मान लीजिए alpha एक निश्चित शून्येतर सम्मिश्र | vedclass

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Question

(C) हमें $|\alpha| < 1$ के साथ $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$ दिया गया है।$|z| < 1$ स्थिति पर विचार करें।हम $|w|^2 = w\bar{w}$ का मान जाँचते ह

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$|w| < 1$ सभी $z$ के लिए जहाँ $|z| < 1$

Vedclass · Answer

(C) हमें $|\alpha| $|z| हम $|w|^2 = w\bar{w}$ का मान जाँचते हैं।$|w|^2 = \frac{|z|^2 - z\bar{\alpha} - \bar{z}\alpha + |\alpha|^2}{1 - \bar{z}\alpha - z\bar{\alpha} + |\alpha|^2|z|^2}$.$|w|^2 - 1 = \frac{-(1 - |z|^2)(1 - |\alpha|^2)}{|1 - \bar{\alpha}z|^2}$.चूँकि $|z|  0$ और $(1 - |\alpha|^2) > 0$ है।अतः,$|w|^2 - 1 < 0$,जो दर्शाता है कि सभी $|z| < 1$ के लिए $|w| < 1$ है।

मान लीजिए $\alpha$ एक निश्चित शून्येतर सम्मिश्र संख्या है जहाँ $|\alpha| < 1$ और $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है। तब,

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