मान लीजिए $P(x)$ वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद है,जैसे कि सभी $x \in [0, \pi/2)$ के लिए $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I.$ $P(x)$ एक सम फलन (even function) है।
$II.$ $P(x)$ को $(2x - 1)^2$ में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$III.$ $P(x)$ एक सम घात (even degree) का बहुपद है।
तो,

यदि $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$,$x \in R$ है,तो $\sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ फलन हैं जो इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f(x)=\begin{cases} x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ और $g(x)=\begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
मान लीजिए $a, b, c, d \in R$ हैं। फलन $h: R \rightarrow R$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), x \in R$
$List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।

$List-I$	$List-II$
$(P)$ यदि $a=0, b=1, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(1)$ $h$ एकैकी (one-one) है
$(Q)$ यदि $a=1, b=0, c=0$ और $d=0$ है,तो	$(2)$ $h$ आच्छादक (onto) है
$(R)$ यदि $a=0, b=0, c=1$ और $d=0$ है,तो	$(3)$ $h$ $R$ पर अवकलनीय है
$(S)$ यदि $a=0, b=0, c=0$ और $d=1$ है,तो	$(4)$ $h$ का परिसर $[0,1]$ है
	$(5)$ $h$ का परिसर $\{0,1\}$ है

सही विकल्प है

यदि एक फलन $g(x)$,$[-1, 1]$ में परिभाषित है और एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष $(0, 0)$ और $(x, g(x))$ हैं और इसका क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}$ है,तो $g(x)$ का मान क्या होगा :-

मान लीजिए कि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ और $g'(x) < 0$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए कि $f:[-2, 2] \to R$ को $f(x) = \begin{cases} -1 & \text{for } -2 \le x \le 0 \\ x - 1 & \text{for } 0 < x \le 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो समुच्चय $\{ x \in (-2, 2) : x \le 0 \text{ और } f(|x|) = x \}$ ज्ञात कीजिए।