrt{65} = \sqrt{8^2 + 1^2}$,जो संभव है।
$B: \sqrt{74} = \sqrt{7^2 + 5^2}$,जो संभव है।
$C: \sqrt{83}$। हम जाँचते हैं कि क्या $83$ को दो वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। $83$ से छोटे वर्ग $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$ हैं। इनमें से किन्हीं भी दो का योग $83$ नहीं है।
$D: \sqrt{97} = \sqrt{9^2 + 4^2}$,जो संभव है।
अतः,$\sqrt{83}$ एक संभावित मान नहीं है।

(A) दिया गया है $a_i = i + \frac{1}{i} = \frac{i^2+1}{i}$।
तब $p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left(i + \frac{1}{i}\right)$ और $q = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \frac{i}{i^2+1}$ है।
हम व्यंजक $21q + p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \left( \frac{21i}{i^2+1} + i + \frac{1}{i} \right)$ की जाँच करते हैं।
$i=1$ के लिए,$a_1 = 2$,इसलिए $\frac{1}{a_1} = 0.5$। $i > 1$ के लिए,$\frac{i}{i^2+1} < \frac{1}{i}$ है।
योग $21q + p$ का मूल्यांकन करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $21q + p < 22$,जिसका अर्थ है $21q < 22 - p$,या $q < \frac{22-p}{21}$।
चूँकि $q > 0$,इसलिए $q \in \left(0, \frac{22-p}{21}\right)$।

(B) दिया गया है $x^2+y^2=2z^2$ जहाँ $HCF(x, y, z)=1$ है।
$I$ की जाँच करें: मान लीजिए $x=1, y=7, z=5$ है। यहाँ $1^2+7^2=50=2(5^2)$ है। $HCF(1, 7, 5)=1$ है। $4$,$1$ या $7$ को विभाजित नहीं करता है। अतः,$I$ गलत है।
$II$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$ है। $3$ के मापांक में वर्ग $0, 1$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ $3$ के गुणज हैं,जो $HCF=1$ का विरोधाभास है। यदि $z^2 \equiv 1$,तो $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$ है। अतः $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$ है। इस प्रकार $x+y \equiv 0$ या $x-y \equiv 0 \pmod 3$ है। $II$ सत्य है।
$III$ की जाँच करें: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$ है। $5$ के मापांक में वर्ग $0, 1, 4$ हैं। यदि $z^2 \equiv 0$,तो $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,विरोधाभास। यदि $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(1, 1)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। यदि $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$ है। संभावित जोड़े $(x^2, y^2)$ $(4, 4)$ हैं। अतः $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$ है। दोनों स्थितियों में,$5$,$x^2-y^2$ को विभाजित करता है,इसलिए $5$,$z(x^2-y^2)$ को विभाजित करता है। $III$ सत्य है।

(B) मान लीजिए कि समलंब चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई $p, q, r, s$ है,जहाँ $p$ और $r$ समांतर भुजाएँ हैं $(p > r)$ और $q, s$ असमांतर भुजाएँ हैं।
समलंब चतुर्भुज के अस्तित्व के लिए शर्त $|p - r| < q + s < p + r$ संतुष्ट होनी चाहिए।
हमें $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से $4$ अलग-अलग लंबाई चुननी है।
$p$ और $r$ को चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{6}{2} = 15$ है।
प्रत्येक जोड़ी $(p, r)$ के लिए,हमें शेष $4$ संख्याओं में से $q$ और $s$ को इस प्रकार चुनना है कि $|p - r| < q + s < p + r$ हो।
सभी संयोजनों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि चार अलग-अलग भुजाओं की लंबाई के $11$ ऐसे सेट हैं जो समलंब चतुर्भुज बनाने की शर्त को पूरा करते हैं।
अतः,ऐसे कुल $11$ समलंब चतुर्भुज बनाए जा सकते हैं।

(D) माना $p(x) = 1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{34} = \frac{x^{36}-1}{x^2-1}$.
माना $q(x) = 1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{17} = \frac{x^{18}-1}{x-1}$.
अतः,$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^{18}+1}{x+1}$.
विभाजन करने पर,भागफल $x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{14}+\ldots-1$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र $R$ में निहित सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या $r$ है। इस वृत्त का केंद्र $(r, r)$ पर होगा क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में यथासंभव बड़ा होने के लिए इसे $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों को स्पर्श करना चाहिए।
यह वृत्त डिस्क $x^2+y^2 \leq 1$ की सीमा को भी आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से छोटे वृत्त के केंद्र $(r, r)$ तक की दूरी $\sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए: $1 - r = r\sqrt{2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 = r(1+\sqrt{2})$ प्राप्त होता है,इसलिए $r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$।
इस वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2}-1)^2 = \pi(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \pi(3-2\sqrt{2})$ है।

(C) माना $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((k+1)^{\circ} - k^{\circ})}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\tan (k+1)^{\circ} - \tan k^{\circ})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\tan 1^{\circ} - \tan 0^{\circ}) + (\tan 2^{\circ} - \tan 1^{\circ}) + \dots + (\tan 45^{\circ} - \tan 44^{\circ})]$.
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\tan 45^{\circ} - \tan 0^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 1^{\circ} \approx 0.01745$,इसलिए $S \approx \frac{1}{0.01745} \approx 57.299$.
$57.299$ का पूर्णांक भाग $57$ है।

(C) मान लीजिए कि दिए गए विषमबाहु त्रिभुज $T$ के शीर्ष $P, Q, R$ हैं। हम उन बिंदुओं $A$ की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ हो,जहाँ शीर्ष दिए गए क्रम में हों।
एक निश्चित रेखाखंड $BC$ और एक निश्चित त्रिभुज $T$ (भुजाओं $p, q, r$ के साथ) के लिए,समरूपता $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ का अर्थ है कि भुजाओं का अनुपात $AB/PQ = BC/QR = AC/PR$ निश्चित है।
$\triangle ABC$ के शीर्षों और $\triangle PQR$ के शीर्षों के प्रत्येक क्रमित पत्राचार के लिए,बिंदु $A$ के लिए $2$ संभावित स्थान हैं (रेखा $BC$ के दोनों ओर एक-एक)।
चूंकि $\triangle PQR$ के शीर्षों को $\triangle ABC$ के शीर्षों के साथ मिलाने के $3! = 6$ संभावित क्रमपरिवर्तन हैं,और प्रत्येक मिलान के लिए $A$ के $2$ संभावित स्थान हैं,इसलिए बिंदु $A$ की कुल संख्या $6 \times 2 = 12$ होगी।

(B) एक भिन्न $\frac{1}{n}$ का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि हर $n$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^a \times 5^b$ के रूप में हो,जहाँ $a, b \ge 0$ और $a+b > 0$ है।
हमें $n \in \{2, 3, \ldots, 200\}$ के लिए $2^a \times 5^b$ के रूप वाले पूर्णांकों की संख्या ज्ञात करनी है।
संभावित मान:
- $2^a$: $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$
- $5^b$: $5, 25, 125$
- $2^a \times 5^b$: $10, 20, 40, 80, 160, 50, 100, 200$
सभी मानों की सूची: $2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 128, 160, 200$.
इस प्रकार,कुल $18$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया है कि $a+b+c=0$ और $a^2+b^2+c^2=1$.
माना $S = (3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$.
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(3a+5b-8c)^2 = 9a^2+25b^2+64c^2+30ab-48ac-80bc$
$(-8a+3b+5c)^2 = 64a^2+9b^2+25c^2-48ab-80ac+30bc$
$(5a-8b+3c)^2 = 25a^2+64b^2+9c^2-80ab+30ac-48bc$
इन पदों का योग करने पर:
$S = 98a^2 + 98b^2 + 98c^2 - 98ab - 98ac - 98bc$
$S = 98(a^2+b^2+c^2) - 98(ab+bc+ca)$
हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0$,इसलिए $ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2) = -\frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2}$.
इन मानों को रखने पर:
$S = 98(1) - 98(-\frac{1}{2}) = 98 + 49 = 147$.

(A) मान लीजिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $S$ है। दिया है कि $MN \parallel BC$,इसलिए $\triangle ANM \sim \triangle ABC$। मान लीजिए $AM/AC = k$। तो $\text{Area}(\triangle ANM) = k^2 S$।
चूंकि $MP \parallel AB$,$\triangle MPC \sim \triangle ABC$। मान लीजिए $MC/AC = 1-k$। तो $\text{Area}(\triangle MPC) = (1-k)^2 S$।
चतुर्भुज $BNMP$ एक समांतर चतुर्भुज है।
Area$(BNMP)$ = $S - \text{Area}(\triangle ANM) - \text{Area}(\triangle MPC) = 2k(1-k)S$।
दिया है कि $2k(1-k)S = \frac{5}{18}S$,इसलिए $36k^2 - 36k + 5 = 0$।
हल करने पर $k = 5/6$ या $k = 1/6$।
चूंकि $AM > MC$,इसलिए $k = 5/6$।
अतः $AM/MC = (5/6) / (1/6) = 5$।

(D) दिया गया है $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_n}{l_1} = n$.
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर,$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}} \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} \frac{l_i}{l_{i+1}}} = 1$.
समानता तभी संभव है जब $\frac{l_1}{l_2} = \frac{l_2}{l_3} = \ldots = \frac{l_n}{l_1} = 1$,अर्थात $l_1 = l_2 = \ldots = l_n$। अतः कथन $I$ सत्य है।
यदि $P$ चक्रीय है और सभी भुजाएं समान हैं,तो यह एक नियमित बहुभुज है,इसलिए कथन $III$ सत्य है।
कथन $II$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि समान भुजाओं वाला बहुभुज हमेशा समकोणीय नहीं होता है।

(D) कथन $I$ के लिए: हम जाँचते हैं कि क्या $n^2+3 \equiv 0 \pmod{17}$ है।
इसका अर्थ है $n^2 \equiv -3 \equiv 14 \pmod{17}$।
$17$ के मापांक में वर्ग अवशेष ${0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16}$ हैं।
चूँकि $14$ इस समुच्चय में नहीं है,इसलिए $n^2+3$ कभी भी $17$ से विभाज्य नहीं है। अतः,$I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: हम जाँचते हैं कि क्या $n^2+4 \equiv 0 \pmod{17}$ है।
इसका अर्थ है $n^2 \equiv -4 \equiv 13 \pmod{17}$।
चूँकि $8^2 = 64 \equiv 13 \pmod{17}$ है,इसलिए $n=8$ के लिए $n^2+4 = 68$ जो $17$ से विभाज्य है।
अतः,$II$ असत्य है।
इसलिए,$I$ सत्य है और $II$ असत्य है।

(B) दिया गया है $\text{HCF}(x, y) = 16$ और $\text{LCM}(x, y) = 48000$।
मान लीजिए $x = 16a$ और $y = 16b$,जहाँ $\text{HCF}(a, b) = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\text{LCM}(x, y) = \text{HCF}(x, y) \times a \times b$।
$48000 = 16 \times a \times b
\implies ab = \frac{48000}{16} = 3000$।
$3000$ का अभाज्य गुणनखंडन $3^1 \times 2^3 \times 5^3$ है।
चूंकि $\text{HCF}(a, b) = 1$ है,इसलिए अभाज्य गुणनखंडों $2^3, 3^1, 5^3$ को $a$ और $b$ के बीच इस प्रकार वितरित किया जाना चाहिए कि कोई भी अभाज्य गुणनखंड दोनों में उभयनिष्ठ न हो।
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड $p^k$ के लिए,हमारे पास दो विकल्प हैं: या तो वह $a$ का गुणनखंड है या वह $b$ का गुणनखंड है।
यहाँ $3$ अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड $(2, 3, 5)$ हैं।
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए $2$ विकल्प हैं।
कुल युग्मों की संख्या $(a, b) = 2^3 = 8$।
चूंकि प्रत्येक युग्म $(a, b)$ एक अद्वितीय युग्म $(x, y)$ के अनुरूप है,इसलिए $S$ में अवयवों की संख्या $8$ है।

(D) मान लीजिए $n$ एक संख्या है जिसे $10a + b$ के रूप में दर्शाया गया है,जहाँ $b \in \{1, 2, \dots, 9\}$ इकाई अंक है और $a$ इकाई अंक को हटाने के बाद बनी संख्या है।
यह दिया गया है कि $a$,$n$ को विभाजित करता है,इसलिए $a | (10a + b)$।
इसका अर्थ है $a | b$।
चूंकि $b$ एक गैर-शून्य अंक है,$b \in \{1, 2, \dots, 9\}$।
दिए गए $b$ के लिए,$a$ को $b$ का भाजक होना चाहिए।
यदि $a$ एक $k$-अंकीय संख्या है,तो $10^{k-1} \leq a < 10^k$।
$k=1$ के लिए,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$। $a|b$ वाली जोड़ियाँ $(a, b)$ इस प्रकार हैं:
$b=1: a=1 \implies n=11$
$b=2: a=1, 2 \implies n=12, 22$
$b=3: a=1, 3 \implies n=13, 33$
$b=4: a=1, 2, 4 \implies n=14, 24, 44$
$b=5: a=1, 5 \implies n=15, 55$
$b=6: a=1, 2, 3, 6 \implies n=16, 26, 36, 66$
$b=7: a=1, 7 \implies n=17, 77$
$b=8: a=1, 2, 4, 8 \implies n=18, 28, 48, 88$
$b=9: a=1, 3, 9 \implies n=19, 39, 99$
इनकी गणना करने पर,हमें $1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 = 23$ संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
$k \geq 2$ के लिए,$a \geq 10$,इसलिए $a$,$b$ को विभाजित नहीं कर सकता क्योंकि $a > b$। अतः,$k \geq 2$ के लिए कोई समाधान नहीं है।
इसलिए,$K = 23$,जो $K < 25$ को संतुष्ट करता है।

(C) जनवरी $1$ से मार्च $31$ तक की अवधि में सामान्य वर्ष में $31$ (जनवरी) $+ 28$ (फरवरी) $+ 31$ (मार्च) $= 90$ दिन होते हैं,या लीप वर्ष में $31 + 29 + 31 = 91$ दिन होते हैं।
यदि यह लीप वर्ष है,तो कुल $91$ दिन होंगे,जो ठीक $13$ सप्ताह हैं। इसका मतलब है कि $13$ रविवार होंगे,जो दी गई जानकारी ($12$ रविवार) के विपरीत है।
इसलिए,यह एक सामान्य वर्ष होना चाहिए जिसमें $90$ दिन हों। चूंकि $90 = 12 \times 7 + 6$,इसलिए $12$ पूर्ण सप्ताह और $6$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
ठीक $12$ रविवार होने के लिए,$6$ अतिरिक्त दिनों में रविवार नहीं आना चाहिए। इसका मतलब है कि अवधि सोमवार से शुरू होकर शनिवार को समाप्त होनी चाहिए।
यदि जनवरी $1$ सोमवार है,तो फरवरी $15$ गुरुवार होगा।

(D) माना तीन अंकों की संख्या $N = 100x + 10y + z$ है।
गुण $I$ से: $(100x + 10z + y) - (100x + 10y + z) = 36$
$\Rightarrow 9z - 9y = 36$ $\Rightarrow z - y = 4$ (समीकरण $1$)
गुण $II$ से: $(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 198$
$\Rightarrow 99x - 99z = 198$ $\Rightarrow x - z = 2$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(x - z) + (z - y) = 2 + 4 \Rightarrow x - y = 6$.
अब,हमें वह परिवर्तन ज्ञात करना है जब दहाई और सैकड़े के अंकों को आपस में बदला जाता है:
नई संख्या $N' = 100y + 10x + z$.
परिवर्तन $= N - N' = (100x + 10y + z) - (100y + 10x + z) = 90x - 90y = 90(x - y)$.
$x - y = 6$ रखने पर: परिवर्तन $= 90 \times 6 = 540$.
अतः,संख्या $540$ कम हो जाती है।

(C) $a, b, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
सभी त्रिभुजों के लिए दो भुजाएँ $5$ और $12$ निश्चित हैं। तीसरी भुजा $x$ लें। तब $s = \frac{17+x}{2}$ होगा।
क्षेत्रफल $A(x) = \frac{1}{4} \sqrt{(17^2 - x^2)(x^2 - 7^2)}$ है।
$u = x^2$ रखने पर,$f(u) = -u^2 + 338u - 14161$ प्राप्त होता है,जिसका अधिकतम मान $u = 169$ यानी $x = 13$ पर होता है।
अतः,$(5, 12, 13)$ भुजाओं वाला त्रिभुज अधिकतम क्षेत्रफल रखता है।

(B) माना लड़कों की प्रारंभिक संख्या $x$ और लड़कियों की $y$ है।
$1/5$ लड़कों के जाने के बाद,शेष लड़के $4x/5$ हैं।
अनुपात $4x/5 : y = 2:3$ है,जिससे $y = 1.2x$ प्राप्त होता है।
$44$ लड़कियों के जाने के बाद,लड़कियों की संख्या $y - 44$ हो जाती है।
नया अनुपात $(4x/5) / (y - 44) = 5/2$ है।
हल करने पर $x=50$ और $y=60$ प्राप्त होता है।
शेष लड़के $40$ और लड़कियाँ $60-44=16$ हैं।
संख्या बराबर करने के लिए $40-z=16$,अतः $z=24$।

(D) $1$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित $n$ भुजाओं वाले नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल $A_n = \frac{n}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ होता है।
पंचभुज $(n=5)$ के लिए,$X = \frac{5}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$।
षट्भुज $(n=6)$ के लिए,$Y = \frac{6}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$।
सप्तभुज $(n=7)$ के लिए,$Z = \frac{7}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$।
$n$ से विभाजित करने पर,$\frac{X}{5} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$,$\frac{Y}{6} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$,और $\frac{Z}{7} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,अंतर्निहित बहुभुज का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल $(\pi)$ के करीब पहुंचता है,इसलिए $X < Y < Z$ होता है।
साथ ही,चूंकि $\frac{2\pi}{5} > \frac{2\pi}{6} > \frac{2\pi}{7}$,इसलिए $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ होता है।
अतः,$\frac{X}{5} > \frac{Y}{6} > \frac{Z}{7}$।

(C) दी गई असमिका: $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} < \binom{n}{7}$.
पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = \binom{n}{6}$.
अतः,$\binom{n}{6} < \binom{n}{7}$.
सूत्र का विस्तार करने पर: $\frac{n!}{6!(n-6)!} < \frac{n!}{7!(n-7)!}$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$\frac{1}{n-6} < \frac{1}{7}$.
अतः,$n-6 > 7$,जिसका अर्थ है $n > 13$.
इस प्रकार,$n$ का न्यूनतम प्राकृत मान $14$ है।

(A) माना लड़कों की संख्या $B$ है और लड़कियों की संख्या $G$ है।
लड़कों के कुल अंक $= Bx$।
लड़कियों के कुल अंक $= Gy$।
कुल छात्र $= B + G$।
दिया गया है कि सभी छात्रों के औसत अंक $z$ हैं,इसलिए:
$\frac{Bx + Gy}{B + G} = z$
$Bx + Gy = z(B + G)$
$B(x - z) = G(z - y)$
$\frac{G}{B} = \frac{x - z}{z - y} = \frac{z - x}{y - z}$
हमें लड़कियों की संख्या का कुल छात्रों की संख्या से अनुपात ज्ञात करना है,जो $\frac{G}{B + G}$ है।
$\frac{G}{B + G} = \frac{1}{\frac{B}{G} + 1} = \frac{1}{\frac{z - x}{y - z} + 1} = \frac{z - x}{y - x}$.

(D) दिया गया है,$f(x) = \frac{16x^2 - 96x + 153}{x - 3}$.
माना $f(x) = y$.
अतः,$y = \frac{16x^2 - 96x + 153}{x - 3}$.
$y(x - 3) = 16x^2 - 96x + 153$.
$16x^2 - (96 + y)x + (153 + 3y) = 0$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।
$D = (96 + y)^2 - 4(16)(153 + 3y) \geq 0$.
$9216 + 192y + y^2 - 64(153 + 3y) \geq 0$.
$9216 + 192y + y^2 - 9792 - 192y \geq 0$.
$y^2 - 576 \geq 0$.
$y^2 \geq 576$.
इससे प्राप्त होता है $y \in (-\infty, -24] \cup [24, \infty)$.
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम धनात्मक मान $24$ है।

(D) मान लीजिए कि दो पासों पर संख्याएँ $x_1$ और $x_2$ हैं,जहाँ $1 \le x_1, x_2 \le 12$ है।
कुल परिणामों की संख्या $= 12 \times 12 = 144$ है।
हमें योग $S = x_1 + x_2$ ऐसा चाहिए कि $S \equiv 2 \pmod{9}$ हो।
चूँकि $2 \le S \le 24$ है,इसलिए $S$ के संभावित मान $2, 11, 20$ हैं।
स्थिति $I$: $S = 2$. केवल एक परिणाम $(1, 1)$ है। परिणामों की संख्या $= 1$ है।
स्थिति $II$: $S = 11$. परिणाम $(1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2), (10, 1)$ हैं। परिणामों की संख्या $= 10$ है।
स्थिति $III$: $S = 20$. परिणाम $(8, 12), (9, 11), (10, 10), (11, 9), (12, 8)$ हैं। परिणामों की संख्या $= 5$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 10 + 5 = 16$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{16}{144} = \frac{1}{9}$ है।

(C) दिया गया है $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2017 & 2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A^{-1}|$ की गणना करें।
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ लागू करने पर:
$|A^{-1}| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2017 & 4 \\ 1 & 2018 & 8 \end{vmatrix}$।
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A^{-1}| = -2(2018 - 2017) = -2(1) = -2$।
हम जानते हैं कि $|A| = \frac{1}{|A^{-1}|} = \frac{1}{-2} = -0.5$।
$n=3$ कोटि के आव्यूह $A$ के लिए,$|kA| = k^n |A|$ होता है।
अतः,$|2A| = 2^3 |A| = 8|A| = 8 \times (-0.5) = -4$।
इसी प्रकार,$|2A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8|A^{-1}| = 8 \times (-2) = -16$।
इसलिए,$|2A| - |2A^{-1}| = -4 - (-16) = -4 + 16 = 12$।

(C) हमें $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ दिया गया है।
योग की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$ है।
चूंकि समाकलन अभिसारी है,हम योग और समाकलन को आपस में बदल सकते हैं:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} \right) \, dy$.
हम जानते हैं कि $e^y$ के लिए टेलर श्रेणी $e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!}$ है।
इसलिए,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n!} = e^y - 1$ है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!} = \int_0^1 e^{-y} (e^y - 1) \, dy = \int_0^1 (1 - e^{-y}) \, dy$ प्राप्त होता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$= [y - (-e^{-y})]_0^1 = [y + e^{-y}]_0^1$.
$= (1 + e^{-1}) - (0 + e^0) = 1 + \frac{1}{e} - 1 = \frac{1}{e}$।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है। चूंकि गोला दो लंबवत दीवारों और फर्श को छूता है,हम एक निर्देशांक प्रणाली निर्धारित कर सकते हैं जहाँ दीवारें और फर्श निर्देशांक समतल $x=0, y=0, z=0$ हैं। गोले का केंद्र $(r, r, r)$ है।
गोले का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 + (z-r)^2 = r^2$ है।
गोले पर एक बिंदु दीवारों और फर्श से $9, 16, 25$ की दूरी पर दिया गया है,इसलिए इस बिंदु के निर्देशांक $(9, 16, 25)$ हैं।
इस बिंदु को गोले के समीकरण में रखने पर:
$(9-r)^2 + (16-r)^2 + (25-r)^2 = r^2$
पदों का विस्तार करने पर:
$(81 - 18r + r^2) + (256 - 32r + r^2) + (625 - 50r + r^2) = r^2$
$3r^2 - 100r + 962 = r^2$
$2r^2 - 100r + 962 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$r^2 - 50r + 481 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(r-13)(r-37) = 0$
अतः,$r = 13$ या $r = 37$ है।
इसलिए संभावित त्रिज्या $13$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ और नाभिलंब $x = a$ द्वारा घिरे क्षेत्र $T$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area}(T) = 2 \int_0^a \sqrt{4ax} \, dx = 4\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^a = \frac{8}{3} a^2$.
मान लीजिए $R$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं,जहाँ $y = \sqrt{4ax}$। आयत $PQRS$ के लिए चौड़ाई $(a - x)$ और ऊँचाई $2y$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = 2y(a - x) = 4\sqrt{a}(ax^{1/2} - x^{3/2})$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dx} = 4\sqrt{a} \left( \frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3}{2}\sqrt{x} \right) = 0 \implies a = 3x \implies x = \frac{a}{3}$.
अतः $y = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
आयत का अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2 \left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right) \left( a - \frac{a}{3} \right) = \frac{8a^2}{3\sqrt{3}}$.
अनुपात $\frac{\text{area}(PQRS)}{\text{area}(T)} = \frac{8a^2 / 3\sqrt{3}}{8a^2 / 3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(B) दिए गए वक्र $y=\frac{1}{4}|4-x^2|$ और $y=7-|x|$ हैं। दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{4} (y_{upper} - y_{lower}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$x \in [0, 4]$ के लिए,$y_{upper} = 7-x$ और $y_{lower} = \frac{1}{4}|4-x^2|$ है।
अतः,$A = 2 \int_{0}^{4} (7-x - \frac{1}{4}|4-x^2|) dx = 2 \left[ \int_{0}^{4} (7-x) dx - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} |4-x^2| dx \right]$.
प्रथम समाकलन की गणना: $\int_{0}^{4} (7-x) dx = [7x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 28 - 8 = 20$.
द्वितीय समाकलन की गणना: $\int_{0}^{4} |4-x^2| dx = \int_{0}^{2} (4-x^2) dx + \int_{2}^{4} (x^2-4) dx$.
$= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} + [\frac{x^3}{3} - 4x]_{2}^{4} = (8 - \frac{8}{3}) + ((\frac{64}{3} - 16) - (\frac{8}{3} - 8)) = \frac{16}{3} + (\frac{16}{3} - (-\frac{16}{3})) = \frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} = 16$.
इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$A = 2 [20 - \frac{1}{4}(16)] = 2 [20 - 4] = 2 [16] = 32$.
अतः,क्षेत्रफल $32$ वर्ग इकाई है।

(B) माना धात्विक डिस्क की त्रिज्या $R$ है। जब एक त्रिज्यखंड को हटा दिया जाता है और शेष भाग को मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है,तो डिस्क की त्रिज्या $R$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ बन जाती है।
माना शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है।
हमारे पास संबंध $R^2 = x^2 + h^2$ है,जहाँ $R = l$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi x^2 h = 2 \sqrt{3} \pi$ दिया गया है।
अतः,$x^2 h = 6 \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h}$।
इस मान को $R^2$ के व्यंजक में रखने पर:
$R^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{h} + h^2$।
न्यूनतम व्यास ज्ञात करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष $R^2$ का न्यूनीकरण करते हैं:
$\frac{d(R^2)}{dh} = -\frac{6 \sqrt{3}}{h^2} + 2h$।
$\frac{d(R^2)}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $2h = \frac{6 \sqrt{3}}{h^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $h^3 = 3 \sqrt{3}$।
इससे $h = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
तब $x^2 = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$।
अतः,$R^2 = 6 + (\sqrt{3})^2 = 6 + 3 = 9$,जिससे $R = 3$ प्राप्त होता है।
डिस्क का व्यास $2R = 2 \times 3 = 6$ है।

(C) हमें दिया गया है $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$।
चूंकि समाकल्य $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$,$t=0$ के निकट परिबद्ध है (क्योंकि $|\sin(1/t)| \leq 1$,इसलिए $|f(t)| \leq t^{2/3}$),अतः समाकलन का अस्तित्व है।
हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $g(0) = 0$,यह $0/0$ रूप है।
स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$|g(x)| = \left| \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt \right| \leq \int_0^{|x|^{3/4}} |t^{2/3} \sin \frac{1}{t}| \, dt \leq \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt$।
समाकलन करने पर: $\int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{5/3}}{5/3} \right]_0^{|x|^{3/4}} = \frac{3}{5} (|x|^{3/4})^{5/3} = \frac{3}{5} |x|^{5/4}$।
अतः,$\left| \frac{g(x)}{x} \right| \leq \frac{\frac{3}{5} |x|^{5/4}}{|x|} = \frac{3}{5} |x|^{1/4}$।
जैसे ही $x \rightarrow 0$,$\frac{3}{5} |x|^{1/4} \rightarrow 0$।
इसलिए,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} = 0$।

(D) रीमैन-लेबेग लेम्मा (Riemann-Lebesgue Lemma) के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक समाकलनीय फलन है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos(nx) \, dx = 0$ होता है।
यहाँ,$f(x) = |x-1|$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर एक सतत और इसलिए समाकलनीय फलन है।
चूंकि $f(x) = |x-1|$ समाकलनीय है,इसलिए समाकल $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ फलन $f(x)$ के फूरियर कोसाइन गुणांक (एक अचर गुणक तक) को दर्शाता है।
रीमैन-लेबेग लेम्मा के अनुसार,जैसे-जैसे $n \rightarrow \infty$ होता है,फलन का $\cos(nx)$ के साथ गुणनफल का समाकल $0$ की ओर प्रवृत्त होता है।
अतः,$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$।

(B) $4$ अलग गेंदों को $4$ अलग बक्सों में रखने के कुल तरीके $4^4 = 256$ हैं।
ठीक एक बक्सा खाली रहने के लिए,$4$ गेंदों को $3$ बक्सों में होना चाहिए। इसका अर्थ है कि एक बक्से में $2$ गेंदें और शेष दो बक्सों में $1-1$ गेंद होगी।
खाली बक्सा चुनने के तरीके $\binom{4}{1} = 4$ हैं।
शेष $3$ बक्सों में से $2$ गेंदों वाला बक्सा चुनने के तरीके $\binom{3}{1} = 3$ हैं।
$4$ गेंदों को इन $3$ बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीके कि एक में $2$ गेंदें और दो में $1-1$ गेंद हो,$\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
कुल अनुकूल तरीके = $4 \times 3 \times 12 = 144$.
प्रायिकता = $\frac{144}{256} = \frac{9}{16}$.

(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x \neq y$ के लिए,$x$ और $y$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $\frac{f(x) - f(y)}{x - y} = f'(c)$ हो।
दिया गया है $f(x) = \log(1 + x^2)$,जिसका अवकलज $f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ है।
$f'(x)$ का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $g(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$ का विश्लेषण करते हैं।
$g'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = 0$ रखने पर,हमें $x = \pm 1$ प्राप्त होता है।
$f'(x)$ का अधिकतम मान $f'(1) = \frac{2(1)}{1 + 1^2} = 1$ है और न्यूनतम मान $f'(-1) = \frac{2(-1)}{1 + (-1)^2} = -1$ है।
अतः,सभी $c \in \mathbb{R}$ के लिए $|f'(c)| \leq 1$ है।
चूँकि $\frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} = |f'(c)| \leq 1$,इसलिए $A$ का न्यूनतम संभव मान $1$ है।

(A) संबंध $aRb \iff a \mid b^2$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $a, b \in \mathbb{N}$ है।
$I.$ स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{N}$ के लिए,$a^2$ हमेशा $a$ से विभाज्य होता है (क्योंकि $a^2/a = a \in \mathbb{N}$)। अतः,सभी $a \in \mathbb{N}$ के लिए $(a, a) \in R$ है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$II.$ सममितता: $R$ के सममित होने के लिए $aRb \implies bRa$ होना चाहिए। मान लीजिए $a=2$ और $b=6$ है। यहाँ $2 \mid 6^2$ $(2 \mid 36)$ सत्य है,इसलिए $(2, 6) \in R$ है। लेकिन $6 \mid 2^2$ $(6 \mid 4)$ असत्य है। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$III.$ संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ होना चाहिए। मान लीजिए $a=8, b=4, c=2$ है।
$(8, 4) \in R$ क्योंकि $8 \mid 4^2$ $(8 \mid 16)$।
$(4, 2) \in R$ क्योंकि $4 \mid 2^2$ $(4 \mid 4)$।
$(8, 2)$ के लिए जाँचें: $8 \mid 2^2$ $(8 \mid 4)$ असत्य है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।
अतः,केवल $I$ संतुष्ट होता है।

(B) दिया गया परवलय $y^2=4x+1$ और वृत्त $x^2+y^2=1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2=4x+1$ को $x^2+y^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (4x+1) = 1 \Rightarrow x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$.
चूंकि परवलय का शीर्ष $x = -1/4$ पर है,प्रतिच्छेदन $x=0$ (जहाँ $y = \pm 1$) पर होता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_1$ इस प्रकार है:
$A_1 = 2 \left( \int_{-1/4}^{0} \sqrt{4x+1} \, dx + \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx \right)$
समाकलन की गणना करने पर:
$2 \int_{-1/4}^{0} (4x+1)^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} (4x+1)^{3/2} \right]_{-1/4}^{0} = \frac{1}{3} [1 - 0] = \frac{1}{3}$.
$2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = 2 \left[ 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$A_1 = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}$.
वृत्त का कुल क्षेत्रफल $\pi$ है। इसलिए,$A_2 = \pi - A_1 = \pi - (\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$.
अंत में,$|A_1 - A_2| = |(\frac{1}{3} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3})| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$.

(D) मान लीजिए $p = \frac{1}{4}$ लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है और $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता है।
शूटर द्वारा ठीक $6$ गोलियां चलाने और $3$ बार लक्ष्य को भेदने के लिए,$6^{th}$ गोली $3^{rd}$ सफल हिट होनी चाहिए।
इसका मतलब है कि पहले $5$ शॉट्स में,शूटर ने ठीक $2$ बार लक्ष्य को भेदा होगा और $3$ बार चूका होगा।
इस घटना की प्रायिकता नेगेटिव बाइनोमियल डिस्ट्रीब्यूशन के तर्क द्वारा दी गई है:
$P = \binom{5}{2} p^2 q^3 \times p = \binom{5}{2} p^3 q^3$.
मान रखने पर:
$P = 10 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{4096}$.
दशमलव मान की गणना करने पर:
$P = \frac{270}{4096} \approx 0.0659179$.
यह मान $(0.0658, 0.0660)$ अंतराल में स्थित है।

(A) घटना $E_1$ के लिए,छह निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। इस बात की प्रायिकता कि कोई भी पासा छह न दिखाए,$(\frac{5}{6})^6$ है। अतः,$p_1 = 1 - (\frac{5}{6})^6 = 1 - 0.3349 = 0.6651$.
घटना $E_2$ के लिए,बारह निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। मान लीजिए $X$ छह दर्शाने वाले पासों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(n=12, p=\frac{1}{6})$ का पालन करता है।
$p_2 = P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
$P(X=0) = (\frac{5}{6})^{12} \approx 0.1122$.
$P(X=1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{11} = 12 \times \frac{1}{6} \times 0.1346 \approx 0.2692$.
$p_2 = 1 - (0.1122 + 0.2692) = 1 - 0.3814 = 0.6186$.
चूंकि $0.6651 > 0.6186$,इसलिए $p_1 > p_2$ है।

(C) दिया गया रैखिक समीकरण निकाय है:
$ax + y = 0$ $(i)$
$x + (a + 10)y = 0$ $(ii)$
समघात रैखिक समीकरण निकाय के कम से कम दो भिन्न हल (अर्थात अशून्य हल) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & a + 10 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$|A| = a(a + 10) - (1)(1) = 0$
$a^2 + 10a - 1 = 0$
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है। इसके मूल द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ द्वारा प्राप्त होते हैं:
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 4}}{2}$
$a = \frac{-10 \pm \sqrt{104}}{2}$
चूंकि विविक्तकर $D = 104 > 0$ है,इसलिए $a$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं जिनके लिए निकाय के अनंत हल होते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{\{x\}}{1+[x]^2}$.
$I.$ किसी भी $x \in R$ के लिए,मान लीजिए $n = [x]$,तो $x = n + \{x\}$ जहाँ $0 \le \{x\} < 1$ है। अतः $f(x) = \frac{\{x\}}{1+n^2}$। चूँकि $0 \le \{x\} < 1$ और $1+n^2 \ge 1$,परिसर $[0, 1)$ है। यह एक संवृत अंतराल नहीं है। अतः,कथन $I$ असत्य है।
$II.$ $x = n$ (एक पूर्णांक) पर,$\lim_{x \to n^-} f(x) = \lim_{x \to n^-} \frac{x-[x]}{1+[x]^2} = \frac{n-(n-1)}{1+(n-1)^2} = \frac{1}{1+(n-1)^2}$,जबकि $f(n) = \frac{n-n}{1+n^2} = 0$ है। चूँकि सीमा पूर्णांकों पर फलन के मान के बराबर नहीं है,इसलिए $f$ सभी पूर्णांकों पर असंतत है। अतः,कथन $II$ असत्य है।
$III.$ ध्यान दें कि $f(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0$ और $f(1) = \frac{1-1}{1+1^2} = 0$ है। चूँकि $f(0) = f(1)$ है लेकिन $0 \neq 1$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है। अतः,कथन $III$ असत्य है।
अतः,दिए गए कथनों में से कोई भी सत्य नहीं है।

(B) जब एक निष्पक्ष सिक्के को $5$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^5 = 32$ होती है।
हमें $5$ लंबाई के ऐसे अनुक्रम खोजने हैं जिनमें $H$ (चित) और $T$ (पट) हों और कोई भी दो $H$ लगातार न आएं।
मान लीजिए $a_n$ ऐसी $n$ लंबाई के अनुक्रमों की संख्या है।
यदि अनुक्रम $T$ पर समाप्त होता है,तो पिछले $n-1$ स्थान $n-1$ लंबाई का कोई भी मान्य अनुक्रम हो सकते हैं,जो $a_{n-1}$ है।
यदि अनुक्रम $H$ पर समाप्त होता है,तो पिछला स्थान $T$ होना चाहिए,और उससे पहले के $n-2$ स्थान $n-2$ लंबाई का कोई भी मान्य अनुक्रम हो सकते हैं,जो $a_{n-2}$ है।
अतः,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$।
$n=1$ के लिए: $H, T$ (दोनों मान्य),इसलिए $a_1 = 2$।
$n=2$ के लिए: $HT, TH, TT$ (सभी मान्य,$HH$ अमान्य है),इसलिए $a_2 = 3$।
$n=3$ के लिए: $a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5$।
$n=4$ के लिए: $a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8$।
$n=5$ के लिए: $a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $13$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{13}{2^5}$ है।

(C) हमें $f(x) = \max \left\{3, x^2, \frac{1}{x^2}\right\}$ दिया गया है,जहाँ $x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ है।
समाकलन का मान निकालने के लिए,हम उन अंतरालों को निर्धारित करते हैं जहाँ प्रत्येक फलन अधिकतम है:
$1$. $x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$ के लिए,$\frac{1}{x^2} \geq 3$ और $\frac{1}{x^2} \geq x^2$ है,इसलिए $f(x) = \frac{1}{x^2}$ है।
$2$. $x \in \left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$ के लिए,$3 \geq x^2$ और $3 \geq \frac{1}{x^2}$ है,इसलिए $f(x) = 3$ है।
$3$. $x \in \left[\sqrt{3}, 2\right]$ के लिए,$x^2 \geq 3$ और $x^2 \geq \frac{1}{x^2}$ है,इसलिए $f(x) = x^2$ है।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{1/2}^2 f(x) dx = \int_{1/2}^{1/\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} dx + \int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} 3 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 x^2 dx$
$= \left[-\frac{1}{x}\right]_{1/2}^{1/\sqrt{3}} + [3x]_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} + \left[\frac{x^3}{3}\right]_{\sqrt{3}}^2$
$= (-\sqrt{3} - (-2)) + (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) + \left(\frac{8}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}\right)$
$= 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \frac{8}{3} - \sqrt{3} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$.

(A) माना $r$ सामान्य त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है।
ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(2\pi r^2)$,बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(2\pi rh)$ और बेलन के आधार का क्षेत्रफल $(\pi r^2)$ का योग है।
$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh + \pi r^2 = 3\pi r^2 + 2\pi rh$
इससे,हम $h$ को $S$ और $r$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$h = \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r}$
ठोस का आयतन $V$,अर्धगोले का आयतन $(\frac{2}{3}\pi r^3)$ और बेलन का आयतन $(\pi r^2 h)$ का योग है:
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$
$h$ का मान रखने पर:
$V = \pi r^2 \left( \frac{S - 3\pi r^2}{2\pi r} \right) + \frac{2}{3}\pi r^3$
$V = \frac{1}{2} (Sr - 3\pi r^3) + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{3}{2}\pi r^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{2} Sr - \frac{5}{6}\pi r^3$
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$\frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - \frac{5}{2}\pi r^2 = 0$
$S = 5\pi r^2$
अब,$S = 5\pi r^2$ को $h$ के सूत्र में रखने पर:
$h = \frac{5\pi r^2 - 3\pi r^2}{2\pi r} = \frac{2\pi r^2}{2\pi r} = r$
अतः,बेलन की ऊँचाई और सामान्य त्रिज्या का अनुपात $h:r = 1:1$ है।

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ के शीर्षों के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ हैं।
मान लीजिए $\triangle ABC$ का परिकेंद्र $O$ मूल बिंदु है,इसलिए $\vec{O} = \vec{0}$ है।
लंबकेंद्र $H$ का स्थिति सदिश $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $N$,$OH$ का मध्य-बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{n} = \frac{\vec{O} + \vec{H}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$ है।
हमें योग $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC}$ ज्ञात करना है।
यह $(\vec{a} - \vec{n}) + (\vec{b} - \vec{n}) + (\vec{c} - \vec{n})$ के बराबर है।
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{n}$.
$\vec{n} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2} \right)$.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \left( 1 - \frac{3}{2} \right) = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.
चूंकि $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,यह $-\frac{1}{2} \vec{H} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \overrightarrow{HO}$ के बराबर है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sqrt{|x|} - \log(1 + |x|)$।
चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $t \geq 0$ के लिए $g(t) = \sqrt{t} - \log(1 + t)$ पर विचार करते हैं,जहाँ $t = |x|$ है।
$g(t)$ के व्यवहार की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:
$g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{1 + t} = \frac{1 + t - 2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}(1 + t)} = \frac{(\sqrt{t} - 1)^2}{2\sqrt{t}(1 + t)}$।
चूंकि सभी $t > 0$ $(t \neq 1)$ के लिए $g'(t) > 0$ है,इसलिए फलन $g(t)$,$t \geq 0$ के लिए निरंतर वर्धमान है।
जैसे $t \to \infty$,$g(t) = \sqrt{t}(1 - \frac{\log(1 + t)}{\sqrt{t}}) \to \infty$। अतः,$f(x)$ ऊपर से परिबद्ध नहीं है,इसलिए दावा $I$ असत्य है।
$t = 0$ पर,$g(0) = 0$ है। चूंकि $g(t)$,$t \geq 0$ के लिए वर्धमान है,$g(t)$ का न्यूनतम मान $g(0) = 0$ है। अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ है। इसलिए,दावा $II$ सत्य है।
अतः,$I$ असत्य है और $II$ सत्य है।

(D) दिया गया है $g(x) = \int_{-3}^3 f(x-y) f(y) \, dy$ और $f(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$.
चूंकि $f(y) = 1$ केवल $0 \leq y \leq 1$ के लिए है,समाकलन $g(x) = \int_0^1 f(x-y) \, dy$ में बदल जाता है।
मान लीजिए $t = x-y$,तो $dt = -dy$. जब $y=0, t=x$; जब $y=1, t=x-1$.
अतः,$g(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, dt$.
$f(t)$ की परिभाषा के अनुसार इस समाकलन का मान:
यदि $x < 0$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के बाहर है,इसलिए $g(x) = 0$.
यदि $0 \leq x < 1$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के साथ $[0, x]$ पर ओवरलैप होता है,इसलिए $g(x) = \int_0^x 1 \, dt = x$.
यदि $1 \leq x < 2$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के साथ $[x-1, 1]$ पर ओवरलैप होता है,इसलिए $g(x) = \int_{x-1}^1 1 \, dt = 1 - (x-1) = 2-x$.
यदि $x \geq 2$,तो अंतराल $[x-1, x]$,$[0, 1]$ के बाहर है,इसलिए $g(x) = 0$.
इस प्रकार,$g(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ हर जगह सतत है। अवकलज $g'(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & 0 < x < 1 \\ -1, & 1 < x < 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases}$.
$g(x)$ बिंदु $x=0, 1, 2$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि इन बिंदुओं पर बाएं और दाएं अवकलज समान नहीं हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\int_0^1 x f(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{4} \int_0^1 (f(x))^2 dx - \int_0^1 x f(x) dx + \frac{1}{3} = 0$
$4$ से गुणा करने पर: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (2x)^2 dx = \int_0^1 4x^2 dx = [\frac{4x^3}{3}]_0^1 = \frac{4}{3}$ को जोड़ने और घटाने पर:
$\int_0^1 (f(x))^2 dx - 4 \int_0^1 x f(x) dx + \int_0^1 4x^2 dx - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0$
$\int_0^1 (f(x)^2 - 4x f(x) + 4x^2) dx = 0$
$\int_0^1 (f(x) - 2x)^2 dx = 0$
चूंकि $f(x)$ एक सतत फलन है,$(f(x) - 2x)^2$ अऋणात्मक और सतत है।
एक अऋणात्मक सतत फलन का समाकलन $0$ होने के लिए,समाकल्य को शून्य होना चाहिए।
अतः,$f(x) - 2x = 0 \Rightarrow f(x) = 2x$.
इस प्रकार,ऐसा केवल $1$ सतत फलन है।

(C) माना समांतर भुजाएँ $a = 30$ और $b = 30 + 2(30 \cos \theta) = 30 + 60 \cos \theta$ हैं। समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई $h = 30 \sin \theta$ है।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(30 + 30 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta)$
$A = \frac{1}{2}(60 + 60 \cos \theta)(30 \sin \theta) = 900(1 + \cos \theta) \sin \theta = 900(\sin \theta + \sin \theta \cos \theta) = 900(\sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta)$.
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करें और $0$ के बराबर रखें:
$\frac{dA}{d\theta} = 900(\cos \theta + \cos 2\theta) = 0$.
चूँकि $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$,हमें प्राप्त होता है:
$2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$.
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$.
इससे $\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\theta$ एक त्रिभुज का कोण है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ (चूँकि $\theta = \pi$ संभव नहीं है)।
अतः,सबसे छोटा कोण $\frac{\pi}{3}$ है।