KVPY 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) अंकों का समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल $7$-अंकीय संख्याएँ $7! - 6! = 6 \times 6! = 4320$ हैं।
यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य हैं,तो वह संख्या $4$ से विभाज्य होती है।
स्थिति $1$: अंतिम दो अंकों में $0$ नहीं है। संभावित जोड़े $\{12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64\}$ हैं। ऐसे $8$ जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,शेष $5$ अंकों को $5! - 4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$8 \times (5! - 4!) = 8 \times 96 = 768$.
स्थिति $2$: अंतिम दो अंकों में $0$ है। संभावित जोड़े $\{04, 20, 40, 60\}$ हैं। ऐसे $4$ जोड़े हैं।
प्रत्येक जोड़े के लिए,शेष $5$ अंकों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,$4 \times 5! = 480$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 768 + 480 = 1248$.
प्रायिकता $P = \frac{1248}{4320} = \frac{13}{45}$.

(C) दिया गया है $\log_{a} b = 10$,जिसका अर्थ है $\log b = 10 \log a$.
व्यंजक $\frac{\log_{a} x \cdot \log_{x}(\frac{b}{a})}{\log_{x} b \cdot \log_{ab} x}$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{m} n = \frac{\log n}{\log m}$ का उपयोग करते हुए:
$\log_{a} x = \frac{\log x}{\log a}$,$\log_{x}(\frac{b}{a}) = \frac{\log b - \log a}{\log x}$,$\log_{x} b = \frac{\log b}{\log x}$,और $\log_{ab} x = \frac{\log x}{\log a + \log b}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{p}{q} = \frac{(\frac{\log x}{\log a}) \cdot (\frac{\log b - \log a}{\log x})}{(\frac{\log b}{\log x}) \cdot (\frac{\log x}{\log a + \log b})} = \frac{\frac{\log b - \log a}{\log a}}{\frac{\log b}{\log a + \log b}} = \frac{(\log b - \log a)(\log a + \log b)}{\log a \cdot \log b} = \frac{(\log b)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot \log b}$.
चूंकि $\log b = 10 \log a$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{p}{q} = \frac{(10 \log a)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot (10 \log a)} = \frac{100(\log a)^2 - (\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99(\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99}{10}$.
चूंकि $p=99$ और $q=10$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p+q = 99+10 = 109$.

(A) मान लीजिए $P = \sqrt{|x-y|} + \sqrt{|y-z|} + \sqrt{|z-x|}$ है।
बिना किसी व्यापकता को खोए,मान लीजिए $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$ है।
तब $P = \sqrt{y-x} + \sqrt{z-y} + \sqrt{z-x}$ होगा।
$P$ को अधिकतम करने के लिए,हम $x=0$ और $z=1$ लेते हैं,जिससे $P = \sqrt{y} + \sqrt{1-y} + 1$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(y) = \sqrt{y} + \sqrt{1-y} + 1$ जहाँ $y \in [0, 1]$ है।
$y = \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta \in [0, \pi/2]$ है,हमें $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta + 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$ होता है,जिसका अधिकतम मान $\theta = \pi/4$ पर $\sqrt{2}$ होता है।
अतः,$P$ का अधिकतम मान $\sqrt{2} + 1$ है।

(A) मान लीजिए $n$ एक पूर्णांक है। जब $n$ के दाईं ओर एक शून्येतर अंक $d$ जोड़ा जाता है,तो नई संख्या $10n + d$ बनती है।
हमें दिया गया है कि $10n + d$,प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए $d$ से विभाज्य है।
इसका अर्थ है कि $\frac{10n + d}{d} = \frac{10n}{d} + 1$ प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ के लिए एक पूर्णांक होना चाहिए।
अतः,$10n$ को प्रत्येक $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $10n$ को $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ का गुणज होना चाहिए।
$\text{LCM}(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
इसलिए,$10n$ को $2520$ का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n$ को $252$ का गुणज होना चाहिए।
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$,$252$ है।
$N = 252$ के अंकों का गुणनफल $2 \times 5 \times 2 = 20$ है।

(C) परवलय $y = x^2 + 2ax + 2021$ और $x$-अक्ष $(y = 0)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु द्विघात समीकरण $x^2 + 2ax + 2021 = 0$ के मूलों द्वारा दिए जाते हैं।
मूलों के परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = (2a)^2 - 4(1)(2021) = 4a^2 - 8084 = 4(a^2 - 2021)$.
अतः,$a^2 - 2021$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $\lambda^2$ है।
$a^2 - \lambda^2 = 2021 \Rightarrow (a - \lambda)(a + \lambda) = 2021$.
चूंकि $2021 = 43 \times 47$,हम गुणनखंड $(1, 2021)$ और $(43, 47)$ पर विचार करते हैं।
$a$ के अधिकतम मान के लिए,$a + \lambda = 2021$ और $a - \lambda = 1$ लेते हैं।
जोड़ने पर: $2a = 2022 \Rightarrow a = 1011$.
दूसरा मामला: $a + \lambda = 47$ और $a - \lambda = 43$ $\Rightarrow 2a = 90$ $\Rightarrow a = 45$.
अतः,$E$ का सबसे बड़ा अवयव $1011$ है।

(C) यह क्षेत्र रेखाओं $y = mx + 3$,$y = nx + 3$ और $x$-अक्ष $(y = 0)$ द्वारा घिरा हुआ है।
$y = 0$ के लिए,$x$-अंतःखंड $x_1 = -\frac{3}{m}$ और $x_2 = -\frac{3}{n}$ हैं।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 3)$ है।
त्रिभुज का आधार $b = 3 |\frac{1}{m} - \frac{1}{n}|$ और ऊँचाई $h = 3$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{9}{2} (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए,$m = \sqrt{3}$ और $n = -\sqrt{3}$ लेने पर,
क्षेत्रफल $= 3 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $R$ अर्धवृत्त $S$ की त्रिज्या है और $r$ केंद्र $C$ वाले छोटे वृत्त की त्रिज्या है।
मान लीजिए $O$ अर्धवृत्त $S$ का केंद्र है।
$C$ से व्यास $AB$ की दूरी $r$ है।
$C$ से केंद्र $O$ की दूरी $R - r$ है (क्योंकि छोटा वृत्त अर्धवृत्त $S$ को स्पर्श करता है)।
मान लीजिए $T$,व्यास $AB$ पर $C$ का प्रक्षेप है। तब $CT = r$ है।
इस प्रकार,$C$ की $O$ से दूरी,$C$ की रेखा $AB$ से दूरी और एक स्थिरांक के योग के बराबर है।
यह ज्यामितीय गुण परवलय की परिभाषा के अनुरूप है,जहाँ एक निश्चित बिंदु (नाभि) से दूरी एक निश्चित रेखा (नियता) से दूरी के बराबर होती है।
अतः,$C$ का बिंदुपथ एक परवलय का चाप है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2 + 4x \cos \theta + \cot \theta = 0$ के मूल समान होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (4 \cos \theta)^2 - 4(1)(\cot \theta) = 0$
$16 \cos^2 \theta - 4 \cot \theta = 0$
$4 \cos^2 \theta = \cot \theta$
$4 \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
चूंकि $0 < \theta < \pi / 2$,इसलिए $\cos \theta \neq 0$,अतः हम $\cos \theta$ से विभाजित कर सकते हैं:
$4 \cos \theta \sin \theta = 1$
$2 \sin 2 \theta = 1$
$\sin 2 \theta = \frac{1}{2}$
चूंकि $0 < \theta < \pi / 2$,इसलिए $0 < 2 \theta < \pi$ है। $2 \theta$ के लिए हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{5 \pi}{6}$ हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{12}$ या $\theta = \frac{5 \pi}{12}$।

(A) समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$ पर विचार करें जहाँ $x, y, a, b, c$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
स्थिति $1$: यदि सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं,तो $x^2, y^2, a^2, b^2, c^2 \equiv 1 \pmod{4}$ या $1 \pmod{8}$ होगा।
किसी भी विषम अभाज्य संख्या $p$ के लिए,$p^2 \equiv 1 \pmod{8}$ होता है।
तब $x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{8}$ और $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 + 1 = 3 \pmod{8}$ होगा।
चूँकि $2 \not\equiv 3 \pmod{8}$,इसलिए कोई हल संभव नहीं है।
स्थिति $2$: यदि कम से कम एक संख्या $2$ है।
यदि $x=2$ है,तो $4 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$। यदि $y=2$ है,तो $8 = a^2 + b^2 + c^2$। $8$ से छोटी अभाज्य संख्याओं का वर्ग केवल $2$ है। यदि $a=b=c=2$ लें,तो $a^2 + b^2 + c^2 = 12 \neq 8$ होगा।
छोटी अभाज्य संख्याओं की जाँच करने पर,कोई हल प्राप्त नहीं होता है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(B) माना सम्मिश्र तल में बिंदु $O(0,0)$,$A(1,0)$,$B(1,1)$,और $C(0,1)$ हैं।
यह व्यंजक एक इकाई वर्ग $OABC$ के शीर्षों से बिंदु $z$ तक की दूरियों का योग दर्शाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किसी भी बिंदु $z$ से एक उत्तल चतुर्भुज के शीर्षों तक की दूरियों का योग उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर न्यूनतम होता है।
विकर्ण $OB$ (बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ को जोड़ने वाली रेखा) और $AC$ (बिंदु $(1,0)$ और $(0,1)$ को जोड़ने वाली रेखा) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ है।
न्यूनतम मान विकर्णों की लंबाइयों का योग है:
$|z-0| + |z-(1+i)| = |\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i| + |-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$|z-1| + |z-i| = |-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i| + |\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
कुल न्यूनतम मान = $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

(D) माना त्रिभुज के कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। हमें दो कोण $A = 2x + 7$ और $B = 7x + 10$ दिए गए हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए,कम से कम दो कोण समान होने चाहिए। हम तीन स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: $A = B$
$2x + 7 = 7x + 10$ $\Rightarrow 5x = -3$ $\Rightarrow x = -0.6$.
कोण $A = 5.8^\circ, B = 5.8^\circ, C = 168.4^\circ$ हैं। यह एक मान्य त्रिभुज है।
स्थिति $2$: $A = C$
चूंकि $A + B + C = 180^\circ$,इसलिए $2A + B = 180^\circ$.
$2(2x + 7) + (7x + 10) = 180$ $\Rightarrow 11x = 156$ $\Rightarrow x = \frac{156}{11}$.
यह एक मान्य त्रिभुज है।
स्थिति $3$: $B = C$
चूंकि $A + B + C = 180^\circ$,इसलिए $A + 2B = 180^\circ$.
$(2x + 7) + 2(7x + 10) = 180$ $\Rightarrow 16x = 153$ $\Rightarrow x = \frac{153}{16}$.
यह एक मान्य त्रिभुज है।
अतः,$x$ के कुल $3$ वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

(C) चूँकि दीर्घवृत्त प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(a, b)$ है। नाभियाँ $(a \pm ae, b)$ हैं। दी गई शर्तों के अनुसार,त्रिभुज $OF_1F_2$ समद्विबाहु है और $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ है,जिससे गणना करने पर उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होती है।

(D) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a=1$,$b$,और $c$ हैं। संगत शीर्षलंब $h_a$,$h_b$,और $h_c$ हैं। क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ है।
दिया है $h_a = 1 \cdot h_a$ और $h_b = 2 h_a$। चूँकि $h_a = \frac{2\Delta}{1}$ और $h_b = \frac{2\Delta}{b}$ है,सबसे लंबा शीर्षलंब सबसे छोटे का दोगुना होने की शर्त के अनुसार $b=2$ या $c=2$ प्राप्त होता है।
$1, 2, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए,त्रिभुज असमिका के अनुसार $2-1 < c < 2+1$,अर्थात $1 < c < 3$ है। चूँकि $c$ एक पूर्णांक है,$c=2$ होगा।
भुजाएँ $1, 2, 2$ हैं। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{1+2+2}{2} = \frac{5}{2}$ है।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{15}/4}{5/2} = \frac{\sqrt{15}}{10}$ है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{4 \cdot \sqrt{15}/4} = \frac{4}{\sqrt{15}}$ है।
अतः $\frac{R}{r} = \frac{4/\sqrt{15}}{\sqrt{15}/10} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$ है।
इस प्रकार $m=8$ और $n=3$ है। चूँकि $m, n$ सह-अभाज्य हैं,$m+n = 8+3 = 11$ है।

(C) दिया गया है $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$।
त्रिभुज में जहाँ $A+B+C = \pi$ है,यह व्यंजक $1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 1$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है $\cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 0$।
अतः,एक कोण $\frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$,$\frac{3B}{2} = \frac{\pi}{2}$,या $\frac{3C}{2} = \frac{\pi}{2}$ को संतुष्ट करता है।
इससे $A = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ दी गई है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,भुजा $a = 2R \sin A = 2(\sqrt{3}) \sin \frac{2\pi}{3} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$।
चूंकि $A$ सबसे बड़ा कोण है,इसलिए $a$ सबसे लंबी भुजा है।
अतः,सबसे लंबी भुजा की लंबाई $3$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $E = \frac{\sin A \cot C + \cos A}{\sin B \cot C + \cos B}$ है।
$\cot C = \frac{\cos C}{\sin C}$ प्रतिस्थापित करने पर,$E = \frac{\sin(A+C)}{\sin(B+C)} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a} = r$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के अस्तित्व की शर्तों के अनुसार,$r \in \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} k^2 = n(n+1) 2^{n-2}$ होता है।
$n=10$ के लिए,योग $\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = 10(11) 2^{10-2} = 110 \times 2^8$ है।
अब,दिए गए व्यंजक की गणना करते हैं:
$\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} k^2 = \frac{110 \times 2^8}{2^{10}} = \frac{110}{4} = 27.5$.
अतः,$27.5$ अंतराल $(27, 28)$ में स्थित है।

(C) $10$ में से $5$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{10}C_5 = 252$ हैं।
$p_1$ ठीक $1$ जीतने वाला टिकट प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$p_1 = \frac{^2C_1 \cdot ^8C_4}{^{10}C_5} = \frac{140}{252} = \frac{5}{9}$.
$p_2$ ठीक $2$ जीतने वाले टिकट प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$p_2 = \frac{^2C_2 \cdot ^8C_3}{^{10}C_5} = \frac{56}{252} = \frac{2}{9}$.
अतः,$p_1 + p_2 = \frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
चूंकि $\frac{7}{9} \approx 0.777$,यह $\left(\frac{3}{4}, 1\right]$ अंतराल में स्थित है।

(C) यदि $B, I, O, C$ एकवृत्तीय हैं,तो $\angle BIC = \angle BOC$ (समान वृत्तखंड के कोण)।
हम जानते हैं कि $\angle BIC = 90^{\circ} + \frac{A}{2}$ और $\angle BOC = 2A$ होता है।
इन दोनों को बराबर रखने पर,$90^{\circ} + \frac{A}{2} = 2A$ प्राप्त होता है।
$\frac{3A}{2} = 90^{\circ} \implies A = 60^{\circ}$।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।

(C) दिया गया है कि $AC$,$\angle DAB$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle DAC = \angle CAB$ है।
चूँकि $DC \parallel AB$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle CAB = \angle ACD$ है।
अतः,$\angle DAC = \angle ACD$,जिसका अर्थ है कि $\triangle ADC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AD = DC$ है।
इसी प्रकार,चूँकि $BD$,$\angle CBA$ का समद्विभाजक है,इसलिए $\angle CBD = \angle DBA$ है।
चूँकि $DC \parallel AB$,एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं,इसलिए $\angle DBA = \angle BDC$ है।
अतः,$\angle CBD = \angle BDC$,जिसका अर्थ है कि $\triangle BCD$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $BC = DC$ है।
चूँकि $AD = DC$ और $BC = DC$ है,इसलिए $AD = BC = DC$ है।
इस प्रकार,समलंब चतुर्भुज की ठीक तीन भुजाएँ बराबर हैं।

(B) मान लीजिए $\angle A = \theta$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\text{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \theta$ है।
$\triangle ADE$ का क्षेत्रफल $\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin \theta$ है।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle ADE)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \theta}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin \theta} = \frac{AB}{AD} \times \frac{AC}{AE}$.
दिया है $AD : AB = 3 : 5$,इसलिए $\frac{AB}{AD} = \frac{5}{3}$.
दिया है $AE : AC = 2 : 3$,इसलिए $\frac{AC}{AE} = \frac{3}{2}$.
इस प्रकार,अनुपात $\frac{5}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ है।
मान $2.5$ अंतराल $\left(2, \frac{5}{2}\right]$ में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $\triangle ABC$ और $\triangle DCB$ में,
$AB = DC$ (दिया है)
$BC = CB$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$AC = DB$ (दिया है)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी से,$\triangle ABC \cong \triangle DCB$.
अतः,$\angle BAC = \angle CDB = 70^{\circ}$ और $\angle ABC = \angle DCB = 60^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,$\angle ACB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 60^{\circ} = 50^{\circ}$.
अब,$\angle DCO = \angle BCD - \angle ACB = 60^{\circ} - 50^{\circ} = 10^{\circ}$.
$\triangle DOC$ में,$\angle DOC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 10^{\circ} = 100^{\circ}$.
$AC$ और $BD$ के बीच का न्यून कोण $180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ है।

(C) प्रथम $n$ पूर्णांकों का योग $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
पूर्णांक $k$ को मिटाने के बाद,शेष $(n-1)$ संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2} - k$ है।
शेष संख्याओं का औसत $16$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\frac{n(n+1)}{2} - k}{n-1} = 16$
$n(n+1) - 2k = 32(n-1)$
$n^2 + n - 2k = 32n - 32$
$2k = n^2 - 31n + 32$
$k = \frac{n^2 - 31n + 32}{2}$
चूंकि $1 < k < n$,हमारे पास है:
$1 < \frac{n^2 - 31n + 32}{2} < n$
$k < n$ से: $n^2 - 31n + 32 < 2n \implies n^2 - 33n + 32 < 0 \implies (n-32)(n-1) < 0$। चूंकि $n \geq 3$,इसलिए $n < 32$ है।
$k > 1$ से: $n^2 - 31n + 32 > 2 \implies n^2 - 31n + 30 > 0 \implies (n-30)(n-1) > 0$। चूंकि $n \geq 3$,इसलिए $n > 30$ है।
अतः,$n = 31$ होना चाहिए।
$k$ के समीकरण में $n = 31$ रखने पर:
$k = \frac{31^2 - 31(31) + 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$।
इसलिए,$n + k = 31 + 16 = 47$।

(A) दिया है $p = 99$ और $q = 101$।
$p_1 = \log_{10} \left(\frac{99+101}{2}\right) = \log_{10} 100 = 2$।
$q_1 = \frac{1}{2}(\log_{10} 99 + \log_{10} 101) = \log_{10} \sqrt{99 \times 101} = \log_{10} \sqrt{9999}$।
चूँकि $9999 < 10000$,इसलिए $\sqrt{9999} < 100$,अतः $q_1 < \log_{10} 100 = 2$।
इस प्रकार,$p_1 > q_1$।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,यदि $a \neq b$ है तो $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$।
चूँकि $p_1 > q_1$,हमारे पास $\frac{p_1+q_1}{2} > \sqrt{p_1 q_1}$ है।
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर,$\log_{10} \left(\frac{p_1+q_1}{2}\right) > \log_{10} \sqrt{p_1 q_1} = \frac{1}{2}(\log_{10} p_1 + \log_{10} q_1)$।
यह दर्शाता है कि $p_2 > q_2$।
साथ ही,चूँकि $p_1 > q_1$,इसलिए $\log_{10} p_1 > \log_{10} q_1$।
चूँकि $p_1 > \frac{p_1+q_1}{2} > q_1$,लघुगणक फलन (जो एक वर्धमान फलन है) लागू करने पर $\log_{10} p_1 > p_2 > \log_{10} q_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\log_{10} p_1 > p_2 > q_2 > \log_{10} q_1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया बहुपद समीकरण $x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1=0$ है।
यह व्यंजक $(x-1)^6$ के द्विपद विस्तार का अनुसरण करता है।
अतः,समीकरण को $(x-1)^6=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि समीकरण के सभी मूल $1$ के बराबर हैं।
इसलिए,सबसे बड़ा वास्तविक मूल $a = 1$ और सबसे छोटा वास्तविक मूल $b = 1$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a^2+b^2}{a+b+1} = \frac{1^2+1^2}{1+1+1} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - ax + b = 0$ और $x^3 - ax^2 + bx + a - b = 0$ का उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है।
चूंकि $\alpha$ पहले समीकरण का मूल है,इसलिए $\alpha^2 - a\alpha + b = 0$ है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha(\alpha^2 - a\alpha + b) + a - b = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha^2 - a\alpha + b = 0$,इसलिए $a - b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$ है।
$a = b$ को पहले समीकरण में रखने पर,$x^2 - ax + a = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए,अतः $a^2 - 4a \geq 0$ है।
यह $a(a - 4) \geq 0$ देता है,जिसका अर्थ है $a \leq 0$ या $a \geq 4$ है।
चूंकि $1 \leq a, b \leq 2021$ और $a = b$ है,इसलिए $4 \leq a \leq 2021$ होना चाहिए।
ऐसे पूर्णांकों $a$ की कुल संख्या $2021 - 4 + 1 = 2018$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12}$.
बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ने पर:
$\frac{(x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{13}{12}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x) + (x^2 + x)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{13}{12}$.
$\frac{3x^2 + 6x + 2}{x^3 + 3x^2 + 2x} = \frac{13}{12}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$12(3x^2 + 6x + 2) = 13(x^3 + 3x^2 + 2x)$.
$36x^2 + 72x + 24 = 13x^3 + 39x^2 + 26x$.
त्रिघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$13x^3 + 3x^2 - 46x - 24 = 0$.
परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करके जांचने पर,$x=2$ एक मूल है:
$13(8) + 3(4) - 46(2) - 24 = 104 + 12 - 92 - 24 = 0$.
$(x-2)$ से विभाजित करने पर $(x-2)(13x^2 + 29x + 12) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $13x^2 + 29x + 12 = 0$ का विविक्तकर $D = 217$ है,जो पूर्ण वर्ग नहीं है,इसलिए अन्य मूल पूर्णांक नहीं हैं।
अतः,केवल एक धनात्मक पूर्णांक हल $x=2$ है।

(B) टीम $A$ द्वारा एक दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{12}$.
टीम $B$ द्वारा एक दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{36}$.
पहले $4$ दिनों में टीम $A$ द्वारा किया गया कार्य $= 4 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$.
अगले $2$ दिनों में टीम $A$ और $B$ द्वारा एक साथ किया गया कार्य $= 2 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{36}) = 2 \times (\frac{3+1}{36}) = 2 \times \frac{4}{36} = \frac{2}{9}$.
$6$ दिनों में किया गया कुल कार्य $= \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3+2}{9} = \frac{5}{9}$.
शेष कार्य $= 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
टीम $B$ अपनी दक्षता दोगुनी कर देती है,इसलिए नई दक्षता $= 2 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{18}$.
टीम $B$ को शेष कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त दिन $= \frac{4/9}{1/18} = \frac{4}{9} \times 18 = 8$ दिन।

(C) हमें दिया गया है कि $(n+3)$,$(n^3-3)$ को विभाजित करता है।
बहुपद विभाजन का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{n^3-3}{n+3} = \frac{n^3+27-30}{n+3} = (n^2-3n+9) - \frac{30}{n+3}$.
व्यंजक के पूर्णांक होने के लिए,$(n+3)$ को $30$ का भाजक होना चाहिए।
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$n \ge 1$,इसलिए $n+3 \ge 4$ होगा।
$30$ के भाजक $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ हैं।
शर्त $n+3 \ge 4$ को ध्यान में रखते हुए,$(n+3)$ के संभावित मान $5, 6, 10, 15, 30$ हैं।
प्रत्येक स्थिति के लिए $n$ का मान:
$n+3 = 5 \Rightarrow n = 2$
$n+3 = 6 \Rightarrow n = 3$
$n+3 = 10 \Rightarrow n = 7$
$n+3 = 15 \Rightarrow n = 12$
$n+3 = 30 \Rightarrow n = 27$
अतः,ऐसे $5$ धनात्मक पूर्णांक $n$ हैं।

(A) समांतर श्रेणी $a_1, a_2, \ldots, a_n$ के लिए $a_1 = 1$ और सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = 5$ है।
$n$-वाँ पद $a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)5 = 5n - 4$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है $a_k \leq 2021$,इसलिए $5k - 4 \leq 2021$,जिसका अर्थ है $5k \leq 2025$,या $k \leq 405$।
चूँकि $a_{k+1} > 2021$,अनुक्रम $a_1, a_2, \ldots, a_{405}$ है।
पदों की संख्या $405$ है,जो एक विषम संख्या है। विषम संख्या वाले अनुक्रम की माध्यिका $\frac{n+1}{2}$-वाँ पद होती है।
यहाँ,माध्यिका $\frac{405+1}{2} = 203$-वाँ पद है।
$203$-वाँ पद $a_{203} = a_1 + (203 - 1)d = 1 + 202 \times 5 = 1 + 1010 = 1011$ है।

(A) किसी संख्या $x$ का पांचवां मूल $x^{1/5}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\left(10^{10^{10}}\right)^{\frac{1}{5}}$.
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$= 10^{10^{10} \times \frac{1}{5}}$.
हम $10^{10}$ को $10 \times 10^9$ के रूप में लिख सकते हैं:
$= 10^{\frac{10}{5} \times 10^9}$.
$= 10^{2 \times 10^9}$.

(C) मान लीजिए $2$-अंकीय संख्या $10a + b$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$10a + b = 4(a! + b!)$ है।
चूँकि $10a + b \leq 99$,इसलिए $4(a! + b!) \leq 99$,जिसका अर्थ है $a! + b! \leq 24.75$ है।
यह $a$ और $b$ को $4$ से कम या उसके बराबर मानों तक सीमित करता है।
संभावित मानों की जाँच करने पर,$a=1$ के लिए $12$ और $a=3$ के लिए $32$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = \{12, 32\}$ है।
योग $= 12 + 32 = 44$ है।

(B) मान लीजिए कि $x$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने तीनों विषय चुने हैं।
वेन आरेख दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए,कुल छात्रों की संख्या सभी अलग-अलग क्षेत्रों का योग है:
$100 = 15 + 3 + 45 + (23 - x) + (20 - x) + (12 - x) + x$
$100 = 63 + 55 - 2x$
$100 = 118 - 2x$
$2x = 118 - 100$
$2x = 18$
$x = 9$
अतः,तीनों विषयों को चुनने वाले छात्रों की संख्या $9$ है।

(C) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $b$,$c$ (लंब और आधार) और $x$ (कर्ण) हैं।
दिया है $b + c + x = 42$ --- $(1)$
समकोण त्रिभुज में,कर्ण पर माध्यिका कर्ण की आधी होती है,इसलिए $M = \frac{x}{2}$।
कर्ण पर शीर्षलंब $h = \frac{bc}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $M - h = 2$,इसलिए $\frac{x}{2} - \frac{bc}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2bc = 4x$ --- $(2)$
$(1)$ से,$b + c = 42 - x$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $b^2 + c^2 + 2bc = (42 - x)^2$।
चूंकि $b^2 + c^2 = x^2$,हमारे पास है $x^2 + 2bc = (42 - x)^2$ --- $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $2x^2 = (42 - x)^2 + 4x$।
$2x^2 = 1764 - 84x + x^2 + 4x \Rightarrow x^2 + 80x - 1764 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x + 98)(x - 18) = 0$। चूंकि $x > 0$,$x = 18$।
$x = 18$ को $(2)$ में रखने पर: $18^2 - 2bc = 4(18)$ $\Rightarrow 324 - 2bc = 72$ $\Rightarrow 2bc = 252$ $\Rightarrow bc = 126$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}bc = \frac{1}{2} \times 126 = 63$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ है। यदि $a-b$ एक मूल है,तो यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(a-b)^2 + a(a-b) + b = 0$
$b^2 + b(1-3a) + 2a^2 = 0$
$b$ के लिए हल करने पर,विविक्तकर $D = a^2 - 6a + 1$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $k^2$।
$(a-3)^2 - k^2 = 8$
$(a-3-k)(a-3+k) = 8$
गुणनखंड करने पर,संभव युग्म $(a, b)$ प्राप्त होते हैं: $(6, 9), (6, 8), (0, 0), (0, -1)$।
अतः,कुल $4$ क्रमित युग्म संभव हैं।

(B) किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$n^3 \equiv 0, 1, \text{ या } 8 \pmod{9}$,जो $n^3 \equiv 0, 1, -1 \pmod{9}$ के बराबर है।
कथन $I$: हमें यह जांचना है कि क्या $a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ का अर्थ $abc \equiv 0 \pmod{3}$ है।
यदि $abc$,$3$ से विभाज्य नहीं है,तो $a, b, c \not\equiv 0 \pmod{3}$। अतः $a, b, c \equiv 1, 2 \pmod{3}$।
तब $a^3, b^3, c^3 \equiv 1, 8 \pmod{9}$ (क्योंकि $1^3=1$ और $2^3=8 \equiv -1 \pmod{9}$)।
$a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ प्राप्त करने के लिए,हमें ${1, -1}$ से तीन मानों का योग $0 \pmod{9}$ चाहिए,जो असंभव है क्योंकि संभावित योग $\{3, 1, -1, -3\}$ हैं।
अतः,$a, b, c$ में से कम से कम एक $3$ का गुणज होना चाहिए,इसलिए $abc$,$3$ से विभाज्य है। कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: $a=1, b=2, c=1, d=2$ लें।
तो $a^3+b^3+c^3+d^3 = 1^3+2^3+1^3+2^3 = 1+8+1+8 = 18$,जो $9$ से विभाज्य है।
हालाँकि,$abcd = 1 \times 2 \times 1 \times 2 = 4$,जो $3$ से विभाज्य नहीं है।
अतः,कथन $II$ असत्य है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2-x-1=0$ है। इसके मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
यहाँ $\lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ और $1-\lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ है।
$a_n$ फिबोनाची अनुक्रम का $n$-वां पद $F_n$ है,जो हमेशा एक पूर्णांक होता है।
इसलिए,$a_n$ कभी भी अपरिमेय नहीं हो सकता और न ही ऐसी परिमेय संख्या हो सकता है जो पूर्णांक न हो।
अतः,समुच्चय $A = \emptyset$ और समुच्चय $B = \emptyset$ है।

(B) $\frac{1}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होने के लिए,$q$ को $2^m 5^n$ के रूप में होना चाहिए जहाँ $m, n \in \mathbb{W}$ है।
$\sqrt{q}$ के परिमेय होने के लिए,$q$ को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
यदि $q = 2^m 5^n$ एक पूर्ण वर्ग है,तो $m$ और $n$ दोनों सम होने चाहिए।
माना $m = 2a$ और $n = 2b$ जहाँ $a, b \in \mathbb{W}$ है।
तब $q = 2^{2a} 5^{2b} = (2^a 5^b)^2$ है।
हमें $1 \leq q \leq 2021$ दिया गया है,इसलिए $1 \leq (2^a 5^b)^2 \leq 2021$,जिसका अर्थ है $1 \leq 2^a 5^b \leq \sqrt{2021} \approx 44.95$ है।
$2^a 5^b \leq 44$ के लिए संभावित मान:
यदि $b=0$: $2^a \leq 44 \Rightarrow a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ (मान: $1, 2, 4, 8, 16, 32$)
यदि $b=1$: $2^a \cdot 5 \leq 44$ $\Rightarrow 2^a \leq 8.8$ $\Rightarrow a \in \{0, 1, 2, 3\}$ (मान: $5, 10, 20, 40$)
यदि $b=2$: $2^a \cdot 25 \leq 44$ $\Rightarrow 2^a \leq 1.76$ $\Rightarrow a = 0$ (मान: $25$)
$2^a 5^b$ के लिए कुल मान $6 + 4 + 1 = 11$ हैं।
अतः,ऐसे $11$ पूर्णांक $q$ हैं।

(D) $x \neq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है:
$f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n$.
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $|\frac{1}{1+x^2}| < 1$ है,इसलिए अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{1}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{1+x^2}{x^2}$ है।
अतः,$f(x) = |x|^\alpha \cdot \frac{1+x^2}{x^2} = |x|^\alpha \cdot |x|^{-2} (1+x^2) = |x|^{\alpha-2} (1+x^2)$।
$f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} |x|^{\alpha-2} (1+x^2) = 0$ तभी संभव है जब $\alpha - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $\alpha > 2$।
ऐसी वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय अंतराल $(2, \infty)$ है।
चूंकि इस अंतराल में अनंत वास्तविक संख्याएं हैं,इसलिए समुच्चय में $4$ से अधिक अवयव हैं।

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x) + f(2x) = 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है।
$x = 0$ रखने पर,हमें $f(0) + f(0) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(0) = 0$,अतः $f(0) = 0$।
दिए गए समीकरण से,$f(x) = -f(x/2)$।
इस संबंध को दोहराने पर,हमें $f(x) = -f(x/2) = f(x/4) = -f(x/8) = \dots = (-1)^n f(x/2^n)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{n \to \infty} f(x/2^n) = f(\lim_{n \to \infty} x/2^n) = f(0) = 0$।
अतः,$f(x) = \lim_{n \to \infty} (-1)^n f(x/2^n) = 0$।
इसलिए,शर्त को पूरा करने वाला एकमात्र सतत फलन शून्य फलन $f(x) = 0$ है।
अतः,ऐसे केवल $1$ फलन संभव हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{\cos x}{\cos 2x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{-\sin x \cos 2x - \cos x (-2 \sin 2x)}{(\cos 2x)^2} = \frac{-\sin x \cos 2x + 2 \sin 2x \cos x}{(\cos 2x)^2}$.
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $f'(x) = \frac{\sin(2x-x) + \sin 2x \cos x}{(\cos 2x)^2} = \frac{\sin x + 2 \sin x \cos^2 x}{(\cos 2x)^2}$.
$f'(x) = \frac{\sin x (1 + 2 \cos^2 x)}{(\cos 2x)^2}$.
चूंकि $(1 + 2 \cos^2 x) > 0$ और $(\cos 2x)^2 > 0$ सभी $x \in \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए सत्य है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न केवल $\sin x$ पर निर्भर करता है।
$x \in \left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)$ के लिए,$\sin x < 0$,इसलिए $f'(x) < 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ ह्रासमान है।
$x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए,$\sin x > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ वर्धमान है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2 \sqrt{y}$ है,जिसमें प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ है।
स्थिति $I$: शून्य फलन $y(x) = 0$,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,समीकरण और प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है।
स्थिति $II$: किसी भी स्थिरांक $a \geq 0$ के लिए,हम फलनों का एक परिवार परिभाषित कर सकते हैं:
$y(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ (x-a)^2 & x \geq a \end{cases}$
आइए $x = a$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बाएँ पक्ष का अवकलज: $\lim_{h \to 0^-} \frac{y(a+h) - y(a)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
दाएँ पक्ष का अवकलज: $\lim_{h \to 0^+} \frac{y(a+h) - y(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(a+h-a)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2}{h} = 0$.
चूँकि बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज समान हैं,फलन $x = a$ पर अवकलनीय है।
$x > a$ के लिए,$y'(x) = 2(x-a) = 2\sqrt{(x-a)^2} = 2\sqrt{y(x)}$.
यहाँ $a$ कोई भी ऋणेतर वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए ऐसे फलनों की संख्या अनंत है।

(D) दी गई शर्त: $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\int_0^1 (f(x))^2 dx - 2 \int_0^1 f(x) dx = 0$।
समाकल के अंदर $1$ जोड़ने और घटाने पर: $\int_0^1 ((f(x))^2 - 2f(x) + 1 - 1) dx = 0$।
इसे सरल करने पर: $\int_0^1 (f(x) - 1)^2 dx - \int_0^1 1 dx = 0$।
अतः,$\int_0^1 (f(x) - 1)^2 dx = 1$।
हम ऐसे सतत फलनों $f(x)$ की तलाश कर रहे हैं जिनके लिए $[0, 1]$ पर $(f(x) - 1)^2$ का समाकल $1$ हो।
मान लीजिए $g(x) = f(x) - 1$ है। तो हमें $\int_0^1 (g(x))^2 dx = 1$ की आवश्यकता है।
इस शर्त को संतुष्ट करने वाले अनंत सतत फलन $g(x)$ मौजूद हैं (उदाहरण के लिए,$g(x) = 1$,$g(x) = -1$,$g(x) = \sqrt{3}x$,$g(x) = \sqrt{5}x^2$,आदि)।
चूंकि ऐसे अनंत फलन $g(x)$ हैं,इसलिए ऐसे अनंत फलन $f(x) = g(x) + 1$ भी मौजूद हैं।
अतः,ऐसे फलनों की संख्या $4$ से अधिक है।

(A) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ है।
$\cos ^2 x = t$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 \cos x (-\sin x) d x = d t$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos x d x = -\frac{1}{2} d t$ है।
समाकलन की सीमाएँ बदलने पर:
जब $x = 0$,तब $t = \cos ^2(0) = 1$ है।
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \limits_1^0 \frac{-1/2}{1+t^2} d t = \frac{1}{2} \int \limits_0^1 \frac{1}{1+t^2} d t$ प्राप्त होता है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = \frac{1}{2} [\tan ^{-1}(t)]_0^1 = \frac{1}{2} (\tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$।

(A) हम सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
सबसे पहले,आंतरिक सदिश गुणन की गणना करें: $(3\hat{i}+4\hat{j}) \times (\hat{j}+\hat{k}) = 3(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{i} \times \hat{k}) + 4(\hat{j} \times \hat{j}) + 4(\hat{j} \times \hat{k}) = 3\hat{k} - 3\hat{j} + 0 + 4\hat{i} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,अगले सदिश गुणन की गणना करें: $(\hat{i}-\hat{k}) \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{i} \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) - \hat{k} \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) = (0 - 3\hat{k} - 3\hat{j}) - (4\hat{j} + 3\hat{i} + 0) = -3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
दिया है कि $\vec{v} \times (-3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}) = \vec{0}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}$ सदिश $3\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{v} = \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k})$.
दिया है कि $\vec{v} \cdot \hat{j} = -7$,इसलिए $7\lambda = -7$,जिसका अर्थ है $\lambda = -1$.
अतः,$\vec{v} = -3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसलिए,$\vec{v} \cdot \hat{i} = -3$.

(D) कुल प्रश्नों की संख्या $n = 8$ है।
प्रत्येक प्रश्न में $4$ विकल्प हैं,जिसका अर्थ है कि $1$ सही विकल्प और $3$ गलत विकल्प हैं।
छात्र को $8$ में से ठीक $5$ सही उत्तर चुनने हैं।
$5$ प्रश्नों को सही चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{8}{5}$ द्वारा दी जाती है।
$5$ सही प्रश्नों के लिए,सही विकल्प चुनने का केवल $1$ तरीका है।
शेष $8 - 5 = 3$ गलत प्रश्नों के लिए,प्रत्येक का उत्तर $3$ अलग-अलग तरीकों से दिया जा सकता है (क्योंकि $4$ विकल्प हैं और $1$ सही है,इसलिए $4 - 1 = 3$ गलत हैं)।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\binom{8}{5} \times (1)^5 \times (3)^3$ है।
गणना करने पर: $\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
कुल तरीके $= 56 \times 1 \times 27 = 1512$.

(D) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी है,और $E^c$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी नहीं है। मान लीजिए $A$ वह घटना है कि परीक्षण का परिणाम सकारात्मक है।
दिया गया है:
$P(E) = \frac{2}{3}$
$P(E^c) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(A|E) = \frac{2}{3}$ (व्यक्ति को बीमारी होने पर परीक्षण सकारात्मक आने की प्रायिकता)
$P(A|E^c) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (व्यक्ति को बीमारी न होने पर परीक्षण सकारात्मक आने की प्रायिकता)
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,किसी व्यक्ति का परीक्षण सकारात्मक आने की प्रायिकता:
$P(A) = P(E) \times P(A|E) + P(E^c) \times P(A|E^c)$
$P(A) = \left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$
बेयस प्रमेय के अनुसार,परीक्षण सकारात्मक आने पर व्यक्ति को बीमारी होने की प्रायिकता:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(A)}$
$P(E|A) = \frac{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{5}{9}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{4}{5}$

(B) माना $I = \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2}$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$,और जब $x \to \infty$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{(1+\tan^2 \theta)(1+\tan \theta)^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\sec^2 \theta (1+\tan \theta)^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{(1+\tan \theta)^2}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(\theta) \, d\theta = \int_0^a f(a-\theta) \, d\theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{(1+\tan(\frac{\pi}{2}-\theta))^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{(1+\cot \theta)^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{\tan^2 \theta \, d\theta}{(\tan \theta + 1)^2}$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \tan^2 \theta}{(1+\tan \theta)^2} \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 \theta}{(1+\tan \theta)^2} \, d\theta$.
$u = 1 + \tan \theta$ रखने पर,$du = \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
$2I = \int_1^{\infty} \frac{du}{u^2} = \left[ -\frac{1}{u} \right]_1^{\infty} = 0 - (-1) = 1$.
अतः,$I = \frac{1}{2}$.

(B) माना $f(x) + x^2 = g^2(x)$ जहाँ $g(x) > 0$ है।
$f(x) = g^2(x) - x^2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \int_0^{3/2} (g^2(x) - x^2) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{g(x)} = 108$
$4 \int_0^{3/2} g^2(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{g(x)} = 108 + 4 \int_0^{3/2} x^2 dx$
$4 \int_0^{3/2} g^2(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{g(x)} = 108 + 4 [\frac{x^3}{3}]_0^{3/2} = 108 + 4.5 = 112.5$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:
$4g^2(x) + \frac{62.5}{g(x)} + \frac{62.5}{g(x)} \geq 3 \sqrt[3]{4g^2(x) \cdot \frac{62.5}{g(x)} \cdot \frac{62.5}{g(x)}} = 3 \cdot 25 = 75$.
दोनों पक्षों का $0$ से $3/2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^{3/2} (4g^2(x) + \frac{125}{g(x)}) dx \geq 112.5$.
चूंकि समाकलन का मान $112.5$ है,इसलिए समानता तभी संभव है जब $4g^2(x) = \frac{62.5}{g(x)}$ हो।
अतः $g(x) = 2.5 = 5/2$ और $f(x) = \frac{25}{4} - x^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,केवल $1$ ऐसा फलन है।

(C) हमें समाकलन $I = \int_1^M \{x\}^{[x]} dx$ दिया गया है। चूँकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर स्थिर है,हम समाकलन को इकाई अंतरालों पर समाकलनों के योग के रूप में लिख सकते हैं:
$I = \sum_{n=1}^{M-1} \int_n^{n+1} (x-n)^n dx$.
मान लीजिए $u = x-n$,तो $du = dx$ होगा। समाकलन $\int_0^1 u^n du = \left[ \frac{u^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$ हो जाता है।
अतः,$I = \sum_{n=1}^{M-1} \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{M}$।
$M=2$ के लिए,$I = \frac{1}{2} = 0.5 < 1$।
$M=3$ के लिए,$I = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \approx 0.833 < 1$।
$M=4$ के लिए,$I = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} > 1$।
इसलिए,सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $M$ का मान $4$ है।

(C) सारणिक $f(x)$ का प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot (|x-1|(x-2)^2 - |x-2|(x-1)^2) - |x| \cdot ((x-2)^2 - (x-1)^2) + x^2 \cdot (|x-2| - |x-1|)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = |x-1|(x^2-4x+4) - |x-2|(x^2-2x+1) - |x|(x^2-4x+4 - x^2+2x-1) + x^2(|x-2|-|x-1|)$
$f(x) = |x-1|(4-4x) + |x-2|(2x-1) - |x|(3-2x)$
यहाँ निरपेक्ष मानों के क्रांतिक बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x=0$ पर: $|x|$ पद अवकलनीय नहीं है और इसका गुणांक $(3-2x)$,$3 \neq 0$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=1$ पर: $|x-1|$ पद अवकलनीय नहीं है,लेकिन इसका गुणांक $(4-4x)$,$0$ है। अतः,अवकलनीयता का अभाव दूर हो जाता है।
$x=2$ पर: $|x-2|$ पद अवकलनीय नहीं है और इसका गुणांक $(2x-1)$,$3 \neq 0$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $x=0$ और $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है। ऐसे मानों की संख्या $2$ है।