हर धनात्मक वास्तविक संख्या $\lambda$ के लिए मान लीजिए कि $A_\lambda$ उन सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ का समुच्चय है जो $|\sin (\sqrt{n+1})-\sin (\sqrt{n})| < \lambda$ को संतुष्ट करती है. यदि $A_\lambda^c$, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में $A_\lambda$ का पूरक है तो

  • [KVPY 2016]
  • A

    $A_{\frac{1}{2}}, A_{\frac{1}{3}}, A_{\frac{2}{5}}$ सभी परिमित $(finite)$ समुच्चय हैं.

  • B

    $A_{\frac{1}{2}}$ परिमित समुच्चय है किन्तु $A_{\frac{1}{2}}, A_{\frac{2}{5}}$ अपरिमित (infinite) समुच्चय है.

  • C

    $A_{\frac{1}{2}}^c, A_{\frac{1}{3}}^c, A_{\frac{2}{5}}^c$ सभी परिमित समुच्चय हैं.

  • D

    $A_{\frac{1}{2}}, A_{\frac{2}{5}}$ परिमित समुच्चय है और $A_{\frac{1}{2}}$ अपरिमित समुच्चय है.

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यदि $3({\sec ^2}\theta  + {\tan ^2}\theta ) = 5$, तो $\theta $ का व्यापक मान है

यदि $\tan \theta  + \tan 2\theta  + \tan 3\theta  = \tan \theta \tan 2\theta \tan 3\theta $, तो $\theta $ का व्यापक मान है

मानाकि $\theta, \phi \in[0,2 \pi]$ इस प्रकार है कि $2 \cos \theta(1-\sin \phi)=\sin ^2 \theta\left(\tan \frac{\theta}{2}+\cot \frac{\theta}{2}\right) \cos \phi-1, \tan (2 \pi-\theta) > 0$ और $-1 < \sin \theta<-\frac{\sqrt{3}}{2}$. तब $\phi$ निम्न में से किसको संतुष्ट नहीं कर सकता ?

$(A)$ $0<\phi<\frac{\pi}{2}$ $(B)$ $\frac{\pi}{2}<\phi<\frac{4 \pi}{3}$

$(C)$ $\frac{4 \pi}{3}<\phi<\frac{3 \pi}{2}$ $(D)$ $\frac{3 \pi}{2}<\phi<2 \pi$

  • [IIT 2012]

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