ऐसे सतत फलनों $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ की संख्या कितनी है जिनके लिए सभी $x \in (0,1]$ के लिए $f(x) < x^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$ हो?

कथन $-1$: समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}} = \frac{\pi}{6}$ का मान है।
कथन $-2$: $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$.

$\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^1 x(1-x)^n dx =$

मान लीजिए $g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$,जहाँ $f$ अंतराल $[0, 3]$ में एक सतत फलन है,इस प्रकार कि सभी $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{1}{3} \leq f(t) \leq 1$ और सभी $t \in (1, 3]$ के लिए $0 \leq f(t) \leq \frac{1}{2}$ है। वह सबसे बड़ा अंतराल जिसमें $g(3)$ स्थित है,क्या है?